Variëteit (wiskunde)

De sfeer (het oppervlak van een bal) is een twee-dimensionale variëteit omdat dit oppervlak kan worden weergegeven door een verzameling van twee-dimensionale kaarten.

In de differentiaalmeetkunde en differentiaaltopologie, deelgebieden van de wiskunde, is een variëteit een topologische ruimte die lokaal, d.w.z. in een voldoende klein gedeelte, op de euclidische ruimte van een specifieke dimensie lijkt. Een lijn, maar ook een cirkel zijn dus eendimensionale variëteiten, een 8-vormige figuur niet, want in het kruispunt, het punt waar de doorgaande lijn zichzelf snijdt, is er, hoe groot de schaal ook gekozen wordt, d.w.z. hoezeer men ook inzoomt op dit punt, geen gelijkenis met een eendimensionale euclidische ruimte. Een vlak en een sfeer (het oppervlak van een bal) zijn tweedimensionale variëteiten. Kijken we op aarde om ons heen, dan lijkt de aarde vlak en zullen we niet direct opmerken dat de aarde bol is. Ook in willekeurig hogere dimensies bestaan er variëteiten. Meer formeel heeft elk punt van een $n$-dimensionale variëteit een omgeving die homeomorf is met een open deelverzameling van de $n$-dimensionale ruimte $\mathbb {R} ^{n}$.

De term variëteit dekt een aantal verschillende begrippen van "gekromde ruimte". Alle definities hebben de volgende filosofie gemeen:

Een variëteit is een topologische ruimte die in voldoende kleine omgevingen van elk punt lijkt op de $n$-dimensionale euclidische ruimte, maar die globaal een heel andere structuur kan hebben

Hoewel variëteiten in de buurt van elk punt (lokaal) op euclidische ruimten lijken, kan de globale structuur van een variëteit ingewikkelder zijn. Elk punt op het welbekende tweedimensionale boloppervlak wordt bijvoorbeeld omgeven door een cirkelvormig gebied, dat kan worden afgeplat tot een cirkelvormig gebied van het vlak, zoals in een geografische kaart. De sfeer verschilt "in het groot" echter van het vlak: in de taal van de topologie zijn zij niet homeomorf. De structuur van een variëteit is gecodeerd door een collectie van kaarten die samen een atlas vormen, in analogie met een geografische atlas die uit kaarten van het oppervlak van de aarde bestaat.

Het "lokaal lijken op" kan verder gepreciseerd worden door bijectieve topologische afbeeldingen, kaarten genaamd, waarvan de samenstelling op de overlappingsgebieden van hun domeinen tot een bepaalde klasse moet behoren. Naargelang de gekozen klasse spreekt men van een topologische variëteit (homeomorfismen), een differentieerbare of gladde variëteit (diffeomorfismen) of een complexe variëteit (complex differentieerbare homeomorfismen). Sommige definities vereisen nog aanvullende structuur, bijvoorbeeld een Riemann-variëteit is een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm.

Het concept van variëteiten staat centraal in veel delen van de meetkunde en de moderne wiskundige natuurkunde, omdat dit concept het toestaat gecompliceerde structuren uit te drukken en te begrijpen in termen van relatief goed begrepen eigenschappen van eenvoudigere ruimten. Een variëteit is bijvoorbeeld typisch uitgerust met een differentieerbare structuur die het toelaat om te differentiëren en te integreren en een Riemann-metriek, die het toelaat om afstanden en hoeken te meten. Symplectische variëteiten fungeren binnen de klassieke mechanica als faseruimten in het Hamiltonformalisme, terwijl vier-dimensionale Lorentz-variëteiten de ruimtetijd in de algemene relativiteitstheorie modelleren.

De Engelse term manifold (menigvuldigheid) wordt ook in Nederlandse teksten vaak als synoniem van variëteit gebruikt. Voor een algebraïsche variëteit gebruikt het Engels dan weer de term algebraic variety.

De 2-sfeer in 3 dimensies, geprojecteerd vanuit één van haar punten op het tegenoverliggende raakvlak. Deze projectie bepaalt een homeomorfisme tussen $\mathbb {R} ^{2}$ en een open omgeving van het raakpunt. Ieder punt van de sfeer kan als raakpunt fungeren, dus deze constructie maakt van de sfeer een variëteit.

Geschiedenis

Zie Geschiedenis van variëteiten voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De studie van variëteiten combineert tal van belangrijke deelgebieden van de wiskunde: het veralgemeent concepten zoals krommen en oppervlakken alsmede ideeën uit de lineaire algebra en de topologie.

Motiverende voorbeelden

Figuur 1: De vier kaarten beelden elk een deel van de cirkel af op een open interval en overdekken tezamen de gehele cirkel.

Een oppervlak is een tweedimensionale variëteit, wat betekent dat de variëteit lokaal rond elk punt op het euclidische vlak lijkt. Het oppervlak van de wereldbol, bijvoorbeeld, kan worden beschreven door een verzameling kaarten, die samen een atlas van de wereld vormen. Hoewel geen van de afzonderlijke kaarten voldoende is om het gehele oppervlak van de wereld te bedekken, staat elke plaats op de wereld op minstens één kaart.

Cirkel

De cirkel is een eenvoudig, niet-triviaal voorbeeld van een topologische variëteit. Topologie zegt niets over kromming, dus wordt een klein stukje van een cirkel op precies dezelfde manier behandeld als een klein stukje van een lijn. Beschouw bijvoorbeeld de bovenste helft van de eenheidscirkel, beschreven door de vergelijking $x^{2}+y^{2}=1$ in het cartesisch coördinatenstelsel met $y>0$ (symbolisch aangegeven door de gele boog in figuur 1). Elk punt $(x,y)=(x,{\sqrt {1-x^{2}}})$ van deze halve cirkel wordt uniek beschreven door zijn $x$-coördinaat. De projectie op de $x$-as is een continue en inverteerbare, afbeelding van de open bovenste halve cirkel op het interval $(-1,1)$.

Zo'n functie wordt samen met het open gebied een kaart genoemd. Op gelijke wijze bestaan er kaarten voor de onderste- (rood), linker- (blauw) en rechter (groene) delen van de cirkel. Samen bedekken deze onderdelen de gehele cirkel en de vier kaarten vormen samen een atlas voor de cirkel.

De bovenste- en rechterkaart overlappen; hun doorsnede ligt in het kwart van de cirkel waar zowel de $x$- als de $y$-coördinaten positief zijn. De twee kaarten $\chi _{\text{boven}}$ en $\chi _{\text{rechts}}$ beelden elk dit deel af op het interval $(0,1)$.

$\chi _{\text{boven}}(x,{\sqrt {1-x^{2}}})=x$

$\chi _{\text{rechts}}({\sqrt {1-y^{2}}},y)=y$

Het is dus mogelijk de inverse van de bovenste kaart te gebruiken om vanuit een punt in $(0,1)$ de cirkel te bereiken en dan via de rechterkaart terug te gaan naar het interval. De functie $T:(0,1)\to (0,1)$ die dit beschrijft heet transitie-afbeelding:

${\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {rechts} }\left(\chi _{\mathrm {boven} }^{-1}(a)\right)\\&=\chi _{\mathrm {rechts} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}.\end{aligned}}$

Figuur 2: Kaart van een cirkel als variëteit, gebaseerd op helling, die op één punt na de hele cirkel dekt

De bovengenoemd kaarten vormen niet de enige atlas. Een kaart hoeft niet per se een projectie te zijn en het aantal kaarten is een kwestie van keuze. Zo zijn er ook de kaarten:

$\chi _{\text{minus}}(x,y)={\frac {y}{1+x}}=s$

en

$\chi _{\text{plus}}(x,y)={\frac {y}{1-x}}=t$

Daarin is $s$ de helling van de lijn door het vaste "draaipunt" $(-1,0)$ en het punt $(x,y)$ op de cirkel. Analoog is $t$ bepaald t.o.v. het draaipunt $(1,0)$

Deze twee kaarten vormen ook een atlas met een transitieafbeelding

$t=T(s)={\frac {1}{s}}$

Beide kaarten zijn niet gedefinieerd in één punt, namelijk hun draaipunt, zodat elke kaart alleen onvoldoende is om de hele cirkel te dekken. Het kan worden bewezen dat het niet mogelijk is de hele cirkel met een enkele kaart te beschrijven.

Sfeer

De sfeer is een voorbeeld van een oppervlak. De eenheidssfeer, beschreven door de vergelijking:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

kan overdekt worden door een atlas met zes kaarten voor de halve sferen $x>0$, $x<0$, $y>0$, $y<0$, $z>0$ en $z<0$ die elk op een open cirkelschijf geprojecteerd kunnen worden. Bijvoorbeeld kan de halve sfeer $z>0$ geprojecteerd worden op de schijf $x^{2}+y^{2}<1$ in het $xy$-vlak.

Net als bij de cirkel is het mogelijk de gehele sfeer op één punt na af te beelden op één kaart. In principe is dus een atlas met twee kaarten voldoende.

Dit voorbeeld is historisch van belang, aangezien het aanleiding gaf tot de gebruikte terminologie. Het was namelijk duidelijk geworden dat de Aarde niet op één enkele kaart voorgesteld zou kunnen worden, zodat een atlas van kaarten nodig is.

Kaart

De beschrijving van een variëteit gaat door middel van kaarten die gezamenlijk een atlas vormen waarmee de hele variëteit overdekt is. Een kaart brengt als het ware een deel van de variëteit in beeld door een zodanige correspondentie tussen dat deel en een euclidische ruimte dat de structuur behouden blijft.

In een topologische ruimte $X$ is een kaart een tweetal $(U,\phi )$ waarin $U\subseteq X$ een open deelverzameling van $X$ is, en $\phi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ een homeomorfisme van $U$ op zijn beeld in de euclidische ruimte $R^{n}$. Het homeomorfisme $\phi$ wordt soms ook zelf als kaart aangeduid. Omdat $\phi$ aan een punt van de variëteit een rijtje in de $R^{n}$ toevoegt, wordt $\phi$ ook coördinatisering genoemd.

Transitieafbeeldingen

Kaarten kunnen elkaar overlappen zodat een punt van een variëteit in meerdere kaarten wordt weergegeven. Als twee kaarten elkaar overlappen, geven van beide kaarten bepaalde gedeelten hetzelfde gebied van de variëteit weer, net zoals een kaart van Europa en een kaart van Azië beide Moskou kunnen bevatten. Tussen twee elkaar overlappende kaarten kan een overgangsfunctie gedefinieerd worden, transitieafbeelding geheten, die van het overlappende deel het verband tussen beide kaarten beschrijft. Van een open bal in $\mathbb {R} ^{n}$ gaat de het via de inverse van de ene kaart naar de variëteit en vervolgens via de andere kaart terug naar een andere (of misschien dezelfde) open bal in $\mathbb {R} ^{n}$. De transitieafbeelding, zoals de afbeelding $T$ in het bovenstaande voorbeeld van de cirkel, wordt ook coördinatentransformatie genoemd.

De transitieafbeeldingen tussen twee kaarten $(U,\phi )$ en $(V,\psi )$ zijn de functies

$\phi \circ \psi ^{-1}:\psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)$

en

$\psi \circ \phi ^{-1}:\phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)$

Compatibele kaarten

Om ervoor te zorgen dat een bepaalde structuur door de verschillende kaarten goed beschreven wordt, zoekt men zogeheten compatibele {vergelijkbare) kaarten bij elkaar.

Twee kaarten $(U,\phi )$ en $(V,\psi )$ in een topologische variëteit heten $C$-compatibel als de twee transitieafbeeldingen tussen de kaarten beide van dezelfde differentieerbaarheidsklasse $C$ zijn.

Atlas

De beschrijving van de meeste variëteiten vereist meer dan één kaart. Een specifieke verzameling kaarten die een variëteit met de gewenste structuur beschijven, heet een atlas. Het gaat dan om kaarten die met elkaar compatibel zijn. Een atlas is niet uniek, omdat elke variëteit op meer dan één manier overdekt kan worden met behulp van verschillende combinaties van kaarten.

Een $C$-atlas op een topologische ruimte $X$ is een familie paarsgewijze $C$-compatibele kaarten $\{(U_{i},\phi _{i})\}_{i\in I}$ waarvan de open verzamelingen $U_{i}$ de ruimte $X$ overdekken:

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$

Compatibele atlassen

Speciale gevallen van variëteiten stellen aanvullende eisen aan de transitieafbeeldingen van de atlassen. Zo zijn er gladde atlassen, waarvan de transitieafbeeldingen gladde functies, dus $C^{\infty }$, zijn. Soms wordt minder geëist: van een $C^{k}$-atlas zijn de transitieafbeeldingen van de klasse $C^{k}$, dus $k$ keer continu differentieerbaar. Een $C^{0}$-atlas heeft transitieafbeeldingen waarvan slechts geëist wordt dat ze continu zijn. Twee atlassen van dezelfde klasse heten compatibel als hun vereniging weer een atlas van dezelfde klasse is. Dit houdt in dat de transitieafbeeldingen tussen een kaart uit de ene atlas en een kaart uit de andere ook van de klasse van de atlassen zijn. Of anders gezegd, dat de kaarten in de ene atlas compatibel zijn met elke kaart in de andere.

Topologische variëteit

Zie Topologische variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Formele definitie

Zij $n$ een positief natuurlijk getal. Een topologische variëteit van dimensie $n$ is een topologische ruimte die voldoet aan het scheidingsaxioma $T_{2}$ (Hausdorff) en aan het aftelbaarheidsaxioma $A_{2}$, en waarin elk punt een omgeving heeft die homeomorf is met de Euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$

Topologische variëteiten worden bestudeerd in de tak van de wiskunde die algebraïsche topologie heet.

Voorbeelden

Elke open deelverzameling $G$ van $\mathbb {R} ^{n}$ is op triviale wijze een topologische variëteit, want rond elk punt $g\in G$ ligt een open bol binnen $G$ en $n$-dimensionale open bollen zijn homeomorf (zelfs diffeomorf) met $\mathbb {R} ^{n}$.

Een eenvoudige, maar niet triviale variëteit is de $n$-sfeer, dit is de rand van de $(n+1)$-dimensionale bol met middelpunt 0 en straal 1:

$S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1};\|x\|=1\}$

In elk punt $x\in S^{n}$ bestaat er een uniek $n$-dimensionaal raakhypervlak. Dit raakhypervlak $H_{x}$ is isometrisch (en dus zeker homeomorf en diffeomorf) met $\mathbb {R} ^{n}$. De centrale projectie vanuit het tegenoverliggende punt $(-x)$ op $H_{x}$ is een homeomorfisme (diffeomorfisme) tussen $S^{n}\setminus \{-x\}$ en $H_{x}$.

Gladde variëteit

Zie Gladde variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Formele definitie

Een gladde variëteit (ook: differentieerbare variëteit of $C^{\infty }$-variëteit) is een topologische variëteit $(M,A)$ met een differentieerbare" dat wil zeggen $C^{\infty }$-atlas $A$, waarvan dus de transitieafbeeldingen willekeurig vaak differentieerbaar zijn.

Gladde variëteiten zijn het studieobject van de differentiaaltopologie.

Bovenstaande voorbeelden van topologische variëteiten kunnen zonder problemen worden geïnterpreteerd als gladde variëteiten.

Elke gladde variëteit beschikt over de belangrijke bijkomende structuur van een raakruimte in ieder punt en de bijhorende rakende bundel.

Exotische variëteiten

De topologische structuur van een gladde variëteit legt de differentieerbare structuur niet op unieke wijze vast. Er bestaan gladde variëteiten die niet diffeomorf zijn met elkaar, maar waarvan de onderliggende topologische variëteiten wel homeomorf zijn. Dit is onder meer het geval met de topologische variëteit $\mathbb {R} ^{4}$. Men spreekt van exotische differentiaalstructuren op $\mathbb {R} ^{4}$ om ze te onderscheiden van de triviale gladde structuur uit het voorbeeld hierboven.

Iets soortgelijks doet zich voor in de $S^{7}$, de zevendimensionale sfeer.

Gladde afbeelding, diffeomorfisme

Een continue afbeelding $f:M\to N$ tussen twee gladde variëteiten van dimensie $m$ resp. $n$ heet glad als haar samenstelling met willekeurige kaarten (of hun inverse) op $M$ en $N$, een onbeperkt differentieerbare afbeelding $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ oplevert.

Een diffeomorfisme is een bijectie tussen gladde variëteiten die in beide richtingen een gladde afbeelding is. Dat deze laatste eis niet overbodig is, toont de afbeelding

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{3}$

Deze is een onbeperkt differentieerbaar homeomorfisme van de reële getallen naar zichzelf, maar de inverse is niet differentieerbaar in 0.

Doorsnede van gladde variëteiten

De doorsnede van twee deelvariëteiten van een gladde variëteit is in het algemeen geen variëteit; dit is echter wel gegarandeerd als de twee deelvariëteiten elkaar transversaal snijden.

Riemann-variëteit

Zie Riemann-variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een Riemann-variëteit bestaat uit een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm in elke raakruimte (en zodanig dat de coëfficiënten van de kwadratische vorm in elk coördinatenstelsel onbeperkt differentieerbaar zijn).

De kwadratische vorm geeft betekenis aan het begrip "lengte" voor vectoren in de raakruimte, en (door integratie) voor krommen in de variëteit zelf.

Riemann-variëteiten zijn het studieobject van de moderne differentiaalmeetkunde.

Symplectische variëteit

Zie Symplectische variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een symplectische variëteit bestaat uit een gladde variëteit met een niet-ontaarde, antisymmetrische, gesloten bilineaire vorm. Symplectische variëteiten worden gebruikt om de faseruimte te modelleren in de Hamiltoniaanse mechanica.

Symplectische variëteiten zijn het studieobject van de symplectische meetkunde.

Algebraïsche variëteit

Zie Algebraïsche variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een algebraïsche variëteit beantwoordt aan de filosofie uit de inleiding, op voorwaarde dat we de $n$-dimensionale Euclidische ruimte vervangen door $k^{n}$, het $n$-voudig cartesisch product van een algebraïsch gesloten lichaam (in België: veld) met zichzelf. De kaarten (afbeeldingen) moeten algebraïsch zijn, dat wil zeggen dat de coördinatentransformaties kunnen uitgedrukt worden als algebraïsche functies.

De algebraïsche meetkunde bestudeert algebraïsche variëteiten en aanverwante objecten.

Riemann-oppervlak

Zie Riemann-oppervlak voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een Riemann-oppervlak (niet te verwarren met een Riemann-variëteit) is een tweedimensionale gladde variëteit waarvan de coördinatentransformaties kunnen worden opgevat als analytische functies (door de twee reële coördinaten te identificeren met de complexe getallen 1 en $i$).

Complexe variëteit

Zie Complexe variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een complexe variëteit is een variëteit die lokaal op de complexe getallen in een of meer dimensies $\mathbb {C} ^{n}$ lijkt. Men spreekt van een analytische complexe variëteit als de coördinatentransformaties analytische functies zijn. Eendimensionale analytische complexe variëteiten heten Riemann-oppervlakken.

Literatuur

• MIT, Department of Mathematics, 18.965 Fall 04 Lecture Notes, Tomasz S. Mrowka
• Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Second Edition, 2011, Universitext, Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3

Voetnoten

Bronnen, noten en/of referenties