Emmy Noether

Emmy Noether op een onbekende datum voor 1910

Amalie Emmy Noether (Erlangen (Duitsland), 23 maart 1882 – Bryn Mawr (Verenigde Staten), 14 april 1935) was een Duitse wiskundige van Joodse afkomst. Zij staat bekend om haar baanbrekende bijdragen aan de abstracte algebra en de theoretische natuurkunde. Zij wordt door David Hilbert, Albert Einstein en anderen gezien als de belangrijkste vrouw in de geschiedenis van de wiskunde. Zij veroorzaakte een revolutie in de theorieën van ringen, velden en algebras. Zij wordt gezien als de grondlegster van de abstracte algebra. In de theoretische natuurkunde verklaart de stelling van Noether de fundamentele verbinding tussen symmetrie en behoudswetten.

Zij werd in 1882 geboren in een joodse familie in de Beierse stad Erlangen. Haar vader was de vooraanstaande wiskundige Max Noether. Emmy was oorspronkelijk van plan om docente Frans en Engels te worden. Zij behaalde ook haar examens om les te mogen geven op Beierse middelbare scholen. In plaats van les te gaan geven startte zij echter een studie wiskunde aan de Universiteit van Erlangen, het instituut waar ook haar vader als hoogleraar aan verbonden was. Na afronding van haar dissertatie in 1907 onder toezicht van Paul Gordan, was zij gedurende zeven jaar zonder betaling bij het Mathematisch Instituut van Erlangen werkzaam. Enige uitzonderingen daargelaten was het vrouwen aan het begin van de 20e eeuw nog verboden academische posities in te nemen. In 1915 werd ze door David Hilbert en Felix Klein uitgenodigd om de wiskunde-faculteit van de Universiteit van Göttingen te komen versterken, op dat moment een wereldberoemd centrum van wiskundig onderzoek. De filosofische faculteit maakte echter bezwaar. Gedurende vier jaar gaf zij colleges onder Hilberts naam. Haar habilitatie werd in 1919 goedgekeurd. Daarna verkreeg zij de titel Privatdozent.

Tot de machtsovername door Hitler in 1933 zou Noether een vooraanstaand lid van de wiskundefaculteit in Göttingen blijven; Haar studenten werden soms de "Noether-jongens" genoemd. In 1924 trad de Nederlandse wiskundige B.L. van der Waerden toe tot haar innercircle. Hij werd al snel de belangrijkste uitlegger van Noethers ideeën: haar werk was de basis voor het tweede deel van zijn invloedrijke boek uit 1931, Moderne Algebra. Tegen de tijd van haar plenaire toespraak op het Internationaal Wiskundecongres in Zürich in 1932 werd haar algebraïsche inzicht over de gehele wereld erkend. Het volgende jaar besloot de nieuwe Nazi-regering alle aan Duitse universiteiten werkzame Joden te ontslaan. Noether verhuisde nu naar de Verenigde Staten, waar zij aan het Bryn Mawr College in Pennsylvania benoemd werd. Twee jaar later moest zij een riskante operatie aan een eierstokcyste ondergaan. Aan de gevolgen hiervan overleed zij vier dagen na de operatie op 14 april 1935 op 53-jarige leeftijd.

Noethers wiskundige werk wordt wel in drie 'perioden' verdeeld. In de eerste periode (1908-1919) leverde zij haar belangrijke bijdragen aan de theorieën met betrekking tot algebraïsche invarianten en getallenlichamen. Haar werk over differentiële invarianten in de variatierekening, de stelling van Noether, is wel "een van de belangrijkste wiskundige stellingen ooit bewezen die richting hebben gegeven aan de ontwikkeling van de moderne natuurkunde" genoemd. In de tweede periode (1920-1926) begon zij het werk dat "het aangezicht van de [abstract] algebra veranderde". In haar klassieke artikel Idealtheorie in Ringbereichen (Theorie van idealen in ringdomeinen, 1921) ontwikkelde Noether de theorie van de idealen in commutatieve ringen tot een krachtig instrument met verrijkende toepassingen. Zij maakte een elegant gebruik van de oplopende ketenvoorwaarde. Objecten die aan deze voorwaarde voldoen worden ter harer ere Noethers genoemd. In de derde periode (1927-1935) publiceerde zij belangrijke werken over non-commutatieve algebras en hypercomplexe getallen. Zij verenigde de representatietheorie van groepe met de theorie van de modulen en idealen. Naast haar eigen publicaties was zij genereus in het delen van haar ideeën. Zij wordt gecrediteerd met verschillende onderzoekslijnen die door andere wiskundigen werden gepubliceerd, ook in gebieden die ver verwijderd lagen van haar belangrijkste werk, zoals de algebraïsche topologie.

Biografie

Vader

Emmy's vader Max Noether werd in 1844 in Mannheim geboren. Op zijn veertiende kreeg hij kinderverlamming, met als gevolg dat hij de rest van zijn leven aan één been gehandicapt zou blijven. Hij studeerde wiskunde aan de vermaarde universiteit van Heidelberg. Hij werkte nog enige jaren als privaatdocent in Heidelberg, voor hij in 1875 naar de universiteit van Erlangen, nabij Neurenberg in Beieren, ging om daar als assistent-professor te werken. In 1888 kreeg hij tenslotte een volledig professoraat. Hij was een van de leidende figuren binnen de algebraïsche meetkunde van die tijd; hij deed veel onderzoek naar invarianten van algebraïsche variëteiten onder de werking van birationale transformaties, voortbouwende op het werk van onder meer Bernhard Riemann en Luigi Cremona.

Jeugd

Emmy, of beter Amalie Emmy Noether, werd op 23 maart 1882 in Erlangen geboren. Ze was het eerste kind van Max en diens vrouw Ida Kaufman, beiden van joodse origine. Emmy zou nog drie broers krijgen: Alfred, Fritz en Gustav Robert. Van 1889 tot 1897 ging Emmy naar de Höhere Töchter Schule in Erlangen, alwaar ze naast rekenkunde ook Duits, Engels en Frans kreeg. Thuis leerde ze piano spelen, maar in tegenstelling tot haar moeder blonk ze hier niet in uit. Wel hield ze erg van dansen en verder was ze gek op feesten met de kinderen van haar vaders collega's. Na haar school besloot ze verder te leren voor lerares vreemde talen. Ze studeerde nog drie jaar Engels en Frans en in april 1900 deed ze met succes het Beiers staatsexamen voor beide talen, waarna ze mocht lesgeven op de Beierse meisjesscholen.

Wiskundestudie

Voor ze als lerares aan de slag zou gaan, besloot Emmy echter wiskunde te gaan studeren. Dat was voor een vrouw in het Duitsland van 1900 geen gebruikelijke keuze: in de meeste andere Europese landen mochten vrouwen al enige decennia aan een universiteit studeren, maar in Duitsland moest je als vrouw per college van de hoogleraar toestemming krijgen om aanwezig te mogen zijn en deze toestemming werd lang niet altijd gegeven. Emmy mocht echter, wellicht dankzij de invloed van haar vader, colleges in Erlangen volgen. Haar examens moest ze echter aan het Realgymnasium te Neurenberg afleggen.

In 1903 ging zij naar Göttingen, waar ze college volgde van beroemde wiskundigen als Hermann Minkowski, Felix Klein en David Hilbert. Het jaar erop keerde Noether echter weer terug naar Erlangen, omdat het daar nu voor vrouwelijke studenten mogelijk was geworden examens te doen. Drie jaar later, in 1907 promoveerde zij bij Paul Gordan.

Periode 1907-1915

Na haar promotie bleef Noether aan de universiteit van Erlangen werken. Ze ondersteunde haar vader, die steeds meer last van zijn lichamelijke gebreken begon te krijgen, en verving hem regelmatig bij colleges. Tijdens deze periode in Erlangen, deed ze ook veel onderzoek in de invariantentheorie. Hiernaast begeleidde ze ook twee studenten met hun proefschrift.

Periode in Göttingen

In 1915, nadat haar moeder was overleden, ging Noether naar Göttingen. In Erlangen had ze al die tijd onbetaald gewerkt, maar in Göttingen probeerden Klein en Hilbert, de twee meest vooraanstaande wiskundigen in Göttingen, iets beters voor haar te regelen. Daartoe moest ze een voordracht houden, zodat ze aangesteld kon worden als privaatdocent. De universiteit stak daar echter een stokje voor: volgens een wet uit 1908 mochten vrouwen geen privaatdocent worden. Het waren vooral de filosofische en de historische faculteit die tegen Noethers aanstelling waren. Hilbert mengde zich in de discussie door te zeggen: "Ik zie niet in waarom het geslacht van iemand een argument is tegen haar aanstelling. We zijn hier tenslotte een universiteit en geen badhuis." Toch bleef Noether in Göttingen werken en lesgeven. De lessen die ze gaf, werden onder de naam van Hilbert gegeven. Dit was niet eens zover naast de waarheid: Noether en Hilbert werkten in deze periode veel samen en bovendien zou het nog jaren duren voor Noether zich had ontwikkeld tot de grote wiskundige die ze zou worden.

Vanaf het midden van de jaren twintig ontstond er in Göttingen een groep wiskundigen die ook buiten de wiskunde veel samen deden, zoals muziekavonden of bootexcursies. Vaak hadden ze lange discussies over zowel wiskundige als niet-wiskundige onderwerpen bij het zwembad van Fritz Klie. Naast Noether was Richard Courant, de directeur van de mathematische faculteit de belangrijkste persoon binnen de groep. Verder behoorden ook mensen als de topologen Alexandrov, Heinz Hopf en in een later stadium Hermann Weyl tot deze groep.

Noether was binnen deze groep een opvallend persoon en niet alleen doordat zij, naast de vrouw van Courant, de enige vrouw was. Ze was namelijk bepaald niet slank en had een erg luide stem. Ze was echter ook een zeer sociaal persoon en wist veel andere wiskundigen te stimuleren. Veel van haar eigen onderzoek werd gepubliceerd onder de naam van haar collega's en studenten.

Laatste jaren in Bryn Mawr

In januari 1933 kwam Adolf Hitler aan de macht in Duitsland. Dit had al snel grote gevolgen voor de joodse medewerkers van de universiteiten. Sommigen, zoals Courant, werden ontslagen, anderen werd het lesgeven moeilijk gemaakt door pro-nazi studenten. Onder deze studenten was Werner Weber, die bij Noether was afgestudeerd. Zij meenden dat 'arische studenten arische wiskunde en geen joodse wiskunde' wilden. Noether probeerde de situatie te negeren en door te gaan met de wiskunde, maar in de zomer van 1933 werd haar aanstelling, net als die van alle andere joodse medewerkers, beëindigd.

Ze kreeg aanbiedingen van onder meer de universiteit van Oxford en die van Moskou, maar koos ervoor om naar Bryn Mawr College te gaan, een universiteit alleen voor vrouwen, in Pennsylvania in de Verenigde Staten. Dit was een totaal vreemde situatie voor Noether: niet alleen waren haar collega's en studenten allemaal vrouwen, maar voor het eerst had ze een officiële, vaste aanstelling. Dit in tegenstelling tot Göttingen, waar ze slechts 'buitengewoon assistent professor' was. De nieuwe situatie beviel Noether buitengewoon goed, want ze raakte zeer goed bevriend met een aantal van haar collega's uit Bryn Mawr.

In de zomer van 1934 keerde ze nog eenmaal terug naar Duitsland, waar ze ontdekte dat de situatie in Göttingen door o.a. het door de nazi's tot overheidsbeleid gemaakte racisme totaal was veranderd sinds haar vertrek een jaar eerder: bijna al haar vroegere vrienden en collega's hier waren inmiddels vertrokken met als grote uitzondering David Hilbert die met de nieuwe situatie ook niet gelukkig was. Ook bezocht ze Artin in Berlijn. Met Artin maakte ze vaak lange wandelingen, tijdens welke Noether Artin haar wiskundige inzichten vertelde. Omdat Noether nogal snel praatte, moest ze het vaak meerdere keren uitleggen eer Artin het begreep. Niet lang nadat ze naar Amerika was teruggekeerd, werd ze lid van de American Mathematical Society en lector aan het later wereldberoemd geworden Institute for Advanced Study in Princeton.

Overlijden

In april 1935 ontdekten artsen een tumor in Noethers bekken. Hierdoor moest zij dringend worden geopereerd. Bezorgd over de mogelijke complicaties van een operatie schreven zij eerst twee dagen bedrust voor. Tijdens de operatie op 10 april ontdekten de chirurg een eierstokcyste "ter grootte van een meloen". Twee kleinere tumoren in haar uterus leken goedaardig en werden niet verwijderd, ook om te voorkomen dat de operatie te lang zou duren. Eerst leek Noether normaal te herstellen. Vier dagen later, op 14 april, raakte zij echter bewusteloos, haar temperatuur steeg snel tot 109 graden Fahrenheit. Kort daarna stierf Emmy Noether. "Het is niet gemakkelijk om te zeggen wat er precies gebeurde in Dr. Noether", schreef een van de artsen. "Het is mogelijk dat er sprake was van een gewone en virulente infectie was, die de basis van de hersenen, waar zich de warmtecentra bevinden, aantastte."

De wiskundige wereld reageerde geschokt, vooral omdat Noether slechts een paar vrienden van haar ziekte had verteld. Een paar dagen na Noethers dood hielden haar vrienden en collega's op Bryn Mawr een kleine herdenkingsdienst in het huis van College President Park. Hermann Weyl en Richard Brauer kwamen vanuit Princeton en spraken met Wheeler en Taussky over hun overleden collega. In de maanden die volgden verschenen op verschillende plaatsen in de wereld een aantal necrologieën. Onder andere Albert Einstein, Bartel van der Waerden, Hermann Weyl en Pavel Aleksandrov gaven blijk van hun respect voor Emmy Noether. Haar lichaam werd gecremeerd en haar as werd onder het wandelpad begraven dat zich uitstrekte rondom de kloostergang van de M. Carey Thomas Library aan Bryn Mawr.

Bijdragen aan de wis- en natuurkunde

Eerst en vooral herinneren wiskundigen zich Noether als een abstract algebraist en voor haar werk in de topologie. Natuurkundigen waarderen haar het meest voor haar beroemde stelling; dit vanwege de verrijkende gevolgen van deze stelling voor de theoretische natuurkunde en dynamische systemen. Noether had een groot talent voor abstract denken, die het haar mogelijk maakte om wiskundige problemen op nieuwe en originele manieren te benaderen. Haar vriend en collega Hermann Weyl verdeelde haar wetenschappelijke productie in drie tijdperken:

"Emmy Noethers wetenschappelijke productie valt op te delen in drie duidelijk verschillende periodes:"

1. de periode van relatieve afhankelijkheid (1907-1919);
2. onderzoekingen gegroepeerd rond de algemene theorie van idealen (1920-1926);
3. de studie van de niet-commutatieve algebra's, hun representaties door lineaire transformaties en de toepassing daarvan op de studie van commutatieve getallenlichamen en hun rekenkunde." (1927-1935).

In de eerste periode (1907-1919) hield Noether zich voornamelijk met differentiële en algebraïsche invarianten bezig. Deze belangstelling begon met haar proefschrift onder begeleiding van Paul Gordan. Als gevolg van nauwe samenwerking met Gordans opvolger, Ernst Sigismund Fischer, maakte zij kennis met het werk van David Hilbert. Onder diens invloed verbreedde haar wiskundige horizon zich in meer algemene en abstracte richting. Na haar verhuizing naar Göttingen in 1915 produceerde zij daar haar baanbrekende werk op het gebied van de theoretische natuurkunde, de twee stellingen van Noether.

In de tweede periode (1920-1926) wijdde Noether zich aan de ontwikkeling van de theorie van de wiskundige ringen.

In de derde periode (1927-1935) focuste Noether zich op de noncommutatieve algebra, lineaire transformaties, en commutatieve getallenlichamen.

Historische context

In de eeuw vanaf 1832 tot aan de dood Noether in 1935 onderging de wiskunde - en meer specifiek de algebra - een diepgaande revolutie, waarvan de nagalm nog steeds voelbaar is. Beperkten wiskundigen zich in voorgaande eeuwen tot onderzoekingen aan praktische methoden voor het oplossen van specifieke typen van vergelijkingen, zoals bijvoorbeeld derdegraads-, vierdegraads- en vijfdegraadsvergelijkingen, als ook aan het gerelateerd problemen van de constructie van regelmatige veelhoeken met behulp van passer en liniaal, te beginnen met Carl Friedrich Gauss' bewijs in 1829 dat priemgetallen zoals vijf in Gaussiaanse gehele getallen kunnen worden ontbonden, Evariste Galois' introductie van permutatiegroepen in 1832, William Rowan Hamiltons ontdekking van de quaternionen in 1843, en Arthur Cayleys modernere definitie van groepen in 1854, richtte het onderzoek zich steeds meet op het bepalen van de eigenschappen van steeds abstractere systemen, die worden gedefinieerd door steeds universelere regels. Noethers belangrijkste bijdragen aan de wiskunde waren aan de ontwikkeling van dit nieuwe terrein, de abstracte algebra.

Abstracte algebra en begriffliche Mathematik (conceptuele wiskunde)

Twee van de meest elementaire objecten in de abstracte algebra zijn groepen en ringen.

Een groep bestaat uit een verzameling van elementen en een enkele operatie hierop. Deze operatie combineert een eerste- en een tweede element en heeft een derde element als resultaat. De operatie moet aan bepaalde voorwaarden voldoen wil de operatie een groep bepalen. De operatie moet gesloten zijn (d.w.z. wanneer toegepast op elk paar elementen van de bijbehorende verzameling, moet het gegenereerde element ook een lid van die verzameling zijn), de operatie moet associatief zijn, er moet een identiteitselement (een element, dat in combinatie met een ander element in het oorspronkelijke element resulteert, zoals bijvoorbeeld het optellen van nul bij een getal of het vermenigvuldigen van een getal met één) en tenslotte moet er voor elk element een inverse element bestaan.

Op dezelfde wijze bestaat ook een ring uit een verzameling van elementen, maar nu is er geen sprake van één, maar van twee operaties. De eerste operatie moet de verzameling tot een groep maken en de tweede operatie is associatief en distributief met betrekking tot de eerste operatie. De tweede operatie kan al dan niet commutatief zijn; Dit betekent dat het resultaat van het toepassen van de operatie op een eerste en een tweede element hetzelfde resultaat geeft als het toepassen van deze operatie op eerst het tweede en dan het eerste element; de volgorde van de elementen is niet van belang. Als elk niet-nul zijnd element een multiplicatieve inverse (een element zodanig dat ax = xa = 1) heeft, dan noemt men zo'n ring een delingsring. Een veld wordt als een commutatieve delingsring gedefinieerd.

Groepen worden vaak bestudeerd door gebruik te maken van groepsrepresentaties. In hun meest algemene vorm bestaan zij uit een keuze van een groep, een verzameling en een actie van de groep op de verzameling, dat wil zeggen een operatie die een element van de groep en een element van de verzameling als input neemt en als resultaat een element van de verzameling geeft. Meestal is de verzameling een vectorruimte, en representeert de groep de symmetrieen van de vectorruimte. Er bestaat bijvoorbeeld een groep die de stijve rotaties van de ruimte representeert. Dit is een vorm van symmetrie van de ruimte, omdat de ruimte zelf niet verandert wanneer zij geroteerd wordt, hoewel de posities van objecten in die ruimte dit wel in doen. Noether maakte in haar werk over de invarianten in de natuurkunde gebruik van dit soort symmetrieën.

Een krachtige manier om ringen te bestuderen is door middel van hun modulen. Een module bestaat uit de keuze van een ring, een andere verzameling, die gewoonlijk verschilt van de onderliggende verzameling van de ring en die de onderliggende verzameling van de module wordt genoemd, en operaties op paren van elementen van de onderliggende verzameling van de module, en een operatie met een element van de ring en een element van de module als input en een element van de module als resultaat. De onderliggende verzameling van de module en haar operatie moet een groep vormen. Een module is een ringtheoretische versie van een groepsrepresentatie: wanneer men de tweede ringoperatie negeert en de operatie op paren van module-elementen een groepsrepresentatie bepaalt. Het werkelijke nut van modulen is dat de typen van modulen die bestaan en hun interacties de structuur van de ring op manieren onthullen die tot uiting komen in de ring zelf. Een belangrijke speciaal geval is een algebra. (Het woord algebra staat zowel een onderwerp binnen de wiskunde alsmede een wiskundig object dat binnen de algebra, een deelgebied van de wiskunde, wordt bestudeerd.) Een algebra bestaat uit een keuze van twee ringen en een operatie die als input een element van elke ring neemt en die een element van de tweede ring als resultaat teruggeeft. Deze operaties maakt de tweede ring tot een module over de eerste. Vaak is de eerste ring een veld.

Woorden zoals "element" en "combineren van operaties" zijn zeer algemeen en kunnen op vele reële en abstracte situaties worden toegepast. Elke verzameling van dingen die aan alle regels voor een (of twee) operaties gehoorzamen, is per definitie, een groep (of ring), en gehoorzaamt aan alle stellingen over groepen (of ringen). Gehele getallen, en de operaties van optellen en vermenigvuldigen, zijn slechts een voorbeeld. De elementen kunnen bijvoorbeeld computer data woorden zijn, waar de eerste combinerende operatie een exclusieve disjunctie en de tweede een logische conjunctie is. Stellingen uit de abstracte algebra zijn krachtig, omdat zij algemeen zijn; zij besturen een groot aantal systemen. Men zou kunnen denken dat men niet veel te weten kan komen over objecten die met zo weinig eigenschappen zijn gedefinieerd, maar juist daarin lag het geschenk van Noether: om het maximum te ontdekken dat uit een gegeven verzameling van eigenschappen kan worden geconcludeerd, of omgekeerd, de minimale verzameling te identificeren, de essentiële eigenschappen, die verantwoordelijk zijn voor een bepaalde waarneming. Van der Waerden herinnerde zich in zijn necrologie dat Noether in tegenstelling tot de meeste wiskundigen, die tot hun abstracties komen door het veralgemenen van bekende voorbeelden, eerder rechtstreeks met de abstracties werkte.

De stelregel waardoor Emmy Noether in haar werk werd geleid, kan als volgt worden geformuleerd: "Alle relaties tussen getallen, functies en operaties worden pas nadat ze zijn geïsoleerd van hun specifieke objecten en als universeel geldende concepten zijn geformuleerd, transparant, algemeen toepasbaar en volledig productief.

Dit is de begriffliche mathematik (pure conceptuele wiskunde) die kenmerkend was voor Noether. Deze stijl van wiskunde werd later door andere wiskundigen overgenomen en kwam na haar dood in nieuwe vormen, zoals de categorietheorie, tot bloei.

Eerste tijdvak - periode 1908–19

Invariantentheorie

Zie invariantentheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In 1907 promoveerde zij bij Paul Gordan met een proefschrift getiteld Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form. Gordan was een vriend van Max Noether en één van de grondleggers van de invariantentheorie, een vakgebied waarin Emmy Noether een vooraanstaande rol zou gaan spelen. Emmy Noether was zijn enige doctoraatstudent. Twee delen van haar proefschrift werden haar eerste twee publicaties. Na haar promotie bleef Noether aan de universiteit van Erlangen werken. Tijdens deze periode in Erlangen, deed ze veel onderzoek in de invariantentheorie, met name onder invloed van Gordan, Hilbert en Fischer.

Galoistheorie

Galoistheorie heeft betrekking op transformaties van getallenlichamen die de wortels van een vergelijking permuteren. Beschouw de veeltermvergelijking van een variabele x van graad n, waarin de coëfficiënten uit een bepaald basisveld worden gekozen. Dat kan bijvoorbeeld het veld van de reële getallen, de rationale getallen of het veld van de gehele getallen modulo 7 zijn. Er kunnen al dan niet keuzes voor x bestaan, die de polynoom gelijk aan nul maken. Dergelijke keuzes, Als ze bestaan worden dergelijke keuzes nulpunten genoemd.

Als de polynoom gelijk is aan x²+1 en het veld uit de reële getallen bestaat, dan heeft de polynoom geen nulpunten, omdat elke keuze van x de polynoom groter dan of gelijk aan één maakt. Als het veld echter wordt uitgebreid, dan kan de polynoom extra nulpunten verkrijgen; als het veld maar voldoende wordt uitgebreid dan is het aantal wortels van een polynoom altijd gelijk aan haar graad. Wanneer conform het voorgaande voorbeeld het veld naar dat van de complexe getallen wordt uitgebreid, dan verkijgt de polynoom twee extra nulpunten, i en -i waar i is imaginaire eenheid is, dat wil zeggen, i² = -1. Meer in het algemeen staat het uitbreidingsveld waarin een polynoom in factoren kan worden ontbonden bekend als het splitsingslichaam van deze polynoom.

De Galoisgroep van een polynoom is de verzameling van alle manieren om het splitsingslichaam te transformeren, waarbij het basisveld en de nulpunten van de polynoom overigens wel hetzelfde blijven. In wiskundig jargon worden deze transformaties automorfismen genoemd. De Galoisgroep van x² + 1 bestaat uit twee elementen: De identiteitstransformatie, die elk complex getal naar zichzelf transformeert en de complexe conjugatie, die i omzet naar -i. Aangezien de Galoisgroep het basisveld onveranderd laat blijven de coëfficiënten van de polynoom dezelfde en blijft dus ook de verzameling van alle nulpunten onveranderd. Ieder nulpunt kan naar een ander nulpunt worden getransformeerd; zo'n transformatie bepaalt een permutatie van de n-nulpunten onder elkaar. De betekenis van de Galoisgroep is afgeleid van de hoofdstelling van de Galoistheorie, die bewijst dat de velden die tussen het basisveld en het splitsingslichaam liggen in een een-op-een correspondentie staan met de deelgroepen van de Galoisgroep.

In 1918 publiceerde Noether een baanbrekend artikel over het inverse Galoisprobleem. In plaats van het bepalen van de Galoisgroep van transformaties van een gegeven veld en haar uitbreidingen, vroeg Noether zich af of het gegeven een veld en een groep altijd mogelijk is om een ​uitbreiding van het veld te vinden dat de gegeven groep als haar Galoisgroep heeft. Zij reduceerde deze onderzoeksvraag tot het zogenaamde "probleem van Noether". Hierin wordt gevraagd of het vaste veld van een ondergroep G van de permutatie groep S_n, die op dat veld k(x₁, ..., x_n) inwerkt altijd een zuiver transcendentale uitbreiding van het veld k is. (Zij maakte voor het eerst van dit probleem melding in haar artikel uit 1913, waar zij het probleem toeschreef aan haar collega Ernst Fischer.) Zij liet zien dat dit het geval is voor n=2, 3 of 4. In 1969 vond R.G. Swan echter een tegenvoorbeeld van het probleem van Noether, met n=47 en G een cyclische groep van orde 47 (hoewel deze groep op andere manieren als een Galoisgroep over de rationale getallen kan worden gerealiseerd. Het inverse Galoisprobleem is tot op heden (2012) nog onopgelost.

Stelling van Noether

Zie stelling van Noether voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Noether werd in 1915 door David Hilbert en Felix Klein gevraagd naar Göttingen te komen. Zij hadden haar expertise in de invariantentheorie nodig om hen te helpen bij het begrijpen van de toen gloednieuwe algemene relativiteitstheorie, een meetkundige theorie van de zwaartekracht, die voornamelijk door Albert Einstein was ontwikkeld. Hilbert had opgemerkt dat in de algemene relativiteitstheorie de behoud van energie leek te worden geschonden. Dit was te wijten aan het feit dat de gravitatie-energie op haar beurt ook door de zwaartekracht werd aangetrokken. Noether kwam met de oplossing van deze paradox. In 1915 bewees zij haar eerste stelling van Noether. Hoewel pas in 1918 gepubliceerd, werd deze stelling een fundamenteel instrument voor de moderne theoretische natuurkunde. Noether loste het probleem niet alleen op voor de algemene relativiteitstheorie, maar bepaalde dat "behouden" hoeveelheden voor alle systemen van natuurkundige wetten, die enige continue symmetrie bezitten.

Na ontvangst van haar werk, schreef Einstein aan Hilbert: "Gisteren heb ik van mejuffrouw Noether een zeer interessant artikel over invarianten ontvangen. Ik ben onder de indruk dat zulke dingen op in een dergelijke algemene wijze kunnen worden begrepen. De oude garde in Göttingen zou een paar lessen van Mejuffrouw Noether moeten nemen. Zij lijkt te weten waar zij het over heeft "

Ter illustratie, als een natuurkundig systeem zich, ongeacht hoe dit systeem in de ruimte is georiënteerd, hetzelfde gedraagt, zegt men dat de natuurkundige wetten, die deze ruimte besturen rotatiesymmetrisch zijne; de stelling van Noether laat zien dat het impulsmoment van het systeem bewaard moet blijven. Het natuurkundige systeem hoeft zelf niet symmetrisch te zijn, een ongelijkvormige asteroïde, die door de ruimte tolt zijn impulsmoment behoudt ondanks zijn asymmetrie. De symmetrie van de natuurkundige wetten, die dit systeem bestuurt, is juist verantwoordelijk voor de behoudswet. Een ander voorbeeld is als een natuurkundig experiment dezelfde uitkomst heeft op iedere plaats en tijd, dan zijn haar natuurwetten symmetrisch onder continue translaties in ruimte en tijd; door de stelling van Noether zijn deze symmetrieën binnen dit systeem verantwoordelijk voor de behoudswetten van respectievelijk impuls en energie.

De stelling van Noether is uitgegroeid tot een fundamenteel instrument binnen de moderne theoretische natuurkunde, zowel als gevolg van het inzicht die de stelling geeft in de behoudswetten, en ook als een praktische rekenhulp. Haar stelling stelt onderzoekers in staat om de te behouden grootheden te bepalen van de waargenomen symmetrieën van een natuurkundig systeem. Omgekeerd faciliteert de stelling de beschrijving van een natuurkundig systeem, gebaseerd op klassen van de hypothetische natuurwetten. Stel ter illustratie dat er een nieuw natuurkundige verschijnsel is ontdekt. De stelling van Noether biedt een test voor theoretische modellen van dit nieuwe fenomeen: als de theorie een continue symmetrie heeft, dan garandeert de stelling van Noether dat de theorie ook een behouden grootheid heeft, en wil de theorie correct zijn dan moet er een behoudswet kunnen worden waargenomen in experimenten.

Tweede tijdvak - periode 1920–26

Grondlegster van de abstracte algebra

Zie abstracte algebra voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Haar voornaamste onderzoek richtte zich echter op de algebra, die ze met zo'n abstractheid en algemeenheid aanpakte dat ze later de bijnaam 'grondlegger van de moderne abstracte algebra' kreeg. In een artikel uit 1921 bekeek ze een bepaalde ketenvoorwaarde van idealen, wat leidde tot de definitie van Noetherse ringen. Inmiddels had ze overigens toch een aanstelling als privaatdocent gekregen. Nadat de Eerste Wereldoorlog in 1918 was afgelopen, was er in Duitsland op politiek en maatschappelijk gebied veel veranderd, wat onder meer inhield dat de positie van vrouwen sterk verbeterd was, met als gevolg dat het voor vrouwen toegestaan was privaatdocent te worden.

In de loop van de jaren twintig van de 20e eeuw kreeg Noether steeds meer bekendheid binnen de wiskunde en er kwamen dan ook diverse buitenlandse wiskundigen naar Göttingen om haar te bezoeken. Een van hen was Bartel van der Waerden, een 21-jarige Nederlander, die in Amsterdam onder Brouwer had gestudeerd en op diens aanraden in 1924 naar Göttingen ging om colleges bij Noether te volgen. Van der Waerden zou in 1931 zijn beroemde boek Moderne Algebra schrijven, dat grotendeels gebaseerd was op het werk van Noether en enkele van haar collega's, zoals Hilbert en Artin. In 1925 bracht Noether Kerstmis door in Blaricum in Nederland. Ze ontmoette daar Brouwer en raakte geïnteresseerd in de abstracte topologie. Ze maakte bij een topologische ruimte een rij Abelse groepen, die we nu homologiegroepen noemen. Volgens de Russische topoloog Pavel Aleksandrov, die een jaar later Noethers collega in Göttingen zou worden, reageerde de wiskundige wereld aanvankelijk sceptisch, maar zag al gauw in dat de homologiegroepen veel interessante toepassingen hadden.

Stijgende en dalende ketenvoorwaarden

In deze periode werd Noether beroemd voor haar handig gebruik van stijgende (Teilerkettensatz) of dalende (Vielfachenkettensatz) ketenvoorwaarden. Van een rij van niet-lege deelverzamelingen A₁, A₂, A₃, etc. van een verzameling S wordt meestal gezegd dat deze strikt oplopend is, dat wil zeggen een deelverzameling van de volgende

$A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset \cdots.$

De stijgende ketenvoorwaarde vereist dat zulke rijen na een eindig aantal stappen afbreken; met andere woorden, al zulke rijen van deelverzamelingen moeten eindig zijn. Omgekeerd geldt hetzelfde voor strikt aflopende rijen van deelverzamelingen

$A_{1} \supset A_{2} \supset A_{3} \supset \cdots$

de dalende ketenvoorwaarde vereist dat dergelijke rijen na een eindig aantal keren afbreken.

Stijgende- en dalende ketenvoorwaarden zijn in die zin algemeen dat zij op vele soorten wiskundige objecten kunnen worden toegepast. Hoewel oppervlakkig bezien niet heel erg krachtig, liet Noether zien hoe zulke condities met maximaal effect kunnen worden ingezet: bijvoorbeeld hoe stijgende- en dalende ketenvoorwaarden gebruikt kunnen worden om aan te tonen dat elk verzameling van deelobjecten een maximaal/ minimaal element kent of dat een complex object uit een kleiner aantal elementen kan worden gegenereerd. Dergeliijke conclusies zijn vaak cruciale stappen in een bewijs.

Commutatieve ringen, idealen, en modulen

Noethers artikel, Idealtheorie in Ringbereichen (Theorie van idealen in ringdomeinen, 1921), is het fundament van de algemene commutatieve ringtheorie en geeft een van de eerste algemene definities van een commutatieve ring. Voor Noethers artikel beperkten de meeste resultaten in de commutatieve algebra zich tot speciale voorbeelden van commutatieve ringen, zoals veeltermringen over velden, ringen of algebraïsche gehele getallen. Noether bewees dat in een ring, die aan de stijgende ketenvoorwaarde op idealen voldoet, elke ideaal eindig is gegenereerd. Om deze eigenschap te beschrijven formuleerde de Franse wiskundige Claude Chevalley in 1943 de term, Noetherse ring. Een belangrijk resultaat in Noethers artikel uit 1921 is verder de stelling van Lasker-Noether. Deze stelling breidt de stelling van Lasker over de primaire decompositie van idealen van veeltermringen uit naar alle Noetherse ringen. De stelling van Lasker-Noether kan worden gezien als een veralgemening van de hoofdstelling van de rekenkunde, waarin gesteld wordt dat enig positief geheel getal als een product van priemgetallen kan worden uitgedrukt en dat deze decompositie uniek is.

Noethers werk Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Abstracte structuur van de theorie van idealen in algebraïsche getallenlichamen en functievelden, 1927) karakteriseert ringen, waarin de idealen op unieke wijze in priemidealen ontbonden kunnen worden, als Dedekind-domeinen: integraal domeinen die Noethers, 0 of 1-dimensionaal zijn en die integraal gesloten in hun quotiëntvelden zijn. Dit artikel bevat ook wat nu de isomorfismestellingen wordt genoemd. Die beschrijven een aantal fundamentele natuurlijke isomorfismen en een aantal andere fundamentele resultaten ten aanzien van Noetherse- en Artiniaanse modulen.

Bijdragen aan topologie

Zoals zowel door Pavel Aleksandrov als Hermann Weyl in hun necrologieën werd opgemerkt, illustreren Noethers bijdragen aan de topologie haar edelmoedigheid met ideeën en ook hoe haar inzichten in staat bleken gehele deelgebieden binnen de wiskunde te transformeren. In de topologie bestuderen wiskundigen de eigenschappen van wiskundige objecten die invariant blijven onder vervorming, eigenschappen zoals hun samenhang.

Noether wordt gecrediteerd met de fundamentele ideeën die de ontwikkeling van de algebraïsche topologie uit de eerdere combinatorische topologie inleidden, specifiek het idee van homologiegroepen. Volgens de beschrijving van Aleksandrov volgde Noether in de zomers van 1926 en 1927 colleges bij Heinz Hopf en Aleksandrov. Daar maakte "zij voortdurend opmerkingen, die vaak diep en subtiel waren." Aleksandrov vervolgt met de mededeling dat:

Toen ... zij voor het eerst bekend raakte met een systematische constructie van de combinatorische topologie, markte zij meteen op dat het de moeite waard zou zijn om groepen van algebraïsche complexen en cycles van een gegeven veelvlak en de ondergroep van de cyclusgroep, die bestaat uit cycles homoloog aan nul, direct te bestuderen; in plaats van de gebruikelijke definitie van Betti-getallen. Zij stelde onmiddellijk voor om de Betti-groep als complementaire (quotiënt)groep van de groep van alle cycli te definiëren door de ondergroep van cycli die homoloog aan nul zijn. Deze observatie lijkt nu vanzelfsprekend. Maar in die jaren (1925-1928) was dit een geheel nieuw gezichtspunt

Derde tijdvak - periode 1927–35

Hypercomplexe getallen en representatietheorie

In de negentiende en vroege twintigste eeuw was er veel werk verricht aan hypercomplexe getallen en groepsrepresentaties. Maar de resultaten waren uiteenlopend. Noether verenigde de resultaten en gaf de eerste algemene representatietheorie van groepen en algebra In het kort artikel classificeerde zijn de structuurtheorie van associatieve algebra's en de representatietheorie van groepen in een enkele rekenkundige theorie van de modulen en idealen in ringen, die voldeet aan oplopende ketenvoorwaarden. Dit enkele werk van Noether was van fundamenteel belang voor de ontwikkeling van de moderne algebra.

Noncommutatieve algebra

Noether was ook verantwoordelijk voor een aantal andere ontwikkelingen op het gebied van de abstracte algebra. Samen met Emil Artin, Richard Brauer, en Helmut Hasse stond zij aan de basis van de theorie van de centrale enkelvoudige algebra's.

Een baanbrekend artikel van Noether, Helmut Hasse en Richard Brauer had betrekking op delingsalgebra's,. Dit zijn algebraïsche systemen waarin deling mogelijk is. Gedrieën bewezen zij twee belangrijke stellingen: een lokale-globale stelling, waarin gesteld wordt dat als een eindig dimensionale centrale delingsalgebra over een getallenlichaam overal lokaal splitst het ook globaal zal splitsten (en dus triviaal is). Hieruit deduceerden zij hun Hauptsatz ("hoofdstelling"): elke eindig dimensionale centrale delingsalgebra over een algebraïsch getallenlichaam F splitst over een cyclische cyclotomische uitbreiding.

Deze stellingen stellen ons in staat om alle eindig-dimensionale centrale dellingsalgebra's te classificeren in een gegeven getallenlichaam. Een volgend artikel van Noether liet, als een speciaal geval van een meer algemene stelling, zien dat alle deelgebieden van een delinsgalgebra D splitsingslichamen zijn Dit artikel bevatte ook de stelling van Skolem-Noether, waarin gesteld wordt dat elke twee inbeddingen van een uitbreiding van een veld k in een eindig dimensionale centrale enkelvoudige algebra over k conjugaat zijn. De stelling van Brauer-Noether geeft een karakterisering van de splitsingslichamen van een centrale delingsalgebra over een veld.

Vrouwen in de wiskunde

Hoewel de verhoudingen binnen de huidige generatie studenten het tegendeel bewijzen, wordt de wiskunde toch nog altijd gezien als een mannenwetenschap. Vrouwen en wiskunde wordt meestal gezien als een bijzondere combinatie. Zo vindt men het boek Men of Mathematics bij de afdeling wiskunde, het boek Women of Mathematics bij de sociale wetenschappen. Dit heeft natuurlijk te maken met het feit dat het vrouwen jarenlang zeer moeilijk is gemaakt wiskunde te bedrijven, laat staan dat ze een leidende rol konden spelen in de wiskunde. Er zijn echter enkele uitzonderingen, zoals Sophie Germain, Sofia Kovalevskaja en in het bijzonder Emmy Noether, die met recht de grootste vrouwelijke wiskundige kan worden genoemd.

Postume erkenning

In de loop van de jaren zou Noether steeds meer erkenning krijgen voor haar werk als wiskundige, vele wetenschappelijke biografieën zouden over haar verschijnen. Hoewel het feit dat ze een vrouw was haar vaak heeft tegengewerkt, heeft dat haar postuum behoorlijk veel belangstelling opgeleverd.

Referenties

• Een eerdere versie is gebaseerd op een artikel van Martijn Grooten, dat zich op zijn beurt op Struik, Brewer en MacTutor baseert:
• (nl) D.J. Struik, `Geschiedenis van de Wiskunde', Utrecht, 1990
• (en) J.W. Brewer, M.K. Smith, `Emmy Noether : A tribute to her life and work', New York, 1981
• (en) Israel Kleiner, A history of abstract algebra, hoofdstuk 6, pag 91-101, ISBN 978-0-8176-4684-4, 2007 zie hier
• (en) James, I, Remarkable Mathematicians, From Euler to von Neumann, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-52094-2, pag. 321-326 zie hier

Externe links

• (de) Invariante Variationsprobleme, Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-Phys. Klasse, 1918, pag. 235-257 zie hier
• (en) Emmy Noether op MacTutor