Vergelijking (wiskunde)

Oudst bekende vergelijking, door Robert Recorde, in moderne typografie staat er 14x + 15 = 71.

Grafiek behorende bij de vergelijking y = 1/(1+e^x).

Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, waarin een of meer onbekende variabelen, met elkaar worden vergeleken, dat wil zeggen aan elkaar gelijk worden gesteld. Vergelijkingen worden altijd geschreven met een gelijkheidsteken, (=), zoals in de vergelijking

$2x + 3 = 5\,$

waarin de uitdrukking $2x + 3\,$ , met daarin de onbekende x, gelijkgesteld wordt aan de uitdrukking 5.

De onbekende grootheden worden traditioneel meestal aangeduid met letters die aan het einde van het alfabet voorkomen, zoals x, y en z. Letters die in het begin van het alfabet voorkomen, bijvoorbeeld a, b en c, gebruikt men om de coëfficiënten weer te geven.

Vergelijkingen kunnen een verschillend karakter hebben. Bevat de vergelijking slechts een onbekende, dan is eigenlijk altijd het doel om de vergelijking op te lossen. Dat wil zeggen dat men de waarde of waarden voor die onbekende bepaalt waarvoor de vergelijking kloppend is. Is er echter sprake van meer onbekenden, dan zijn veelal een aantal van die onbekenden op te vatten als variabele of parameter, en behoort bij de vergelijking een grafiek, een kromme of een andere (meerdimensionale) meetkundige voorstelling. Een derde mogelijkheid is dat de vergelijking wordt gepresenteerd als algemeen geldige formule - men spreekt dan van een identiteit. Zo wordt de stelling van Pythagoras vaak aangeduid met de identiteit a²+b²=c².

Algebraïsche vergelijkingen met één variabele

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft elke complexe algebraïsche vergelijking van graad 1 of hoger met één onbekende minstens één complexe oplossing. Reële vergelijkingen hebben niet noodzakelijk een reële oplossing, al hebben alle reële algebraïsche vergelijkingen van oneven graad wel minstens één reële oplossing. Het maximale aantal oplossingen is gelijk aan de graad van de vergelijking.

In het algemeen noemt men een lichaam (in België: veld) $K$ algebraïsch gesloten als elke algebraïsche vergelijking van graad 1 of hoger met coëfficiënten in $K$, minstens één oplossing heeft in $K$.

Indeling van de algebraïsche vergelijkingen

Algebraïsche vergelijkingen worden ingedeeld naar de hoogste macht van de voorkomende onbekende(n). Deze macht noemt men de graad van de (algebraïsche) vergelijking. In hun algemene vorm zien ze er als volgt uit:

• lineaire vergelijking (1e graad)

$\! ax + b = 0$

• vierkantsvergelijking (2e graad)

$\! ax^2 + bx + c = 0$ (zie verder bij parabool).

• derdegraadsvergelijking (3e graad)

$\! ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

• vierdegraadsvergelijking (4e graad)

$\! ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

• vijfdegraadsvergelijking (5e graad)

$\! ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0 \,$

Deze lijst kan analoog worden verder gezet met vergelijkingen van een hogere graad. Algemeen heet

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0= 0 \,$, met $a_n \neq 0$

een n-de-graadsvergelijking.

Voorbeelden

Een van de eenvoudigste (algebraïsche) vergelijking is de lineaire met 1 als coëfficiënt van x: $x = a \,$

Dit betekent dat x dezelfde waarde heeft als a. Deze vergelijking is natuurlijk volledig equivalent met: $x - a = 0 \,$.

Een speciaal type vergelijking is de logaritmische vergelijking:

${}^{3}\!\log(2x-4)+7 = {}^{4}\!\log(9x)\,$

Het volgende voorbeeld is een vergelijking waarin goniometrische functies worden gebruikt:

$\sin(3x)=\cos^2(x) - 1\!$

Hogere-graadsvergelijkingen

Bij hogere-graadsvergelijking bleven wiskundigen zich het hoofd breken over de algemene oplossing van de vijfdegraadsvergelijking, totdat Niels Henrik Abel bewees dat een dergelijke oplossing niet in algebraïsche vorm (aan de hand van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en worteltrekking) bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand van Galoistheorie.

De stelling van Abel is niet in tegenspraak met de hoofdstelling van de algebra. Een complexe vijfdegraadsveelterm heeft altijd nulpunten, maar die zijn niet altijd in een algebraïsche formule met worteltrekking te vatten. Het eenvoudigste voorbeeld is

$\, x^5 + x + 1 = 0$.

Oplossing van vergelijkingen

Zie Oplossen van vergelijkingen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een vergelijking heeft een oplossing, als er een (toegelaten) waarde van de onbekende is waarvoor de vergelijking bij invulling in een gelijkheid overgaat. Zo heeft de vergelijking x - 2 = 4 als oplossing x = 6.

Niet alle vergelijkingen hebben echter een oplossing. De vergelijking

$\frac{x - 3}{2x - 6}= 1$

bijvoorbeeld heeft geen oplossing, omdat geen enkele waarde van x de vergelijking tot een gelijkheid maakt. Daarentegen heeft de vergelijking

$x^2=4 \,$

twee oplossingen, namelijk x=2 en x=-2, en de (triviale) vergelijking

$x = x \,$

heeft zelfs oneindig veel oplossingen.

Stelsels vergelijkingen

Naast enkelvoudige vergelijkingen bestaan er stelsels van vergelijkingen, bijvoorbeeld twee vergelijkingen met twee onbekenden. Ook voor deze vergelijkingen en het stelsel in het geheel geldt dat ze soms wel, soms niet oplosbaar zijn. Hier geldt bovendien dat de afzonderlijke vergelijkingen ook een meetkundige interpretatie hebben, bijvoorbeeld in een grafiek. Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen correspondeert met twee lijnen in een tweedimensionaal assenstelsel. De eventuele oplossing correspondeert met het snijpunt van de twee lijnen.

Zie ook:

• stelsel van lineaire vergelijkingen

Analytische meetkunde

In de analytische meetkunde spelen vergelijkingen om krommen en andere figuren te beschrijven een grote rol. Deze vergelijkingen beschrijven dan de punten in een Cartesisch assenstelsel van de figuur. In het platte vlak gaat het dan om vergelijkingen van de vorm f(x,y) = 0. De oplossingsparen (x,y) corresponderen met de punten die de figuur vormen.

Voorbeelden:

• De vergelijking 2x + 3y - 12 = 0 beschrijft een rechte
• De vergelijking x² + y² - 1 = 0 beschrijft de cirkel met (0,0) als middelpunt en straal 1.
• De vergelijking (x/2)² + (y/3)² - 1 = 0 beschrijft een ellips.
• De vergelijking xy - 4 = 0 beschrijft een hyperbool.

In hogere dimensies wordt ook een hogerdimensionale deelruimte als oplossing beschreven, bijvoorbeeld in (gekromd) oppervlak in drie dimensies.

Een andere vorm van het gebruik van vergelijkingen in de analytische meetkunde is door gebruik te maken van parameters. Men beschrijft de x- en de y-coördinaat in een vergelijking als functie van die parameter en definieert daarmee een verzameling punten die weer een kromme vormen. Zo kan de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1 ook als volgt beschreven worden:

$\left\{\begin{matrix}x & = & \cos(t) \\ y& =&\sin(t)\end{matrix}\right.$

Zie ook: Parametervergelijking.

Differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen

Zie Differentievergelijking voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een differentievergelijking wordt gebruikt om een elementen in een rij te beschrijven. Een nieuw element wordt dan berekend uit het vorige element, of de vorige elementen. De rij van de positieve even getallen wordt bijvoorbeeld beschreven door

$u_0=2\,$

$u_n=u_{n-1}+2,$ voor n = 1, 2, ...

Differentievergelijkingen zijn een discrete vorm van differentiaalvergelijkingen. In deze laatste komen functies en hun afgeleide voor.

Diophantische vergelijkingen

Zie Diophantische vergelijking voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een Diophantische vergelijking is een vergelijking waarin gezocht wordt naar alleen heeltallige oplossingen. Voorbeelden van Diophantische vergelijkingen:

In de onderstaande Diophantische vergelijkingen zijn, x, y, en z onbekenden, de andere gegeven letters zijn constanten.
$x^n+y^n=z^n \,$	Voor n = 2 zijn de gehele oplossingen (x,y,z) de Pythagorese drietallen, hiervan zijn er oneindig veel (bijvoorbeeld (3, 4, 5) , (5, 12, 13), ..). Voor n > 2, zegt de laatste stelling van Fermat dat er geen gehele getallen (x, y, z) aan de vergelijking voldoen.
$x^2-ny^2=\pm 1\,$	Deze vergelijking van Pell werd door Euler ten onrechte toegeschreven aan de Engelse wiskundige John Pell (1611-1685), maar deze vergelijking werd reeds eeuwen eerder uitvoerig bestudeerd door Indiase wiskundigen. Fermat bewees dat deze vergelijking altijd een oplossing heeft, behalve wanneer $n$ een kwadraat is. De oplossing is te vinden in een eindig aantal stappen door met behulp van kettingbreuken een benadering van de vierkantswortel van $n$ te zoeken.
$\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$	Het vermoeden van Erdős–Straus stelt dat er voor elk positief geheel getal n ≥ 2, een oplossing bestaat, waar x, y, en z alle positieve gehele getallen zijn.

Identiteiten

Zie Identiteit (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Vergelijkingen worden ook vaak gebruikt om algemeen geldige wiskundige, maar ook natuurkundige, wetten weer te geven. Een heel bekende, die het geschopt heeft tot uitdrukking, is 1 + 1 = 2. Maar veel identiteiten verbergen diepere wiskundige kennis. De identiteit van Euler is daarvan een voorbeeld en stelt

$e^{i\pi}+1=0. \,$

Deze identiteit wordt als een van de meest bijzondere in de wiskunde beschouwd, doordat er vijf zeer fundamentele getallen in worden samengebracht: 0, 1, i, π en e.

Een voorbeeld van een natuurkundige formule in de vorm van een identitiet is de Massa-energierelatie E = mc².

Zie ook: Lijst van goniometrische gelijkheden

Zie ook

• Functionaalvergelijking
• Functie (wiskunde)

Externe links

• Microcursus formules herschrijven / Vergelijkingen oplossen voor beginners