Ideaal (ringtheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Ideaal (wiskunde))
Ga naar: navigatie, zoeken
Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Een ideaal is in de abstracte algebra, specifiek in de ringtheorie (een deelgebied van de wiskunde), een speciale deelverzameling van een ring, die gesloten is ten aanzien van lineaire combinaties met coëfficiënten uit de ring. Dat houdt in dat een ideaal ten aanzien van de operatie optelling een deelgroep is en dat de operatie vermenigvuldiging, zowel links als rechts, van een element uit het ideaal met een element van de ring een resultaat geeft dat binnen het ideaal ligt.

De term 'ideaal' verwijst naar het begrip ideaal getal, waarvan idealen een generalisatie vormen in verband met deelbaarheidseigenschappen.

De specifieke studie van idealen in commutatieve ringen met eenheidselement heette aanvankelijk ideaaltheorie, thans is de term commutatieve algebra gebruikelijker.

Definitie[bewerken]

Een ideaal is een deelverzameling van een ring die een deelgroep vormt voor de optelling, en die stabiel blijft onder linkse en rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring. Bij een commutatieve ring speelt het onderscheid tussen links en rechts uiteraard geen rol, anders onderscheidt men nog linksidealen en rechtsidealen, dat wil zeggen deelgroepen die stabiel zijn onder linkse resp. rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring. Men kan een niet-lege deelverzameling I van een ring R karakteriseren als ideaal door de eigenschappen:

\forall i,j\in I: i-j\in I
\forall i\in I, \forall r\in R: i\cdot r\in I\and r\cdot i\in I

Geschiedenis[bewerken]

Het was Richard Dedekind, die in 1876 in de derde editie van zijn boek Vorlesungen über Zahlentheorie het begrip ideaal introduceerde. Idealen dienden als generalisatie van het door Ernst Kummer ontwikkelde begrip "ideaal getal". Later werd het begrip uitgebreid door David Hilbert en Emmy Noether.

Voorbeelden[bewerken]

Beschouw de commutatieve ring der gehele getallen met de gewone optelling en vermenigvuldiging. Voor elk natuurlijk getal n is de verzameling der gehele n-vouden een ideaal, want een n-voud maal een willekeurig getal is nog steeds een n-voud. Deze verzamelingen zijn ook meteen alle idealen van deze ring.

Een lichaam (in België: veld) heeft geen andere idealen dan zichzelf en {0}.

Algemener geldt dat in een ring (met eenheidselement), een ideaal dat verschillend is van de ring zelf, nooit een omkeerbaar element kan bevatten.

In de niet-commutatieve ring der reële n×n-matrices (algemener, de ring van n×n-matrices met coëfficiënten in gelijk welke commutatieve ring) vormen de matrices met determinant 0, een tweezijdig ideaal. Dit volgt uit het feit dat het product van de determinanten gelijk is aan de determinant van het matrixproduct.

Algemener is de kern van een homomorfisme van ringen steeds een ideaal.

In de ring der reële veeltermen in de veranderlijke X vormen de veeltermen die nul zijn in een gegeven verzameling N\subset\mathbb{R}, een ideaal. Dit ideaal is niet-triviaal als de verzameling N eindig en niet-leeg is.

Algemener, als V een verzameling is met een deelverzameling D, R een ring met een ideaal I, en F een ring die bestaat uit functies van V naar R met de gewone puntsgewijze optelling en vermenigvuldiging, dan vormen de elementen van F die de deelverzameling D volledig binnen I afbeelden, een ideaal in F:

\forall f,g\in F:f(D)\subset I\implies (f\cdot g)(D)\subset I

Factorring[bewerken]

De verantwoording van het begrip ideaal ligt in de constructie van de factorring of quotiëntring. Naar analogie met het begrip quotiëntgroep of factorgroep uit de groepentheorie zou men, voor een gegeven ring R en een deelring D, de quotiëntring willen definiëren. Daartoe beschouwt men eerst en vooral de quotiëntverzameling van R over de equivalentierelatie

a\equiv b\iff a-b\in D

De elementen van deze quotiëntverzameling zijn de nevenklassen van D in R:

\{a+D|a\in R\}

De bewerking + gaat zonder problemen over op nevenklassen, omdat de som van ringelementen uit a+D en b+D automatisch tot (a+b)+D behoort. Dit is de factorgroep (R/D,+)

De bewerking \cdot gaat echter niet altijd canonisch over op nevenklassen, omdat het product van ring-elementen uit a+D en b+D niet noodzakelijk tot (a\cdot b)+D behoort. Dit is echter wel gegarandeerd als D niet zomaar een deelring van R is, maar ook een ideaal van R. We spreken in dat geval van de factorring (R/D,+,\cdot)

Voorbeelden[bewerken]

De idealen van \mathbb{Z} zijn van de vorm n\mathbb{Z} (alle gehele veelvouden van n) voor een willekeurig natuurlijk getal n. Voor n>1 levert dit de eindige factorring \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} der restklassen modulo n op.

De kern van een homomorfisme tussen ringen R en S is een ideaal in R. Volgens de isomorfiestelling is de factorring isomorf met het beeld van het homomorfisme:

R/\hbox{Ker}\,f\simeq\hbox{Im}\,f

Tegenvoorbeeld[bewerken]

De gehele getallen \mathbb{Z} vormen een deelring van de ring der breuken (rationale getallen) \mathbb{Q}. De verzameling nevenklassen \mathbb{Q}/\mathbb{Z} vormt weliswaar een abelse groep voor de factorbewerking +, maar de vermenigvuldiging draagt niet zonder meer over op nevenklassen. Zo horen bijvoorbeeld 2\cdot {1\over2} en 3\cdot {1\over2} niet tot dezelfde nevenklasse van \mathbb{Z}, hoewel 2 en 3 dat wel doen. \mathbb{Z} is dan ook geen ideaal van \mathbb{Q}.

Hoofdideaal[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie hoofdideaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Hoofdidealen zijn idealen die worden voortgebracht door één element. Formeel: als R een commutatieve ring is, dan is een hoofdideaal van R een ideaal van de vorm:

 aR = \{a\cdot x| x \in R \}

De verzameling aR heet dan het hoofdideaal voortgebracht door het element a. Soms wordt dit met haakjes genoteerd als aR = (a).

Bewerkingen op idealen[bewerken]

De doorsnede van twee idealen van een ring, of zelfs van een willekeurige familie idealen, is opnieuw een ideaal.

Het ideaal voortgebracht door een deelverzameling S van R is de doorsnede van alle idealen van R die S omvatten. Men noteert het meestal als (S) en het is het kleinste ideaal van R dat S omvat. Als S een eindige of aftelbare verzameling is, noteert men het ook wel door opsomming van de elementen: (x) of (x1, x2,...) Men kan S ook uitdrukkelijk beschrijven als de verzameling van alle eindige sommen van producten van elementen van S met willekeurige elementen van R (bij niet-commutatieve ringen moeten we zowel linker- als rechterproducten meenemen).

De som van twee idealen I en J, genoteerd I+J, bestaat uit alle ringelementen van de vorm i+j waarbij i een element is van I, en j een element van J. Hij is opnieuw een ideaal.

Zelfs in een commutatieve ring vormen de producten van elementen uit I en J niet noodzakelijk een ideaal, maar het ideaal dat ze voortbrengen heet het productideaal en wordt gewoonlijk als IJ genoteerd.

Radicaal[bewerken]

Het nulradicaal of nilradicaal van een commutatieve ring R is de verzameling der nilpotente elementen van R. Het is een ideaal van R.

Het radicaal van een ideaal I in een ring R bestaat uit alle elementen van R waarvan een macht in I ligt. Een radicaal ideaal is een ideaal dat gelijk is aan zijn eigen radicaal.

Voorbeelden van radicale idealen[bewerken]

In de gehele getallen vormt de verzameling der n-vouden een radicaal ideaal dan en slechts dan als n kwadraatvrij is. Zo is bijvoorbeeld 18Z niet radicaal, omdat zijn radicaal het getal 6 bevat.

Het singleton {0} is een radicaal ideaal als en slechts als R geen nilpotente elementen heeft behalve 0 zelf.

Kenmerkende eigenschap[bewerken]

Een ideaal I van R is radicaal dan en slechts dan als de factorring R/I geen niet-triviale nilpotente elementen heeft.

Priemideaal[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie priemideaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een ideaal I heet priemideaal als het niet de ring zelf is, en als voor elke twee elementen x en y uit de ring, het product x\cdot y slechts in I ligt als x of y zelf in I ligt.

Een priemideaal is altijd radicaal.

Voorbeelden[bewerken]

In de gehele getallen vormt de verzameling n-vouden een priemideaal dan en slechts dan als n een priemgetal is - vandaar de naam.

Als het singleton {0} een priemideaal is, dan is de ring R een integriteitsdomein.

De reële n×n-matrices met determinant 0 vormen een priemideaal.

De reële veeltermen met gegeven nulpuntenverzameling N vormen een priemideaal dan en slechts dan als N een singleton is.

Kenmerkende eigenschap[bewerken]

Een ideaal I van R is priem dan en slechts dan als de factorring R/I een domein is.

Maximaal ideaal[bewerken]

Een ideaal I heet maximaal als het niet de ring zelf is, en als de ring zelf het enige ideaal is, waarvan I een echte deelverzameling is ("er zijn geen grotere").

Een maximaal ideaal is altijd een priemideaal.

Voorbeelden[bewerken]

In de gehele getallen zijn alle priemidealen maximaal. Dit is een eigenschap van alle hoofdideaalringen en het behoort tot de definiërende voorwaarden van Dedekind-ringen.

Het singleton {0} is een maximaal ideaal dan en slechts dan als de ring een lichaam is. Lichamen hebben dus nooit niet-triviale idealen, zie ook het voorbeeld van \mathbb{Q} hierboven.

Elementaire eigenschappen[bewerken]

Een ideaal I van R is maximaal dan en slechts dan als de factorring R/I een lichaam is.

Elke ring heeft een maximaal ideaal. (Een ring met maar één maximaal ideaal heet lokale ring.)

Elk niet-triviaal ideaal is deel van een maximaal ideaal.

Jacobson-radicaal[bewerken]

Het Jacobson-radicaal van een commutatieve ring R is de doorsnede van alle maximale idealen van R.