Eenheid (algebra)

In de algebra, een deelgebied van de wiskunde, heet een element $u$ van een unitaire ring $R$, d.w.z. een (niet noodzakelijk commutatieve) ring met een neutraal element 1 voor de vermenigvuldiging, een eenheid in $R$, als $u$ een invers element voor de vermenigvuldiging heeft. Eenvoudig geformuleerd: een eenheid is een deler van 1.

De term moet niet verward worden met de term eenheid zoals die soms gebruikt wordt om het eenheidselement 1 van de ring aan te duiden, in een uitdrukkingen als 'ring met eenheid'. Om deze reden noemen sommige auteurs het element 1 de 'identiteit'.

Eigenschappen

• De verzameling van alle eenheden vormt een groep voor de vermenigvuldiging. Het product van twee eenheden is immers ook weer een eenheid.
• Als $R$ een lichaam (Ned) / veld (Be) is, dan is elk element, buiten het neutraal element van de optelling, een eenheid.

In een ring $R$ met een multiplicatieve identiteit $1$ heet een element een eenheid als het multiplicatieve inverse $v$ heeft in de ring, dus waarvoor geldt:

$vu=uv=1$

De verzameling eenheden $\mathrm {U} (R)$ van de ring vormt een groep, de eenhedengroep, onder de vermenigvuldiging van de ring.

Voorbeelden

• De multiplicatieve identiteit $1$ en zijn additieve inverse $-1$ zijn altijd eenheden.
• Meer in het algemeen is elke eenheidswortel $r$ in een ring een eenheid, want als $r^{n}=1$, dan is $r^{n-1}=1$ een multiplicatieve inverse van $r$.
• In een niet-triviale ring is het nulelement $0$ geen eenheid, zodat de eenhedengroep $\mathrm {U} (R)$ niet gesloten is onder optellen.
• Een ring $R$ waarin elk element ongelijk aan $0$ een eenheid is (dat wil zeggen dat $\mathrm {U} (R)=R\setminus \{0\}$) wordt een delingsring (of scheeflichaam (Ned)/lichaam (Be)) genoemd. Een commutatieve delingsring is een lichaam (Ned) / veld (Be). De eenhedengroep $\mathrm {U} (\mathbb {R} )$ van het lichaam/veld $\mathbb {R}$ van de reële getallen is $\mathbb {R} \setminus \{0\}$.
• In de deelverzameling van de complexe getallen $\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}$, de zogeheten gehele getallen van Gauss, zijn 1, i, -1 en -i de eenheden.
• In $\mathbb {C} [X]$ zijn de eenheden de constante niet-nul functies.

Gehele getallen

In de ring van gehele getallen $\mathbb {Z}$ zijn $1$ en $-1$ de enige eenheden.

In een getallenlichaam kunnen over het algemeen meer eenheden voorkomen. Zo is in de ring $\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\right]$, die ontstaat door het kwadratisch geheel getal ${\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})$ aan $\mathbb {Z}$ toe te voegen:

$({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1$

dus zijn ${\sqrt {5}}+2$ en ${\sqrt {5}}-2$ eenheden. (In feite is de eenheidsgroep van deze ring oneindig. Aangezien toenemende machten van ${\sqrt {5}}+2$ steeds groter worden en ook eenheden zijn, is de groep duidelijk niet-cyclisch.)

In feite beschrijft de eenheidsstelling van Dirichlet precies de structuur van $\mathrm {U} (R)$: de groep is isomorf met een groep in de vorm van een directe som

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mu _{R}$

waarbij $\mu _{R}$ de eindige, cyclische groep van eenheidswortels is in $R$, en $n=r+s-1$ de rang van de eenhedengroep is, waarbij $r,s$ respectievelijk het aantal echte inbeddingen en het aantal paren complexe inbeddingen van $\mu _{R}$ zijn.

Hiermee wordt het bovenstaande voorbeeld verbeterd: de eenhedengroep van een reëel kwadratisch lichaam/veld is oneindig van rang 1, aangezien $r=2,s=0$.

In de ring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ van gehele getallen modulo $n$ zijn de eenheden de congruentieklassen modulo $n$ gerepresenteerd door gehele getallen die copriem zijn met $n$. Ze vormen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo $n$.

Veeltermen en machtreeksen

Voor een commutatieve ring $R$ zijn de eenheden van de polynoomring $R[x]$ precies die polynomen

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots a_{n}x^{n}$

waarvan $a_{0}$ een eenheid is in $R$, en de resterende coëfficiënten $a_{1},\ldots ,a_{n}$ nilpotente elementen zijn, d.w.z. voldoen $a_{i}^{N}=0$ voor een of andere $N$. In het bijzonder, als $R$ een integriteitsdomein is (heeft geen nuldelers), komen de eenheden van $R[x]$ overeen met die van $R$.

De eenheden van de ring van formele machteeksen $R[[x]]$ zijn precies die machtreeksen

$p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$

waarvoor $a_{0}$ een eenheid is in $R$.

Matrixringen

De eenhedengroep van de ring $\mathrm {M} (n,R)$ van $n\times n$-matrices over een ring $R$ is de groep $\mathrm {GL} _{n}(R)$ van inverteerbare matrices. Voor een commutatieve ring $R$ is een element $A$ van $\mathrm {M} (n,R)$ dan en slechts dan inverteerbaar, als de determinant van $A$ inverteerbaar is in $R$. In dat geval wordt $A^{-1}$ expliciet gegeven door de regel van Cramer.

Algemeen

Als in een ring $R$ voor $x$ en $y$ het element $1-xy$ inverteerbaar is, dan is ook $1-yx$ inverteerbaar met inverse $1+y(1-xy)^{-1}x$. De uitdrukking voor de inverse kan begrepen worden, maar niet bewezen, door de volgende berekening in een niet-abelse ring van machtreeksen:

$(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x$

Eenhedengroep

De eenheden van een ring $R$ vormen een groep $\mathrm {U} (R)$ onder vermenigvuldiging, de eenhedengroep van $R$. Andere veel voorkomende notaties voor $\mathrm {U} (R)$ zijn $R^{*}$, $R^{\times }$ en $\mathrm {E} (R)$.

Een commutatieve ring is een lokale ring als $R\setminus \mathrm {U} (R)$ een maximaal ideaal is. Het blijkt dat als $R\setminus \mathrm {U} (R)$ een ideaal is, dan is het noodzakelijkerwijs een maximaal ideaal en is $R$ lokaal van $\mathrm {U} (R)$, aangezien een maximaal ideaal onsamenhangend is. Als $R$ een eindig lichaam/veld is, dan is $\mathrm {U} (R)$ een cyclische groep van de orde $|R|-1$.

De formulering van de groep eenheden definieert een functor $\mathrm {U}$ van de categorie van ringen naar de categorie van groepen: elk ringhomomorfisme $f\colon R\to S$ induceert een groepshomomorfisme $\mathrm {U} (f)\colon \mathrm {U} (R)\to \mathrm {U} (S)$, aangezien $f$ eenheden toewijst aan eenheden.

Geassocieerde elementen

De elementen $r$ en $s$ van een commutatieve ring $R$ heten geassocieerd als er een eenheid $u\in R$ bestaat waarvoor $r=u\,s$, genoteerd als $r\sim s$. In elke ring zijn paren van tegengestelde elementen $x$ en $-x$ geassocieerd. (De elementen $x$ en $-x$ zijn niet noodzakelijkerwijs verschillend. In de ring van gehele getallen modulo 6 bijvoorbeeld is $3=-3$, hoewel $1\neq -1$. Zo zijn 6 en −6 geassocieerd in $\mathbb {Z}$. Over het algemeen is $\sim$ een equivalentierelatie op $R$.

Geassocieerdheid kan ook worden beschreven in termen van de groepswerking van $\mathrm {U} (R)$ op $R$ via vermenigvuldiging: Twee elementen van $R$ zijn geassocieerd als ze zich in dezelfde $\mathrm {U} (R)$-baan bevinden. In een integriteitsdomein heeft de verzameling van geassocieerden van een gegeven niet-nul element dezelfde kardinaliteit als $\mathrm {U} (R)$.

Zie ook

• Deelbaarheid (algebra)
• Irreducibel
• Priemelement