Naar inhoud springen

Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Lichaam (Ned) / veld (Be))
Algebraïsche structuur

Een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), niet te verwarren met het ruimere begrip delingsring (Ned) / lichaam (Be), is een algebraïsche structuur waarin de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen op de gebruikelijke wijze kunnen worden uitgevoerd. De rationale getallen, de reële getallen en de complexe getallen zijn voorbeelden van lichamen, alle met oneindig veel elementen. Is het aantal elementen van het lichaam eindig, dan spreekt men van een eindig lichaam/veld.

Een lichaam/veld is een verzameling met de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging, waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is. Het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling, de optelling en de vermenigvuldiging zijn beide associatief en commutatief en de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een drietal bestaande uit een niet-lege verzameling waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen en uit noteert men meestal met en de vermenigvuldiging van en met of korter met . De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met of en het product dienovereenkomstig met of .

Gebruikmakend van het bestaande begrip groep kan een lichaam/veld ook worden gedefinieerd door:

  • is een commutatieve groep
  • is een commutatieve groep
  • de bewerking is distributief over de bewerking .

Voorwaarden en eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]

De optelling en de vermenigvuldiging moeten aan de volgende voorwaarden voldoen.

  1. Voor alle elementen en in , behoren ook en tot .
    is gesloten onder de optelling en de vermenigvuldiging.
  2. Voor alle elementen en in , is
    en .
    De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
  3. Er bestaat in een element zodat voor alle uit geldt:

    Het element heet het neutrale element voor de optelling of ook de additieve identiteit in .
  4. Voor elk element in bestaat er een element in , zodat
    en
    Ieder element in heeft een invers element voor de optelling.
  5. Voor alle elementen en in geldt
    .
    De optelling is commutatief.
  6. Voor alle elementen en in is

    De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.
  7. Er bestaat in een element zodat voor elk element in geldt:

    Het element is het neutrale element voor de vermenigvuldiging, ook eenheidselement van genoemd.
  8. Voor elk element in verschillend van bestaat er een element in zodat

    Elk element in ongelijk aan heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
  9. Voor alle elementen en in geldt
    .
    De vermenigvuldiging is commutatief.
  10. De additieve en de multiplicatieve identiteit zijn verschillend, is niet gelijk aan .

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die één element bevat ook een lichaam/veld zijn en dat is niet de bedoeling.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve eventueel onder voorwaarde 9 dat de vermenigvuldiging commutatief is, dan is er sprake van een delingsring/lichaam.

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en 7, 8 en 9 overeenkomstige voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil nemen, aftrekken wordt gedefinieerd door

De deling door een element ongelijk aan nul wordt gedefinieerd door

We kunnen bewijzen dat voor elk lichaam/veld geldt dat voor willekeurige . Daarom bestaat vanwege voorwaarde 10 geen inverse van (want dan zou moeten gelden) en is delen door nul dus niet mogelijk.

Er bestaat een hierarchie tussen de volgende ring-achtige algebraïsche structuren:

Lichamen/velden euclidische domeinen hoofdideaaldomeinen unieke factorisatiedomeinen integriteitsgebieden commutatieve ringen ringen
  • Ieder element behalve 0 heeft in een lichaam een inverse voor de vermenigvuldiging, dus kunnen er geen nuldelers zijn.
Als en is .
  • De reële getallen , de rationale getallen en de complexe getallen vormen met de gewone optelling en vermenigvuldiging een lichaam/veld.
  • De gehele getallen vormen geen lichaam/veld, omdat de meeste gehele getallen voor de vermenigvuldiging geen invers element hebben.
  • Als een lichaam/veld is, vormen de rationale functies in variabelen over op hun beurt een lichaam/veld.
  • De restklassen modulo vormen als een priemgetal is een eindig lichaam/veld.

Deellichaam/deelveld

[bewerken | brontekst bewerken]

Een deellichaam/deelveld van een lichaam/veld is een deelverzameling, die de elementen 0 en 1 bevat en is gesloten met betrekking tot optelling, tegengestelde nemen, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam/veld.

Voorbeelden:

  • De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
  • De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
  • Het eindige lichaam/veld , met 0 en 1 als enige elementen, is een deellichaam van , dat naast de elementen 0 en 1 een speciaal element en daarmee ook bevat. Voor het speciale element geldt . Er wordt modulo 2 gerekend.

Geordend lichaam/veld

[bewerken | brontekst bewerken]

Een geordend lichaam/veld is een lichaam/veld met een compatibele totale orde, wat wil zeggen dat voor de bijbehorende strikte totale orde '<' geldt:

  • als , dan is
  • als en , dan is

Eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]
  • Een eindig lichaam/veld kan geen geordend lichaam/veld zijn.
  • Een deellichaam/deelveld van een geordend lichaam/veld is met de geïnduceerde orde ook een geordend lichaam/veld.
  • reële getallen
  • De volgende deellichamen/deelvelden van de reële getallen:
    • algebraïsche getallen
    • de doorsnede van alle deellichamen/deelvelden van de reële getallen die bevatten, dus alle getallen van de vorm met en rationale getallen
    • rationale getallen