Gebruiker:Hesselp/Kladblok

↓

Over terminologie bij oneindige sommaties

In leerboeken, naslagwerken en encyclopedieën wordt gewoonlijk gesteld dat het woord reeks verwijst naar iets anders dan een oneindige rij (afbeelding op de natuurlijke getallen). Beschrijvingen van dat andere lopen echter uiteen.   Soms is het: de combinatie van een rij en z'n partieelsommenrij,  of omgekeerd: de rij met als termen de koppels  a_i ; a₁+···+a_i .
Op andere plaatsen heet het: een oneindige formele som,  of: een oneindige sommatie,  of nog: de bij een rij behorende partieelsommenrij.  Ook noemt men bepaalde notatievormen zélf wel reeks: de plussenvorm  a₁ + a₂ + a₃ + ···   en de sigmavorm  Σ a_i . Als betekenissen van deze vormen komen voor: de rij (a_i) zelf,  z'n partieelsommenrij, en z'n somwaarde.   Dit definitie-probleem is niet aan de orde bij de volgende interpretatie van het gangbare woordgebruik:

Vaak kan in een wiskundetekst  reeks  vervangen door  rij  zonder de inhoud te veranderen. Zoals bij de woordcombinaties: termen van een reeks, partieelsommenrij van een reeks, som van een reeks, sommeerbare reeks, rekenkundige reeks, meetkundige reeks, harmonische reeks, alternerende reeks, monotone reeks, ····.   Er is echter een sterke traditie (wereldwijd) om, als het gaat om het optellen van de termen van een oneindige rij en speciaal om wat beschouwd wordt als 'de som van álle termen', vast te houden aan historische nomenclatuur. Men gebruikt dan:
- de aanduidingen convergente reeks en divergente reeks  voor een sommeerbare dan wel niet-sommeerbare rij,
- de notatievorm  a₁ + a₂ + a₃ + ···  (of   Σ a_i )   in plaats van  a₁, a₂, a₃, ···   (of   (a_i) ) ,
- en af en toe ook: de aanduiding limiet van de reeks  voor de som van de rij (= de som van de reeks).
De dubbele, en dus context-afhankelijke, betekenis van de woorden divergent en convergent (limiethebbend en somhebbend), leidt veelal tot de opvatting dat het woord reeks verwijst naar een begrip dat verschilt van oneindige rij.

Bronnen, noten en/of referenties

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.

---

Over terminologie bij oneindige sommaties

In leerboeken, naslagwerken en encyclopedieën wordt gewoonlijk gesteld dat het woord reeks verwijst naar iets anders dan een oneindige rij (afbeelding op de natuurlijke getallen). Beschrijvingen van dat andere lopen echter uiteen.   Soms is het: de combinatie van een rij en z'n partieelsommenrij,  of omgekeerd: de rij met als termen de koppels  a_i ; a₁+···+a_i .
Op andere plaatsen heet het: een oneindige formele som,  of: een oneindige sommatie,  of nog: de bij een rij behorende partieelsommenrij.  Ook noemt men bepaalde notatievormen zélf wel reeks: de plussenvorm   a₁ + a₂ + a₃ + ···   en de sigmavorm   Σa_i . Als betekenissen van deze vormen komen voor: de rij (a_i) zelf, z'n partieelsommenrij, en z'n somwaarde.   Dit definitie-probleem is niet aan de orde bij de volgende interpretatie van het gangbare woordgebruik.

Vaak kan in een wiskundetekst  reeks  vervangen door  rij  zonder de inhoud te veranderen. Zoals bij de woordcombinaties: termen van een reeks, partieelsommenrij van een reeks, som van een reeks, sommeerbare reeks, rekenkundige reeks, meetkundige reeks, harmonische reeks, alternerende reeks, monotone reeks, ····.   Er is echter een sterke traditie (wereldwijd) om, als het gaat om het optellen van de termen van een oneindige rij en speciaal om wat beschouwd wordt als 'de som van álle termen', vast te houden aan historische nomenclatuur. Men gebruikt dan:
- de aanduidingen convergente reeks en divergente reeks voor een sommeerbare dan wel niet-sommeerbare rij,
- de notatievorm  a₁ + a₂ + a₃ + ···  (of   Σa_i )   in plaats van   a₁, a₂, a₃, ···   (of   (a_i) ) ,
- en af en toe ook: de aanduiding limiet van de reeks voor de som van de rij (= de som van de reeks).
De dubbele, en dus context-afhankelijke, betekenis van de woorden divergent en convergent (limiethebbend en somhebbend), leidt veelal tot de opvatting dat het woord reeks verwijst naar een begrip dat verschilt van oneindige rij.

Over de terminologie bij oneindige sommaties

In leerboeken, naslagwerken en encyclopedieën wordt gewoonlijk gesteld dat het woord reeks verwijst naar iets anders dan een oneindige rij (afbeelding op de natuurlijke getallen). Beschrijvingen van dat andere lopen echter uiteen.   Soms is het: de combinatie van een rij en z'n partieelsommenrij,  of omgekeerd: de rij met als termen de koppels  a_i ; a₁+···+a_i .
Op andere plaatsen heet het: een oneindige formele som,  of: een oneindige sommatie,  of nog: de bij een rij behorende partieelsommenrij.  Ook noemt men bepaalde notatievormen zélf wel reeks: de plussenvorm   a₁ + a₂ + a₃ + ···   en de sigmavorm   Σa_i . De betekenis van deze vormen kan zijn: de rij (a_i) zelf, z'n partieelsommenrij, of z'n somwaarde.
Dit definitie-probleem is niet aan de orde bij de volgende interpretatie van het gangbare woordgebruik.

Vaak kan in een wiskundige tekst  reeks  vervangen door  rij  zonder dat de inhoud van die tekst verandert. Dit is onder meer het geval bij woordcombinaties als: de termen van een reeks, de partieelsommenrij van een reeks, de som van een reeks, een sommeerbare reeks, een meetkundige reeks, een rekenkundige reeks, een harmonische reeks, een alternerende reeks, een monotone reeks.
Er is echter een sterke traditie (wereldwijd) om, als het gaat om het optellen van de termen van een oneindige rij en speciaal om wat beschouwd wordt als 'de som van álle termen', vast te houden aan historische nomenclatuur. Men gebruikt dan:
- de aanduidingen convergente reeks en divergente reeks voor een sommeerbare dan wel niet-sommeerbare rij,
- de notatievorm  a₁ + a₂ + a₃ + ···  (of Σa_i)   in plaats van   a₁, a₂, a₃, ···   (of (a_i)) ,
- en af en toe ook: de aanduiding limiet van de reeks voor de som van de rij (= de som van de reeks).
De dubbele, en dus context-afhankelijke, betekenis van de woorden divergent en convergent (limiethebbend en somhebbend), leidt veelal tot de opvatting dat het woord reeks verwijst naar een begrip dat verschilt van oneindige rij.

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.

Concept-toevoeging aan het artikel Reeks (wiskunde). Versie 6 maart 2016

Over de terminologie in sommatie-situaties

In leerboeken, naslagwerken en encyclopedieën wordt gewoonlijk gesteld dat het woord 'reeks' verwijst naar iets anders dan oneindige rij (afbeelding op de natuurlijke getallen). Beschrijvingen van de betekenis van het woord lopen echter uiteen.   Soms is het: de combinatie van een rij en z'n partieelsommenrij,  of omgekeerd: de rij met als termen de koppels  a_i ; a₁+···+a_i .
Op andere plaatsen heet het: een oneindige formele som,  of: iets dat op te vatten is als een rij van partieelsommen,  of nog: iets dat te maken heeft met de situatie waarin termen van een oneindige rij worden opgeteld.  Ook noemt men bepaalde notatievormen zélf wel 'reeks': de plussenvorm   a₁ + a₂ + a₃ + ···   en de sigmavorm   Σ a_i. De betekenis van deze vormen kan zijn: de rij (a_i) zelf, z'n partieelsommenrij, of z'n somwaarde.
Dit definitie-probleem is niet aan de orde bij de volgende interpretatie van het gangbare woordgebruik.

In veel gevallen kan in een wiskundige tekst  'reeks'  vervangen door  'rij'  zonder dat de inhoud van die tekst verandert.   Er is echter een belangrijke uitzondering. Want een sterke traditie (wereldwijd) wil dat als het gaat om het optellen van de termen van een oneindige rij en speciaal om wat beschouwd wordt als 'de som van álle termen', gekozen wordt voor de aanduidingen convergente reeks en divergente reeks voor een sommeerbare dan wel niet-sommeerbare rij. En tevens voor de notatievorm a₁ + a₂ + a₃ + ···  of   Σ a_i  ,   in plaats van   a₁, a₂, a₃, ···   of   (a_i)  .
De nu dubbele, en dus context-afhankelijke, betekenis van de woorden convergent (limiethebbend en somhebbend) en divergent, leidt veelal tot de opvatting dat het woord  'reeks'  verwijst naar een begrip dat verschilt van oneindige rij.
Ook de aanduiding  'de limiet van een reeks'  komt in twee betekenissen voor:   termenlimiet en termensom.

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.

Bronnen inzake de terminologie

A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse, 1821:   p.123   Geannoteerde Engelse vertaling, 2009:   p.85. Cauchy gebruikte consequent het werkwoord convergeren voor limiethebbend, naast het naamwoord convergent voor somhebbend. Dit onderscheid heeft zich niet kunnen handhaven.
- M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, Euclides 1-4 pp.142-160. Pag. 146:   "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
- H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, p.3:   "De uitdrukking   u₁ + u₂ + u₃ + ···   of  Σ₁^∞ u_n   wordt een oneindige reeks genoemd. Wat voor betekenis die uitdrukkingen a priori in de gedachten van de schrijver hebben, wordt men niet gewaar.
- P.G.J. Vredenduin, Rij en reeks, 1967, Euclides 43-1 pp.22-23:   "De moeilijkheid, waarmee de nomenclatuurcommissie zat, is het geven van een verantwoorde definitie van een reeks. Van der Blij omzeilt dit op handige wijze. Hij definieert helemaal niet, wat een reeks is."
- A.H. Syswerda, Analyse voor vwo, 1968:   "Met de schrijfwijze   u₁ + u₂ + u₃ + ···   drukken we het voornemen uit, uit de termen van de oneindige rij   u₁, u₂, u₃, ···  de rij van partiële sommen te vormen."
- N.G. de Bruijn, Bijlage college Taal en Struktuur van de Wiskunde, deel V-21, 1978:   "Het taalgebruik ten aanzien van reeksen is traditioneel slecht."
- M. Spivak, Calculus (edities 1967-2006):   "De bewering dat   {a_n}   al dan niet sommeerbaar is, wordt traditioneel vervangen door de bewering dat de reeks   Σ_{n =1}^∞ a_n   al dan niet convergeert. Deze terminologie is enigszins eigenaardig, omdat ....."
- A.C.M. van Rooij, Analyse voor Beginners, 1986. In deze behandeling van de analyse komt het woord reeks nergens voor.
- idem, Wat reeksen zijn, is niet te zeggen, 2009, Nieuw Archief voor Wiskunde:   "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord ‘convergent’ niet in twee betekenissen gebruikt."
- Wikipedia-Frans, 2016, voetnoot 1 en 2:   "....auteurs als Combes 1982 geven geen formele definitie, maar zeggen alleen dat het bestuderen van een reeks neerkomt op het bestuderen van z'n partieelsommenrij...."
- Wikipedia-Esperanto, 2016, Ne ekzistas formala diferenco inter ...:   "Er bestaat geen formeel verschil tussen een rij en een reeks."
- C.F. Gauss (1777-1855), Werke Abt.I, Band X, S.400:   Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung .... (Er dient dus onderscheid gemaakt te worden tussen het convergent zijn van een rij, en het convergent zijn van z'n sommatie .......).
D.A.Quadling, Mathematical analysis; 1955 - 1968:   "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES."   (Als een zekere rij beschouwd wordt in relatie tot z'n partieelsommenrij, wordt er vaak de aanduiding oneindige reeks voor gebruikt.)
In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar.

'Reeks' vroeger meer gebruikelijk

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt. _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________

Concept-alternatief voor het bestaande artikel Reeks (wiskunde). 2015-12-14

Reeks is in veel situaties een ander, wat in onbruik geraakt woord voor rij.
In beschouwingen over de som van oneindig veel termen (het al of niet sommeerbaar zijn van oneindige rijen) wordt vaak voor 'reeks' gekozen. Opmerkelijk is dat in gangbaar taalgebruik de woorden reeks en rij toch niet overal uitwisselbaar zijn, met name als het gaat om combinaties met woorden als 'convergeren, 'convergent' en 'som'.

Notatie-conventies

In het wiskunde-onderdeel analyse staat 'rij' voor: een afbeelding op de natuurlijke getallen, in een ruimte met een metriek en een optelling. Waar een rij met een variabele wordt aangeduid, is in feite een enkelvoudige cursieve letter voldoende: $a$ .  Het rij-karakter is zichtbaar in:   $\left\langle a_{i}\right\rangle$   of    $\left\langle a_{i}\right\rangle _{i}$   of    $\left\langle a_{i}\right\rangle _{i\in \mathbb {N} }$   of    $\left\langle a_{i}\right\rangle _{i=1,2,\cdots }$   ook met ronde haken of accolades.

De partieelsommenrij van een rij  $a$  is de rij met als termen:   $\;a_{1},\;a_{1}$$+a_{2},\;a_{1}$$+a_{2}$$+a_{3},$  enzovoort.   Te noteren als:

$\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\right\rangle _{n=1,2,\cdots },\ \quad \sum _{i}a_{i}\;,\ \ \quad \sum a\,,$        $a_{1}$ $+$ $a_{2}$ $+$ $a_{3}$ $+\cdots \,,$        $a_{1}$ $+$ $a_{2}$ $+$ $a_{3}$ $+\cdots +$ $a_{i}$ $+\cdots \;.$

In combinatie met het woord ‘reeks’ in plaats van 'rij' zijn deze notatie-varianten niet altijd uitwisselbaar. Voorbeeld:   "de reeks Σ_i (i ^-2)   heeft een som"   wordt als waar gezien, terwijl   "de reeks  1^-2,   1^-2 + 2^-2,   1^-2 + 2^-2 + 3^-2, ∙ ∙ ∙ heeft een som"   op z'n minst onduidelijk is.   Dubbelzinnigheid en onduidelijkheid zijn te voorkomen door niet te spreken van de som van een reeks (en evenmin van de limiet van een reeks) maar van de som van een rij.

Een rij, zeg  $a$, waarvan de partieelsommenrij convergeert (naar een eindige limiet gaat) heet sommeerbaar.  De limiet van de partieelsommenrij van rij  $a$  kan, nu met het oneindig-teken erbij, genoteerd als:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\,a_{i}\right),\qquad \sum _{i=1}^{\infty }\,a_{i}\,,\qquad \sum ^{\infty }a\,,$          $a_{1}$ $+$ $a_{2}$ $+$ $a_{3}$ $+\cdots$ $\infty \ .$

Soms wordt dezelfde notatie gebruikt zowel voor de partieelsommenrij van een rij, als voor de som van diezelfde rij; de context is dan bepalend.

Opletten met het woord reeks

- Waar in geschreven en gedrukte teksten   'reeks   Σ_i a_i ....'   voorkomt in combinatie met   '.... convergeren/convergeert'   of   '....is convergent'   of   '....heeft een som',   is doorgaans bedoeld dat rij a een som heeft.  
Hetzelfde geldt voor combinaties met:   'reeks   a₁+a₂+a₃+··· .... ' .
'Reeks'   is hier niet altijd te vervangen door   'rij'   zonder dat de betekenis veranderd of onzeker wordt.

- Als 'reeks' gebruikt wordt in plaats van 'rij', dan kan zowel met ‘convergeren' / 'convergeert’ / ‘convergent zijn’ als met 'een limiet hebben'   bedoeld zijn dat de termenrij een som heeft.
Evenzo staat divergerende/divergente reeks soms voor een termenrij zonder som, terwijl divergerende/divergente rij alleen staat voor een termenrij zonder limiet.

- Bij de vraag naar de convergentie van een gegeven reeks (of rij), kan onduidelijk zijn of gezocht wordt naar de limiet of naar de som (of naar beide).

Vaak wordt de betekenis van 'reeks' beschreven als   "som van oneindig veel termen"   of   "met een gegeven oneindige rij geassocieerde formele som".

Conclusie: de kans op onduidelijkheden neemt af als in actief taalgebruik bepaalde gecombineerde uitdrukkingen met   'reeks'   en / of   'convergent'  vermeden worden.   'Sommeerbare rij'   is duidelijker dan   'convergerende / convergente reeks'.

Verschillenvorm naast termenvorm

Het kan voorkomen dat het onderliggende bouwplan (de regelmaat) van een oneindige rij niet eenvoudig te zien is aan z’n termen in standaardnotatie, maar veel beter aan de verschillen tussen z'n termen. Het ligt dan voor de hand daar gebruik van te maken bij het beschrijven van zo'n rij.
Zo zal men de (naar π/4 convergerende) rij   1,   ${\tfrac {2}{3}},\ {\tfrac {13}{15}},\ {\tfrac {76}{105}},\ {\tfrac {257}{315}},\ \cdots$   met aangroeiïngen    1,  − ${\tfrac {1}{3}},\ {\tfrac {1}{5}},$  − ${\tfrac {1}{7}},\ \cdots$
bij voorkeur noteren in één van z'n 'verschillenvormen'

$\sum _{n=1,2,\cdots }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)}}$       of       $1-{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}-{\tfrac {1}{7}}+\cdots$   .

Reeksvoorstelling,   reeksontwikkeling

Een getallenrij die een gegeven getal s als som heeft, heet: 'een reeksvoorstelling van s '.   Gaat het niet om getallen maar om functies dan is voor een functierij die een gegeven functie f als som heeft,  'een reeksontwikkeling van f ' gewoner.
Bij een speciale additieve opsplitsing van een gegeven functie f in machtsfuncties met oplopende graad, wordt gesproken van 'de taylorontwikkeling van f '   of   'de taylorreeks van f '.   De bij die rij van machtsfuncties horende partieelsommen heten 'taylorbenaderingen van f '   of   'taylorveeltermen van f '.
Evenzo wordt bij een speciale opsplitsing van een gegeven functie g in een bepaald soort goniometrische functies, gesproken van   'de fourierontwikkeling van g '   of   'de fourierreeks van g '  .

Sommeerbaar ≠ uitrekenbaar

De rij  (10 ⁻ⁿ) _{n ≥ 1}  is sommeerbaar; z’n partieelsommenrij  0,1 + 0,01 + 0,001 + ⋯  heeft een limiet.  In dit geval is de rij ook uitrekenbaar te noemen, want z'n limiet is te schrijven in breukvorm: 1/9.
Wanneer de som van een rij echter een irrationaal getal is, zal die som heel vaak niet te schrijven zijn in een bekende standaardvorm; van ‘uitrekenen’ kan dan dus geen sprake zijn. Voorbeeld: de som van de (sommeerbare) rij  (n ⁻²) _{n ≥ 1}  kan geschreven als  π² / 6, waarbij nog wel discussie mogelijk is over de vraag of dit een ‘uitgerekend’ antwoord is. Echter, als het gaat om de inverse kwadraten van alleen de opeenvolgende priemgetallen, dan heet die rij weliswaar nog steeds sommeerbaar, maar de 'uitkomst' zal hoogstwaarschijnlijk alleen te noteren zijn als

$\sum _{n=1}^{\infty }\,p_{n}^{-2}$        of als        $2^{-2}+3^{-2}+5^{-2}+7^{-2}+11^{-2}+\cdots +p_{n}^{-2}+\cdots \infty$  .

Absoluut / relatief convergent

Bij een (oneindige) rij hoort al dan niet een limiet.
Bij een rij met een limiet hoort al dan niet een som.
En bij een rij met een som hoort een absolute-waardenrij  ( |a_i | ) _{i ≥1}   met al dan niet een som.
Als van een sommeerbare rij a de absolute-waarden-rij een som heeft, dan heet rij a absoluut convergent,   zo niet dan heet rij a relatief convergent.

Bij een absoluut convergente rij kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de som te beïnvloeden. Bij een relatief convergente rij is dat niet zo.
Wanneer de termen van een relatief convergente rij reële getallen zijn, is het zelfs zo dat er (zelfs op heel veel manieren) herschikking van de termvolgorde mogelijk is waarbij eender welke som s te verkrijgen is. Hoe dat kan, is als volgt in te zien.

Een relatief convergente rij a bevat zowel oneindig veel positieve, als oneindig veel niet-positieve termen (anders zou na schrapping van een voldoende lang beginstuk, de staart uit termen van één soort bestaan; die staart is dan absoluut convergent, en de hele rij a dus ook.    Vorm nu uit a een nieuwe rij, ook beginnend met a₁ en dan:
als de termen in het al aanwezige beginstuk samen kleiner zijn dan de beoogde som s, nemen we voor de volgende term de eerste nog niet gebruikte positieve term van a, anders de eerste nog niet gebruikte niet-positieve term. Enzovoort.    Zo zal elke term uit rij a ergens in de nieuwe rij komen staan, terwijl die nieuwe rij s als som heeft.

Voorbeelden:
Een meetkundige rij met reden (constante factor) tussen -1 en +1 is absoluut convergent, anders divergent.

De alternerende harmonische rij   1, -1/2, +1/3, -1/4, + ...   is relatief convergent. Want deze rij heeft een som (= ln(2) ), maar z'n absolute waardenrij (de harmonische rij   1, 1/2, 1/3, 1/4, ...1/n, ... ) niet.

Historie

Eeuwen lang was ‘reeks’ (Latijn en Engels: series, Duits: Reihe, Frans: série) in de wiskunde de gebruikelijke aanduiding voor een rij (meestal een oneindige getallenrij). Rond het begin van de 19e eeuw verschijnen, aanvankelijk als synoniem voor reeks, de woorden rij in het Nederlands en sequence - Folge - suite in het Engels, Duits en Frans.

De gezaghebbende Franse wiskundige Cauchy gebruikte in 1821 Parijs,1821   ‘série’ speciaal voor een ‘une suite indéfinie’ (een oneindige rij). Hij introduceerde verder ‘une série convergente’ voor een oneindige rij met een som; dit naast het al bestaande ‘converger d’une suite’ voor het naar een limiet gaan van een rij.
Het geringe verschil tussen de woorden ‘convergeren’ en ‘convergent’ leidde tot onzekerheid over de vraag of ‘convergent’ wijst op termen-convergerend, dan wel op partieelsommen-convergerend. En eveneens tot onzekerheid over de vraag of het gebruik van ‘reeks’ in plaats van ‘rij’, bepalend is voor de betekenis van ‘convergent’.

Nederlandse schoolboek-auteurs hebben in de tweede helft van de 20e eeuw het woord ‘reeks’ vervangen door ‘rij’, zonder verandering van de betekenis.

Algemene referenties

- Belinfante, M.J.; Convergentie en som van oneindige reeksen, 1925. Artikel in BIJVOEGSEL van ... (later: Euclides), jrg.1. "een oneindige reeks is ...": p.143;   "een reeks is convergent als ...": p.146;   variabele reeks-sommen: p.151 voetnoot.
- Bockwinkel, H.B.A.; Kollege integraalrekening, 1932. (Citaat uit een bespreking van reeks-definities op p.3: "Gewoonlijk blijft men min of meer in ’t vage omtrent dat begrip.")
- Creighton Buck, R.; Advanced Calculus, 1965. (Citaat p.158: "An infinite series is often defined to be: an expression of the form Σ₁^∞ a_n.   It is recognized that this has many defects.")
- Spivak, Michael; Calculus, 1967 – 2006. (Citaat: "The statement that  {a_n}  is, or is not, summable is conventially replaced by the statement that the series  ∑_n=1^∞ a_n  does, or does not, converge. This terminology is somewhat peculiar, because .... .")
- de Bruijn, N.G.; Bijlage college Taal en Struktuur van de Wiskunde, 1978. (Citaat uit deel V-21, p.7: "Het taalgebruik ten aanzien van reeksen is traditioneel slecht.")
- van Rooij, A.C.M.; Analyse voor Beginners, Epsilon-uitgaven; 6. 1e druk 1986 (Het woord ‘reeks’ komt in dit boek niet voor bij de sommatie van rijen. ‘Convergeren’ en ‘convergent zijn’ zijn synoniem. Een rij met een som heet ‘sommeerbaar’.)
- Martini, R.; Fundamentele Analyse II, dictaat Universiteit Twente, oktober 2000. (In het hoofdstuk Sommatie van rijen komt het woord ‘reeks’ niet voor.)
- van Rooij, A.C.M.; Nieuw Archief voor Wiskunde (5/10 nr. 1 maart 2009, p.62)   [12]   Een argumentatie voor het niet proberen te definiëren van een van "rij" afwijkende betekenis van "reeks".

Noten

_______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

De reeks-kwestie in lekentaal

Als voorbeeld dient de rij:

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, .... etcetera, elk volgend breukje is de helft van z’n voorganger.

Bij die rij kun je op twéé manieren spreken van een grens-getal (een brandpuntgetal, een getal waar de rij naar toe convergeert, een limiet):

I. De getallen (de termen) van de rij worden almaar kleiner, komen almaar dichter bij....nul. Nooit echt precies, maar toch dichter bij nul dan bij welk getal ongelijk aan nul dan ook. Dus in vaktaal: de termen van de rij convergeren naar nul. (“blijven hangen bij nul”, “clusteren bij nul”)

II. Een tweede manier om naar die rij te kijken is: wat gebeurt er als ik al die getallen zie als dingen die ik op elkaar kan stapelen, dus als ik steeds het volgende toevoeg aan het voorafgaande totaal? Dus:

1+ 1/2 = 3/2;   3/2 + 1/4 = 7/4;   7/4 + 1/8 = 15/8;   en zo verder.

Gaan die onderstreepte tussentotalen nu ook naar een brandpuntgetal?   Ja!   De afstand tot getal   twee   wordt steeds kleiner, maar het tussentotaal komt nóóit over de twee heen. Dus in vaktaal: de subtotalen van die rij convergeren naar twee.

Samengevat: de grenswaarde (de grensterm) van de voorbeeldrij is 0, en z’n grenstotaal is 2.

Nu is er een wat eigenaardige gewoonte onder wiskundigen (al eeuwen lang, wereldwijd) om te zeggen dat als je het hebt over dat grenstotaal, en als je probeert dat zo eenvoudig mogelijk uit te drukken (dat is vaak veel moeilijker dan bij de voorbeeldrij hierboven, maar vaak ook belangrijker/interessanter dan de grenswaarde), dat dan die rij ineens geen rij meer heet. Ze noemen hem dan 'reeks' (Engels/Latijn, Frans, Esperanto: series, série, serio).
Dat is nog tot daar aan toe, maar het gekke is dat ze beweren dat die rij/reeks dan ineens een ander wiskundig ding is geworden, dat het helemaal geen rij meer IS! Dat geeft enorme verwarring. Want wat die 'reeks' dan wél voor een ding is, blijft beroepsgeheim. Wie er hardop naar vraagt wordt vaak gezien als onrustzaaier, als een soort klokkenluider.

_______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

Kladblok - kladversies

Concept-bewerking Reeks-artikel:

     Intro:

Waar het optellen van de termen van een oneindige rij aan de orde is, wordt gesproken van een reeks. Bij een gegeven rij a wordt zo'n reeks genoteerd met de formulevorm Σ... of met a1+a2+a3+... . Let op: dezelfde notaties worden gebruikt voor de partieelsommenrij van rij a, en ook nog voor de som van rij a.

     Definitie:

Het woord 'reeks' staat voor: de optelling van alle termen van een oneindige rij.

     Oneindige optelling (achteraan)

Pogingen om nader te omschrijven wat te verstaan is onder een oneindige optelling, hebben onder andere geleid tot het door de Fransman Cauchy toekennen van de betekenis 'oneindige rij' aan het woord reeks (Frans:série, Engels/Latijn: series, Duits: Reihe). Helaas koos hij het woord 'convergent' voor somhebbend naast het al bestaande 'convergeren' voor limiethebbend. Dit kleine verschil is door velen niet opgemerkt, dan wel bewust genegeerd, hetgeen tot veel verwarring in de naamgeving rond rij en reeks heeft geleid. Met name rond de manier waarop eenduidig te beschrijven is wat precies bedoeld wordt met 'de optelling van oneindig veel getallen' en dus ook met het woord 'reeks'.

Motivering: Trewal stelde voor: de optelling van alle termen van een oneindige rij.

Toevoegen aan pogingenlijst: nr 31: Belinfante

Bij plaatsing eigen tekst, op Overleg vermelden:
== Artikeltekst De huidige artikel-tekst stelt dat 'het begrip reeks' een uitbreiding is van de gewone optelling. Er wordt geen definitie gegeven voor de term "reeks", maar wel voor het ongrijpbare/onvatbare "de met een gegeven rij a geassocieerde reeks" (verwijzend naar een niet nader verklaarde 'geordende formele som'). In het artikel dient dan op veel plaatsen (op andere plaatsen weer niet) de term 'reeks' gelezen te worden als "de rij a die geassocieerd is met de, met rij a geassocieerde, geordende formele som". Wat moet een lezer met deze zigzag-omweg? Ik plaats een bewerking waarin aan dat reeks-woord wordt wél direct een frequent voorkomende betekenis wordt toegekend. Met een bespreking van een aantal historisch gegroeide eigenaardigheden in het courante gebruik.

Toelichting bij afwijkingen met vorige versie:

-Met de nieuwe intro lijkt aan een herhaaldelijk door Bob.v.R genoemd bezwaar tegemoetgekomen: in de inleiding geen voor een lezer hinderlijke/verwarrende vermenging van twee verschillende interpretaties voor de term 'reeks'.
-De passage over "limiet-oneindig" in vorige versies, hoort thuis in lemma "Limiet".
-De passage over de "somformule meetkundige rij/reeks" in het lemma "Meetkundige rij/reeks".
-Het bewijs voor de divergentie van de harmonische rij, in het lemma "Harmonische rij/reeks".
-De sectie "absoluut / relatief convergent" lijkt ook beter te passen in "absolute convergentie", voorlopig blijft er nog wat over staan.
-De vier reeksvoorstellingen aan het slot (van met pi verwante getallen), passen minstens zo goed in lemma Pi. (Twee van de vier komen ook in de door mij gepresenteerde versie aan de orde. Meer voorbeelden zorgen niet voor meer duidelijkheid omtrent de term 'reeks'.)

Aanvulling op overleg-pag.:

Deze nieuwe versie bestaat voornamelijk uit beschouwingen over zaken waarin reeks en rij synoniemen zijn. Over het karakter van het meermalen voorkomend "de met een gegeven rij geassocieerde geordende formele som" lijken nadere aanvullingen gewenst.

Wikipedia-lemma: Meetkundige rij (Bewerkers o.m. Bob.v.R, Madyno, Patrick) Als de opeenvolgende elementen van een rij steeds bij elkaar worden opgeteld, dan spreken we van een reeks.(Ingevoegd door Bob.v.R: 30 aug.2012: "beste mensen, een rij is GEEN reeks". In onderschrift bij plaatje rij gewijzigd in reeks) Madyno, 20 juni 2008 17:10 verandert rij in reeks. Patrick ook hier actief.

Lemma Fourier-reeks in Esperanto: Vico de Fourier, maar Serio de Taylor

André Engels. (Den Bosch, computerdeskundige, gigantisch veel bijdragen, ook veel wiskunde, in analyse weinig, over reeks alleen aan Harmonische rij toegevoegd "de bijbehorende reeks Σ1/n" 2 jan. 2005.)

Lemma Convergentie: door Bob.v.R toegevoegd:

    20 jan 2005 19:18  "Een reeks sigma ai is convergent, als............"
    6 sep 2005   "verwarring tussen rijen en reeksen opgeheven"

8 dec.
Opmerken bij artikeltekst: 1. reeks wordt genoteerd als... 2. reeks is de expressie voor ... Wat betkent "som" in deze context?

Nog wijzigen, de artikelen: Rij (elementen naar termen) Meetkundige rij: (onzinregel eruit, reeks eruit) Harmonische rij: (na 20 maart: De H-reeks is niet convergent(heeft een som) )

De rij (ook wel reeks van Fibonacci genoemd) begint met

Recurrente rijen

http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4419-0549-9#page-1

http://www.springer.com/us/book/9781441905482 (volledige boek?)

http://downloadfullebooks.com/copy/cauchy-s-cours-d-analyse-ebook-robert-e-bradley

Bob zegt zélf: reeks = rij: Over anderstalige Wikipedia's gesproken (Bob.v.R 3 dec 2015 21:41): De 'definitie' is in de Franse totaal anders dan die in de Engelse. En in de Duitse wordt 'eine Reihe' als nóg weer iets totaal anders gezien. Leerzaam kan het zijn om te zien dat in de voorgeschiedenis van die huidige versies het hele scala van definitie-pogingen voorkomt. Kunnen we de Esperanto-versie toch niet als compromis zien? daar staat al vanaf 2002: Rimarko: Ne ekzistas formala diferenco inter la nocioj de vico kaj serio. Dit wijkt niet fundamenteel af van wat Bob.v.R op 18 november schreef: "verderop bij de lezer in te wrijven dat men, als men dat wil, rij en reeks als eenzelfde begrip zou kunnen opvatten?" en "De mededeling dat op een hoger abstractieniveau een rij en een reeks identiek zijn hoort m.i. niet thuis in het begin van dit artikel." Hesselp (overleg) 4 dec 2015 00:22 (CET)

van wat Bob.v.R op 18 november schreef: "verderop bij de lezer in te wrijven dat men, als men dat wil, rij en reeks als eenzelfde begrip zou kunnen opvatten?"    en    "De mededeling dat op een hoger abstractieniveau een rij en een reeks identiek zijn hoort m.i. niet thuis in het begin van dit artikel."

Verwijderd: een voetnoot die volkomen nodeloos de lezer in verwarring brengt / op het verkeerde been zet. Die afwijkende definitie en voetnoot waren absoluut NIET in het belang van de lezer.)

Madyno, naar mijn mening is het schadelijk voor wikipedia dat een gebruiker, geheel op persoonlijke gronden, een kruistocht voert tegen het gebruik van de term "reeks (wiskunde)". Zie nu weer harmonische rij waarop de term "harmonische reeks" een en andermaal wordt verwijderd (zie ook Overleg:Harmonische rij). Dit druist compleet in tegen wat gebruikelijk is op wikipedia, namelijk de lezer neutraal en volledig voorzien van informatie. Bob.v.R (overleg) 12 dec 2015 02:23 (CET)

Verzoek om blokkade[bewerken]

Hesselp heeft nu binnen 24 uur 3 keer een verandering bij harmonische rij teruggedraaid.

Dat geeft, meen ik, de mogelijkheid een verzoek tot blokkade in te dienen. Ik weet alleen niet hoe. Jij? Madyno (overleg) 13 dec 2015 22:14 (CET) Een blokkadeverzoek is wel een uiterste middel. Ik heb op Overleg:Harmonische rij gesuggereerd om nu even te stoppen met de oneindige rij aan detailvragen en eerst te bezien of consensus bereikt kan worden over de uitgangspunten. Hopelijk biedt dat een mogelijkheid om alsnog eruit te komen via overleg, al blijft het (met deze gebruiker) afwachten. Het verzoeken tot blokkeren van een geregistreerde gebruiker gaat via Wikipedia:Verzoekpagina voor moderatoren/RegBlok. Groeten, Bob.v.R (overleg) 13 dec 2015 23:48 (CET)

Meetkundige rij:

Definitie: Als de termen van een rij worden opgeteld, spreken we van een reeks

Nogmaals over de artikelzin (door Bob.v.R toegevoegd 30 aug 2012 21:58) "Als de opeenvolgende elementen van een rij steeds bij elkaar worden opgeteld, dan spreken we van een reeks."   Zou hier echt mee bedoeld zijn: "Als iemand, ergens ter wereld op een zeker moment steeds getallen optelt, dan heet die handeling een reeks " ?.

30 aug.2012: "beste mensen, een rij is GEEN reeks". (=Samenvatting bij invoering bewerkte tekst.)

Op een eerdere oproep op deze pagina (7 dec) kwam nog geen concreet alternatief.

De term 'reeks' komt in het artikel Meetkundige rij nog driemaal voor (ingevoerd door Madyno in 2008 en Bob.v.R in 2012). Een zoektocht binnen Wikipedia naar de daar bedoelde betekenis van die term, levert het volgende op:

1. Op 31 aug 2008 07:56 plaatst PetrusPan in het lemma Reeks: "Een reeks is een ander woord voor rij van partieelsommen".

2. Na zeven jaar (16 nov 2015 16:02) schrapt Hesselp dit "reeks = rij van partieelsommen", en stelt dat door huidige auteurs van wiskunde-teksten in de regel 'rij' gebruikt wordt ter vervanging van het wat in onbruik geraakte woord 'reeks' (met een aanpassing in het woordgebruik mbt. 'convergent').

3. Op 02 dec 2015 19:51 plaatst Bob.v.R de als definitie bedoelde zin:
"Voor iedere rij $\{a_{n}\}$ van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de geordende formele som $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$. "

Alle volgende fragmenten komen uit teksten van Bob.v.R in Overleg:Reeks.

4. 18 nov 2015 03:59; "het wiskundige begrip reeks"

5. 18 nov 2015 19:20; "binnen de gangbaar gebruikte definities zijn rij en reeks verschillende zaken"

6. 25 nov 2015 20:04; "een heden in gebruik zijnd wiskundig begrip"

7. 25 nov 2015 23:45; "de gangbare definitie"

8. 27 nov 2015 01:20; "de definitie van het begrip 'Reeks' "

9. 29 nov 2015 03:13; "in de wiskunde zijn 'reeks' en 'rij' niet synoniem"

10. 29 nov 2015 14:51; "er is een goede definitie voorhanden, die door bronnen wordt onderbouwd"

11. 03 dec 2015 21:41; "een partieelsommenrij a₁, a₁ + a₂, a₁ + a₂ + a₃, ... is m.i. iets anders dan een formele oneindige som. Ze hebben met elkaar te maken, maar dat ze op elkaar zouden lijken gaat mij (veel) te ver"

12. 15 dec 2015 21:01; "dat een reeks is op te vatten als een rij van partieelsommen betekent niet dat daarmee rij en reeks synoniem zouden zijn"

13. 20 dec 2015 21:31; "het begrip 'reeks' [...] een gangbaar wiskundig begrip".

Ondanks tientallen verzoeken aan Bob.v.R weigert hij om voor den dag te komen met een inhoudelijke aanduiding van dat 'gangbare wiskundige begrip, met de naam 'reeks'. Het momenteel in het lemma Reeks vermelde "een geordende oneindige formele som" is voor niemand te volgen, en heeft ook geen verwijzing naar verklarende bronnen. In deze situatie permitteer ik me om in het lemma Meetkundige rij, de toelichting bij de term 'reeks' door een andere te vervangen.

Concept reactie Hesselp

Madyno, in antwoord op jouw okee-vraag van 20 dec. Jij lijkt in je regels van 20 dec te zoeken naar punten van overeenstemming tussen ons. Met je eerste twee zinnen kan ik instemmen. De derde zin, zonder vermelding van een (precieze) definitie van "oneindige sommatie" brengt mij tot wat hier volgt.

Ik zet nummers bij zinnen/beweringen die hopelijk zó duidelijk geformuleerd zijn, dat je er ja dan wel nee op kunt zeggen.

I. Het lijkt praktisch om af te spreken dat we in de discussie voorlopig onder 'rij' zullen verstaan: een oneindige rij met eerste term.

II. Bij elke rij met termen in een doelverzameling met een optelling, zijn we het eens over wat we bedoelen met: 'de partieelsommenrij van de gegeven rij' = 'de bij de gegeven rij behorende partieelsommenrij'.

III. Je kunt van een willekeurige rij niet zeggen of het 'een partieelsommenrij' is, alleen dat het 'de partieelsommenrij van een bepaalde andere rij' is.

IV. Er is dus sprake van een afbeelding van een gegeven rij naar een nieuwe rij. Die afbeelding heeft in gangbaar spraakgebruik de (misschien wat wonderlijke) naam 'partieelsommenrij'.

In het volgende moet de doelverzameling van de bedoelde rijen niet alleen een optelling, maar ook een lineaire ordening hebben. En laten we voor het gemak ook afspreken dat die doelverzameling 'volledig' is.

V. Sommige rijen zijn (op de bekende manier) te koppelen aan een element uit hun (volledige) doelverzameling. Die rijen noemen we sommeerbaar, of 'een som hebbend'.

VI. Dat aan een rij toegevoegde element (de limiet van z'n partieelsommenrij) wordt normaal 'de som van de rij' genoemd, maar om aan te geven dat het wat anders is dan een 'gewone' eindige som, lijkt het praktisch om in deze discussie 'sommenlimiet' te gebruiken.

VII. Dat woord 'sommenlimiet' is dus weer de naam voor een bepaalde afbeelding. Net zo als 'termenlimiet' de naam is van nog een derde afbeelding (weer met rijen als originelen).

VIII. In de wat meer gespecialiseerde wiskunde komen nog tal van andere recepten voor om aan een gegeven rij een element uit de doelverzameling toe te voegen: het Cesàro-recept, het Abel-recept en nog heel veel meer; zie onder 'divergent series' of 'sommatie-methoden'. In dit verband zouden we de 'gewone' som van een rij ook z'n 'Cauchy-som' kunnen noemen.

IX. Als een rij een rationale sommenlimiet heeft, ligt het voor de hand om te spreken van het 'uitrekenen' van dat getal: het herleiden tot de (een van de) standaardvorm(en) ter notatie van rationale getallen. Wanneer de sommenlimiet van de rij niet rationaal is, kán het zo zijn dat die toch ook in een 'gesloten' vorm te schrijven is, en je dus (wellicht?) van uit-rekenen kunt spreken. Voor heel veel sommeerbare rijen geldt echter dat de sommenlimiet niet anders te noteren is dan in een vorm waarin de originele rij in voorkomt. Van uitrekenen is dan totaal geen sprake.

X. Nu de vraag, wat we ons kunnen denken bij "oneindige sommatie". Bij een éíndige breukenrij zal bij het woord 'sommatie' al gauw gedacht worden aan de opdracht tot herleiding van het totaal naar de enkelvoudige breukvorm (alle termen gelijknamig maken...etc.). Bij een óneindige breukenrij zal de eventuele rationale sommenlimiet in breukvorm, nooit gevonden worden langs de weg van het steeds weer tot een enkele breuk herleiden van elke volgende term van de partieelsommenrij. De woorden 'oneindige sommatie' zetten je dus in zekere zin op het verkeerde been, want er zijn heel andere trucs nodig om de totaal-waarde van de rij naar een breukvorm herleid te krijgen.

XI. Zie ik het goed, dat bij een éíndige sommatie het woord 'reeks' helemaal niet in beeld komt? Dat er geen rol is voor dat woord?

XII. Nu de voor mij beslist nog ópen vraag: Op welke plaats in beschouwingen over rijen en hun Cauchy-som zie jij een rol weggelegd voor de aanduidingen 'oneindige sommatie', 'oneindige formele som', en voor het woord 'reeks'?

XIII. In de voorgaande twaalf punten ging het over begrippen die een rol spelen in deze hoek van de analyse, en hun verbale aanduidingen. Aanduidingen in formulevorm (met sigma-tekens en plustekens) kwamen nog niet voor. Kan het zijn dat de in XII genoemde benamingen niet gebruikt worden voor begrippen, maar voor speciale formulevormen voor die begrippen?

XIV. Of is het nog anders. En wel dat de gangbare praktijk zich het best laat beschrijven door te stellen dat de formulevorm met de Griekse sigma (Σ_{i=1,2,····}a_i ) en de (historisch gezien oudere)vorm met plustekens ipv. komma's tussen de termen (a1+a2+a3+···), allebei aanduidingen zijn voor de rij (vroeger vaker/meestal 'reeks' genoemd) a die in die formulevorm voorkomt, en wel - nu komt het - in situaties/beschouwingen/contexten waarin de sommenlimiet van die rij a een rol speelt.

XV. Waarbij het - jammer maar helaas - nog zó is dat precies dezelfde sigmavorm en plussenvorm óók nog in twéé andere betekenissen gebruikt worden: als compacte notatie voor de partieelsommenrij van de basisrij, én voor de sommenlimiet van de basisrij (de termenlimiet van de partieelsommenrij van de basisrij).

Madyno, bij welke nummers kan je je aansluiten, en bij welke haak je af? Dan graag met toelichting.

Geen origineel onderzoek is een term die op Wikipedia wordt gebruikt met betrekking tot materiaal dat nog niet gepubliceerd werd in een betrouwbare bron, die betrekking heeft op het betreffende onderwerp. Origineel onderzoek omvat ongepubliceerde feiten, termen, argumenten, concepten, stellingen of theorieën, of ieder andere vorm van niet-gepubliceerde analyse of synthese van gepubliceerd materiaal – of zoals in de woorden van Wikipedia-oprichter Jimmy Wales: "een nieuwe zienswijze of nieuwe historische interpretatie".

Wikipedia:Geen origineel onderzoek ("GOO") is een van de drie pijlers waarop het Wikipedia-project rust. De andere zijn Wikipedia:Neutraal standpunt (ook wel "NPOV") en Wikipedia:Verifieerbaarheid. Samen dragen ze zorg voor het soort materiaal dat kan worden toegelaten in Wikipedia-artikelen, alsmede voor de kwaliteit ervan. Aangezien de drie pijlers elkaar aanvullen, zijn ze onlosmakelijk met elkaar verbonden. Ze moeten dus niet afzonderlijk worden geïnterpreteerd en gebruikers zouden er goed aan doen om zich met alle drie vertrouwd te maken.

Alles in Wikipedia moet gebaseerd zijn op betrouwbare bronnen (als er geen betrouwbare bronnen over een onderwerp zijn dan mag het niet in Wikipedia behandeld worden, ongeacht hoe 'bekend' of 'belangrijk' het onderwerp is). Hoewel het niet verplicht is om die bron ook aan te geven, helpt zorgvuldige bronvermelding vaak wel om aan te tonen dat er geen sprake is van origineel onderzoek.

Zie ook: Wikipedia:Artikelbazen

___________________________________________________________________________

Reactie op Bob.v.R 's zestal oneliners (halfliners) dd. 1 jan 2016 02:53.
A1.   Okee.
B1.   Het totale dispuut gaat over de vraag wat hier door Bob.v.R bedoeld wordt met "een reeks". Ik deed een poging om het eens te worden (niet over de aanduiding 'een reeks' maar) over de betekenis van de aanduiding 'de reeks van een gegeven rij a', maar daar komt geen andere reactie op dan 'nog niet aan de orde'.
A2.   De formulering van dit zinnetje is voor mij betekenisloos. Als ik het mag lezen als: "De afgeleide (of: de afgeleide functie) van een gegeven functie is zelf ook weer een functie."   dan okee.
B2.   Zie B1.
A3.   De term 'synoniem' uit de taalkunde betreft het overeenkomen van de betekenisinhoud van twee verbale aanduidingen.   Maar ook in de variant: "De aanduiding 'een afgeleide functie' is niet synoniem met het woord 'functie'  "   is de uitspraak voor mij betekenisloos. Omdat je aan een functie niet kunt zien of het een 'afgeleide' functie is (net zo min als je aan een rij kunt zien of het een 'partieelsommen'-rij is). <B3.   Zie A3.
Kan Bob.v.R z'n vragen/stellingen beter laten aansluiten bij het beschreven kader: wáár gaat het om een definitie/afspraak van terminologie, en wáár om de inhoudelijke beschrijving van een begrip?   Zo nee, dan vrees ik dat we uitgepraat zijn.

In mijn ogen is wiskunde géén meerderheid-van-stemmen-kunde, en geen papegaaien-kunde. En ook geen wie-kan-iemand-met-een-afwijkende-opvatting-het-beste-afkatten-kunde.
Dus: vragen en mededelingen aan mij graag formuleren zónder enige verwijzing naar argumenten als 'want iedereen zegt het toch'  /  'de literatuur zegt het toch duidelijk'  /  'alle andere deelnemers zeggen het'   /   '90% van de citaten laat het zien'  ; noch met als onaantastbaar gepresenteerde beslistheden als: 'een reeks IS geen rij' / de woorden 'reeks' en 'rij' ZIJN NIET synoniem' /  etcetera.   En eveneens zónder 'schreeuwen zoals Hesselp'  /  'ieder die serieus'  /  'durft te beweren'  /  'veinzen' / 'dollen'   ......... .   En dan ook graag nog mij op m'n woord geloven dat waar ik woordjes als 'is' en 'zijn' in vette of kapitale letter schrijf, dat nooit anders bedoel dan om aan te geven dat dát het woord is waar ik commentaar op geef; ik meen dat dat de communicatie ten goede kan komen.

DFTT = Don't feed the Troll Although originally a non-offensive reference to fishing by trolling for comments or suggestions, the term in Internetspeak has evolved and now refers to someone who engages in discussions purely to provoke or annoy. Because trolls take away from productive work, the ideal response is to starve the troll of attention by ignoring it and going about your usual business. People being people, though, someone usually takes the bait, which is why trolls are so notorious.

Trewal citaat alsnog invoegen (11 regels) in bijdrage 10 jan.

In mijn bijdrage van 10 jan met een selectie van eerdere uitspraken in dit overleg over de betekenis en het gebruik van 'reeks', ontbrak nog het op 5 jan 2015 22:31 door Trewal genoemde viertal gebruiksmanieren. Vergelijking hiervan met wat ik aan het slot van mijn bijdrage op 10 jan concludeerde, toont zoveel overeenkomst dat ik meen tot een nieuwe geïntegreerde versie te kunnen komen als volgt.

Het woord 'reeks' lijkt (in wiskundige context) op meerdere manieren gebruikt te worden. Zoals ter aanduiding van (of als onderdeel in een meerwoordige aanduiding van, of - heel gebruikelijk - in combinatie met een plussenvorm of sigmavorm):
1. een oneindige(getallen)rij met een doelverzameling waarin zowel een metriek als een optelling
2. de partieelsommenrij van zo'n rij
3. de somlimietwaarde van zo'n rij (de termlimietwaarde van z'n partieelsommenrij)
4. de bewerking termenrij → somlimietwaarde (som)
5. de bewerking termenrij → partieelsommenrij
6. de formulevorm   a₁ + a₂ + a₃ + ··· (+ a_i + ···), de plussenvorm
7. de formulevorm   Σ_{i =1}^∞ a_i  , de sigmavorm.

Op allerlei plaatsen wordt ook genoemd:
8. de optelling van een rij / de sommatie van een rij (zijnde de opgave om een compacte (zo eenvoudig mogelijke) uitdrukking te vinden voor de somlimietwaarde; een activiteit vergelijkbaar met het herleiden van een eindige rij termen tot een compacte (zo eenvoudig mogelijke) uitdrukking voor het totaal)
9. de som van een rij (zijnde iets anders dan z'n somlimietwaarde; .......... )
Bij 8. en 9. is het mij veel minder duidelijk op welk 'wiskundig begrip' gedoeld wordt. Ter afsluiting:
10. vroeger het meer gangbare woord voor een rij (in al z'n betekenissen)

Waarom nooit 'partieelsommenreeks? Fibonacci-reeks ? Waarom géén lemma meetkundige reeks, rekenkundige reeks? harmonische reeks? Waarom wel altijd 'machtreeks? Fourier-reeks reeks-ontwikkeling Alleen toevallige traditie, of zit er een systeem achter?

Kan het bovenstaande een kader zijn waarover consensus is? Te gebruiken bij het schrijven van een acceptabele artikeltekst?

Bij welke nummers zijn er overtuigend veel vindplaatsen? En bij welke nummers zo gering dat die toepassing niet bij de primaire betekenis(sen) genoemd dient te worden?

_______________________________________________________________________________________________

---

_______________________________________________________________________________________________

Alternative for the unconceivable:   [...] series is [...] the ordered formal sum [...]

No simple clear description can be found for the mathematical object meant by the defining phrase "an ordered formal sum of an infinite number of terms". Yet the word 'series' is frequently used in mathematical texts, so the question remains: what is in fact communicated by this word?   I'll give my answer; please comment on it.

The word 'series', as well as the word 'sequence', refers to mappings on the natural numbers (the Peano structure); the words are synonyms as far as their mathematical content is considered.
The choice for the word 'series' is often made to announce or to emphazise that something will be said about the limit of the partial sums of some mapping on N: concerning the existence of this limit (with words as convergent/divergent/to converge/to diverge), or concerning this limit as a number (the sum of the mapping on N under consideration).
Moreover, in case the word 'series' is used for a mapping on N (say: a), as a notation for this mapping the commas form
a₁, a₂, a₃, ... (, a_i , ...)   is often replaced by the plus-signs form   a₁ + a₂ + a₃ + ... (+ a_i + ...)   or the sigma form   Σ_{i =1,2,...} a_i   .
Two remarks:
1. The plus-signs form and the sigma form are also used for the sum of a (and sometimes as well as for the sequence of partial sums of a).
2. In almost all modern texts the words convergent/divergent/to converge/to diverge, in combination with the word 'sequence', apply to the terms, and not to the partial sums.   In some older texts (mostly 19th century, following Cauchy) the verbs are used only in combination with 'sequence', and the adjectives only with 'series'; the word 'convergence' doesn't occur. See Bradley R.E., Sandifer C.E., 2009, Cauchy's Cours d'analyse - An Annotated Translation

(p.85) We call a series an indefinite sequence of quantities,

u₀, u₁, u₂, u₃, ··· ,

which follow from one another according to a determined law.

(p.86) Following the principles established above, in order that the series

u₀, u₁, u₂, ···, u_n, u_n+1, ···

be convergent, it is necessary and it suffices that increasing values of n make the sum

s_n = u₀ + u₁ + u₂ + ··· u_n-1

converge indefinitely towards a fixed limit s.

--

---

Aus artikel FOLGE:
Herr W, 14 Oktober 2004, 15:46: Addiert man die Glieder einer Folge, so erhält man eine Reihe.
Herr W, 14 Oktober 2004, 19:52 === Angabe als Reihe ===
Eine Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, deren $n$-tes Glied als Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ geschrieben werden kann, heißt eine Reihe:

$s_{n}=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Man kann jede Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ als eine Reihe auffassen, indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine zugehörige Folge

$a_{i}={\begin{cases}0&{\text{wenn }}i=0,\\s_{i}-s_{i-1}&{\text{sonst}}\end{cases}}$

konstruiert.

             Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. 

Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen. Viele Erklärungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte, sondern deren zeitliche Veränderungen, was für die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht.

Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe, wenn man die Summation für beliebige $n$ ausführen kann. Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt für die arithmetische Reihe und die geometrische Reihe.

Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert. Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien.

Herr W is direct op 15 oktober verdwenen.

Artikel Reihe geeft vanaf 2003: Reihe ist eine Zahlenfolge deren Glieder als Summen von Gliedern einer anderen Folge gegeben ist.

'Reihe' und 'Folge' sind synonym

Im mathematischen Teilgebiet der Analysis sind die Wörte 'Reihe' und 'Folge' synonym; beide stehen für: Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge. Denn die Definition:    Eine Folge deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge geschrieben werden kann, wird Reihe genannt,    sagt gar nichts, weil jede Folge als Partialsummenfolge seiner Differenzfolge auf zu fassen ist (und zu sehen und zu schreiben ist).
In Folge (Mathematik) steht: "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar.". Die Wahrheit ist, meiner Meinung, das die Wörte inhaltlich (im mathematischen Sinn) gar nicht trennbar sind. Man kann nur feststellen das es Kontexte gibt worin traditionell oft für 'Reihe' gewählt wird (im Zusammenhang mit Existenz und mit Wert der Summe).  Sehe auch [13]

Wikipedia-Frans

Toutes les problèmes avec la définition de notion 'série' sont disparu, quand on lit et suit Cauchy, Cours d'analyse p.123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités..." .
Dans cette interprétation les mots 'série' et 'suite indéfinie' sont synonyme.
Mais........ la tradition (mondiale) dit, quand il s'agit de l'existence ou de la valeur de la limite de la suite des sommes partiales d'une suite (a_i), on choisit 'série' au lieu de 'suite' à indiquer cette (a_i).
En outre, en ce cas on dit 'convergente' au lieu de 'sommable', et on écrit   a₁ + a₂ + a₃ + ...   ou   Σ_i a_i   au lieu de
a₁, a₂, a₃, ...   pour indiquer (a_i).
Voir aussi (texte en l'anglais)

Bij de toevoeging over de terminologie in sommatie-situaties

De gangbare betekenis van het reeks-woord is volgens de artikel-definitie:   een oneindige formele som (uitdrukking die een som voorstelt).
Opmerkelijk is
(1) dat geen enkele bron vermeld wordt voor deze 'definitie', en
(2) dat wiskundigen in analyse-teksten het reeks-woord uitsluitend gebruiken als synoniem voor 'oneindige rij', en wel speciaal in contexten waar het gaat over het sommeerbaar zijn en/of de somwaarde van de rij.
Want, als het gaat over zaken als: het convergeren van, het convergent zijn van, de partieelsommen van, de partieelsommenrij van, de som van, de limiet van, het alternerend zijn van, het monotoon zijn van ......... het door het reeks-woord aangeduide ding,  dan is dat ding steeds een zekere rij en nooit een uitdrukking.
De toevoeging van vandaag aan de artikeltekst laat zien dat er een interpretatie mogelijk is van het gangbare woordgebruik die het probleem van de in de lucht hangende eigen betekenis van het woord 'reeks', buiten de orde laat zijn.

---

---

(Van deze tien bronnen is het meeste wellicht alleen te noemen op de Overleg-pagina.)
(Commentaar plaatsen onder Bob.v.R 23 jan 0:07)

Toevoegen aan citaten-overzicht:
Voor de goede orde: dat een reeks is op te vatten als een rij van partieelsommen, dat is bekend, maar dat neemt niet weg dat een rij als zodanig een sequentie van termen is, die niet worden opgeteld. Als er termen worden opgeteld dan hebben we te maken met een eindige som of met een reeks. Maar ik wacht de bronnen van Hesselp die kennelijk gaan aantonen dat ik (en alle andere deelnemers aan dit overleg) er niets van begrijpen af.(Bob.v.R overleg3 jan 2016 01:55 )

Bob.v.R 27 jan.2016
Een rij kan convergent zijn of niet, de daarbij behorende reeks is ook wel of niet convergent, dat is toch echt iets anders. Maar dat weet Hesselp volgens mij zelf ook heel goed(!!). Vanwaar dan weer deze overlegbijdrage? Dit draagt nergens toe bij, althans niet in positieve zin. Het zou mooi zijn als dit type overlegbijdragen een keer ophoudt.

---

Wikipedia:Verifieerbaarheid
Met verifieerbaarheid ('VER') wordt bedoeld dat alle inhoud op Wikipedia nagekeken kan worden in een betrouwbare publicatie. Dit kan de bron zijn waar de informatie aan ontleend is, maar ook andere literatuur. Iets mag niet worden opgenomen alleen omdat het 'waar' is. Eigen meningen en/of speculaties zijn niet toegestaan. Als in betrouwbare publicaties diverse opvattingen over een onderwerp te vinden zijn, dient het artikel deze diverse opvattingen weer te geven, waarbij elke opvatting ruimte krijgt naar gelang het relatieve belang dat in de literatuur aan deze opvatting toegekend wordt, iets dat ook verifieerbaar hoort te zijn.

---

In recente literatuur wordt er niet of nauwelijks over een 'definitieprobleem' gesproken. Dat er een definitieprobleem is, is een eigen standpunt, zoals blijkt uit een publicatie van de hand van de toevoeger zelf. De toegevoegde tekst vervolgt met een betoog over hoe dit zogenaamde definitieprobleem kan worden voorkomen/omzeild, door een interpretatie te geven van het gangbare woordgebruik. Ook over interpretatie van gangbare woordgebruik wordt in recente literatuur niet of nauwelijks gesproken. Die interpretatie is een eigen interpretatie van de toevoeger. Toevoeging dus wederom ongedaan gemaakt op basis van WP:GOO, WP:NPOV en WP:NIET. Mvg, Trewal 26 feb 2016 17:35 (CET)

A.   Over het bestaan van een definitie-probleem rond de term 'reeks':
1. Dat ik met eigen ogen waarneem dat er in wiskunde-leerboeken, -dictaten, etc. een grote diversiteit aan definitie-pogingen vermeld wordt, is juist. Is het bestaan van die diversiteit daarmee een 'eigen' standpunt' van mij in Wikipedia-zin? Nee toch?
2. Dat ik in het verleden al vaker genoemd en geschreven heb dat ik die diversiteit zie, is ook juist. Is het bestaan van die diversiteit daarmee een 'eigen standpunt' van mij in Wikipedia-zin? Nee toch?
3. Dat louter de bewering dat ik die diversiteit meen waar te nemen, onvoldoende is voor Wikipedia-vermelding, onderschijf ik.
4. Ik zal moeten aangeven op welke plaatsen die diversiteit ook door anderen waar te nemen is. Daartoe verwijs ik (nogmaals) naar de "Lijst van dertig definitiepogingen...." met in rubrieken onderverdeeld de uiteenlopende opvattingen van meer dan honderd auteurs. (Papieren kopieën van de relevante passages uit die werken, heb ik hier naast me staan.)
Als weliswaar minder gezaghebbend, maar in dit kader wellicht toch het vermelden waard, is de diversiteit aan opvattingen over de betekenis van de term 'reeks' onder de deelnemers aan het overleg op deze pagina. Voor een groot deel geciteerd in de lijst in de overlegbijdrage van mij van 10 jan 2016 17:33 de achtste bijdrage onder het kopje 'Conclusie'
En als derde noem ik dat de eerste 25 regels van het huidige Reeks-artikel vier elkaar niet dekkende 'definities' van het reeks-woord bevatten.
Samen met de in toevoeging opgenomen bronnen terzake, lijkt e.e.a. de onjuistheid aan te tonen van Trewals argument dat een 'definitie-probleem' zich niet of nauwelijks manifesteert.
B.   Over het opnemen in de toevoeging van vier zinnen over hoe het reeks-woord in wiskunde-teksten waarin het gangbare spraakgebruik wordt gevolgd, feitelijk gelezen dient te worden:
1. De door auteurs van die teksten bedoelde betekenis, staat niet ter discussie. De rol van dat reeks-woord ligt vast. Die heeft ook hier niets te maken met een eigen interpretatie van degene die die rol, die 'betekenis', op papier zet (en probeert dat ten gerieve van Wikipedia-gebruikers opgenomen te krijgen).
2. Trewal kan zijn bewering dat de toevoeging onder de interlinie een eigen interpretatie van mij weergeeft, alleen hard maken wanneer hij laat zien dat er ook andere interpretaties zijn van de rol van het reeks-woord die leiden tot het kunnen verstaan van wat de auteur bedoelde over te brengen. Laat Trewal zulke andere interpretaties hier dan noemen.
3. Waarom krijgen de bewerkers van het Reeks-artikel die er de verschillende 'definities' in geplaatst hebben, van Trewal juist niet het verwijt dat ze dat vanuit een eigen interpretatie deden? Al genoemd is dat er wel dertig mogelijkheden in de literatuur voorkomen.
4. Heel algemeen kan natuurlijk gezegd dat elk woord en elke zin die een bewerker in Wikipedia plaatst, te zien is als een eigen keuze, als een eigen voorkeur om het zó te zeggen. De inhoud van de toevoeging zal ook in andere woorden te formuleren zijn. Maakt dat die inhoud tot een eigen interpretatie in Wikipedia-zin? Nee toch?
C. Over Trewals "...niet of nauwelijks...":
1. Binnen vier zinnen voert Trewal tweemaal als argument aan: "in recente literatuur wordt er niet of nauwelijks over gesproken". Enig gewicht kan ik daar niet aan toekennen, waar hij zelf hier laat blijken niet te weten of er in de bedoelde recente literatuur "niet" dan wel "nauwelijks" (dus wél) over gesproken wordt.
2. Trewals eerste en vierde zin lijken bedoeld om aan te tonen dat de inhoud van de toevoeging valt onder 'origineel onderzoek'. Dan is echter niet te begrijpen waarom er tweemaal 'recent' bij staat.
D. Conclusie:
De in Trewals motivatie voorkomende punten: 'eigen standpunt', 'eigen interpretatie' en 'origineel onderzoek', zijn niet met steekhoudende argumenten onderbouwd. Ik zal daarom de toevoeging aan het reeks-artikel blijven plaatsen zolang voldoende steekhoudende argumenten uitblijven.

"De uitdrukking   u₁ + u₂ + u₃ + ···   of  Σ₁^∞ u_n   wordt een oneindige reeks genoemd.
Vaak kan in een wiskundetekst  reeks  vervangen door  rij  zonder de inhoud te veranderen. Zoals bij de woordcombinaties:  termen van een reeks,  partieelsommenrij van een reeks,  som van een reeks,  sommeerbare reeks,  rekenkundige reeks,  meetkundige reeks,  harmonische reeks,  alternerende reeks,  monotone reeks, ····.   Er is echter een sterke (wereldwijde)

"De uitdrukking u₁ + u₂ + u₃ + ··· of Σ₁^∞ u_n wordt een oneindige reeks genoemd.
Vaak kan in een wiskundetekst reeks vervangen door rij zonder de inhoud te veranderen. Zoals bij de woordcombinaties: termen van een reeks, partieelsommenrij van een reeks, som van een reeks, sommeerbare reeks, rekenkundige reeks, meetkundige reeks, harmonische reeks, alternerende reeks, monotone reeks, ····. Er is echter een sterke (wereldwijde)

---

Beste Toth. Voorzover ik kan zien is je schrap-actie van 27 feb 2016 00:43 de eerste keer dat je je zichtbaar met het Reeks-artikel bemoeit. Welkom, misschien kun je ervoor zorgen dat het ‘overleg’ op deze pagina wat minder moeizaam wordt.
Je schrijft in je samenvatting/motivatie: "Eerst tot overeenstemming komen in het overleg. Niet na het keuren van de eigen waarden 'dus' het gelijk claimen en bekritiseerde tekst gewoon terugzetten." (Voor mij verrassend: amper tien minuten nadat ik de toevoeging, met een gedetailleerd commentaar op deze overlegpagina, plaatste. Zo snel krijg ik niet voorelkaar.) Mijn commentaar daarop:
1. "eerst overeenstemming in het overleg". Ja, makkelijk gezegd. Heb je het tot nu toe gevoerde overleg doorgeschuind? En vergeleken met de tijd die ik gewacht heb met het plaatsen van de betreffende toevoeging? Heb je ook gezien dat vorm en inhoud van die toevoeging op veel meer punten rekening hield met opvattingen en wensen van de andere overlegpartners dan mijn – achteraf gezien wellicht te snel geplaatste – artikelversies van drie maanden geleden?
Met me eens dat dat overleg verzand lijkt in enerzijds het steeds weer schermen met OO en POV zonder dat die kwalificaties mijns inziens met steekhoudende argumenten onderbouwd worden; en anderzijds het vragen om verduidelijkingen, en het noemen van tegenargumenten, waar maar zelden op gereageerd wordt?
2. "bekritiseerde tekst gewoon terugzetten". Ik meen dat ik niets onwaars zeg, als ik stel dat de feitelijke inhoud van de twaalf zinnen van die toevoeging, door de andere overleggers niet als onjuist gezien wordt. (Mocht dat anders zijn, ik hoor het graag.) Ook meen ik dat het ook door de anderen wel zinvol gevonden wordt dat een student die vastloopt bij het woord ‘reeks’ in een wiskunde-leerboek, in Wikipedia kan vinden: (1) dat er over de betekenis van dat woord nogal wat verschillende dingen gezegd en geschreven worden, en (2) met welke ‘sleutel’ (interpretatie van het gangbare woordgebruik) in de meeste gevallen te vinden is wat de boekauteur bedoeld heeft.
Het overgebleven punt van geschil is , of op hetgeen in die twaalf zinnen staat al voldoende vaak ook in publicaties van anderen is gewezen , om ‘noemens-waardig’ voor de encyclopedie te zijn. De hamvraag blijft daarbij: welk criterium kan over dat ‘voldoende’ uitsluitsel geven? Google? .....hangt sterk van de zoeksleutel af, en volgens welk criterium beoordeeld wordt of een 'treffer' voldoende to the point is. Het is dus verrekte moeilijk om over dit punt zakelijk tot een uitkomst te komen.
3. Ik hoop dat ook anderen dan de huidige drie willen beoordelen of de door mij in de voetnoten gepresenteerde bronnen al dan niet voldoende zijn volgens de Wikipedia-standaard. Wellicht in een beoordelingsprocedure die naar ik aanneem zal volgen op mijn herhaalde invoeren. Groetend,

---

Nog andere modulaties

Toepassen van de reine stemming betekent dat het moduleren alleen plaatsvindt over reine intervallen, veelal een reine kwint of een reine terts (grote terts), omhoog of omlaag. Het moduleren van een reine toonladder (majeur of mineur) levert tonen die: ten dele samenvallen met tonen uit de eerste ladder, ten dele er bij benadering mee samenvallen, en ten dele ongeveer midden tussen twee opvolgende tonen liggen. Bij meerdere modulaties na elkaar kunnen de afwijkingen met tonen uit de eerste ladder steeds groter worden, waarbij de gestapelde reine intervallen samen een tonen opleveren die zelf in steeds mindere mate als rein ten opzichte van de eerste do gezien zullen worden.
Onderstaande tabel geeft de centswaarden van alle tonen - naar hoogte geordend en binnen één octaaf gebracht - die na niet meer dan twee modulaties ontstaan uit de majeur- en de mineurladder.

Alle tonen na maximaal twee modulaties over een reine kwint of over een reine (grote) terts, van de reine majeur- en de reine mineur-toonladder

do   1/1	0		mi (terts)	386		kl. terts − terts − terts	743
kl. septiem + kwint + kwint	22		re + kwint + kwint	408		mi + terts	773
kl. sext − terts − terts	41		do − terts − terts	427		kleine sext   8/5	814
la + terts	71		la + terts + terts	457		la   5/3	884
si + kwint + kwint	92		fa   4/3	498		re + kwint	906
fa − terts	112		re + kwint − terts	520		fa − terts − terts	925
kl. septiem + kwint − terts	133		la + terts − kwint	569		re + terts + terts	977
fa + terts − kwint	182		re + terts	590		fa − kwint	996
re   9/8	204		kl. sext − kwint − kwint	610		kleine septiem   9/5	1018
kl. septiem − terts − terts	245		re − terts − terts	631		si 15/8	1088
si + terts	275		si + terts + terts	661		so − terts − terts	1129
fa − kwint − kwint	294		la − kwint − kwint	680		mi + terts + terts	1159
kleine terts   6/5	316		sol (kwint)   3/2	702		do	1200

Muziekinstrumenten met twaalf vaste toonhoogten per octaaf kunnen, zoals de tabel laat zien, zulke reine modulaties maar in heel beperkte mate redelijk netjes weergeven. Evenzo kan een muziekschrift die grote verscheidenheid aan toonhoogtes niet weergeven, ook niet met kruis- en moltekens. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen. En de pianist heeft al helemaal geen keus.

---

Begin van overleg bijdrage, antwoord aan Bdijkstra
Vervolg op het vijfpuntsoverleg met Bdijkstra:
Bij je beginzin sluit ik me aan. Maar ja, iedere bewerker heeft het recht z'n eigen woorden te kiezen.
1. Over wat je noemt 'de eenheid van modulatie". Als meest algemene betekenis van het woord 'modulatie' zie ik het gezamenlijk verschuiven van de in stuk (voor zangers of andere vrije toonvormers) gebruikte toonvoorraad (zeg: de majeurladder) over een zekere stap/interval. Volgens klassieke normen van welluidendheid zal dat wel steeds een rein interval zijn, m.i. wil dat zeggen: met uitsluitend factoren 3 en 5 in de verhoudingsgetallen. Misschien wel nauwelijks wat anders dan een reine kwint, een reine terts of een kleine reine terts.

---

(weg?) Vaak is reeks hetzelfde als oneindige rij, in andere contexten staat reeks voor een bepaalde formulevorm; soms ter aanduiding van een rij en soms ter aanduiding van een getal of een functie. referentie: Onderstaande lijst toont de diversiteit in de pogingen om onder woorden te brengen wat in wiskundig taalgebruik onder 'series' / 'reeks' verstaan wordt. Enkele niet-engelstalige verwoordingen staan bij de corresponderende Engelse versie; de afkortingen tussen haakjes verwijzen naar Nederlandse onderwijsinstellingen die het werk van de genoemde auteur(s) aanbevelen (situatie rond 2008).

1. An (infinite) series is an expression of the form   a₁ + a₂ + a₃ + ··· .   Bowman, Britton/Kriegh/Rutland, Small/Hosack,
    Open University-UK, Edwards/Penney (VU)

2. An (infinite) series is an expression that can be written in the form   a₁ + a₂ + a₃ + ··· .   Anton/Herr, Anton, Anton/Bivens/Davis (RUU)

3. An (infinite) series is a formal sum of infinitely many terms.   R A Adams (THE, UvA, TUD, RUL)

4. An (infinite) series is a formal infinite sum.   Ahlfors

5. The formal expression   a₁ + a₂ + a₃ + ···   is called an (infinite) series.   Matthews/Howell, Sherwood/Taylor

6. An (infinite) series is an indicated sum of the form   a₁ + a₂ + a₃ + ··· .   Kaplan

7. An (infinite) series is a sequence   a₁ ,   a₁ + a₂ ,   a₁ + a₂ + a₃ , ··· .   Hurley

8. An (infinite) series is a sequence whose terms are to be added up.   Marsden/Weinstein

9. An (infinite) series is the indicated sum of the terms of a sequence.   Ayres(Schaum's), Daintith/Nelson, Kells, Weber

10. An (infinite) series is the sum of a sequence of terms.   Borowski/Borwein

11. An (infinite) series is the sum of an infinite number of terms.   Lyusternik/Yanpol'skii

12. An (infinite) series is a sum of a countable number of terms.   Borden

13. An (infinite) series is an infinite addition of numbers.   Goldstein/D.C. Lay/Schneider(/Asmar) (UvA-psychologie)

14. An (infinite) series is an infinite sum: a mathematical proces which calls for an infinite number of additions.   Davis/Hersh

15. An (infinite) series is a sequence of numbers with plus signs between these numbers.   Bers

16. We have an (infinite) series if, between each two terms of an infinite sequence, we insert a plus sign.   Maak

17. An (infinite) series is an ordered pair  {a_n}; {s_n}  with  s_n = a₁+a₂ + ··· + a_n .   Creighton Buck , Zamansky(French), Apostol 2^nd ed.,
      K. Maurin, Protter&Morrey, Gaughan, Boos, Edward Azoff, Encyclopaedia of Mathematics (translated from Russian)

18. If we try to add the terms of an infinite sequence  a  we get an expression of the form    a1 + a2 + a3 + ···   which is called an (infinite)
       series.   Stewart (RUL, TUD, UT, EUR, Fontys-Tilburg)

19. Als we alle termen van een oneindige rij optellen, krijgen we een reeks.   De Gee (Univ.Wageningen)

20. When the terms of a sequence are added, we obtain an (infinite) series.   Croft/Davison

21. When we wish to find the sum of an infinite sequence <a_n> we call it an (infinite) series and write it in the form   a₁ + a₂ + a₃ + ··· .
      Keisler

22. Given a sequence a , then the sequence   a₁ ,   a₁ + a₂ ,   a₁ + a₂ + a₃ , ···   is called an (infinite) series.   Apostol, Burrill/Knudsen,
      Endl/Luh, Fischer, Forster, S.R. Lay, Rosenlicht, De Paepe (UvA)

23. Given a sequence a, then the sequence   a₁ ,   a₁ + a₂ ,   a₁ + a₂ + a₃ , ···   is called the (infinite) series connected with the sequence a.
      Barner/Flohr, Friedemann, Dijkstra (UT), Almering (TUD)

24. Given a sequence a , then the infinite sum   a₁ + a₂ + a₃ + ···   is called an (infinite) series.   Grossman, Leithold

25. Given a sequence a , then the expression   a₁ + a₂ + a₃ + ···   is called an (infinite) series.   L.J. Adams/White, Van der Blij/Van Thiel,
      Blatter, Gottwald/Kästner/Rudolph, Sze-Tsen Hu, Kosmala (TUE)

26. Given a sequence a , the symbolic expression   a₁ + a₂ + a₃ + ···   we call an (infinite) series.   Rudin, Walter

27. Given a sequence a , an expression of the form   a₁ + a₂ + a₃ + ···   is an (infinite) series. Thomas/Finney

---

Waarom partieelsommen-limiet i.p.v. termen-limiet

Door sommige rijen (convergerende of convergente rijen) is een limietgetal bepaald: het getal waarvan élke kleine omgeving slechts een eindig aantal termen van de rij mist. Door sommige van die rijen-met-limiet is er daarnaast ook nog een somgetal vastgelegd. Dat is eveneens een limietgetal, maar nu van een omgewerkte versie van de originele rij. In plaats van de gangbare overstap van termen naar partieelsommen, zijn er heel veel andere omwerkingen van de originele rij denkbaar; een aantal daarvan spelen een rol in de wat verdergaande wiskunde.
Het feit dat juist de partieelsommenrij als ‘tussenrij’ veel aandacht krijgt, hangt samen met de rol van machtreeks-ontwikkelingen en fourier-ontwikkelingen. Bij het bestuderen van bepaalde gecompliceerde functies is de mogelijkheid om de functie op te splitsen in een (weliswaar oneindige) rij machtsfuncties of goniofuncties, een krachtig instrument.
Omgekeerd geeft de 'sommatie'-afbeelding (van een rij naar z'n partieelsommenlimiet) de mogelijkheid om getallen (reëel of complex) te beschrijven die geen andere, eenvoudiger, beschrijving kennen. En, misschien nog belangrijker, de mogelijkheid om functies te definiëren als limiet van een rij machtsfuncties (of een rij goniometrische functies) met een redelijk eenvoudig te beschrijven coëfficiëntenrij.

---

Geplaatst 10 april 2016:

De betekenis van het woord 'reeks' in wiskunde-teksten varieert en is niet altijd te achterhalen; leerboeken en naslagwerken geven uiteenlopende omschrijvingen.   In het verleden was het de gangbare term voor wat later vaak 'rij' is gaan heten.  'Reeks' komt voornamelijk nog voor in situaties waarin de relatie tussen een oneindige (getallen-)rij en z'n eventuele 'som' aan de orde is;  zowel in de rij-betekenis, als ter aanduiding van bepaalde formulevormen.
In dit artikel staat 'rij' steeds voor 'oneindige rij'; als variabele aangeduid met een enkelvoudige cursieve letter, veelal $a$ .

Reeks als synoniem voor rij

In de oudste betekenis staat reeks, net als het latere 'rij', voor een eenzijdig voortgaande opvolging van getallen:  eerste term,  tweede term,  enzovoort. Omdat de rij onbeperkt doorloopt zullen de termen door een algemeen toepasbaar voorschrift bepaald moeten zijn. In vaktermen: een afbeelding op de natuurlijke getallen.
In oudere teksten in het Latijn komt series alleen in de rij-betekenis voor. In Nederlandse schoolboeken is vanaf omstreeks 1960 'reeks' massaal vervangen door 'rij'.
Let op: een historisch gegroeide onregelmatigheid in woordgebruik wil dat met een convergente reeks een sommeerbare rij bedoeld is; en met een divergente reeks een niet-sommeerbare rij.
Zie voor deze betekenis verder bij Rij (wiskunde).

Reeks als naam voor zekere formulevormen

De term 'reeks' kan ook voorkomen in situaties waarin het geen synoniem is voor 'rij'; het gaat dan om het volgende:

Rij - partieelsommenrij - partieelsommenlimiet (som van de rij)

Elke rij $a$ is één-op-één gekoppeld aan een rij $s$ (met  $s_{i}{=}a_{1}{+}{\cdots }{+}a_{i}$ ): de partieelsommenrij van rij $a$ ;  omgekeerd heet rij $a$  (met  $a_{1}{=}s_{1}$  en  $a_{i+1}{=}s_{i+1}{-}s_{i}$ ): de verschillenrij van rij $s$.
Voor de partieelsommenrij van een rij $a$ zijn er de eenduidige notaties ('rij-vormen'):

$a_{1},\ \ a_{1}{+}a_{2},\ \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\ \cdots$           of          $(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n=1,2,\cdots }$          of          $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)_{n=1,2,\cdots }.$

Indien de termen van rij $a$ snel genoeg naar nul gaan, gaan de termen van z’n partieelsommenrij naar een limiet. Dit limiet-getal heet: de som van rij $a$ ; ook wordt gezegd: rij $a$ is sommeerbaar en rij $a$ heeft een som.  Het woord 'som' heeft hier niet z’n alledaagse betekenis, want het ’gewoon’ bij elkaar optellen van alle oneindig veel termen is uiteraard niet mogelijk. Eenduidige formulevormen ('limiet-vormen') voor de som van een gegeven rij $a$ zijn

$\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})$       of       $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}$      of kortweg       $\lim$ $^{\sum }$ $a$ .

Het sommeerbaar zijn van een rij hoeft nog helemaal niet te betekenen dat z'n somwaarde uitrekenbaar is, dat wil zeggen: herleidbaar tot een 'eenvoudiger' / 'gesloten' vorm.
Bij een rij met reële termen kan het voorkomen dat z'n partieelsommen 'naar oneindig gaan', of 'naar min-oneindig gaan'. Gezegd wordt wel dat zo'n (niet-sommeerbare) rij 'som oneindig heeft', dan wel 'som min-oneindig heeft'.

Formulevormen met drievoudige betekenis

De benaming reeks wordt, bij een uit de context bekende rij $a$ , gebruikt voor de formulevormen

$\sum a$       of     $\sum$$_{i}\ a_{i}$       of     $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$     (sigmavormen),     en

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$         of     $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{i}+\cdots$       (plussenvormen) .

Zulke reeks-vormen kunnen verwijzen naar
- de partieelsommenrij van rij $a\scriptstyle ,$   zoals in:   $\scriptstyle \sum$ $a$ convergeert,   $\scriptstyle \sum$ $a$ is convergent,   de limiet van $\scriptstyle \sum$ $a$ ;
- de partieelsommenlimiet van rij $a\scriptstyle ,$   zoals in:   $\scriptstyle \sum$ $a$ bestaat ;
- rij $a$ zelf ,   zoals in:   de termen van $\scriptstyle \sum$ $a$ ,   de som van $\scriptstyle \sum$ $a$ ,   het Cauchy-product van $\scriptstyle \sum$ $a$ en $\scriptstyle \sum$ $b$ .

Deze wisselende gebruiksbetekenis is een aanhoudende bron van verwarring; lang niet altijd is uit de context op te maken welke betekenis zal zijn bedoeld.

Plaatsen waar ‘reeks’ de rij-betekenis heeft

In samenstellingen en combinaties met 'reeks' past de rij-interpretatie in de volgende gevallen:
- oneindige reeks, rekenkundige reeks, meetkundige reeks, harmonische reeks, hyperharmonische reeks, alternerende reeks,
   monotone reeks, stijgende reeks, sommeerbare reeks, absoluut convergente reeks,
- de partieelsommen van een reeks, de partieelsommenrij van een reeks,
- convergentietests voor reeksen,
- de Cauchy-som van twee reeksen, het Cauchy-product van twee reeksen.
Als het gaat om rijen van functies in plaats van getallenrijen:
- somreeks, verschilreeks, machtreeks, hypergeometrische reeks, goniometrische reeks, fourierreeks
- de taylorreeks van ... , de maclaurinreeks van ..., de fourierreeks van ..., de reeksontwikkeling van ... .
In alle werken van Cauchy heeft série steeds de rij-betekenis.

Bronnen, noten en/of referenties

---

Aanvullingen:

- Toevoegen: stukjes over absolute convergentie, Cauchy-product, en convergentie-criteria
- Engelse wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_tests
- http://www.bates.edu/math-stat-workshop/files/2010/05/convergence_tests.pdf
- https://nl.wikipedia.org/wiki/Convergentie_(wiskunde)
- Bron nr 1 (27 pogingen) vervangen door A. van Rooij, NAW 2009 = noot na zin 1.
- Vlaamse reeksen-tekst S. Caenepeel, Vrije Universiteit Brussel

- Pag.32

- http://mathworld.wolfram.com/e.html formules voor e.

- vergelijk Reeks met Kettingbreuk en Oneindig product

_______________________________________________________________________________________________

R. Creighton Buck, Advanced Calculus(1956, 1965, 1978): "An infinite series is often defined to be 'an expression of the form Σ₁^∞ a_n ' It is recognised that this has many defects."

Naast de variatie in omschrijvingen bleek ook dat er verder maar zelden enige nadere uitleg bij gegeven werd.

In voetnoot noemen van het oneindig-teken in Duitse DIN-normen _______________________________________________________________________________________

Bovendien, goed vertalen kost misschien wel evenveel tijd als zelf research doen en schrijven. En wat is er leuker dan zelf creatief zijn, iets creëren wat er nog niet was? [... Toch ligt de echte charme van dit project in het feit dat iedereen uitgedaagd wordt eigen kennis en researchresultaten beschikbaar te maken, en zo actief mee te bouwen aan het unieke en spannende project dat Wikipedia heet.] Pagina: Help:Unieke van Wikipedia, punt 8, twee keer 'research'.

De overlegpagina van een artikel is de plek waar je met andere Wikipedianen van gedachten kunt wisselen over dat artikel. Bij inhoudelijke wijzigingen zou je daar opmerkingen kunnen neerzetten. Veelal is een opmerking in veld 'samenvatting' echter voldoende. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

het woord 'reeks' is blijven hangen en wordt in veel situaties gebruikt zonder dat de betekenis ervan kan worden aangewezen (zoals we dat met andere termen in de wiskunde wél gewend zijn). Ik ben er sterk van overtuigd dat de vaagheid rond het gebruik van die term (in veel leerboeken én in de huidige artikel-versie), de studie van het onderwerp onnodig een heel stuk moeilijker maakt.
In mijn laatste artikel-versie meen ik beschreven te hebben hoe dat reeks-woord in feite door auteurs van wiskunde-teksten (daaronder versta ik óók 'teksten' die grotendeels uit formules bestaan) gebruikt wordt: als synoniem voor 'rij' én als naam voor bepaalde formulevormen (sigmavormen en plussenvormen). Claim ik dit terecht, of zit ik ernaast?
Met als bedoeling dat dit reeks-woord in het spreken/schrijven over het onderwerp 'somrijen' niet ook op andere plaatsen (met een moeilijk/niet te beschrijven betekenis) opduikt.
Eén uitzondering zie ik direct al: de titel boven dit lemma. Het woord 'reeks' ter aanduiding van het onderwerp 'somrijen' is sterk ingeburgerd. Helaas heeft 'reeks' als synoniem voor 'somrij' m.i. grote bezwaren.

__________________________________________________________________________________________

-- Artikeltekst 28 april 2016 --

Het overleg van de voorbije weken resulteert in de artikelversie als heden geplaatst. De reeks-betekenissen uit de The Banner-versie zijn overgenomen en nader verduidelijkt. Helaas heeft het overleg niet geleid tot het boven water komen van wat Bob.v.R (en anderen) zich als de kern-betekenis menen voor te stellen. Ook al wegens het ontbreken van bronnen die zo'n andere betekenis beschrijven, kan daar dus in het lemma geen aandacht aan gegeven worden. En blijft de mogelijkheid bestaan dat zo'n andere betekenis helemaal niet te vinden is.
Aan een moderator die mocht overwegen opnieuw tot beveiliging over te gaan met het verzoek tot nader overleg, deze vraag: Wat komen we daar verder mee zolang critici/terugdraaiers wel "de" reeks-definitie opgenomen willen zien, maar weigeren/nalaten te zeggen wat ze daaronder verstaan? --

---

Klavarskribo

Greensleeves

Klavarskribo (Esperanto voor klavierschrift, ook Klavar) is een notenschrift voor muziek dat op twee wezenlijke punten verschilt van de traditionele notatie (TN):

• voor de hóógte van tonen zijn er 12 noot-posities per octaaf (tegen 7 in TN), en
• voor het inzetmoment en de duur van tonen gebruikt Klavar een regelmatig raster van maat- en tellijnen dwars op de balklijnen (in plaats van de nootvormen, waardestrepen en rusttekens).

Verdere aanduidingen blijven vrijwel allemaal onveranderd. Evenals het traditionele schrift is de Klavarnotatie te gebruiken voor alle toon-instrumenten en voor zang.

Toonhoogtes en tijdstippen (inzetmoment en duur van de tonen) worden visueel weergegeven uitgaande van evenredige verbanden, zowel tussen nootpositie en toonhoogte als tussen nootpositie (in de langsrichting van de balk) en inzetmoment.

De overeenkomst tussen het lijnenpatroon van de Klavarbalk en een toetsenbord betekent extra leesgemak voor klavier-spelers. Voor hen vervalt bij het van het blad spelen de rol van letternamen voor noten en toetsen. De verticale stand van de balk zorgt voor akkoordbeelden in de voor piano- en orgelspelers meest logische horizontale stand.

De Klavarskribo-notatie is rond 1931 ontworpen door de Nederlander Cornelis Pot, mede op basis van ervaringen elders met beter aan de ontwikkeling van westerse muziek aangepaste systemen.

Toonhoogte

Geen 7 maar 12 noot-posities

Een notenschrift maakt gebruik van noten om de in een muziekstuk voorkomende tonen bij benadering te beschrijven. In Klavar is dat niet anders. Met noten wordt hier gedoeld op de rondjes of ovaaltjes die door hun plaatsing ten opzichte van de lijnen van de notenbalk (en door een eventueel voorafgaand kruis- of molteken), informatie geven over de hóógte van een muzikale toon.

Hieronder een vergelijking van balklijnenpatroon, nootposities en nootvormen, en sleutels in TN (links) en in Klavar (rechts, kwartslag gedraaid). Gevolgd door het notenbeeld van chromatische toonladders in beide systemen.

Met slechts een beperkt aantal balkposities per octaaf voor die noten, is het onmogelijk om de oneindige veelheid aan toonhoogte-nuances in een muziekstuk (denk aan de mogelijkheden van een zanger, strijker, schuiftrombonist) precies weer te geven. Één bepaalde balkpositie zal dus staan voor een veelheid van toonhoogtes binnen een zekere bandbreedte.

Een logische keuze is de verdeling van het octaaf in twaalf gelijke intervallen, twaalf 'halftoon'-stappen, want dat sluit aan bij het feit dat de overgrote meerderheid van de in de westerse muziek gebruikelijke instrumenten zonder vrije intonatie, juist twaalf toonhoogtes per octaaf kunnen voortbrengen. Waarbij die twaalf toonhoogtes gelijkmatig (of bijna gelijkmatig, bij niet-gelijkzwevende stemmingen) over het octaaf verdeeld zijn.

Een argument uit de muziekleer is, dat met die gelijkmatige twaalf-verdeling de voornaamste harmonische intervallen (de reine kleine/grote terts, kwart, kwint, kleine/grote sext) allemaal binnen één procent te benaderen zijn.

Geen kruisen en mollen

De op die twaalf-verdeling gebaseerde Klavar-balk maakt het hele systeem van voortekens overbodig: alle vaste en toevallige kruisen en mollen, dubbelkruisen en dubbelmollen, herstellingstekens en herinneringstekens, samen met hun (niet altijd gelijke) toepassingsregels. Die voortekens zijn in de 16e/17e eeuw toegevoegd aan de oorspronkelijk voor diatonische kerkzang bedoelde vier-(later vijf-)lijnige notenbalk, om ook tussenliggende halftonen te kunnen aanduiden. Het ontbreken van voortekens leidt tot een rustig en sprekend schriftbeeld in de Klavar-balk.  Speciaal bij klaviermuziek met volle akkoorden speelt dit een rol.

Geen verschillende sleutels

De structuur in het balkpatroon, door het weglaten van twee lijnen per octaaf (en daarmee ook van twee nootposities) en door de wat dikkere trio-lijnen, maakt een snellere oriëntatie mogelijk dan bij een gelijkmatige liniëring.

Even breed getekende notenbalken voor een toonbereik van 5 octaven.

Doordat de Klavar-balk bruikbaar blijkt voor élk in de muziek voorkomend toonbereik, zijn er geen combinaties nodig van smallere balken met verschillende sleutels (zoals de vioolsleutel, bassleutel en soms nog andere). En dus ook geen sleutelwisselingen onderweg. De doorlopend gestreepte ‘middenrails’ in elke Klavar-balk bepalen de onderkwint van de kamertoon (meestal 440 Hz); in vroege Klavaruitgaven komt het midden-c-teken voor als sleutel. Als alternatief voor een balk met veel hulplijnen kan ook in Klavar een ‘ottava’-teken (bijv. 8va) dienen.

Dat in Klavar een brede balk goed leesbaar blijft, hoeft natuurlijk niet te betekenen dat een orkestpartituur, met veel parallelle afzonderlijke balken, in Klavar méér ruimte neemt. Want voor instrumenten (en zangstemmen) met een beperkt bereik, zal de omvang van de balk daarop zijn afgestemd.

Octaafgelijk notenbeeld

In de Klavar-notatie is het notenbeeld in elk octaaf hetzelfde. In TN geeft verschuiving over één octaaf een verwisseling van lijn-noten en tussenlijn-noten, en ook liggen noten in de vioolbalk twee plaatsen hoger dan gelijknamige noten in de basbalk.

Visuele maatverdeling

Het muziekschrift moet behalve de hoogte van een toon, ook het start- en stopmoment aangeven. Klavar gebruikt daartoe niet een systeem met duurtekens en rusttekens waaruit de bedoelde tijdstippen zijn af te leiden, maar gaat uit van een 'tijd-evenredige' nootplaatsing. Dat betekent:

• maten met een hoorbaar gelijke duur krijgen op de notenbalk een zichtbaar gelijke lengte;
• van een noot die bij aanvang van een maat moet ingezet, staat de notenstok óp (en niet een stukje ná) de maatstreep;
• in een marsmaat, walsmaat en vierkwartsmaat wordt de ruimte met resp. 1, 2, en 3 streeplijntjes in gelijke delen verdeeld, en zo nodig wordt een enkele ‘tel’ nog weer met kortere hulplijntjes onderverdeeld;
• elke noot heeft z’n stok op het tellijntje waarop de toon moet worden ingezet; bij voldoend regelmatige ritmes blijven die lijntjes wel eens achterwege; bij meer complexe maatsoorten zijn er aangepaste tellijn-verdelingen;
• de nootdúúr volgt uit de regel: elke noot duurt tot de volgende van dezelfde hand of stem, tenzij er een stopteken óf een doorklinkstip staat.

Overigens is de traditionele symbolische aanduiding van inzetmoment en toonduur met stokvlaggen en rusttekens, met een kleine aanpassing ook in de Klavar-balk toe te passen. Bij eerdere notenschrift-hervormingen komt dit wel voor.

Toonaard-aanduiding

Toonaard-wijzers in Klavar

De in Klavarmuziek voorkomende toonaard-wijzers geven met een 'grondnoot' de tonica (het tooncentrum, de grondtoon, de ‘do’) aan van de erop volgende muziek. En de omranding van de grondnoot wijst op het toongeslacht, zie afbeelding. In de traditionele notatie geeft het aantal kruisen of mollen in de vaste voortekening niet helemaal eenduidig een combinatie aan van grondtoon en toongeslacht (één kruis staat voor onder meer G-groot en e-klein). Muziek in Klavar-notatie is ook zonder toonaardwijzer te spelen, in TN kan de voortekening niet gemist.

Bij een in één TN-balk geschreven akkoord of melodie is het notenbeeld ónafhankelijk van de tonica-keuze (op een verschuiving in hoogte na). In de Klavarnotatie is zo’n notenbeeld wél enigszins afhankelijk van de tonica, net als het toetsenbeeld op een klavier en de grepen op andere instrumenten.

Toonhoogte en nootpositie

Noten op twee aangrenzende balkposities geven in Klavar steeds een halve toonstap aan, de traditionele notatie kent deze regelmaat niet. Van de twaalf halve toonstappen per octaaf hebben de (dubbelwitte) balkposities B en C, en idem E en F, een grotere onderlinge afstand dan de tien overige (zwartwitte) buur-paren. Dit vanwege verondersteld leesgemak en ter vermijding van overlap bij deze paren. Incidenteel komt een iets aangepast balkpatroon voor, met gelijke afstanden tussen álle twaalf balkposities. Het schrift is dan maximaal 'toonhoogte-evenredig'.

Zoals al genoemd, de noten in een notenschrift zullen nooit overal exact de door de componist bedoelde toonhoogte aanduiden. Dat geldt dus zowel voor Klavarnoten als voor de kruisnoten, molnoten en stamnoten in TN. De vraag of een F-kruis-noot altijd een hogere of altijd een lagere toon bedoelt aan te geven dan een G-mol-noot (en om wélk toonhoogteverschil het hier gaat), is onbeantwoordbaar.

Klavar een greepschrift (tabulatuur)?

Voor klavier-spelers heeft de Klavar-balk het extra voordeel van de grote overeenkomst tussen notenbeeld en toetsenbeeld: horizontale accoordbeelden, zwarte noten hoger geplaatst dan de witte, twee-drie-structuur in de balklijn. De naam ‘Klavarskribo’ verwijst daar ook naar. Dit voordeel voor klavier-instrumenten is er in de traditionele notatie niet. Wel wordt in TN-uitgaven voor blaas-instrumenten op een andere manier gestreefd naar vereenvoudiging. De getransponeerde notatie zorgt er namelijk voor dat de relatie tussen schriftbeeld en gatengreep op, bijvoorbeeld, een Es-klarinet niet anders dan op een Bes-klarinet. In Klavar-uitgaven is dat niet de gewoonte, al zou het ook best kunnen. De term 'greepschrift' is dus in zekere zin van toepassing op een deelaspect van beide notaties.

Echter, de wijze waarop het muziekschrift rekening houdt met goede leesbaarheid (in het ene schrift voor klavierspelers, in het andere voor blazers) gaat bij géén van die systemen ten koste van de mate waarin het schrift het muzikale klanken-beeld en de melodielijnen zichtbaar maakt. Van een afwezig zijn van het muziekbeeld, zoals meestal bij greepschriften/tabulaturen, is bij Klavar geen sprake. Het gebruik van de term ‘greepschrift’ in verband met de manier waarop Klavar toonhoogtes weergeeft, is daarom in wezen misplaatst.

Namen voor noten, tonen en toetsen

Klavar-spelers gebruiken gewoonlijk de namen  C, Des, D, Es, E, F, Ges, G, As, A, Bes, B  ter onderscheiding binnen één octaaf van:  (1) de twaalf toetsen van een klavier en de toongrepen op andere instrumenten,  (2) de twaalf nootposities van de Klavar-balk,  (3) de toon die wordt bedoeld door een noot op de gelijknamige nootpositie (de precieze hoogte ervan kan nog van andere omstandigheden afhangen). De onregelmatige opbouw van die namenrij heeft een historische achtergrond (net als de wit-zwart-volgorde van een toetsenbord). Desondanks wordt er meestal mee gedoeld op gelijkwaardige noten, tonen en toetsen, dus zonder onderscheid tussen wel of niet afgeleide (verhoogde of verlaagde) noten en tonen.

Toepasbaarheid naast 'gewone noten'

De Klavar-notatie zal lang niet overal het vrijwel universeel gebruikte notenschrift kunnen vervangen; wie bijvoorbeeld mikt op een professionele muziekloopbaan (orkestlid, muziekleraar, wetenschapper, ...) moet de traditionele notatie leren. Voor wie zelf wil gaan spelen van vlot te lezen noten is de Klavar-notatie een laagdrempelig alternatief. Terwijl gevorderde spelers het zonder bezwaar - Klavar is een compleet muziekschrift - kunnen blijven gebruiken, ook bij samenspel met lezers van ‘gewone noten’.

Verspreiding

Klavar is er niet alleen voor beginners. Ook de muziek van componisten als Chopin en Liszt is in de klavarnotatie beschikbaar. De Klavar Vereniging Nederland houdt een lijst bij van docenten die met klavar willen werken en tracht klavargebruikers te stimuleren bij die docenten les te nemen. Voor wat betreft de beschikbaarheid van bladmuziek kan worden gesteld dat vrijwel alle gangbare muziek voor orgel, piano, accordeon e. d. in klavar verkrijgbaar is. De Stichting Klavarskribo heeft catalogi voor piano, kerk- en elektronisch orgel, accordeon, en keyboard. Voor gitaar is een vergelijkbare notatie ontworpen. Het omzetten van bladmuziek naar Klavar-noten kan met het programma KlavarScript; manueel of via midi-files, MusicXML. Deze muziekformaten kunnen verkregen worden door middel van Music OCR.

Geschiedenis

Cornelis Pot had een passie voor muziek en wilde graag ook anderen de kans geven van muziek te genieten door zelf te spelen en te zingen. Hij vond het traditionele notenschrift te moeilijk toegankelijk. Hij bestudeerde alternatieve muziekschriften en ontwikkelde daaruit zijn idee voor Klavarskribo. Zijn gedachte was dat de muziekwereld zijn uitvinding zou omarmen en de teleurstelling was daarom groot toen dat niet het geval bleek te zijn. Ook muziekdocenten toonden geen belangstelling. Pot had echter de financiële middelen om zelf schriftelijke cursussen op te zetten en uit te geven, en om muziek om te zetten. In de dertiger jaren groeide het aantal klavarspelers en werd veel bladmuziek in de klavarnotatie omgezet en uitgegeven. Tijdens de Tweede Wereldoorlog kwam deze activiteit tot stilstand, maar daarna werd met nieuw elan gestart. Het door Pot opgezette Instituut Klavarskribo groeide zodanig dat er uiteindelijk vijftig mensen werkzaam waren. Er verschenen ook cursussen in het Engels, Frans en Duits. Later werd de financiële speelruimte van veel uitgeverijen en ook Stichting Klavarskribo beperkter, waardoor er minder werd geadverteerd. De huidige situatie is zo dat de Stichting Klavarskribo in Ridderkerk zich met een beperkte staf bezighoudt met het omzetten en uitgeven van muziek, met kerkorganisten als belangrijke doelgroep. Op grond van het adressenbestand van de Stichting dat ongeveer vijfduizend adressen van regelmatige klanten bevat, wordt het aantal klavargebruikers in Nederland en daarbuiten op zeker tienduizend geschat.

Naast de Stichting Klavarskribo is er vanaf 1978 de Klavar Vereniging Nederland (en was er van 1949 tot 1963 de Nederlandse Klavar-vereniging) die als doel heeft om, in samenwerking met de Stichting, de klavarnotatie te promoten en in stand te houden. Organisten die de klavar-notatie gebruiken hebben ook nog een eigen contactpunt .
In het Verenigd Koninkrijk is er de Klavar Music Foundation of Great Britain, en daarnaast The Klavar Music School International.

Externe links

• Video-uitleg Klavarskribo
• 'Klavar in 't kort', uitleg in beeld en tekst

Bronnen, noten en/of referenties

[[Categorie:Muzieknotatie]] _____________________________________________________________________________________

Toonhoogte-plaatje; 21 mei 2017

Toonhoogte

Geen 7 maar 12 noot-posities

Een notenschrift maakt gebruik van noten om de in een muziekstuk voorkomende tonen bij benadering te beschrijven. In Klavar is dat niet anders. Met noten wordt hier gedoeld op de rondjes of ovaaltjes die door hun plaatsing ten opzichte van de lijnen van de notenbalk (en door een eventueel voorafgaand kruis- of molteken), informatie geven over de hóógte van een muzikale toon.

Hieronder de verschillen tussen TN en Klavar voor wat betreft het aanduiden van toonhoogten.

Traditioneel	Klavarskribo
Zeven vaste nootposities per octaaf, gealtereerde noten d.m.v. voortekens Noten afwisselend op en tussen de lijnen Wisselend notenbeeld per octaaf	Balk biedt plaats voor 12 chromatische noten Stamnoten tussen lijnen, chromatische noten op de lijnen Gelijk notenbeeld per octaaf
Meerdere sleutels. Toonbereik vergroting door meer balken.	Eén sleutel: gemarkeerd lijnenpaar naast centrale c'. Toonbereik vergroting door meer lijnen.
Gelijkvormig notenbeeld voor elke grondtoon. Geen zichtbaar verschil tussen hele en halve toonafstand.	Ongelijk notenbeeld voor elke grondtoon. Bij een hele toonafstand is er een tussengelegen nootpositie.

Klavarskribo, wijzigingen door Madyno

Commentaar bij wijzigingen (Madyno) 21 juni 2018

Door Madyno is het Klavarskribo-artikel nauwkeurig bekeken. Wat leidde tot wijzigingen op (ruwweg) een twaalftal plaatsen - de allerkleinsten niet meegeteld. Waar het relevant lijkt, geef ik er hier commentaar op.
1. "Voor [wie van Klavar speelt ipv traditioneel] vervalt bij het van het blad spelen de rol van letternamen voor NOTEN/TONEN en toetsen."  Ik bedoel hier echt uitdrukkelijk "noten", de op het 'blad' gedrukte bolletjes op een lijnenraster. Al héél vroeg bij de pianoles moeten bij die bolletjes-posities letternamen geleerd worden, terwijl op de (witte) toetsen soms plakkertjes komen met die letternamen. Voor een klavarspeler zijn die letternamen (voor noten en toetsen) niet van belang (ik denk dat nogal wat klavarspelers die letternamen voor toetsen niet onmiddellijk paraat hebben). Ik ben benieuwd, Madyno, waarom jij hier een voorkeur voor "toon" laat blijken.
2. "Voor wat betreft". Zie Taaladvies / Onze Taal. Valt zeker onder BTNI, lijkt me.
3. "van een toon/noot die bij aanvang van een maat....". Hier stond iets halfslachtigs: een 'noot' kan niet worden ingezet, en een 'toon' heeft geen notenstok. Compromis akkoord?
4. "een F-kruis-noot.....een G-mol-noot" Het gaat hier om de vergelijking van toonhoogtes die worden aangegeven door: "een noot die onder balklijn-2 staat met een kruis ervoor" en "een noot die op balklijn-2 staat met een mol ervoor".
Het aanduiden van die twee noten met "een noot die een toon Fis aanduid" en "een noot die een toon Ges aanduid" is volgens mij niet alleen onnodig omslachtig, maar ook aanvechtbaar. Want zijn er geen context-situaties denkbaar waarin een TOONhoogte die volgens een bepaalde systematiek de naam "Fis" zou krijgen, op de notenbalk tóch geschreven wordt (zou kunnen worden) met een NOOT op de G-positie met een mol ervoor? Ik denk het wel.   En mag ik ook geen "G-positie" schrijven, maar moet het volgens jou/Madyno zijn: "de positie in de balk van de noot die een toon G aanduidt" ?  En mag ik het niet hebben over een "G-toets" op de piano, maar moet het zijn: "de toets die de toon G aanduidt/aangeeft" ?
Zit ik er volledig naast als ik stel dat de eerste zeven alfabetletters niet alleen voor bepaalde TONEN gebruikt worden (voor welke tonen dat zijn, zie de eerste zin van dit concept voor 'Stamtoon') maar eveneens voor NOTEN (bij enkelvoudige letters ook: noot-posities) op de notenbalk? En voor toetsen op de piano?
Zo kunnen ook de aanduidingen Fis, Ges, F-kruis, G-mol, F♯, G♭, ♯F, ♭G, F♯-noot, G♭-noot, voorkomen als aanduidingen voor NOTEN op een notenbalk. Welke lijkt het duidelijkst, het meest gangbaar?

5. "De quaestie, of de toon Des hooger of lager is ....".  De oude spelling zal hier beter verdedigbaar zijn bij het gebruik van aanhalingstekens (citaat-tekens).
6. "klankbeeld". Dit woord heeft een gangbare andere betekenis; zie de nieuwe verwoording.
7. "de keuze voor ‘-es’-namen en niet voor ....". Het gaat hier niet in de eerste plaats om namen van TONEN, zie de punten (1) en (2) in de tekst na de voetnoot.  Voor iemand die van bladmuziek een instrument bespeelt, spelen namen voor schriftnoten en voor pianotoetsen (of grepen op een ander instrument) in een eerder stadium een rol dan namen voor TONEN. (Het op een volledig eenduidige manier koppelen van namen aan TONEN blijkt niet echt eenvoudig te zijn, dat is meer voer voor muziek-theoretici.)
8. "De traditionele notatie kent 21 toon-aanduiders ...". Het is heel raar (onzin) om te zeggen dat er TONEN (stamtonen, verhoogde en verlaagde stamtonen, dubbelverhoogde tonen) gebruikt worden om TOONHOOGTE-NUANCES te beschrijven. Die toonhoogte-nuances worden - zo goed en zo kwaad als het gaat - beschreven door de NOTEN (de bolletjes in het lijnenraster, al dan niet met voorteken) in het notenschrift.  Tekst iets aangepast.
--

De traditionele notatie (bedoeld is hier: het traditionele notenschrift) kent balklijnen, noten, voortekens, sleuteltekens, etc. de tonen en de toon-namen staan daar in zekere zin los van. Ik kies nu iets andere woorden voor wat hier bedoeld was.

Nog steeds geen betekenis-omschrijving voor 'reeks'

Bob.v.R laat met z'n benadrukking van een bepaald onderdeel in wat een bron bij de definitie bedoeld te zijn (6 aug 2016); blijken nog altijd tevreden te zijn met een tekst zónder definitie van het hoofdwoord.  
Want door zijn specifieke verwijzing naar regel 13  (op p. 9 van bron Kuznetsov/Stienstra; zie ook mijn 'Kanttekeningen' in deze sectie 44 en ook de afstandneming door auteur Stienstra in deze subsectie 44.3)  waar alleen  notatiewijzen getoond worden (voor iets wat als 'reeks' aangeduid wordt) , benadrukt hij dat hij zich neerlegt bij
- het feit dat in regel 12 de aanduiding  de daarbij behorende reeks  uit de lucht komt vallen,   en
- dat in regel 14 bij  een reeks, dwz. zo'n som van oneindig veel getallen  een verwijzing naar de betekenis van die mysterieuze woordenreeks ontbreekt.
Bob.v.R's - mijns inziens loze - rechtvaardiging voor deze essentiële omissie is bekend:
    "De lezer van dit artikel weet zelf wel wat  'een som'  betekent."  (18 mei 2016).

Is zo'n betekenisbeschrijving voor 'reeks' (naast die van 'rij') dan überhaupt wel te geven?
Mijn antwoord: Niet, zolang gezocht wordt naar een puur wiskundig begrip. Echter wel als geaccepteerd wordt dat het bij 'reeks' (in de niet-rij betekenis) gaat om de naam voor een bepaalde notatievorm (van getallen of functies; soms ook van rijen).
In onderstaande overlegsectie - concept 8 augustus 2016 - laat ik (nogmaals, in gewijzigde vorm) zien hoe dat zou kunnen.
--

Reeks (wiskunde),   concept 8 augustus 2016

Het woord reeks komt in wiskundetaal voor als
- naam voor een speciaal soort aanduidingen voor getallen (en functies), veelal:  $\scriptstyle \sum$ ${a}$  of  $a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots$  ,
en - minder dan voorheen - als
- synoniem voor rij  (meestal een oneindige rij, een afbeelding op de natuurlijke getallen).

            'REEKS'  ALS NAAM VOOR BEPAALDE GETAL-AANDUIDINGEN
De combinatie van
(1) een aanduiding voor de afbeelding die aan een rij z'n partieelsommenlimiet^noot1 toevoegt,  en
(2) een aanduiding voor een getallenrij (of een rij functies) als operand bij die afbeelding,
wordt  reeks  of  reeksvorm  genoemd.   Vrijwel steeds betreft dit een van de volgende formulevormen:

$\sum a$  ,    $\sum$$_{i}\ a_{i}$  ,    $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$    (sigmavormen),       $a_{1}{+}\,a_{2}{+}\,a_{3}{+}\cdots$  ,    $a_{1}{+}\,a_{2}{+}\cdots {+}\,a_{i}{+}\cdots$    (plussenvormen) .

Als de partieelsommen van de operand-rij naar een limiet gaan, heet de reeks/reeksvorm convergent (of convergerend), en staat de vorm als geheel voor die limietwaarde.  Zo niet, dan heet de vorm divergent (of divergerend)^noot3, en is betekenisloos.
Voor de reeksvorm ter aanduiding van een getal als limiet van een zekere rij $u$,  wordt gekozen in die gevallen waarin de verschillenrij  $u_{1},\,u_{2}{-}u_{1},\,u_{3}{-}u_{2},\cdots$   eenvoudiger te beschrijven is dan rij $u$ (de partieelsommenrij van die verschillenrij) zelf.

Rekenregels voor convergente reeksvormen.^noot2  De uitdrukkingen in linker- en rechterlid duiden hetzelfde getal aan:

$c\ \sum$$_{i}\ a_{i}\ =\,\sum$$_{i}\ (c\ a_{i})$

$\sum$$_{i}\ a_{i}\ +\,\sum$$_{i}\ b_{i}\ =\,\sum$$_{i}\ (a_{i}+b_{i})$

$\sum$$_{i}\ a_{i}\ \times \,\sum$$_{i}\ b_{i}\ =\,\sum$$_{i}\ (a_{1}b_{i}+\cdots +a_{i}b_{1})$     (mits $(|a_{i}|)$ of $(|b_{i}|)$ sommeerbaar).

Let op.  Bovengenoemde sigmavormen en plussenvormen komen ook voor ter aanduiding van de partieelsommenrij zélf.
Ondubbelzinnige notaties voor de partieelsommenrij van een rij $a\scriptstyle$ zijn:

$a_{1},\ \ a_{1}{+}\,a_{2},\ \ a_{1}{+}\,a_{2}{+}\,a_{3},\ \cdots$           of          $(a_{1}{+}\cdots {+}\,a_{n})_{n=1,2,\cdots }$          of          $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)_{n=1,2,\cdots }.$

            'REEKS'  ALS SYNONIEM VOOR RIJ
In oudere - Latijnse - teksten komt series alleen in de rij-betekenis voor.  In Nederlandse schoolboeken is vanaf omstreeks 1960 (ter voorkoming van meerduidigheid) 'reeks' massaal vervangen door 'rij', zonder dat de betekenis veranderde. Zie hier.
'Reeks'  in de rij-betekenis komt weinig voor wanneer tussen de termen geen optelling gedefinieerd is.  

            'REEKS'  IN SAMENGESTELDE AANDUIDINGEN
Samengestelde aanduidingen met 'reeks', zoals daar zijn:
- oneindige reeks, rekenkundige reeks, meetkundige reeks, harmonische reeks, hyperharmonische reeks, alternerende reeks,
   monotone reeks, stijgende reeks, sommeerbare reeks,
- de partieelsommen van een reeks, de partieelsommenrij van een reeks, de som van een reeks, de termen van een reeks,
   de convergentiesnelheid van een reeks, convergentietests voor reeksen,
- (als het gaat om rijen van functies in plaats van getallenrijen:) machtreeks, hypergeometrische reeks, goniometrische reeks,
   fourierreeks, de taylorreeks van ... , de maclaurinreeks van ..., de fourierreeks van ..., de reeksontwikkeling van ... ,
laten zich vaak op twee manieren interpreteren. Te weten:
a. Het woord 'reeks' is een variant van 'rij', zeker in oude(re) teksten.
b. Het woord 'reeks' betreft een sigmavorm of plussenvorm. Waarbij aangemerkt dient te worden dat bijvoorbeeld  'meetkundige reeks'  gelezen moet als:  reeks(reeksvorm) met een meetkundige rij als operand.
Want een vorm (een aanduiding voor een getal) kan zelf niet meetkundig, stijgend, harmonisch, etc. zijn.
Combinaties met convergent en divergent vereisen nog extra aandacht: convergente rij staat voor een limiethebbende rij, terwijl convergente reeks (meestal) staat voor een reeksvorm met een somhebbende rij als operand.

            CAUCHY'S ONDERSCHEID TUSSEN 'CONVERGEREN' EN 'CONVERGENT'  ALS BRON VAN VERWARRING
De Fransman Cauchy (1789-1857), die belangrijke bijdragen leverde aan de formalisering van de infinitesimaalrekening, hanteerde de volgende terminologie^noot3:
- convergeren, convergeert, convergerend   voor: het naar een limiet gaan van een rij (Frans: suite)
- reeks (Frans: série)   voor: een oneindige rij grootheden (On appelle série une suite indéfinie de quantités) , en dus voor een rij waarvan de termen optelbaar zijn (waaronder getallenrijen)
- convergent   voor: het naar een limiet gaan van de partieelsommen van een reeks^noot4
- som van de reeks   voor: de partieelsommenlimiet van een convergente reeks.
Cauchy's opmerkelijke keuze voor het adjectief 'convergent' heeft tot veel verwarring geleid. Het betekenisverschil met 'convergeren' is door lang niet alle wiskundigen gevolgd. Sommigen gebruiken sommeerbaar of somhebbend voor het 'convergent' van Cauchy. Bij anderen is een taalgebruik ontstaan waarin 'reeks' ook kan slaan op een sigmavorm of een plussenvorm ter aanduiding van de som van een gegeven rij. In combinatie met zo'n reeksvorm betekent zowel 'convergeren' als 'convergent' dat de in die vorm voorkomende rij een som heeft.
Verwarring is te voorkomen door de term 'reeks' te vermijden. En door te kiezen voor '(absoluut)sommeerbaar' als (de absolute waarden van) de termen van een rij een som hebben.

            NOTEN
noot1. De limiet van de uit rij $a$ gevormde rij   $a_{1},\ \ a_{1}{+}\,a_{2},\ \ a_{1}{+}\,a_{2}{+}\,a_{3},\ \cdots$  .

noot2. Niet te verwarren met de rekenregels voor rijlimiet-vormen  ($a$ en $b$ zijn convergerende rijen, $c$ is een getal):
$c\cdot \lim a\ =\ \lim \,(c{\cdot }a_{n})_{n=1,2,\cdots }$
$\lim a+\lim b\ =\ \lim \,(a_{n}{+}b_{n})_{n=1,2,\cdots }$
$\lim a\times \lim b\ =\ \lim \,(a_{n}\ b_{n})_{n=1,2,\cdots }$
$\lim a\ /\ \lim b\ =\ \lim \,(a_{n}/b_{n})_{n=1,2,\cdots }$   (mits rij $b$ geen nulrij).

noot3. Cours d'analyse, 1821, p.123

noot4. De zin waarin Cauchy de term 'convergente' introduceert, staat in toekomende tijd (Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question s'appellera la somme de la série.)  Bij het introduceren van de term 'série' koos hij echter voor de meer neutrale tegenwoordige tijd.

            BRONNEN
- M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, Euclides 1-4 pp.142-160.   Pag. 143:   "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent."   Pag. 146:   "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
- E.J. Dijksterhuis, 1926-'27, Boekbespreking in Bijvoegsel van ... onderwijsbelangen jaargang 3, afl. 3-4, p.98-101 (gecomprimeerd citaat:) het beschouwen van een oneindige reeks als een uitdrukking in plaats van als een rij, lijkt minder gewenscht.
- H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, p.3:   "De uitdrukking   u₁ + u₂ + u₃ + ···   of  Σ₁^∞ u_n   wordt een oneindige reeks genoemd. Wat voor betekenis die uitdrukkingen a priori in de gedachten van de schrijver hebben, wordt men niet gewaar.
- D.A.Quadling, Mathematical analysis (edities 1955 - 1968):   "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES."   (Als een zekere rij beschouwd wordt in relatie tot z'n partieelsommenrij, wordt er vaak de aanduiding oneindige reeks voor gebruikt.)
- P.J.G. Vredenduin, 1959-'60, Vakblad Euclides pag. 57-59: jrg. 35, nr. 2, p. 57-59 Citaten: "In het Nederlandse V.H.M.O. wordt tussen rijen en reeksen doorgaans geen duidelijk onderscheid gemaakt."     "....de verwarring waar thans het Hoger Onderwijs over klaagt, dreigt dan zijn intrede bij het V.H.M.O. te doen."     "Dit voorstel is simpel en radicaal: gebruik de term reeks niet......De woorden convergent en divergent zijn nu overbodig geworden."
- P.G.J. Vredenduin, Rij en reeks, 1967, Euclides 43-1 pp.22-23:   "De moeilijkheid, waarmee de nomenclatuurcommissie zat, is het geven van een verantwoorde definitie van een reeks. Van der Blij omzeilt dit op handige wijze. Hij definieert helemaal niet, wat een reeks is. Wat hij definieert is alleen:  a. convergente reeks,  b. som van een convergente reeks,  c. divergente reeks."
- M. Spivak, Calculus (edities 1967-2006):   "The statement that {a_n} is, or is not, summable is conventially replaced by the statement that the series   Σ_{n =1}^∞ a_n   does, or does not, converge. This terminology is somewhat peculiar, because………."   (De bewering dat   {a_n}   al dan niet sommeerbaar is, wordt traditioneel vervangen door de bewering dat de reeks   Σ_{n =1}^∞ a_n   al dan niet convergeert. Deze terminologie is enigszins eigenaardig, omdat .....)
- N. G. de Bruijn, Bijlage college Taal en Struktuur van de Wiskunde, deel V-21, 1978:   "Het taalgebruik ten aanzien van reeksen is traditioneel slecht."
- A.C.M. van Rooij, Analyse voor Beginners, 1986 Epsilon-uitgaven; (Het woord 'reeks' blijkt gemist te kunnen worden.)
- H.N. Pot, Wat reeksen zijn, is niet te zeggen, NAW 2008
- A.C.M. van Rooij, Wat reeksen zijn, is niet te zeggen, NAW 2009:   "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord ‘convergent’ niet in twee betekenissen gebruikt."
- Hans Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, pag.42: "Een uitdrukking als  a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ∙ ∙ ∙  heet een reeks."
- Lijst van dertig pogingen tot betekenisomschrijving van de term reeks sectie 16
- REEKS en CONVERGENT in Nederlandse schoolboeken, 1900 - 1970 sectie 18 .

Bij plaatsing van het bovenstaande ware de bronvermeldingen sterk te reduceren. --

____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

Betekenis van "formal": http://math.stackexchange.com/questions/453690/formal-series-sum-derivative

Verschil rij - reeks: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X98960462

1. DEFINITIONS Let R be a ring with identity 1. A series over R is a vector with elements in R indexed by the natural numbers; it is distinguished from a sequence by the choice of product. Products of sequences are generally defined termwise, reflecting their comparatively weak natural order structure; in contrast, the vector space of series is usually made into an R-algebra using the Cauchy product. This algebra has multiplicative iden- tity 1s�1q0q0q??? .. The Cauchy product preserves the right-shift operation s , in the sense that sA)BsA)s Bss � A)B.. The right-shift operation is internally represented by the element �0q1q0q0q??? .ss 1 of the algebra of series over R; henceforth, this series is also represented as s . The algebra of series is, of course, isomorphic to the algebra R@s # of formal power series over R. We shall sometimes write series as power series; thus the same series may be written as �1y1q1y1q??? ., or 1ys qs 2ys 3q??? . The subalgebra generated by s is Rws x, the algebra of polynomials. An element of Rws x may be written omitting

_______________________________________________________________________________

Een rij-met-optelintentie ..... dwz. zo'n som van oneindig veel getallen

De woorden in het kopje zie ik (in de lopende discussie) als de kern van de op 16 juli 2016 aan de artikeltekst toegevoegde bron bij de huidige zin achter het kopje Definitie:
      Voor iedere rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks
      gedefinieerd als de formele som (uitdrukking die een som voorstelt)   $\scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }$$a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$.

Die kern staat in de eerste tekst-alinea waarin de term 'reeks' voorkomt, op p.9 van dit diktaat (Universiteit Utrecht, Kuznetsov/Stienstra, 2009]:
      In het Nederlands is er vaak maar weinig verschil in betekenis tussen de
      woorden "rij" en "reeks".  In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil:
      wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven
      dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen.  Laat $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$
      een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als
      $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$  , ook wel als $\scriptstyle \sum$$_{n\geq 0}$$a_{n}$ of, nog korter, als $\scriptstyle \sum$$a_{n}$. Voordat we
      aan een reeks, dwz. aan zo'n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde
      kunnen toekennen, moeten we eerst convergentiekwesties onderzoeken.

Kanttekeningen:
1. Bij "we praten over" en "we de intentie hebben om".
De schrijvers geven hier aan dat ze in dit diktaat een rij $a$ niet 'rij' zullen noemen maar 'reeks' als ze op die plaats de intentie hebben om de termen van rij $a$ op te tellen. En ze lijken me er ook mee aan te geven dat die woordkeuze ook door andere schrijvers over deze materie gebruikt wordt.
2. Accoord daarmee. Ik heb die gewoonte ook in mijn artikelversies steeds vermeld. Laatstelijk met de zin: " 'Reeks'  in de rij-betekenis komt met name voor op plaatsen waar de relatie met z'n (eventuele) somwaarde aan de orde kan zijn."
3. Bij "De daarbij horende reeks wordt genoteerd als".
Wat voor ding wordt bedoeld met "De bij een gegeven rij horende reeks" ?   Is dat "de bij die gegeven rij horende rij-met-optelintentie?   Maar die optelintentie volgt toch alleen uit de context, en is niet een eigenschap van de rij zelf?   Dus waarom formulevormen introduceren ter notatie van de onveranderde gegeven rij?   Niet gezegd wordt waar het verschil zou moeten zitten tussen 'optel'-rijen en 'niet-optel'-rijen ('rijen-met-optelintentie' en 'rijen-zonder-optelintentie').
4. Bij "dwz. aan zo'n" .
Dat verwijswoordje 'zo'n' zal verwijzen naar een 'rij-met-optelintentie'-betekenis van 'reeks'. Waarna ik dat 'rij-met-optelintentie' volgens deze schrijvers dien te zien als overeenkomend met 'som van oneindig veel getallen'. Ik zie nogal wat verschillen tussen beide aanduidingen.
5. Bij "som van oneindig veel getallen".
Ik kan dat zien als een sfeer-bepalende aanduiding. Als meta-taal, bedoeld om de hoorder/lezer in de gewenste richting te sturen. Maar een wiskundig precieze betekenis is hier nog niet aan die zinsnede toegekend.
6. Dit onsamenhangend stel zinnen heeft niks te maken met het beschrijven van een wiskundig-logisch opgebouwd begrippenapparaat. Ook al wordt aan het begin geclaimd: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil:".
7. De student die de tekst van dit diktaat moet proberen te begrijpen, zal iedere keer bij het woord reeks in de context op zoek moeten gaan naar de bedoeling. Niet wordt verteld dat het woord zelf niet meer houvast biedt dan des Keizers Nieuwe Kleren. Het blijft het hele diktaat door een ongedefinieerde stoplap.
8. Ik wil deze opsomming van kritiekpunten niet afsluiten zonder gezegd te hebben dat ik - afgezien van de 'reeksen' - in de eerste tientallen pagina's van dit diktaat uitsluitend zeer precieze, complete, formuleringen ben tegengekomen.

Overig
a. De definitiezin in de huidige artikeltekst zegt dat onder 'de met een gegeven rij geassocieerde reeks' moet worden verstaan: een uitdrukking die een som voorstelt. In de als ondersteunende bron gepresenteerde tekst van Kuznetsov/Stienstra vind ik echter nergens dat 'reeks' ook gebruikt wordt ter aanduiding van zekere uitdrukkingen ( i.c. plussenvormen en sigmavormen).
b. Ik acht bovenstaand punt a plus de 'kanttekeningen' voldoende reden om de toegevoegde bronvermelding uit het - toch al aan nogal wat kanten rammelende - Wikipedia-artikel te verwijderen.
c. Nu gebruiker/moderator Lymantria heeft laten blijken de bewerkings-pauze ivm. een lopende mini-peiling als beëindigd te beschouwen, zie ik geen reden meer om het aanpassen (hieronder toegelicht) van de artikeltekst verder uit te stellen.
d. In een nieuwe voetnoot voeg ik voorbeelden toe van samengestelde benamingen waarin de keuze voor 'reeks' te maken zal hebben met de optel-context waarin ze voorkomen.
e. Na de 5 tegen 4 peilingsuitslag vóór handhaving van de subsectie "Alternatieve definitie van 'Reeks' " (in de huidige vorm geplaatst door Bob.v.R, 21 feb 2016 20:30), heeft Bob.v.R er op mijn VRAAG een opmerkelijke toelichting bij gegeven.
      "Mijn inhoudelijke reactie is dat het bij een 'Alternatieve definitie' in formele zin gaat om 'iets anders' (a), maar dat informeel
      getracht wordt eenzelfde begrip vanuit een andere invalshoek te beschrijven (b)." Zie deze sectie onderaan
Bij zóveel onduidelijkheid, tegenstrijdigheid en interpretatie-mogelijkheden, kan deze subsectie (in deze vorm) beter geschrapt.
f. Bij "formele som" in de definitiezin (op 2 dec 2015 door Bob.v.R overgenomen uit enwikipedia) zijn geen toelichtende bronnen gevonden. Klinkt wel gewichtig maar blijft inhoudsloos. Weg dus.
g. Bij de woorden "een som" in "(uitdrukking die een som voorstelt)" in de definitie-zin, ontbreekt nadere toelichting. (De opmerking van Bob.v.R: "De lezer van dit artikel weet zelf wel wat 'een som' betekent." Zie hier, 18 mei 2016 19:20 maakt niets duidelijk.)
h. Ook met deze aanpassingen blijven er in de artikeltekst nog veel inconsequenties over.   Voor een beter samenhangende tekstversie verwijs ik naar het "concept 7 juli 2016", sectie 43 op deze overleg-pagina.   Na tien dagen is daar nog geen inhoudelijk commentaar onder komen te staan. Wie?
--

---

Reactie aan PaulB

Kanttekeningen:
1. Bij "we praten over" en "we de intentie hebben om".
De schrijvers geven hier aan dat ze in dit diktaat een rij $a$ niet 'rij' zullen noemen maar 'reeks' als ze op die plaats de intentie hebben om de termen van rij $a$ op te tellen. En ze lijken me er ook mee aan te geven dat die woordkeuze ook door andere schrijvers over deze materie gebruikt wordt.
2. Accoord daarmee. Ik heb die gewoonte ook in mijn artikelversies steeds vermeld. Laatstelijk met de zin: " 'Reeks'  in de rij-betekenis komt met name voor op plaatsen waar de relatie met z'n (eventuele) somwaarde aan de orde kan zijn."
3. Bij "De daarbij horende reeks wordt genoteerd als".
Wat voor ding wordt bedoeld met "De bij een gegeven rij horende reeks" ?   Is dat "de bij die gegeven rij horende rij-met-optelintentie?   Maar die optelintentie volgt toch alleen uit de context, en is niet een eigenschap van de rij zelf?   Dus waarom formulevormen introduceren ter notatie van de onveranderde gegeven rij?   Niet gezegd wordt waar het verschil zou moeten zitten tussen 'optel'-rijen en 'niet-optel'-rijen ('rijen-met-optelintentie' en 'rijen-zonder-optelintentie').
4. Bij "dwz. aan zo'n" .
Dat verwijswoordje 'zo'n' zal verwijzen naar een 'rij-met-optelintentie'-betekenis van 'reeks'. Waarna ik dat 'rij-met-optelintentie' volgens deze schrijvers dien te zien als overeenkomend met 'som van oneindig veel getallen'. Ik zie nogal wat verschillen tussen beide aanduidingen.
5. Bij "som van oneindig veel getallen".
Ik kan dat zien als een sfeer-bepalende aanduiding. Als meta-taal, bedoeld om de hoorder/lezer in de gewenste richting te sturen. Maar een wiskundig precieze betekenis is hier nog niet aan die zinsnede toegekend.
6. Dit onsamenhangend stel zinnen heeft niks te maken met het beschrijven van een wiskundig-logisch opgebouwd begrippenapparaat. Ook al wordt aan het begin geclaimd: "In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil:".
7. De student die de tekst van dit diktaat moet proberen te begrijpen, zal iedere keer bij het woord reeks in de context op zoek moeten gaan naar de bedoeling. Niet wordt verteld dat het woord zelf niet meer houvast biedt dan Des Keizers Nieuwe Kleren. Het blijft het hele diktaat door een ongedefinieerde stoplap.
8. Ik wil deze opsomming van kritiekpunten niet afsluiten zonder gezegd te hebben dat ik - afgezien van de 'reeksen' - in de eerste tientallen pagina's van dit diktaat uitsluitend zeer precieze, complete, formuleringen ben tegengekomen.

Toelichting bij artikel-aanpassingen
weggelaten

(bwc) Bij 'kanttekening 1' ga je m.i. al de fout in: de auteurs hebben duidelijk de bedoeling een reeks te onderscheiden van een rij. Nergens staat, en zeker niet met zoveel woorden, dat ze de rij zelf als reeks zouden willen aanduiden. Integendeel, de reeks wordt 'informeel' genoteerd als a₁ + a₂ + a₃ + ... en de auteurs spreken dan ook op natuurlijke wijze van 'de bij de rij behorende reeks'.

Dat dit volgens kanttekening 3 in tegenspraak is met het beweerde in kanttekening 1 is geen slordigheid van de schrijvers maar eerder van degene die kanttekening 1 formuleerde. Het gebruik van het woord 'intentie' heeft naar mijn idee geen andere reden dat dat er ook niet-convergente reeksen bestaan, waar je die volledige optelling dus in feite niet kunt realiseren. Het gebruikelijke kip-en-ei-probleem bij het behandelen van reeksen: we zouden ze graag simpelweg definiëren als de som van een rij, maar die som bestaat niet altijd. De auteurs pogen dat op te vangen door het gebruik van de notatie $\sum _{n\geq 0}a_{n}$ die (in het gebruik door deze auteurs) in het midden laat of de som van alle getallen daadwerkelijk bestaat.

Mogelijk kan men dit interpreteren als de rij van partiële sommen, maar de auteurs maken dat niet expliciet. Andere auteurs doen dat overigens wel: die definiëren een reeks wel als rij van partiële sommen van een (andere) rij (bijv. de bron genoemd in [14] p. 131).

Voor kanttekeningen 4 en 5: dat de in 1 gestelde bewering moeilijk te rijmen is met enkele beweringen van de auteurs, ligt toch echt aan die bewering, die nergens rechtstreeks uit de tekst volgt. Punt 6 is niet inhoudelijk maar is slechts een verzuchting. Punt 7 is een veronderstelling waarvoor geen bewijs kan worden geleverd. In de praktijk heb ik bij (mede)studenten zelden verwarring gezien over het al dan niet bestaande verschil tussen 'reeks' en 'rij', zelfs wanneer de definitie nog veel minder formeel was. Blijft over: de vraag op welke gerenommeerde externe bronnen nu doorgevoerde tekst dan is gebaseerd. Paul B (overleg) 17 jul 2016 17:07 (CEST)

================

Beste PaulB, wat een verrassing om weer eens van een ander commentaar te krijgen - dank voor je initiatief. En nog razendsnel ook.   Ik heb je zinnen eerst eens rustig op me laten inwerken, en wil nu op een vijftal punten reageren, het grote kernpunt en vier m.i. wat meer secundaire zaken. Als ik wat belangrijks oversla hoor ik dat graag.
I. Na je eerste drie zinnen ben ik de logica van je betoog helaas al kwijt. Want:
Ia. "duidelijk de bedoeling een reeks te onderscheiden van een rij".   Dat ís mij echter helemaal niet 'duidelijk', omdat ik noch bij de auteurs, noch in jouw regels, kan vinden wat voor ding (welk van een rij te onderscheiden wiskundig definieerbaar begrip) er achter het gebruikte label 'reeks' schuilgaat.
Ib. "de reeks wordt 'informeel' genoteerd als...".   Hier gebruik je dat label 'reeks' al op een wijze alsof je mij al uitgelegd hebt wat het voor een ding is. Want je komt vertellen op welke manier dat ding (gewoonlijk) genoteerd wordt. Daar ontbreekt toch een hoogstessentiële uitleg? Die vind ik echt niet in jouw tussenliggende tweede zin. En evenmin in je vervolg; of in de tekst van de auteurs.
Ic. Ook in je vijfde zin, waar je het hebt over 'niet-convergente reeksen' (en kennelijk weet jij ook wat 'convergente reeksen' voor dingen zijn), doe je net alsof ik - als groen student - ook al weet wat wiskundigen zich bij die benamingen voorstellen.
Kun je me wijzen op de rotte plek in mijn betoog hierboven? Graag zelfs!

Je lijkt me, waarschijnlijk onbewust, van de premisse uit te gaan dat waar in (zowat) elk calculusboek na het hoofdstuk 'Rijen' een hoofdstuk 'Reeksen' volgt, het in dat tweede hoofdstuk evenzeer over welgedefinieerde 'wiskundige dingen' zal gaan als in het Rijen-hoofdstuk. Ook als ik mensen erop wijs dat er rond de 'definiëring' van die zogenaamde reeksen nogal het een en ander rammelt/ontbreekt, wordt dat vaak wel toegegeven, maar toch blijft er het idee hangen dat er dan elders wél ergens een complete beschrijving te vinden zal zijn. Mijn lange zoektocht daarnaar eindigde abrupt toen ik bij toeval op pag. 123 van Cauchy's Cours d'analyse (1821, in heel simpel Frans) zag dat hij (1) 'série' introduceerde voor een rij (suite) met termen waar een optelling tussen bekend is (quantités), en (2) het adjectief 'convergente' introduceerde voor zo'n rij als die een partieelsommenlimiet heeft. (Naast vormen van het werkwoord 'converger' voor een rij met een simpele termen-limiet !!!).
Niks geen kip-en-ei-probleem meer, alles is opgelost.
Alleen.....helaas......het verschil tussen het werkwoord en het adjectief bleek voor velen te subtiel, met als gevolg dan men zich in allerlei bochten ging draaien om het woord série/reeks een aparte status te geven. Wat in feite onmogelijk is, maar het is geen gewoonte om dat hardop te zeggen; schrijvers en docenten houden het veelal liever bij de formuleringen van hun voorgangers.
Mijn opponent Bob.v.R zal dit waarschijnlijk ook wel kunnen volgen, maar hij stelt zich (meen ik) op het standpunt dat Wikipedia het meerderheids-gedraai moet weergeven, en de waarneming van dat ene jongetje tussen het kijkerspubliek in Kopenhagen als te moeilijk en verwarrend voor de lezer, moet negeren.   Je zult wel begrepen hebben dat ik het daar niet mee eens ben. Zie mijn 'concept 7 juli'. Wikipedia dient z'n lezers niet het bos in te sturen met zinnen waarvan vooraf bekend is dat er logisch gezien onzin staat.
De problemen zijn uit de wereld voor wie zich realiseert dat 'reeks' en 'rij' eeuwenlang ook als synoniemen gebruikt zijn, en dat verwarring rond de dubbele betekenis van convergent/convergeren er niet is als 'sommeerbaar' gebruikt wordt in één van die betekenissen. Dat is helemaal niks nieuws, google maar eens met 'summable' en varianten.
Overigens: een beschrijving van de situatie rond het gebruik van de term 'reeks' zal óók moeten ingaan op de rol van die term in veel gangbare leerboeken, misschien nog meer of anders dan in mijn laatste 'concept'.

II. (zin 7, geparafraseerd) "De auteurs laten bij het gebruik van de sigmavorm in het midden of de som van álle getallen daadwerkelijk bestaat."   Dat vind ik best; het sluit aan bij wat ik in mijn 'concept 7 juli' schreef in de sectie: 'REEKS'  ALS NAAM VOOR BEPAALDE FORMULEVORMEN.

III. (zin 9, geparafraseerd) "Andere auteurs duiden de rij van partiële sommen van een rij a aan met 'de reeks van rij a' ".
IIIa. Vind je het niet wat vreemd dat het woord 'reeks' in het ene leerboek voor wat anders gebruikt wordt dan in het andere? En dat dat niet tot conflicten schijnt te leiden? In mijn 'Lijst met dertig definitie-pogingen' staan nog meer varianten. Alleen, als ik erop wijs dat Cauchy série definieerde als, en consequent en probleemloos in zijn hele oeuvre gebruikte voor: een rij met elementen in een optel-ruimte, dan breekt de pleuris uit.
IIIb. Achter je link in zin 9 vind ik een vetgedrukte regel van Ian Craw, neerkomend op: "Indien een rij beschouwd wordt als de partieelsommenrij van z'n verschillenrij, is het een reeks." Noem me nu eens een rij die niet ook reeks kan zijn? (afhankelijk van hoe die rij beschouwd wordt; door wie?). Wat daar onder Craw's naam staat heeft helemaal niets meer met serieuze wiskunde te maken.
IV. Je voorlaatste zin eindigt met "zelfs wanneer de definitie nog veel minder formeel was".   Daarmee suggereer je (m.i.) dat je een wél formeel-correcte definitie van 'reeks' zou kennen. Ik ben razend benieuwd, laat zien!
V. In je slotzin vraag je naar externe bronnen. Voorzover het de richting betreft waarin ik de huidige tekstversie probeer te amenderen zie het dozijn onder mijn 'concept 7 juli' (zie het voorgaande kopje).
Groetend, --

____________________________

H.K.F. von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik - für Studierende und zum Selbststudium, Band II, edities 1912-1925. Von Mangoldt volgt de systematiek van Cauchy; alleen is bij hem 'Konvergieren' synoniem met 'konvergent sein' / 'een somwaarde hebben', en dus niet met 'clusteren' / 'een grenswaarde hebben'. Knopp wijzigt de betekenis van Reihe en ..................

Knopp: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/de/dms/load/toc/?PID=PPN378970429

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/de/dms/load/img/?PID=PPN378970429%7CLOG_0019

Konrad Knopp in spagaat, tegenover Hans von Mangoldt

Het zou misschien niet gek zijn, als de deelnemers aan dit overleg kennisnemen van wat Konrad Knopp schreef op pag. 100 van zijn Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Eerste druk 1922, hier online uit de 5e druk, 1964:
Par.66: "Unendliche Reihen. Das sind Zahlenfolgen, die ....."
Par.68: Definition. Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ......" .
Met daartussenin zoiets als: "Man gebraucht für diese ('unendliche Reihe' genannte) Folge ein ('unendliche Reihe' genannt) Symbol."   Met als gevolg dat overal waar 'Reihe' voorkomt, het puzzelen geblazen is - tot op de dag van vandaag.
Wie nader in deze materie geïnteresserd is, zou kunnen proberen een oudere én een nieuwere druk in handen te krijgen van Band II van het drie-(later vier-)delige standaardwerk van Hans von Mangoldt Einführung in die höhere Mathematik. Eerste druk 1912, vanaf de 6e (of 5e?) druk in 1932 door Knopp stevig bewerkt. Tot (minstens?) 1990 herdrukt. Voor wat de reeksen betreft zette Knopp de nauw bij Cauchy aansluitende - logisch correcte - aanpak van Von Mangoldt vrij volledig op z'n kop.
Deze verschillende benaderingen, alsook het spagaat van Knopp (en nogal wat anderen) dienen mijns inziens als zodanig in het Wikipedia-artikel aan de orde te komen. --

___________________

Nog nader gladstrijken:

“Reihe” in de  Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften; 1898

Helemaal aan het begin van dit enorme, zeer gedetailleerde, thematisch ingedeelde overzichtswerk komen de "Reihen" aan de orde (auteur van deze sectie is Alfred Pringsheim [15]):
Eerst terloops als synoniem voor Folge op p. 54 regel 15, 16, 22:
    "den Begriff der sog. Fundamentalreihe, d.h. einer Reihe von rationalen Zahlen $a_{\nu }$, ....."
    "als 'unendlich entferntes' Glied einer Reihe...." ,
en evenzo op p. 64 regel 14:
    "Eine Zahl $a$ gilt als Grenze einer unbegrenzt fortsetzbaren Zahlenreihe  $a_{\nu }$ ($\nu$ = 1, 2,... in inf.), wenn...." .

Waarna in de hoofdrubriek "Unendliche Reihen" op p.77 bij de introductie van de term 'unendlichen Reihen' gezegd wordt dat het daarbij gaat om
    "Den einfachsten Typus von gesetzmässig definierten Zahlenfolgen" ,
en wel het Typus waarbij elke term
    "aus dem vorangehenden durch eine einfache Addition erzeugt wird."
Die laatste (nietszeggende) specificerings-poging komt overeen met wat men ook na meer dan honderd jaar soms nog als 'definitie' aan de man probeert te brengen:
    "Een reeks is een rij die geschreven kan worden als de partieelsommenrij van een andere rij."     of
    "Als we de termen van een gegeven rij steeds maar verder optellen, krijgen we een reeks."     of
    "Bij een reeks zijn de termen ontstaan uit (erzeugt aus, voortgebracht door) een andere rij door partieelsomvorming."
Ik blijf het sterke vermoeden hebben dat zulke pogingen om 'reeks' van 'rij' te onderscheiden, voortkomen uit het niet gezien hebben (niet hebben willen zien? animositeit D-F ?) van het door Cauchy gemaakte verschil tussen een convergerende rij (limiethebbend) en een convergente rij (somhebbend).

'Reihe' als representatie-systeem, als Darstellungsform
De vetgedrukte titel bovenaan p.77 blijkt gelezen te moeten worden als (zie pp.111, 126, 141):
    Unendliche Reihen, unendliche Produkte, unendliche Kettenbrüche und unendliche Determinanten.
De beginzin van de tekst op p.77 suggereert dat deze benamingen alle vier verwijzen naar een bepaald type rijen (Zahlenfolgen). Dat is (mijns inziens!) onjuist geformuleerd; want aan een willekeurige gegeven rij (zeg de harmonische rij) is met geen mogelijkheid te zien of die van het type 'oneindige reeks' is of van het type 'oneindig product', of ..... .
De werkelijke bedoeling van de vier benamingen lijkt te zijn: het onderscheiden van verschillende "representatie-systemen" ("Darstellungsformen") voor reële getallen. (En later ook voor complexe getallen en voor functies.)   Voor rationale getallen is er één standaardrepresentatie (een delervrij koppel: heeltal - natuurlijk getal), maar voor de overaftelbaar veel reële getallen is dat niet zo. Er zijn er een paar met een eigen naam (pi, e, fi), en flink wat andere zijn te beschrijven als functiewaarden van al eerder beschreven originelen. Daarnaast zijn er representatie-systemen die gebaseerd zijn op oneindige getallenrijen.   In de eerste plaats kan zo'n basisrij zelf een limiet hebben. Maar er kunnen ook (nieuwe) getallen gedefinieerd worden als de limiet van een omgevormde basisrij: de partieelsommenrij ervan, de partieelproductenrij ervan, de partieelkettingbreukenrij ervan, de partieeldeterminantenrij ervan (in dit laatste geval moet de basisrij een dubbelrij zijn).
Deze definitie-methoden berusten dus op de limietneming van een bepaalde omvorming van een gegeven basisrij. Het woord Reihe in de kop van de Duitse tekst slaat dus in feite op de voorstellingsmethode voor getallen (en functies) middels: een basisrij, de vorming van de partieelsommenrij van die basisrij, en de limietovergang van die partieelsommenrij.
Het niet onderscheiden van deze Darstellungsform-betekenis en de Zahlenfolge-betekenis van hetzelfde woord Reihe, leidt in de verdere tekst van de Enzyklopädie voortdurend tot gewrongen, onheldere constructies. En de autoriteit van (onder meer) dit werk heeft er voor gezorgd dat die gewrongen/ambivalente constructies tot op de huidige dag in naslagwerken en leerboeken gekopieerd worden.

De consequentie van één en ander voor de tekst van het Reeks-artikel in Wikipedia lijkt me te moeten zijn dat de nadruk komt te liggen op het werkelijke gebruik van de term 'reeks' in eigentijdse wiskunde-teksten . En dat er verder gewezen wordt op de door een historische ontwikkeling veroorzaakte – nog altijd bestaande – onzekerheid rond de 'ware' betekenis van de termen reeks en convergent (of zoals anderen preferen te zeggen: de "begrippen" reeks en convergent).
Kan dat beter dan in het eerder in dit overleg getoonde concept 7 juli 2016?   Wie?
--

"Convergent" in tien verschillende betekenissen

Problemen rond het geven van een sluitende omschrijving van  'reeks'  en/of van  'reeks van een gegeven rij'  lijken te verdampen bij inachtname van het onderstaande.

1. Er zijn zeer veel plaatsen aan te wijzen in wiskunde-teksten waar 'reeks' gebruikt wordt in de betekenis: 'afbeelding op de natuurlijke getallen', dus als synoniem voor 'rij' (in de betekenis: oneindige rij).
2. Het als volledig synoniem beschouwen van de termen reeks en rij past echter niet bij het nog steeds courante woordgebruik m.b.t. convergentie. Want met het convergent zijn van een rij wordt niet hetzelfde bedoeld als met het convergent zijn van de reeks met dezelfde termen als de rij waaruit die reeks is (of: zou zijn) gevormd.
Nog iets anders geformuleerd: met het convergent zijn van een bij een gegeven rij behorende reeks, wordt iets anders bedoeld dan met het convergent zijn van die gegeven rij zelf (somhebbend versus limiethebbend).
3. In 1821 stelde Cauchy voor om 'convergente' te gebruiken bij een somhebbende 'série' en daarnaast vormen van het werkwoord 'converger' bij een limiethebbende 'suite'. Waarbij hij 'série' definieerde als 'une suite indéfinie des quantités' (dus als een oneindige rij van intern optelbare termen).
Niet bekend is of hij hiermee beoogde bestaand meerduidig woordgebruik éénduidig te maken, en of hij zich realiseerde dat zijn voorstel de verwarring alleen maar groter zou maken (wegens het erg subtiele onderscheid tussen convergente/convergent en convergeante/convergerend.
4. De puzzelstukjes lijken op hun plaats te vallen als we niet proberen voor het woord  'reeks'  een van  'rij'  afwijkende betekenisomschrijving te zoeken, maar in plaats daarvan verschillende betekenissen te onderscheiden van het woord 'convergent' (zonder onderscheid tussen 'convergeren' en 'convergent zijn').   En wel als volgt:

- een rij is convergent (is term-convergent, convergeert)   als z’n termen naar een limiet gaan
- een rij is Cauchy-convergent   als er bij élke mini-afstand een indexgrens is waarna alle termafstanden kleiner zijn
- een rij is somconvergent (sommeerbaar)   als z’n partieelsommen naar een limiet gaan
- een rij is absoluut-sommeerbaar (absoluut-convergent)   als z’n absolute-waardenrij sommeerbaar is
- een rij is Cèsaro-convergent (C-sommeerbaar)   als van z’n partieelsommenrij de partieelgemiddelden naar een limiet gaan
- een rij is Euler-convergent   als z'n binomiaal-getransformeerde ........................convergeert
- een rij ($a$) is Abel-convergent   als   $\scriptstyle \sum _{n=0}^{\infty }$$\,a_{n}\,x_{n}$  een onderlimiet heeft voor  $x$ naar 1
- een rij is productconvergent   als z’n partieelproducten naar een limiet gaan
- een rij ($a$) is kettingbreuk-convergent   als de rij    $a_{1},\ \ a_{1}{+}$1/$a_{2},\ \ a_{1}+\,$1$/(a_{2}{+}$1/$a_{3}),\,{\cdot }{\cdot }{\cdot }$   convergeert
- een rij ($a$) is kettingwortel-convergent   als de rij    ${\sqrt {a_{1}}},\ \ {\sqrt {(}}a_{1}+{\sqrt {a_{2}}}),\ \ {\sqrt {(}}a_{1}+{\sqrt {(}}a_{2}+{\sqrt {a_{3}}})),\,{\cdot }{\cdot }{\cdot }$   convergeert .

Conclusie
Het bovenstaande is niet bedoeld om actief gebruik van deze nomenclatuur te propageren, maar om te laten zien dat de verschillende wiskundige begrippen zijn aan te duiden zónder gebruik te maken van mistige termen als ‘reeks’, ‘oneindig product’, ‘kettingbreuk’, en dergelijke (termen waarvan niet duidelijk is of ze slaan op een bepaalde notatie, dan wel op een wiskundig begrip). Enkele van de genoemde samenstellingen met ‘convergent’ zijn ingeburgerd, het losse ‘convergent’ is (helaas) in gebruik voor zowel term-convergent als som-convergent.

Vraag aan mede-overleggers:   Welke zinnen in het bovenstaande zijn te zien als het poneren van een persoonlijk/éénzijdig standpunt, en niet als een neutrale weergave van de bestaande situatie?
Wie toch meent een betekenisbeschrijving van 'reeks' te kunnen geven, consistent met het gebruik van de term in wiskunde-teksten, ........... laat zien!
De door Lymantria genoemde bronnen (de Kuznetsov/Stienstra-tekst, op 16 juli als bron voor de definitie in de huidige artikeltekst toegevoegd; en de op 22 juli in dit overleg vermelde definitiepoging uit een THE-syllabus-1960),
alsook de door Paul B op 17 juli in dit overleg gemelde poging van Ian Craw (Ch.6 p.55: Infinite Series: a particular kind of sequence, those built by adding up more and more from a given collection of terms.)
blijken geen inhoudelijke beschrijving van een wiskundig begrip 'reeks' te bevatten. De kritiek erop is in dit overleg door niemand weerlegd.
--

____________________________________________________________________________

(Samenvatting 17?aug 2016:) Nog nauwkeuriger; voor motivatie zie Overleg

Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen.

Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$

Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eeneenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.

De eventuele uitkomst $S$ van de sommatie wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$.

Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij.

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.

Definitie

Voor iedere rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som (uitdrukking die een som voorstelt)

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$.

De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.

Partieelsommen

Met de rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ associeert men de rij $(s_{n})_{n=1}^{\infty }$ der partieelsommen of partiële sommen, met

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

Ook de limiet $S$ der partieelsommen, als deze bestaat (zie onder), wordt op die twee manieren aangeduid. Welk van beide begrippen, de reeks ofwel de limietwaarde, de auteur bedoelt, moet uit de context blijken.

Alternatieve definitie van 'Reeks'

Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij $(a_{n})$ en de rij $(s_{n})$ van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld $(\,(a_{n},s_{n})\,)_{n=1}^{\infty }$.

Nauwkeuriger versie:
Reeks is in de wiskunde de naam voor een aantal vormen ter aanduiding van wat men noemt  'de som (somwaarde) van een rij met oneindig veel termen' .   Voorbeelden van reeksen zijn (bij een gegeven rij  $a_{1},a_{2},a_{3},{\cdot }{\cdot }{\cdot }$)  de formulevormen:

$a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}{\cdot }{\cdot }{\cdot }\quad \$en$\quad \ \ \sum _{i=1}^{\infty }$$a_{i}$  .

Een tweede, grotendeels historische, betekenis van reeks valt samen met die van rij  (afbeelding op de natuurlijke getallen).

Definitie

Voor iedere rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks een aanduiding zoals   $\scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }$$a_{n}\$ of $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}{\cdot }{\cdot }{\cdot }$ ,   die de (eventuele) limiet van de rij   $(a_{1}{+}{\cdot }{\cdot }{\cdot }{+}a_{n})_{n=1,2,{\cdot }{\cdot }{\cdot }}$  voorstelt.
Met "termen van een reeks"  worden de termen (ook: elementen) van de in de reeksvorm aangeduide rij bedoeld.

Partieelsommen

Met de rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ associeert men de rij $(s_{n})_{n=1}^{\infty }$ der partieelsommen of partiële sommen, met

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

De formulevormen   $\scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }$$a_{n}\$ en $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}{\cdot }{\cdot }{\cdot }$   worden ook gebruikt ter aanduiding van de partieelsommenrij van rij $a$. Welk van beide begrippen de auteur bedoelt - de partieelsommenrij of de limietwaarde daarvan - moet uit de context blijken.

Alternatieve definitie van 'Reeks'

De vorm-betekenis van 'reeks'  kan ook omschreven als:  de combinatie van een aanduiding voor een rij  en voor de afbeelding die aan een rij z'n partieelsommenlimiet toevoegt  .

---

(Overleg-kopje:) Artikelversie 17? aug 2016; beginzinnen nauwkeuriger

Met een aantal herformuleringen van artikelzinnen lijken me verschillende onduidelijkheden en inconsequenties in de voorgaande versie, ondervangen. Inhoudelijk is daarbij gebruik gemaakt van opmerkingen die gemaakt zijn rond de 'mini-peiling' en daarna ook door enkele nieuwe overleg-deelnemers. De minipeilings-versie is niet gezien als een onaantastbare, bevroren tekst; ook door anderen is er al weer enige malen aan gesleuteld.
De structuur van de voorgaande versie is volledig intact gelaten, ook al leidt dat nogal eens tot een minder glad geredigeerd geheel; de hierboven getoonde versie (concept 8 augustus 2016, sectie 46) zou een beter samenhangend geheel leveren. Graag commentaar bij die conceptversie.

Motivaties voor aangebrachte wijzigingen: (zinsnummers betreffen de voorgaande versie)
Zin 1.   De opsomming van meerdere getallensoorten, en zeker het  "etc.",  is in de openingszin misplaatst.  Het woord "uitbreiding" verhult dat het bij een 'oneindige som' om iets geheel anders gaat dan een gewone optelling.
Zin 1, 2, 3, 4.   Met     "het wiskundig begrip reeks",     "een reeks wordt genoteerd als",     "een eeneenduidig verband tussen de rijen () en de reeksen"   en   "hetzelfde genoteerd als een reeks" ,   wordt gedaan alsof het om een abstract / theoretisch wiskundig begrip gaat (waar concrete notaties voor bestaan). Terwijl het in feite gaat om de naam voor een zekere combinatie van notatievormen (voor de rijsom-functie als operator en een rij als operand).
Zin 3. Het eerste deel van deze zin is nogal overbodig, waar het in zin 1 al over optellen gaat, en in zin 2 plustekens staan. Of anders gezien: de plussenvorm en de sigmavorm in zin 2 zijn betekenisloos zowel voor rijen zonder limiet als voor rijen zonder gedefinieerde optelling. Het in het tweede deel van zin 3 bedoelde één-op-éénverband is in de nieuwe zin 2 verwerkt. Beter weg dus.
Zin 4. Dit is al gezegd in de nieuwe eerste en tweede zin. Zin 5. Als bij een eindig aantal termen nog wel eens 'reeks' gebruikt wordt, is dat m.i. steeds als synoniem voor 'rij'; valt aldus onder zin 6. (Wie noemt bronnen die het tegendeel aantonen?) Weg dus (evt. voorlopig).
Zin 7.   "Formele som" is alleen maar interessantdoenerig omdat niet waargemaakt wordt dat het om een gangbare term met een duidelijke inhoud zou gaan.  Bij  "een som"  hoort een concrete betekenis-aanduiding.   De voetnoot die verwijst naar vijf zinnen uit een Kuznetsov/Stienstra-diktaat, onderstreept alleen de lege plek in de definitie(poging). Zie de discussie hierboven in sectie 44.  Zelfs mede-auteur Stienstra staat er bij nader inzien niet achter. Weg dus.
Zin 8, 10.   De boodschap van beide zinnen verduidelijkt.
Zin 12.   In plaats van een combinatie van twee (gekoppelde) begrippen (rij $a$ en z'n partieelsommenrij $s$), nu een combinatie van twee (losstaande) aanduidingen: een aanduiding van een rij en een aanduiding van de sommatie-functie.   Bij een combinatie van twee aanduidingen (grafisch of verbaal) kan ik me wat voorstellen; bij een combinatie van twee begrippen niet.

Terugdraaien zonder inhoudelijke / zakelijke motivatie per aangepaste zin, helpt het artikel niet vooruit. Wordt daarom ongedaan gemaakt. ("Op Wikipedia bestaan regels en richtlijnen met betrekking tot de inhoud van de encyclopedie, en consensus (eenstemmigheid) wordt bereikt op basis van argumenten, niet door het tellen van stemmen.")

Kernpunt
Het onderliggende kernpunt in de hele discussie van het afgelopen jaar, lijkt me het verschil in waardering voor het maken van onderscheid tussen de inhoud van (wiskundige) begrippen versus de benaming / aanduidingsvorm ervoor.
In dit overleg is dit op 18 mei 2016 19:20 (CEST) als volgt onder woorden gebracht:
    (Wijzigingsvoorstel Hesselp:)  5. Bij de termen binomiaalreeks, machtreeks en taylorreeks vermelden of daarmee verwezen
    wordt naar een wiskundig begrip, dan wel een bepaalde notatievorm voor een wiskundig begrip.     (Reactie Bob.v.R:) * Dit is
    gemiezemaus, hier wordt door Hesselp een artificieel onderscheid geconstrueerd. Ik zie dit niet als een serieuze optie.
Mocht de onenigheid over de inhoud van dit Reeks-artikel een keer tot een heuse stemming leiden, dan zal ik ernaar streven om deze kwestie het kernpunt te laten zijn.
--

________________________________________________________________

Verschilt "Wolfram"  van "Concept 8 aug 2016"  ?

Wolfram opent met:
    A series is an infinite ordered set of terms combined together by the addition operator.
Terwijl Concept 8 aug 2016 na de intro opent met
    De combinatie van   (1) een aanduiding voor de afbeelding die aan een rij z'n partieelsommenlimiet toevoegt,  en   (2) een
    aanduiding voor een getallenrij (of een rij functies) als operand bij die afbeelding,   wordt  reeks  of  reeksvorm  genoemd.

Vragen aan mede-overleggers:
a. Is er inhoudelijk verschil tussen beide beschrijvingen, en zo ja: wat is dan dat verschil?
b. Is dat (eventuele) verschil essentieel in het kader van de artikel-tekst?
c. Welke van beide beschrijvingen past het beste bij het gebruik van de term 'reeks' in wiskunde-teksten, en waarom? --

_______________________________________________

Reine stemmimg

Het verhaal is eigenlijk best goed te begrijpen, ook voor een eenvoudig chemicus die amateurt in Renaissancemuziek. Behalve dan misschien de laatste tabel omdat er niet duidelijk gemaakt wordt dat bijv een modulatie van la+grote terts betekent dat je op een cis (met wat afwijkende frequentie) uitkomt. Er staat alleen do in de eerste kolom van de tabel en dat deed me een beetje vreemd aankijken tegen tonen die 90 of 100 cent scheelden van do. Maar la+grote terts is natuurlijk niet een rein octaaf. Dom van mij. Duurde even tot dat doordrong. Het lijkt me dat de tabel duidelijker zou worden als je C Cis/Des D enz. als enharmonische aanduidingen zou gebruiken en niet do, omdat je dan de halve stappen niet goed kunt weergeven. Verder ben ik het het met Hesselp eens dat het hier om modulaties gaat: een verandering van tooncentrum ergens in het stuk. Niet om transposities, dat doe je met het hele stuk tegelijk en daardoor krijg je niet meer tooncentra in je stuk. Ik ben het niet met Hesselp eens dat noten manieren zijn om toonhoogten in het notenschrift weer te geven. Noten slaan m.i. op tijdsduur/tijdsvolgorde/tijdstip niet op toonhoogte. Een noot kan best toonloos zijn zoals een klap in de handen of zo. Wat de verwarringen van bdijkstra betreft, daar ben ik tamelijk verward over. Een vraag als hoe men van de ene naar de andere toonsoort komt, heeft meer te maken met compositietechniek dan met een artikel over reine stemming en hoort daarmee m.i. niet in dit verhaal thuis. Jcwf (overleg) 17 sep 2016 05:18 (CEST) Dag Jcwf, welkom in dit overleg. Op twee van je opmerkingen ga ik hier in.

- "Noten slaan m.i. op tijdsduur.......(en niet op toonhoogte)".
Jazeker, een noot geeft in het notenschrift (samen met open/dicht, z'n stok en vlaggen, z'n verleng- of staccatopunt, en de totale duur van voorafgaande noten in dezelfde maat) óók de tijdsduur/tijdsvolgorde/tijdstip aan. Dat had ik in mijn tekst - als daar niet aan de orde zijnde - weggelaten. Maar die noot - dat ovaaltje in combinatie met ... - geeft daarnaast toch evenzeer het toonhoogteverschil met een (zelden apart vermelde) 'kamertoon' aan (steeds ingekort tot 'toonhoogte' of 'toon')?
- "....de tabel duidelijker zou worden als je C Cis/Des D enz. .... zou gebruiken..."
'Cis' etc. slaat m.i. op een ovaaltje in combinatie met een balkpositie, sleutelteken en (vast of toevallig) enkelvoudig kruisteken. Ik zie niet hoe die (wat ik noem) 'nootnamen' een zinvolle rol kunnen spelen in het onderscheiden van de door verschillende reine modulaties ontstane tonen tússen de tonen van de basisladder.
Een wellicht saillant punt is dat deze tabel een nakomeling is van de slotregel in de oerversie van dit artikel - 10 april 2004 door Bemoeial [8]. Tot een half jaar geleden met Cis, Des, etc.   Die aanduidingen zijn (door mij) vervangen door directe aanduidingen van kwint- en terts-verschuivingen. En wel omdat er nergens een reden genoemd wordt om -zeg - Ais en Bes te zetten bij 977 ct (225/128) resp. 1018 ct (9/5), en niet andersom, of bij 996 ct (16/9). -- Hesselp (overleg) 17 sep 2016 13:24 (CEST)

---

Hier volgt een nuancering van mijn bovenstaande reactie op 17 sep op Jcwf's suggestie om de 'enharmonische aanduidingen' C, Cis/Des, D, enz. in de slottabel van het artikel te gebruiken. Want ik zie nu dat Jcwf niet bedoeld zal hebben om de (3x7=) 21 nootnamen  C, Cis, Des, D, Dis, Es, ..., Bes, B, Bis, Ces  te gebruiken ter aanduidingen van noten in het notenschrift, noch ter aanduiding van bepaalde exacte reine toonhoogten/intervallen. Hij zal bedoeld hebben om de (7+5=) 12 namen  C, Cisdes, D, Dises, E, F, Fisges, G, Gisas, A, Aisbes, B  te gebruiken voor de gangbare verdeling van het octaaf in twaalf even brede (100cts) toonhoogte-gebiedjes. En hij leek er behoefte aan te hebben om die twaalf gebiedjes (duidelijker) in de tabel naar voren te laten komen.
In onderstaande bewerking van de tabel is die twaalf-verdeling opvallend aangegeven met een wisselende grijstint (en ook met een wisselende uitlijning in de rechterkolom). Vraag: is dit een wenselijke vooruitgang? En vraag-2: wie vindt het wenselijk om aan de tabel een zesde kolom toe te voegen met 12 (+1) cellen met daarin de juistgenoemde toongebieds-namen? Ik neig daar minder toe, vooral vanwege de vrij extreme, verwarrende, onregelmatigheid in die namenrij. Wie kent er een alternatief voor deze namen? --

Tussen opvolgende laddertonen liggen meer dan twee reine modulatie-tonen

Onderstaande tabel beschrijft de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de reine majeur-toonladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf. Naast de frequentieverhouding tot de grondtoon do, staan de afgeronde centswaarden van het verschil met do en de afstand tot de meest nabijgelegen gelijkzwevende halve toon (minder dan 50 cents).

Reine tonen (intervallen) na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder (grijstint wisselt per 100 cents)

	een modulatie	twee     modulaties	afstand tot do
			verhouding	cents (afgerond)
do			1/1	0         =       0
	la + terts		25/24	100 − 29 =     71
		re + terts + kwint	135/128	100   − 8 =     92
	fa − terts		16/15	100 + 12 =   112
	la − kwint		10/9	200 − 18 =   182
re			9/8	200   + 4 =   204
	ti + terts		75/64	300 − 25 =   275
		fa − kwint − kwint	32/27	300   − 6 =   294
	so − terts		6/5	300 + 16 =   316
mi			5/4	400 − 14 =   386
		re + kwint + kwint	81/64	400   + 8 =   408
		do − terts − terts	32/25	400 + 27 =   427
		la + terts + terts	125/96	500 − 43 =   457
fa			4/3	500   − 2 =   498
		re − terts + kwint	27/20	500 + 20 =   520
		la + terts − kwint	25/18	600 − 31 =   569
	re + terts ti + kwint		45/32	600 − 10 =   590
		fa − terts − kwint	64/45	600 + 10 =   610
		re − terts − terts	36/25	600 + 31 =   631
		ti + terts + terts	375/256	700 − 39 =   661
		la − kwint − kwint	40/27	700 − 20 =   680
so			3/2	700   + 2 =   702
	mi + terts		25/16	800 − 27 =   773
	do − terts		8/5	800 + 14 =   814
la			5/3	900 − 16 =  884
	re + kwint		27/16	900   + 6 =  906
		fa − terts − terts	128/75	900 + 25 =   925
		re + terts + terts	225/128	1000 − 23 =   977
	fa − kwint		16/9	1000   − 4 =   996
	re − terts		9/5	1000 + 18 = 1018
ti			15/8	1100 − 12 = 1088
		so − terts − terts	48/25	1100 + 29 = 1129
		mi + terts + terts	125/64	1200 − 41 = 1159
do			2/1	1200         = 1200

__________________________________

_______________________ Overleg Reine stemming: onder kopje Opmerkingen bij wijzigingen 9 sept:

Noch de inkorting noch de kopvorm van de tabel zijn door Madyno beargumenteerd. Argumenten voor de nu door mij geplaatste inhoud en vorm, staan hierboven, vanaf 18 mrt 2016 23:52 CET.
Aparte kolomkoppen zijn hier overigens (zo goed als) niet informatief, lijken me te kunnen vervallen. Meer voorstanders...?
Centrering van de breukvormen versnelt enigszins het opzoeken van een elders gevonden waarde (voor een vorm met twee niveaus geldt dat nog iets sterker). Ook het rechts-uitlijnen van de cents-waarden geeft een vertrouwder beeld. Voor de aanduiding van de frequentie-verhoudingen zou in feite in eerste instantie de verhoudings-vorm 1 : 1,   25 : 24 (gecentreerd) in aanmerking komen. Meer voorstanders...?
De gewijzigde koptekst geeft duidelijker de bedoeling van de sectie. --

Ben Dijkhuis, Ing. B.G. Dijkhuis, e-mail: bg_dijkhuis[AT]planet.nl

Toonladders en intervallen “twaalf toongebiedjes per octaaf”

http://musicologie.baloney.nl/main/introductie/introductie.toonladdersintervallen.htm#toc12

In vier wiki’s:
Musical note: ........represent the relative duration and pitch of a sound
Note de musique: .........la hauteur et la durée.......
Note (Musik): Ihre Platzierung .. zeigt .. den Ton an, ... Ihre äußere Gestalt bezeichnet ... die Tondauer... .
Muzieknoot: De vorm van de noot bepaalt de relatieve duur van de toon en de plaats van de nootkop op de notenbalk bepaalt, samen met de sleutel, de voortekening en de eventuele alteraties, de te spelen...toon .. .
Tweemaal de duur als eerste genoemd, en tweemaal de toonhoogte.
Madyno, ik vind het prima als jij bij het woord 'noot' in eerste instantie aan de duur-functie ervan denkt. Maar dan heb je toch op nog geen enkele manier duidelijk gemaakt welke informatie mbt. het onderwerp Reine stemming gegeven wordt door de naamsverschillen in eenzelfde kolom in de rood-gele tabel.
Ik concludeer dan ook dat jij dat niet duidelijk kunt maken, en dat die naamsvermeldingen in de tabelcellen ongewenst zijn. --

Opmerkingen bij de wijzigingen in de rood-gele tabel op 11 sep 2016 door Madyno

De toelichting boven de tabel spreekt van "het feit dat in de tabel van een toon twee versies voorkomen".
Echter, een ('zuivere') toon heeft één bepaalde toonhoogte (één frequentie), en een interval heeft één frequentieverhouding van beide grenstonen. Dus dat 'twee versies van één toon' is een contradictie. Dat 'twee versies' slaat kennelijk op wat anders. Op wat dan wél?

De relatieve toon-namen (do, re, ...; geldend binnen één toonladder op één regel) in de voorgaande versies van de tabel, hadden een duidelijke functie. Daarentegen zijn de hoofdletternamen (Ges, ..., A, B, C, D, E, ..., Fis) gerelateerd aan het notenschrift (aan de aldaar gebruikte balkpositie en voortekening), en die horen dus niet thuis in een artikel over de – muziektheoretische – reine stemming. Het artikel wint aan duidelijkheid als het notatie-onafhankelijk blijft, en als voor verschillende toonhoogtes (of toon-intervallen) niet dezelfde naam gebruikt wordt. --

_________________________________________

do re mi fa so la ti do

|           |           |     92\cts   |       22\cts        |     |                                                                                                                

fa so la ti Do re mi fa so la ti do re mi fa so | 22 \cts | | | | 92\cts | do re mi fa so la ti do

Ook schuiven over een terts.

|           |           |           |     |           |           |     |           |           |           |     |           |           |     |           |

fa so la ti Do re mi fa so la ti do re mi fa so

|           |           |           |     |           |           |    92\cts   71\cts     |           |    71\cts  71\cts       |     |           |
                                                                       do       re     mi  fa         so      la    ti   do

Door de in onze muziektheorie gebruikelijke relatieve toonnamen te gebruiken, ontstaat de merkwaardige situatie dat de grondtoon do in iedere regel, dwz. voor elke toonladder op een andere plaats staat. Dat lijkt me niet erg verhelderend. Overigens snap ik niet wat ie rekensommetjes in de tweede tabel voor nut hebben. Ik denk dat de meeste lezers wel weten dat bv. 100-29=71. Madyno (overleg) 15 sep 2016 18:10 (CEST)

Het alom benadrukte relatief zijn van de ladderpositie-namen do, re, ...., betekent toch juist dat die do-naam op elk van de 14 regels van de rood-gele tabel (tot 9 sep 2016) de eerste trap van de (majeur-)toonladder op die regel aanwijst. Bij verschoven (gemoduleerde) toonladders zorgt dat dus vanzelf voor verschoven do's.
Naast het wel weten/kennen van de 'uitgerekende' standaardvorm van 100 - 29, gaat het erom de informatie die een lezer zou kunnen zoeken zo direct mogelijk aan te reiken. Die schoolsommetjesvorm staat op het eerste gezicht inderdaad wat 'kinderachtig'; je zou de kolom met =-jes kunnen vervangen door een verticale kaderlijn, al heeft dat net iets minder mijn voorkeur. De huidige vorm 100 - 29 = 71, is een tikje meer 'zelfuitleggend' en vermindert de rol van explicatie in aparte kolomkoppen/kopjes. --

Relatieve namen (do-re-mi-...) zijn ladderpositie-namen. ____________________________________________________________________________________
(Gekopieerd uit artikeltekst versie 16 sep)
In de onderstaande tabel staan de verschillende grotetertstoonladders van Ges met 5 mollen via C zonder voortekening tot en met Cis met 7 kruisen. Elke volgende toonladder heeft als grondtoon de kwint van zijn voorganger. Elke voorgaande heedft als grondtoon de kwart van de volgende. De grondtoon van de betrokken toonladder is vet weergegeven. Het probleem van de twee grote secundes wordt weerspiegeld door het feit dat in de tabel van een stamtoon of daarvan afgeleide toon twee versies voorkomen die weliswaar dezelfde naam hebben, maar 22 cents verschillen. De afwijkende tonen zijn rood gemarkeerd.

....weerspiegeld door het in de tabel voorkomen van toonhoogteverschillen van 22 cents die in het notenschrift niet zichtbaar zijn, naast verschillen van 2 cents die wél zichtbaar zijn.

De inleidende alinea boven de rood-gele tabel begint met: In de onderstaande tabel staan de verschillende grotetertstoonladders........ Gesuggereerd wordt het bestaan van maar liefst veertien verschillende reine majeurladders, terwijl de muziektheorie (daar gaat dit artikel over) er maar één kent. En wel de ladder die beschreven staat in de eerste tabel onder het kopje 'Modulatie'. Overigens staan ook dáár in de kopregel ten onrechte noot-namen (C, D, E, ...; dat zijn namen voor combinaties sleutel-balkpositie-voortekening uit het notenschrift) in plaats van de ladderpositie-namen do, re, mi, ... .
De laatste tekst-toevoeging door Madyno lost de tegenstrijdigheid in "twee versies van één toon" geenszins op. Een voorbeeld ter verduidelijking:
In de 'Toonsoort-D'-regel van de tabel duidt 'Cis=92' op de fa-positie in de tweemaal een kwint omhoog geschoven basisladder. En het er recht onder staande 'Cis=114' in de 'Toonsoort-B'-regel, op diezelfde fa-positie in de ladder na nog drie kwint-verschuivingen. De 'toevallig' (vrij) kleine toonhoogte-verschil van 22, cents is nog geen reden om van verschillende versies van één toon te spreken.   Bedoeld zal zijn dat het hier gaat om tonen die, hoewel in hoogte verschillend, in het notenschrift niet verschillend aangeduid worden.
Zou de betreffende vierde zin in deze alinea niet beter kunnen eindigen als: .....weerspiegeld door het in de tabel voorkomen van toonhoogteverschillen van 22 cents die in het notenschrift niet zichtbaar zijn, naast verschillen van 2 cents die wél zichtbaar zijn. ? Of anders die aan het notenschrift gerelateerde opmerking weglaten. -- Samenvatting: Aanmerkingen mbt. de rood-gele tabel _____________________________________________________________________

De kop van dit artikel is "Reine stemming". Daaronder past een beschrijving van de theoretische (trillings-)getalsmatige achtergrond van wat men reine/zuivere intervallen (toonsafstanden) pleegt te noemen. Met liefst in kleine gehele getallen uit te drukken frequentie-verhoudingen. Een (niet door piano begeleid) koor kan op zeker moment MODULEREN naar een nieuw tooncentrum, een zuivere kwint of (grote of kleine) terts hoger of lager dan het voorgaande.
TRANSPONEREN heeft betrekking op het notenschrift: blazers spelen veelal van bladmuziek die getransponeerd is t.o.v. de noten waar de pianist naar kijkt. En ook de zangers van het a-capellakoor zullen bij voorkeur de gemoduleerde passage willen lezen van notenschrift met een aangepaste voortekening.
Kort: moduleren slaat op het verspringen van het tonale centrum van de klinkende muziek, transponeren op het verspringen van de vaste voortekening in de notenbalk op papier.

De veelvuldig voorkomende frictie in de huidige artikeltekst tussen notenschriftgebonden en muziekgebonden woordgebruik, doet me komen met de volgende vraag:
Wie ziet bezwaren in een herschrijving van het gehele artikel op basis van een doorgevoerd ondescheid tussen - kort gezegd - 'tonen' en 'noten' ?   Over tonen (beter: toonafstanden) gaat het in de theorie van de reine stemming. Terwijl het bij noten gaat om - het in de praktijk beperkte aantal - manieren waarop toonhoogten (toonafstanden tot bijv. A=440) in het notenschrift worden weergegeven.

Bij moduleren wijzigt het tooncentrum, bij transponeren de voortekening.

________________________________________________________________________________

Het verhaal is eigenlijk best goed te begrijpen, ook voor een eenvoudig chemicus die amateurt in Renaissancemuziek. Behalve dan misschien de laatste tabel omdat er niet duidelijk gemaakt wordt dat bijv een modulatie van la+grote terts betekent dat je op een cis (met wat afwijkende frequentie) uitkomt. Er staat alleen do in de eerste kolom van de tabel en dat deed me een beetje vreemd aankijken tegen tonen die 90 of 100 cent scheelden van do. Maar la+grote terts is natuurlijk niet een rein octaaf. Dom van mij. Duurde even tot dat doordrong. Het lijkt me dat de tabel duidelijker zou worden als je C Cis/Des D enz. als enharmonische aanduidingen zou gebruiken en niet do, omdat je dan de halve stappen niet goed kunt weergeven. Verder ben ik het het met Hesselp eens dat het hier om modulaties gaat: een verandering van tooncentrum ergens in het stuk. Niet om transposities, dat doe je met het hele stuk tegelijk en daardoor krijg je niet meer tooncentra in je stuk. Ik ben het niet met Hesselp eens dat noten manieren zijn om toonhoogten in het notenschrift weer te geven. Noten slaan m.i. op tijdsduur/tijdsvolgorde/tijdstip niet op toonhoogte. Een noot kan best toonloos zijn zoals een klap in de handen of zo. Wat de verwarringen van bdijkstra betreft, daar ben ik tamelijk verward over. Een vraag als hoe men van de ene naar de andere toonsoort komt, heeft meer te maken met compositietechniek dan met een artikel over reine stemming en hoort daarmee m.i. niet in dit verhaal thuis. Jcwf (overleg) 17 sep 2016 05:18 (CEST)

Dag Jcwf, welkom in dit overleg. Op twee van je opmerkingen ga ik hier in.
- "Noten slaan m.i. op tijdsduur.......(en niet op toonhoogte)".
Jazeker, een noot geeft in het notenschrift (samen met z'n kleur, z'n stok en vlaggen, z'n verleng- of staccatopunt, en de totale duur van voorafgaande noten in dezelfde maat) ook de tijdsduur/tijdsvolgorde/tijdstip aan. Dat had ik in mijn tekst - als daar niet aan de orde zijnde - weggelaten. Maar die noot - dat ovaaltje - geeft daarnaast toch evenzeer het toonhoogteverschil met een (zelden apart vermelde) 'kamertoon' aan (veelal ingekort tot 'toonhoogte' of 'toon')?
- - "....de tabel duidelijker zou worden als je C Cis/Des D enz. .... zou gebruiken..."
'Cis' etc. slaat m.i. op een ovaaltje in combinatie met een balkpositie, sleutelteken en (vast of toevallig) enkelvoudig kruisteken.   Ik zie niet hoe die (wat ik noem) 'nootnamen' een rol kunnen spelen in het aanduiden van de door verschillende reine modulaties ontstane tonen tússen de tonen van de uitgangsladder.
Een wellicht saillant punt is dat deze tabel een nakomeling is van de slotregel in de oerversie van dit artikel - 10 april 2004 door Bemoeial.

_____________________________________________________________

De boodschap die de huidige rood-gele tabel wil overbrengen, lijkt duidelijker uit te komen door:
- het weglaten van terminologie uit het notenschrift (kruis, mol, notennamen, ...),
- een andere, veel regelmatiger, groepering/kleuring van gelijkhoge tonen,
- het weglaten van de laatste(verdubbelende) kolom,
- modulaties die een kwint in toonhoogte omhoog gaan, laten passen bij het omhooggaan van de tabelregel.

De huidige tekst geeft vaak waarde-oordelen, en heeft het meermalen over 'problemen'. In plaats van een encyclopedisch/zakelijke beschrijving te geven van de aard en de eigenschappen van het toonstelsel dat 'reine stemming' genoemd wordt.
De kwestie van het in notenschrift zo goed mogelijk weergeven van de reine toonhoogten (toonhoogteverschillen), dient pas aan de orde te komen ná de uitleg van alle muzikale aspecten van de 'reine stemming'. Dit omwille van de duidelijkheid. De vraag is ook in hoeverre die kwestie eerder thuishoort in artikelen die primair gaan over het noteren van muziek.
Op grond hiervan stel ik voor om het gedeelte in de sectie 'Modulatie' dat betrekking heeft op de rood-gele tabel, te vervangen door het navolgende.

(Concept:)

Onderstaande tabel toont het resultaat van opeenvolgende verschuivingen van de reine grotetertstoonladder (middelste tabelregel) over telkens een kwint. En wel zes keer een kwint omhoog (overeenkomend met telkens een kwart omlaag) en zes keer een kwint omlaag. Nieuwe tonen zijn steeds met octaafstappen teruggebracht tot het uitgangsoctaaf.
In elke regel geldt voor twee van de zeven tonen dat ze in de regel erboven niet meer voorkomen: steeds verdwijnen de toonhoogtes van fa en la, en komen er nieuwe tonen bij die 92 cts (135/128) en 22 cts (81/80, een 'didymische komma') hoger zijn. Bij verschuiving over een kwint omlaag zijn het de toonhoogtes van re en si die niet (niet precies) terugkomen.
Na drie kwint-verschuivingen is er nog één oorspronkelijke toonhoogte over. Na twaalf kwint-verschuivingen valt het resultaat (na zeven octaven terugschuiven) vrijwel samen met de uitgangsladder, het verschil is 23,46 cts (3¹² / 2¹², in de tabel 24 cts door cumulatieve afronding). Krap 1/8 hele toon.

Elke kwint-verschuiving van de reine majeurladder (elke volgende tabelregel)  geeft twéé andere toonhoogtes

6

so=114

la=296

ti=500

do=612

re=816

mi=998

fa=1110

5

re=114

mi=296

fa=408

so=612

la=794

ti=998

do=1110

4

la=92

ti=296

do=408

re=612

mi=794

fa=906

so=1110

3

mi=92

fa=204

so=408

la=590

ti=794

do=906

re=1110

2

ti=92

do=204

re=408

mi=590

fa=702

so=906

la=1088

1

fa=0

so=204

la=386

ti=590

do=702

re=906

mi=1088

0

do=0 1 / 1

re=204 9 / 8

mi=386  5 / 4

fa=498 4 / 3

so=702 3 / 2

la=884  5 / 3

ti=1088  15 / 8

1

so=0

la=182

ti=386

do=498

re=702

mi=884

fa=996

2

re=0

mi=182

fa=294

so=498

la=680

ti=884

do=996

3

la=−22

ti=182

do=294

re=498

mi=680

fa=792

so=996

4

mi=−22

fa=90

so=294

la=476

ti=680

do=792

re=996

5

ti=−22

do=90

re=294

mi=476

fa=588

so=792

la=974

6

so=90

la=272

ti=476

do=588

re=792

mi=974

fa=1086

Terts-modulaties

Bij een verschuiving van de reine majeurladder over een grote terts (5/4) verdwijnen er vier tonen uit de ladder en komen er dus ook vier nieuwe bij. Na een drietal groteterts-modulaties ligt het resultaat - na octaafverschuiving - vrij dicht onder de uitgangsladder (afwijking 125/128, ofwel 41 cents).
Een modulatie over een kleine terts (6/5) vervangt ook steeds vier van de zeven laddertonen. Nu verschijnt er pas na negentien verschuivingen een goede benadering van de uitgangsladder; dat zal in de muziekpraktijk geen rol spelen, ook al is de afwijking dan nog geen dan 3 cents ( (6/5)^19 / 2^5 ≈ −2,8 cts).

(Einde concept)Een reine toonladder wordt met dezelfde noten geschreven als een majeurladder in elke andere stemming. Vermelding van nootnamen (A Ais Bes B ...) is hier dus niet iets specifieks.

________________________________________________________________________

@Blueknight. De definitiepoging uit Thomas/Finney staat als nr 28 op deze lijst. Het is één van de vele varianten waarin de term 'reeks' eerst gekoppeld wordt aan een bepaalde uitdrukking in formulevorm (zonder te vermelden welk wiskundig begrip door die uitdrukking wordt aangewezen/uitgedrukt). Waarna in het vervolg van het hoofdstuk gedaan wordt alsof 'reeks' niet staat voor een formulevorm, maar voor een wiskundig begrip. (Want een uitdrukking kan niet divergeren of convergeren, geen som hebben, niet stijgend of alternerend zijn, etc. etc.)
Omdat de term 'reeks' af en toe door serieuze wiskundigen in serieuze teksten gebruikt wordt, is het mogelijk de daar bedoelde betekenis(sen) ervan te achterhalen en te beschrijven. Zie bijv. de lijst van bronnen onder dit tekstvoorstel, het gaat hier dus niet om iets dat in Wikipedia als 'origineel onderzoek' van mij gezien moet worden. Vermelding van die betekenis(sen) lijkt me in een encyclopedie op z'n plaats. Veel méér dan het overschrijven van tegenstrijdigheden ("een reeks wordt genoteerd als een reeks") en van onverklaarde aanduidingen ("formele som", "formele definitie"), alleen omdat dat mbt. 'reeks' nu eenmaal nogal eens voorkomt. -- Samenv.: Thomas/Finney geeft geen helderheid. ________________________________________________________________

@Hesselp, er wordt door The Banner gevraagd om een bron ter ondersteuning van jouw bewering. Ik begrijp uit jouw reactie dat je al een lijst met bronnen hebt aangedragen op 8 augustus voor jouw bewering. Wikipedia dient de literatuur / wat erover geschreven is door gezaghebbende derden te volgen, evenals de daarin voorkomende tegenstrijdigheden te beschrijven. Op zich zou dat voldoende moeten zijn als bronvermelding. Het zou echter erg helpen als er geschreven is over deze tegenstrijdigheden en onverklaarde aanduidingen m.b.t. reeks. Misschien dat een deskundige medewerker de faculteit EWI van TUDelft of WI van TUE hier desgevraagd meer over kan vertellen. The Banner schrijft echter in reactie op jouw tekstvoorstel "Om het in mooi Engels te omschrijven WP:TLDR." en plaatst een inklap-sjabloon (een vrij ongebruikelijke actie). Hoewel dit geen inhoudelijke weerlegging is lijkt hij hiermee te verwijzen naar een eerdere weerlegging die mogelijk wel inhoudelijk was en waar je misschien verder niets mee gedaan hebt? Of dat het geval is, daarvoor zal ik het hele overleg eerst moeten lezen. Zoals ik het nu zie is er een meningsverschil of verschil van inzicht over de exacte afbakening van één of meerdere betekenissen van "reeks", veroorzaakt door een mogelijke (onterechte?) overlap van die betekenissen? BlueKnight 22 sep 2016 23:02 (CEST)

@Blueknight, je opmerkingen / suggesties brengen me ertoe een aantal dingen (nogmaals) te verduidelijken en aan te vullen.
1. "Het zou echter erg helpen als er geschreven is over deze tegenstrijdigheden en onverklaarde aanduidingen m.b.t. reeks."
Ik verwijs opnieuw naar de bronnenlijst onder/bij deze concepttekst. Zijn dat niet stuk voor stuk geschreven en ook openbare bronnen, ten dele van gerenommeerde auteurs? Het laatste vermeld ik met flinke tegenzin, want het dient m.i. te gaan om feiten en argumenten.
2. "Misschien dat een deskundige medewerker van ............ hier desgevraagd meer over kan vertellen."
Denk je bij Nederlandse universiteiten nog iemand te kunnen vinden waar ik die vraag nog niet eerder aan gesteld heb? De antwoorden - in privé-correspondentie, ik geef geen namen - komen vrijwel altijd neer op iets als:
- "inderdaad kloppen die standaardteksten niet zo best, maarrrrr ...dat veranderen zou een heleboel overhoop halen, doen we liever niet"
- "ook internationaal is dit de manier waarop er over deze dingen gesproken wordt"
- "ja, ik sta met kromme tenen voor de zaal als ik het moet hebben over 'de som van de som van termen', maar ik heb de rest niet mee om dit te veranderen"
- "joh, maak je niet druk, zulke 'door-de-strot-duwerij' komt op andere plaatsen in het wiskunde-onderwijs (min-maal-min-is-plus?) toch ook voor"
"geen vogel bevuilt z'n eigen nest"
- "ik zal er bij eventuele herschrijving van boek/dictaat nog eens naar kijken"
- "het   If we try to add the terms of an infinite sequence (a) we get an expression of the form  a₁+a₂+a₃+...  which is called an infinite series  in het bekende boek van Stewart, geeft een GLASHELDERE definitie; daar hoeft helemaal niets aan toegevoegd"   (Bij mijn pogingen om dit 'try to add' na te doen, krijg ík steeds uiteindelijk bonkende hoofdpijn, en een bak vol opgesleten potloodstompjes; is dát dan de 'series' ?)
Meermalen heb ik het afgelopen jaar geprobeerd deze situatie - in wat zondagser bewoordingen - in het Reeks-artikel opgenomen te krijgen. Vergeefs.
3. "Of dat het geval is, daarvoor zal ik het hele overleg eerst moeten lezen."
Alternatief: je zou aan The Banner zelf kunnen vragen of "dat" ergens het geval geweest is. Op vragen hierover van mij aan hem, heeft hij zulke manco's nooit aangewezen.
4. "....... verschil van inzicht over de exacte afbakening van ......"
Het gaat niet om een 'exacte afbakening' maar om de vraag of een lezer die wil weten wat er met het woord 'reeks' bedoeld wordt, voldoende geholpen is met alleen  "zo'n som van oneindig veel getallen". Zoals het in de door Lymantria geplaatste bron verwoord staat (en waarin dat "zo'n" nergens naar verwijst). Waarnaast de huidige artikelversie zelf met "uitdrukking die een som voorstelt" komt. Hoewel beide aanduidingen nietszeggend zijn (niemand kan oneindig veel getallen optellen, en een uitleg bij wat in de tweede aanduiding met "een som" bedoeld wordt ontbreekt) kan toch gezegd dat ze tegenstrijdig zijn. Want in Kuznetsov/Stienstra is sprake van "De bij een getallenrij horende reeks wordt genoteerd als .... " , terwijl het huidige artikel definieert dat 'reeks' slaat op de vorm waarmee iets wordt genoteerd (waarin iets wordt uitgedrukt). -- Antwoord aan Blueknight. __________________________________________________________________

Ik voel niets voor dit voorstel. Madyno (overleg) 20 sep 2016 17:57 (CEST)

Op welke punten geeft de huidige versie een beter inzicht in waar 'reine stemming' voor staat, dan bovenstaand concept? Afwijzen mag, maar dan wél graag gemotiveerd. -- Hesselp (overleg) 20 sep 2016 18:05 (CEST)

Eigenlijk begrijp ik helemaal niet wat deze tabel voorstelt. Wat is bv de eerste kolom, en wat toont de tabel aan? De tabel, zoals ik die bewerkt heb, laat de gebruikelijke majeur-toonladders zien, en belangrijk, het probleem van de verschillende tonen met dezelfde naam. Madyno (overleg) 23 sep 2016 13:25 (CEST)

Antwoord aan Madyno:
Wat de (grijs-witte) tabel voorstelt staat in de inleidende tekst: "Onderstaande tabel toont het resultaat van..........". Zou je dat nogmaals herhaald willen zien in de kop direct boven de tabel? Lijkt me nogal dubbelop.
Wat de tabel aantoont, staat nu al in de vette kopregel: Na elke kwint-modulatie vallen twee van de zeven tonen niet meer samen met 'vorige' tonen. (Bij terts-mudulaties geldt dat voor vier van de zeven tonen.) De uitbreiding tot 14 regels (13 zou ook kunnen) maakt het mogelijk om te zien dat na 12 verschuivingen de oude ladder weer (vrijwel, 1/8 hoger) op z'n plaats valt. Het regelmatige patroon in de grijze blokken lijkt me informatiever dan de niet (zichtbare) regelmaat in de rode blokken.
De donkergrijze kolom links geeft niet meer dan een nummering van de regels (dus van de modulatie-resultaten) ten opzichte van de vette uitgangsladder. Weglaten vind ik ook prima.

Bij "De gebruikelijke majeur-ladders": Al eerder genoemd is, dat de toontheorie maar één reine majeurladder kent (die uiteraard op oneindig/continu veel toonhoogtes z'n do kan hebben). Dat een piano (en veel andere instrumenten) zonder omstemmen van die oneindig veel hoogte-varianten er maar 12 kan maken, is een (natuurlijk heel belangrijke) praktische omstandigheid. Bij het notenschrift is dat 'omstemmen' heel eenvoudig: in plaats van het (meestal impliciete) A=440, zet je er een andere hertz-waarde boven. (In muziek voor een a-capella-koor zal dat vast niet ongebruikelijk zijn; voor die zangers is het 'aantal' majeurladders dus ook oneindig.)
Waar jij het hebt over 'gebruikelijke ladders' doel je op de verschillende vaste voortekeningen in het notenschrift. (Ja?) De keuze om dan tot 12 te gaan, is enigszins arbitrair: sommige van die twaalf komen nauwelijks voor, terwijl er bij uitzondering ook wel eens méér dan zes kruisen of mollen voorkomen (Bis-groot heeft twaalf kruisen, lees ik op een notenschrift-site: twee enkele en vijf dubbele). Ik hou dus m'n bezwaar tegen de woordkeus: "de twaalf verschillende grotetertstoonladders".

Dan nog je laatste punt: "het probleem van de verschillende tonen met dezelfde naam".   Is dat een 'probleem'? en zo ja, waar zit dat probleem dan precies? Als je onder 'tonen' verstaat 'absolute toonhoogten', dan lijken me alleen getalsmatige hertzwaarden in aanmerking te komen.
In dit artikel met als kop 'Reine stemming' wordt (uit gemakzucht) 'tonen' gebruikt voor 'reine intervallen'. Voor vele tientallen van die intervallen bestaan aparte namen, beginnend bij octaaf, kwint, kwart, terts, etc. etc.; na een paar modulaties zul je mogelijk toch vastzitten aan combinatie-namen zoals in de laatste artikel-tabel.
De namen: A, B, C, D, ..., Cis, Des, Dis, Es, ..., Cisis, ... zijn éénduidige namen voor noten, ofwel aanduidingen in het notenschrift. Als eerder gezegd: aanduidingen die bestaan uit een ovaaltje, op een zekere balkpositie, na een zekere sleutel en na een eventuele kruis, mol, dubbelkruis,... (Die noten hebben ook nog een stok, vlaggen, verlengpunten en een nootvorm/kleur, ter aanduiding van toonduur en inzetmoment; bij die nooteigenschappen horen andere namen.) Die notenschrift-namen - natuurlijk weet ik ook wel dat daar heel vaak 'tonen' tegen gezegd wordt - hebben dus maar hoogstens zijdelings met dit reine-stemming-artikel van doen.
Het is overbekend dat het aantal verschillende toon-aanduiders (noten) in het notenschrift verre van toereikend is om alle in de (wat meer gecompliceerde) muziek voorkomende reine intervallen een eigen 'noot' te geven. Ik zou dat geen 'probleem' willen noemen, het is nu eenmaal niet anders. De toekenning van nootnamen aan de cellen van de tabel (zowel in de versie van Handige Harrie als die van jou) is rechtstreeks gekoppeld aan de keuze om de uitgangsladder in het midden te koppelen aan 'toonsoort C'. Dat lijkt misschien voor-de-hand-liggend, maar er is in feite geen enkele reden voor. De theorie van de reine intervallen en de reine modulaties, kent helemaal geen toonsoorten - en evenmin kruisen en mollen.
Conclusie: de nootnamen (A, B, Cis, Des,...) in de tabel brengen de volgende boodschap:
De ladders die door kwint-modulaties ontstaan uit de reine majeurladder kunnen (KUNNEN) in het notenschrift genoteerd met noten waarvan de namen in de tabel te vinden zijn. (Het notenschrift kan diezelfde ladders echter ook op vele andere manieren weergeven.) Die boodschap heeft m.i. geen relevantie voor dit artikel. (Waarom wél?)

Aan welke van je bezwaren tegen het vervangen van de rood-gele tabel door de grijs-witte, blijf je vasthouden? Met welke argumenten? Heb je amendementen? -- ____________________________________________________________________
summa = 4. (matematik) gränsvärdet av partialsummorna för en oändlig serie
serie = 3. (matematik) summa av elementen i en oändlig talföljd

Norsk: Diskussjon Rekke (matematikk)

misledende forklaringer (for eksempel forklaring på forskjell mellom følge og rekke; definisjonen er IKKE avhengig av notasjonen))

____________________________________________________________________
Het effect van opvolgende kwintmodulaties van de reine ladder (zoals door de tabel geïllustreerd) kan op nog heel veel, gelijkwaardige, manieren (in ruwe benadering) in notenschrift worden vastgelegd. Bij elk van die manieren komen de namen van die noten (A Ais Bes B ..) weer op andere plaatsen in de tabel terecht. De keuze om de C-noot te koppelen aan het voorste vakje in de middenrij is geheel willekeurig. Die willekeur maakt de tabel minder makkelijk te begrijpen.
Verder is een groot bezwaar tegen het introduceren in de tabel van namen uit het notenschrift, dat (nog versterkt door de rode blokken) benadrukt wordt dat toonhoogteverschillen soms wél en soms níét samengaan met notatieverschillen. Het gaat hier om de mogelijkheden en onmogelijkheden van het notenschrift, een kwestie die helemaal niets te maken heeft met verspringende/verschuivende toonhoogtes bij successieve modulaties. Ook deze vermenging met iets dat in dit artikel niet ter zake doet, maakt dat de bedoeling van de tabel nog extra ondergesneeuwd raakt. (De accenten in de tabelkop op 'twee' wijzen vooruit naar de víér niet-constante toonhoogten bij de beide terts-modulaties.) --

Graag op overleg-pag. reageren op argumentatie. ___________________________________________________________

@Madyno.
Namen voor noten     Met je eerste woordje "Het" zul je bedoelen (ja?) je voorkeur om in de cellen van de tabel, de namen   A, Ais, Bes, B, ......, Gis, As (21 stuks) te vermelden. Zijn dat namen voor stamtonen (een begrip uit de toontheorie) of voor aanduidingen in het notenschrift (noten)?   Het aantal stamtonen in de majeurladder bedraagt 7 (en oneindig veel 'daarvan afgeleide tonen'). Daarnaast zijn er in het notenschrift 21 toonaanduiders per octaaf (afgezien van meervoudige voortekeningen).   Dus, bij welk begrippenrijtje hoort dat namenrijtje?

Namen voor toonhoogte-gebiedjes     De tabelkolommen komen overeen met de veelvoorkomende verdeling van het octaaf in twaalf even brede (100 cts) toonhoogte-gebiedjes. Jij hebt - boven de kolommen - die toon-zônes namen gegeven; daarbij viermaal afwijkend van de in deze context gebruikelijke éénletternamen  C, E, F en B.
Dat onderverdelen valt onder de toontheorie (hoewel de namen een link laten zien met het notenschrift). Maar waar je per kolom de tonen gaat verdelen in tonen die in het notenschrift met een kruisnoot danwel met een molnoot genoteerd zouden dienen te worden, gaat het puur om notenschrift.
En zo hebben ook de kolommen 'Toonsoort' en 'Voortekens' niet met toontheorie maar wel met notenschrift te maken.

Namen voor toonhoogtes   Het door jou genoemde "probleem van iets verschillende toonhoogtes met eenzelfde naam":
In de toontheorie (daar gaat dit artikel over) kunnen relatieve toonhoogten (intervallen) aangegeven met heeltal-paren; dat is internationaal en kan misverstand voorkomen, maar zoals jij ook zegt: lang niet altijd gebruikelijk. Veelal wordt gekozen voor nomenclatuur als in lijsten als deze of deze.   Communicatie over toontheorie vereist eenduidige toonhoogte-aanduidingen.     Aan de andere kant: het notenschrift heeft voor 21 toonaanduiders per octaaf gelukkig ook 21 eenduidige namen. Jouw 'probleem' kan ontstaan als je die notennamen probeert te gebruiken in de toontheorie.

Transpositie/modulatie     Je hebt het over "een transpositie met een kwint". Dat lijkt ook weer te duiden op het verwarren van toontheorie met notenschrift. Want bij 'transpositie' denk ik aan 'transponerende instrumenten'. Ofwel aan het verschuiven van het notenbeeld ten gerieve van bespelers van blaasinstrumenten met een grondtoon ongelijk 528Hz. Terwijl 'modulatie' slaat op het veranderen van het tooncentrum, de tonica, in de loop van een (hoorbaar / klinkend) muziekstuk, iets dat alleen met geluid en niet met notatiewijze te maken heeft.

Conclusie     Je hebt nog niet aangetoond dat het benadrukken van het onderscheid tussen kruisnoten (met een 'is'-naam) en molnoten (met een 'es'-naam) in elke tabelkolom, met het onderwerp 'Reine stemming' te maken heeft en niet met het notenschrift. Die vermenging van heel verschillende dingen is storend en daarom hier ongewenst. --

Geen notenschrift-namen in toontheorie-uitleg.

???????????????????????????????????????????????????;br:

Blueknight, ik blijf veel waardering hebben voor je initiatief om te proberen de impasse rond het Reeks-artikel te doorbreken.
Ik meen van het begin af (30 aug 2015) te hebben gestreefd naar een uitwisseling van wiskundig-inhoudelijke argumenten. En me ook daartoe beperkt te hebben.
Ik wil graag, mede door jou stimulans, op diezelfde manier door blijven gaan. Waarbij ik me realiseer dat ik daarbij mogelijk met vragen zal komen, en met argumenten en bronnen, die ik niet voor de eerste keer inbreng. Ik hoop maar dat dat dan niet tot irritaties zal leiden maar tot antwoorden (anders dan: "niet conform de principes van Wikipedia").

Over die bronnen nog dit. In je punt gemerkt "1&2" zeg je: "Dat laatste schurkt namelijk te dicht tegen origineel onderzoek aan." Kun je duidelijker zeggen wat je daarmee bedoelt?
Slaat je opmerking op (een onderdeel uit) de tekst bóven het kopje 'Bronnen', in mijn meest recente conceptversie Concept 8 augustus 2016 ? Die hier vermelde uitvoerige bronnenlijst zou ik sterk willen reduceren in een te plaatsen versie. Het "niet zo best kloppen van die standaardteksten” komt in déze conceptversie van mij niet (niet meer) voor, dus lezers hoeven ook niet in de vermelde bronnen naar een onderbouwing daarvan te zoeken.

concept-intro niveau HAVO, 29-9     Reeks is in de wiskunde een ten dele verouderd woord voor rij: een opeenvolging van elementen, met een begin-element. Vaak wordt de naam 'reeks' speciaal gebruikt voor oneindig doorlopende rijen. En meestal gaat het om rijen met termen waarvoor een optelling gedefinieerd is, zoals getallen.
Daarnaast komt het woord 'reeks' voor als aanduiding voor formulevormen als   $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ \$en$\ \ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ (waarbij a1, a2, ... de termen zijn van een gegeven rij.

toelichting     Ik heb enige voorkeur voor deze volgorde van beide betekenissen omdat de eerste het makkelijkst te begrijpen is; bij de tweede dient verderop ingegaan te worden op de context-afhankelijke betekenissen van zo’n sigmavorm of plussenvorm.
Het voornaamste verschil tussen het bovenstaande en de huidige artikelversie (t.e.m. de sectie 'Definitie') is de tweede zin in die huidige versie, met: “Een reeks wordt genoteerd als...........”. Hier wordt over "Een reeks" gesproken, alsof de lezer al dient te weten wat dat is; en ook verderop wordt dit niet toegelicht.
Verder dient de definitiezin niet het betekenisloze "formele som" en idem "een som" te bevatten. En ook de beginzin is sterk aanvechtbaar, dan wel inhoudsloos. --

__________________________________________________________________________________

@Josq. In je tweede zin lees ik "...tot klinken gebracht MOET worden." Is niet beter (?): "volledig rein tot klinken gebracht ZOU KUNNEN worden".
Bij je puntje "1."   Accoord (die cc ipv kk is dwarsigheid van mij), voorzover je met het woord 'toonsoort' niets anders bedoelt dan: het aantal kruisen of mollen in de voortekening. Ja?
Bij je puntje "2."   Wat is "de gebruikte stemming" ? Hoe stellen we dat vast? Is het niet een extreme uitzondering wanneer een componist vermeldt voor wélk stemmings-soort z'n stuk bedoeld is? Staat dat ooit in de bladmuziek aangegeven?  Nee toch.
Goed, je zou kunnen denken dat iemand wil uitzoeken welke frequenties er geproduceerd moeten, gesteld dat je de door de componist geschreven noten toch 'rein' wilt uitvoeren. Door een perfect rein zingend (én rein modulerend) koor (niet op een - in maar één toonklasse - rein gestemd toetsinstrument).
Bij je puntje "3."   Ik zit te puzzelen met je woord 'voorkeurstoonsoort', ik gebruikte die term niet.   Als ik bij de term 'toonsoort' nog aan een andere betekenis moet denken dan alleen: kruisen- of mollenaantal in de voortekening, dan kom ik uit op wat ik in m'n vorige bijdrage schreef. En die betekenis is nu juist voor het genoemde reinzingende koor niet relevant! Bij het spelen op een rein gestemde piano gaat de zaak na een aantal modulaties (na overgang op een andere toonsoort) minder mooi klinken. Bij het reine koor is daar geen sprake van; die zingen dus niet 'in een andere toonsoort'. Het met-één-toegenomen kruisenaantal op notenbalk betekent voor de reinkoorzangers niet anders dan: een reine kwint hoger dan vóór die voortekenwisseling.
Iemand die het notenbeeld van de componist wil omzetten in reine frequenties/centswaarden (na eveneens reine modulaties) heeft niets aan de kruisen-aantallen en toonsoort-aanduidingen in kolom 1 en 2.
Josq, je het gelijk waar je schrijft dat iemand moet weten hoe het notenschrift in elkaar steekt om de omzetting van notenbeeld naar reine frequenties te kunnen maken. Maar bij het uitvoeren van zijn taak hoeft hij nooit te kijken naar de inhoud van de cellen in kolom 1 en 2. Die kolommen kunnen hem dus alleen maar afleiden of in de war brengen.   Wég dus. --

@Josq. In je tweede zin lees ik "...tot klinken gebracht MOET worden." Is niet beter (?): "volledig rein tot klinken gebracht ZOU KUNNEN worden".
Bij je puntje "1."   Accoord (die cc ipv kk is dwarsigheid van mij), voorzover je met het woord 'toonsoort' niets anders bedoelt dan: het aantal kruisen of mollen in de voortekening. Ja?
Bij je puntje "2."   Wat is "de gebruikte stemming" ? Hoe stellen we dat vast? Is het niet een extreme uitzondering wanneer een componist vermeldt voor wélk stemmings-soort z'n stuk bedoeld is? Staat dat ooit in de bladmuziek aangegeven?  Nee toch.
Goed, je zou kunnen denken dat iemand wil uitzoeken welke frequenties er geproduceerd moeten, gesteld dat je de door de componist geschreven noten toch 'rein' wilt uitvoeren. Door een perfect rein zingend (én rein modulerend) koor   (niet op een     - in maar één toonklasse rein gestemd - toetsinstrument).
Bij je puntje "3."   Ik zit te puzzelen met je woord 'voorkeurstoonsoort', ik gebruikte die term niet.   Als ik bij de term 'toonsoort' nog aan een andere betekenis moet denken dan alleen: kruisen- of mollenaantal in de voortekening, dan kom ik uit op wat ik in m'n vorige bijdrage schreef. En die betekenis is nu juist voor het genoemde reinzingende koor niet relevant! Bij het spelen op een rein gestemde piano gaat de zaak na een aantal modulaties (na overgang op een andere toonsoort) minder mooi klinken. Bij het reine koor is daar geen sprake van; die zingen dus niet 'in een andere toonsoort'. Het met-één-toegenomen kruisenaantal op notenbalk betekent voor de reinkoorzangers niet anders dan: een reine kwint hoger dan vóór die voortekenwisseling.
Iemand die het notenbeeld van de componist wil omzetten in reine frequenties/centswaarden (na eveneens reine modulaties) heeft niets aan de kruisen-aantallen en toonsoort-aanduidingen in kolom 1 en 2.
Josq, je het gelijk waar je schrijft dat iemand moet weten hoe het notenschrift in elkaar steekt om de omzetting van notenbeeld naar reine frequenties te kunnen maken. Maar bij het uitvoeren van zijn taak hoeft hij nooit te kijken naar de inhoud van de cellen in kolom 1 en 2. Die kolommen kunnen hem dus alleen maar afleiden of in de war brengen.   Wég dus.
PS. Een terts (5/4) kun je niet maken van kwinten (3/2). Voor het bepalen van reine tonen na een tertsmodulatie zou een aparte tabel nodig zijn, zónder 'toonsoorten' en 'kruisenaantallen' in de linkerkolom. --

Escalier de Cantor

@Jaclaf (et Asram, Proz, Nnemo)   Deux questions:
I. Jaclaf dit: "Il est vrai que peu de livres donnent une déf satisfaisante....". Est-ce possible de donner moi UN seul titre d'un livre de la sorte? (à côté de Cauchy - Cours d'Analyse p. 123)
II. Par hasard j'ai trouvé la phrase suivante, ici (Escalier de Cantor):

Alors on vérifie que pour tout $x,\vert f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\vert \leq 2^{-n}$, ce qui montre que  la série de fonctions $\color {Blue}\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$ converge uniformément, et donc que la suite $f_{n}$ converge uniformément.

Question: Quelle(s) de cettes variantes 2 - 10 peut(peuvent) remplacer le no. 1 sans change de signification? Et pourquoi?

1.   la série de fonctions $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$
2.   la suite de fonctions $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$
3.   la série de fonctions $\ {\Bigl (}\,\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i})\ {\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$
4.   la suite de fonctions $\ {\Bigl (}\,\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i})\ {\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$
5.   la série de fonctions $\ (f_{1}{-}f_{0})+(f_{2}{-}f_{1})+(f_{3}{-}f_{2})+\cdots$

6.   la suite de fonctions $\ (f_{1}{-}f_{0})+(f_{2}{-}f_{1})+(f_{3}{-}f_{2})+\cdots$

7.   la série de fonctions $\ f_{1}{-}f_{0},\ f_{2}{-}f_{0},\ f_{3}{-}f_{0},\ \cdots$
8.   la suite de fonctions $\ f_{1}{-}f_{0},\ f_{2}{-}f_{0},\ f_{3}{-}f_{0},\ \cdots$

9.   la série de fonctions $\ {\bigl (}f_{n}{-}f_{0}{\bigl )}_{n=0}^{\infty }$

10.  la suite de fonctions $\ {\bigl (}f_{n}{-}f_{0}{\bigl )}_{n=0}^{\infty }$

Je répète Jaclaf: "j'en ai vu énormément dans ma carrière qui confondent suite et série." La différence s'agit.................?? -- _____________________________________________________________________________
Jaclaf,   Merci pour votre réponse très vite.
Le mot 'suite' n’est pas une problème pour moi: c’est  une succession des éléments (nombres ou ....) avec un premier élément. Ou: une fonction avec les entiers comme domain.
Et le mot 'série' est un synonyme de 'suite' (peut-être un peu archaïque?).
Personne a donné une autre signification compréhensible (pour moi, *1942). Voir cette liste de 31 efforts variées à définier 'série'(en anglais, partie d'une discussion en hollandais).
Votre version: "l’activité à ajouter un à un les nombres d’une suite", ce ne s’agit pas un objet mathématique, n’est-ce pas?
C’est la même chose avec la 'déf' de James Stewart:  "If we try to add the terms of an infinite sequence, we get.......an infinite series."   Quand j’essaie moi-même, j’obtiens seulement une migraine grave après quelques heures.
Série divergente, c’est  "l’activité à ajouter à manière divergente un à un les............"?
Série harmonique, c’est  "l’activité à ajouter harmonieusement un à un les............"?   Etcetera.
Produit de deux séries( A, B), c’est  "le produit de deux activités” ?   Ou “l’activité à ajouter un à un les nombres de la suite qui est formé à manière.....des deux suites associé avec les deux activitées A, B" ?

"il faut aussi faire attention aux notations"
Quand on réduit la forme no. 1 comme ci:

(1)   $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$   =
    (3)  $\ {\Bigl (}\,\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i})\ {\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$   =
        (3a)   $\sum _{i=0}^{0}(f_{i+1}-f_{i})\ ,\ \ \ \sum _{i=0}^{1}(f_{i+1}-f_{i})\ ,\ \ \ \sum _{i=0}^{2}(f_{i+1}-f_{i})\ ,\ \cdots$   =

            (3b)   $\ f_{1}{-}f_{0},\ \ \ f_{1}{-}f_{0}+f_{2}{-}f_{1},\ \ \ f_{1}{-}f_{0}+f_{2}{-}f_{1}+f_{3}{-}f_{2},\ \ \cdots$   =

               (8)     $\ f_{1}{-}f_{0},\ \ \ f_{2}{-}f_{0},\ \ \ f_{3}{-}f_{0},\ \ \cdots$   =

                   (10)   $\ {\bigl (}f_{n}{-}f_{0}{\bigl )}_{n=0}^{\infty }$

une série est transformé dans une suite. (?)
Mais.....une reduction correcte ne change pas l’object mathématique, seulement la manière de noter.   Donc: 'série' est le nom d’une forme, pas d’une object mathématique (comme 'suite'). N’est-ce pas? --

een rij kan convergeren naar z'n termenlimiet, maar soms ook naar z'n partieelsommenlimiet een reeks kan convergeren naar z'n partieelsommenlimiet een rij met een termenlimiet heet convergent een rij met een partieelsommenlimiet heet ???sommeerbaar een reeks heeft wel termen, maar geen partieelsommen?? een reeks met een termenlimiet heet ??

heeft termen rij - reeks kan een som hebben rij - reeks heeft een partieelsommenrij rij kan een limiet hebben rij kan een partieelsommenlimiet hebben rij kan convergeren naar een limiet rij kan convergeren naar een som reeks

la suite de fonctions $\ {\bigl (}f_{n+1}{-}f_{n}{\bigl )}_{n=0}^{\infty }$

.......la série de fonctions $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$ converge uniformément, et donc que la suite des functions $(f_{n})_{n=0}^{\infty }$ converge uniformément. ________________________________________________________________
Jaclaf, Est-ce possible de me montrer des sources/exemples où une expression comme (..)n=1∞ ou (..)nεΝ ou (..)n= 1,2,… est utilisé/choisi pour qqch nommé 'série' ? Je ne peut pas trouver des exemples.

C'est m'intéresse; peut-être ce peut aider moi à découvrir la difference éventuelle entre  série  et  suite ,   et entre  série de terme général xn et  suite des sommes partielles d'une suite (xn) . --

Jaclaf,   Est-ce possible de me montrer des sources/exemples où une expression comme   (..)_n=1^∞   ou   (..)_nεΝ   ou   (..)_{n= 1,2,…}   est utilisé/choisi pour qqch nommé 'série' ?   Je ne peut pas trouver des exemples.
C'est m'intéresse; peut-être ce peut aider moi à découvrir la difference éventuelle entre  série  et  suite ,   et entre  série de terme général x_n et  suite des sommes partielles d'une suite (x_n) . --

= Over de definitie van 'convergente reeks', en zo meer

De bij een gegeven rij behorende reeks heet convergent, indien de partieelsommenrij van de bij die reeks behorende termenrij een limiet heeft.

De bij een gegeven rij behorende reeks heet absoluut convergent, indien de partieelsommenrij van de absolutewaardenrij van de bij die reeks behorende termenrij een limiet heeft.

De bij een gegeven rij behorende reeks heet meetkundig, indien in de bij die reeks behorende termenrij opvolgende termen een vaste verhouding hebben.

De bij een gegeven rij behorende reeks heet alternerend, indien in de bij die reeks behorende termenrij opvolgende termen steeds van teken wisselen.

Vraag: welke informatie gaat verloren (?) als we het bovenstaande gezigzag inkorten tot:

Een rij heet sommeerbaar indien z'n partieelsommenrij een limiet heeft. Een rij heet absoluut sommeerbaar indien de partieelsommenrij van z'n absolutewaardenrij een limiet heeft. Een rij heet meetkundig als opvolgende termen een vaste verhouding hebben.

Nog iets meer elementair
Volgens de sectie 'Definitie' in het huidige Wikipedia-artikel Reeks (wiskunde)

De reeks-kwestie in a nutshell - aangevuld

Notaties voor een partieelsommenrij
De rij van partiële sommen van een rij $a$ kan in formulevorm genoteerd als:
$a_{1},\ a_{1}{+}a_{2},\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\cdots$    of    ${\bigl (}a_{1}{+}a_{2}{+}{\cdots }{+}a_{n}{\bigl )}_{n=1}^{\infty }$    of    ${\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\Bigl )}_{n=1}^{\infty }$    of    $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   of    $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ .$
De vierde en de vijfde vorm worden wel reeksvorm of reeks genoemd. Alle vijf de vormen stellen dezelfde rij voor; er is bij 'reeks' dus géén sprake van een ander wiskundig begrip.
De reeksvorm is niet altijd korter dan een andere vorm. Voorbeeld:  de verschillenrij van een rij $b$ kan geschreven als   $b_{2}{-}b_{1},\ b_{3}{-}b_{2},\ b_{4}{-}b_{3},\ {\cdots }$   en in reeksvorm als   $(b_{2}{-}b_{1})+(b_{3}{-}2b_{2}{+}b_{1})+(b_{4}{-}2b_{3}{+}b_{2})+{\cdots }$  .

Notaties voor een partieelsommenlimiet
De partieelsommenlimiet van een rij $a$ (de som van rij $a$) kan in formulevorm genoteerd als:
$\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}{\cdots }{+}a_{n})$       of       $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}$       of       $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$     of       $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ .$
De eerste en tweede vorm heten limietvormen of limieten; de reeksvormen hebben hier een tweede betekenis.
(Ter onderscheiding schrijft men wel   $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \infty$   voor de limietwaarde  en  $\sum _{n\geq 1}a_{n}$ voor de rij.)

Reeks als (verouderd?) synoniem voor rij
Daarnaast is 'reeks' lange tijd het gebruikelijke woord geweest voor wat we nu vaak een (oneindige) rij noemen. Op verschillende plaatsen komt 'reeks' in deze betekenis nog steeds wel voor.

Convergeren, convergent
De manier waarop de woorden convergeren en convergent gebruikt worden is wat gecompliceerd.
Een  convergerende (convergente) rij   heeft een limiet (een 'termenlimiet'). En een  sommeerbare rij   heeft een partieelsommenlimiet ('somlimiet', 'som').   Als sprake is van een  convergerende (convergente) reeks   gaat het echter niet om z'n termenlimiet maar om het bestaan van z'n partieelsommenlimiet (de 'som van de reeks').
De Fransman Cauchy stelde in 1821 voor om 'convergent' alleen samen met 'reeks' (série) te gebruiken, en 'convergeren / convergerend' alleen samen met 'rij' (suite), maar dit is niet algemeen nagevolgd. --

____________________________________

Merci Jaclaf des sources variées, avec extraits intéressants. (Et Merci Anne Bauval des corrections très minutieuses, parfois les aidaient moi á comprendre mieux.)   Quelques remarques:
- La question n'est pas, à mon avis, quoi EST une série (il n'existe pas un oracle omniscient), mais: est-ce possible à trouver la signification de ce mot où un/une auteur a choisi ce mot dans une texte mathématique. (Et à décrire cette signification avec une phrase claire!)
- La phrase "série = couple (a_n; s_n)"  n'est pas de la deuxième sorte (voir Kahane). Mes sources les plus ancien de cette "définition" sont: 1956 R.C(reighton) Buck, Advanced calculus;   1958 Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes; et alors 1960 Dieudonné (anglais).
- Les textes de Rudin et de Godemont (2004, anglais) je retrouvais dans mes archives. (Godemont s'abstiens de montrer une définition.)
- Hier j'ai trouvé une source très intéressante (pour moi).   https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Series 2004.   Après une douzaine de lignes comme d'habitude, je lis: From this point of view the study of series is equivalent to the study of sequences: For any statement about series one can formulate an equivalent statement about sequences. (auteur ??).   La seule différence je vois entre un (une?) "statement about series" et un/une "statement about sequences" est la substitution de 'convergent' par 'sommable' (et 'divergent' par 'non-sommable').   Je recommande cette phrase à ceux qui ne croient pas que suite et série sont synonymes. ;). -- ====================================================

@Josq. Hier nog alleen mijn kritiek op je nagekomen wijziging in het opschrift van de tabel.
Ik lees hier: "twee tonen krijgen een andere hoogte", of "van twee tonen verandert de hoogte". En dus ook: "vijf tonen houden dezelfde hoogte". Dat is toch juist strijdig met wat we hier onder een 'toon' (een in cents uit te drukken vaste toonsafstand tot een impliciete grondtoon) willen verstaan? Geeft dus dikke mist bij de lezer.
Bij een kwintmodulatie gaat het muzikale 'tooncentrum' (de do van de actuele ladder) een kwint omhoog. Zo ook de re, de mi, enz. van de ladder. Alle zeven ladderposities verschuiven, alle zeven krijgen een nieuwe, andere, toonhoogte. Dat die nieuwe toonhoogtes voor een deel samenvallen met voorgaande toonhoogtes, zou je eerder als toeval kunnen zien (de reine ladder is daar nog net regelmatig genoeg voor) dan als iets waar de nadruk in de opschrifttekst op moet vallen.

Commentaar bij de tabelversie van Josq van 10 okt 2016 22:52
I.   De kopjes boven de kolommen 3-14 lijken sterk op het door mij genoemde namenrijtje hier (11 okt 2016 00:39 (CEST)) voor de twaalf gelijkzwevende halftonen (ongeacht de hoogte van de grondtoon).   Hetzelfde namenrijtje noemde ik hier (28 sep 2016 23:16 (CEST)) als zijnde ook wel in gebruik ter aanduiding van de twaalf even brede toonhoogtegebiedjes waarin het octaaf vaak verdeeld wordt gedacht.   Deze 'gelijkzwevende' betekenissen zul je niet op het oog gehad hebben bij het gebruiken in reine-stemming-tabel. Dus: wat bedoel je wél aan te duiden met die tabelkopjes?
II.   Het systeem in de (rode) kleuring van celgroepen ís een stuk onregelmatiger dan de (grijze) kleuring in het eerder geplaatste alternatief. Kun je aangeven welk voordeel de lezer heeft van de 'rode' keuze?
III.   De tabelkolommen Toonsoort en Voortekens laat je nog staan; terwijl door niemand bestreden wordt dat kolom 2 alleen met notenschrift te maken heeft, en ook van de kop 'Toonsoort' boven kolom 1 door niemand is duidelijk gemaakt welke voor het onderwerp 'reine stemming' van belang zijnde informatie ermee aan de lezer gegeven wordt. Dus wég, lijkt me.
IV.   Voor het weglaten van die kolom 'Toonsoort' pleit vooral ook het uitblijven van een antwoord op mijn vraag hier : (welke toonsoort zou er passen bij de over tertsen verschoven majeurladder?).
V.   M.b.t. de latere voorstellen van HandigeHarrie deze vraag:   Welk voordeel is er voor de lezer van het weer terugbrengen in de tabel van het Des-Cis-Cis-onderscheid? Wat heeft dat verschil in notatiewijze van doen met 'reine stemming'? Niets toch, geeft alleen maar verwarring bij het interpreteren van een toch al lastig gevonden tabel.   Madyno weigert te zeggen wat hij verstaat onder 'de toon fis'; en HandigeHarrie verstaat onder 'de toon Bes' de toon die precies 1/12 octaaf boven A440 ligt, dus in de gelijkzwevende octaafverdeling. Dus wat moeten die Fis en Bes-namen in deze tabel?
VI.   Het onderscheiden van de blokken met gelijke centswaarde door hun positie (uitlijning) - laatste idee van HH - is op zichzelf niet onlogisch. Gezien dat ik dat in het (grijze) alternatief ook al (een beetje, voor zover de standaard-paginabreedte het toeliet) deed? --

Kwintentabel

Samenvatting:
De body van de tabel kan een functie hebben (o.m. beschreven door Josq); de randschriften boven en links dragen daar niet aan bij. De zin van die randschriften en/of naamstickers is niet in het overleg duidelijk gemaakt.

Madyno:
Je hebt tweemaal gelijk: Ik zette per abuis het verkeerde opschrift terug. En het eerdere op-z'n-kop-zetten was nog niet in het opschrift verwerkt. --

HandigeHarrie:
Over de tekst boven de tabel:
Er is geen reden (en jij geeft geen reden) om de middelste tabelregel met "C" of "c" aan te duiden. En "de regel erboven" gevolgd door "van beneden naar boven" is hinderlijk dubbelop. Voor je verandering in de breuknotatie geldt: BTNI. --

In: Over de toonsoort van het muziekstuk (onder bijdrage HH):
Nogmaals over de door anderen geclaimde zin van toonsoort-vermeldingen in kolom 1-2:
Als  "toonaard C - geen voortekens"  in kolom 1-2 duidt op muziek die de reine ladder als basis gebruikt, dan duiden  "toonaard Fis - 6 kruisen"  en  "toonaard Ges - 6 mollen"  op muziek die gebaseerd is op een ladder die helemaal niet rein meer klinkt (met wolfskwinten e.d.).   Terwijl de in de tabelregels áchter de kopjes "toonaard Fis" en "toonaard Ges" beschreven toonladders juist wél perfect rein gebleven zijn.
Dit is de reden waarom ik die toonaard-vermeldingen in kolom 1-2 niet ter zake en verwarrend noem. --

Samenvatting:
Toelichting bij verschillende terugzettingen m.b.t. de tabel. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Geel-rose tabelversie, geplaatst door HandigeHarrie 13 okt 2016

De plaatsing van de 'naamstickers' wordt steeds vernuftiger; de kleuring is rustiger; de breedte steekt niet meer uit. Driemaal een cosmetische vooruitgang.
Maar hoewel het woord 'toonaard' is verdwenen, verwijst de (koploze) linkerkolom met z'n kruis- en moltekens nog steeds naar het notenschrift. En dat notenschrift heeft nog steeds niks met de functie van de tabel te maken (minder absoluut gesteld: zo'n eventuele functie is in dit overleg nog niet duidelijk gemaakt).   Hetzelfde geldt voor de grijze cellen met noten(schrift)namen.

Van beide vermeldingen blijf ik zeggen: die hebben niet van doen met wat de tabel aan de lezer wil overbrengen, en zijn dus storend, moeten eruit.

HandigeHarrie zegt bij de plaatsing (13 okt 2016 19:15): "de kopjes maken duidelijk waarom tonen.....in dezelfde kolom staan". Laat daar eens een toelichting bij komen op deze overlegpagina, want ik kan nu alleen maar reageren met: die kopjes maken mij alleen maar duidelijk dat hier informatie over de toontheorie (de reine-stemmings-leer) vermengd wordt (of onbewust verward wordt) met terminologie uit het notenschrift.
Stel dat we in het artikel ook een overeenkomstige modulatie-tabel zouden willen opnemen (ja Josq, ik weet dat dit niet direct een hoge prioriteit heeft) voor de gelijkzwevende uitgangsladder, verschuivend over gelijkzwevende kwinten. De tabel is dan een stuk regelmatiger, de kleurblokken zijn irrelevant.   Maakt dit misschien beter duidelijk dat het opplakken van twéé namen in dezelfde kolom (voor 2, of 3, of 4 toonhoogten) nergens op slaat? Dat die namen echt alleen uit het notenschrift voortkomen (met soms wél en soms géén notatieverschil voor 'enharmonische' tonen) ?

Mag ik vragen om eerst een verantwoording op deze pagina van de 'grijze' cellen, een motivering van hun functie, vóór ze er weer bij gezet worden?   Met een weerlegging van de door mij al meerdere keren beschreven bezwaren. --

Samenvatting: Vragen bij de geel-rose tabelversie.

Aanvulling op mijn argumentatie.
Een rein zingend en rein modulerend koor zal een stuk vaak ongemoduleerd beginnen met (op de tonen van) een reine ladder die in hun bladmuziek al met een aantal voortekens genoteerd staat.   De namen in de grijze cellen van de geel-rode tabel negeren dat; ze slaan alleen op de notenschriftnamen in de situatie waarbij het koor begint te zingen van een blanke voortekening.--

Welke functie heeft de bovenste tabelregel (7 kruisen) ? Want 13 regels is genoeg om het (bijna) terugkomen van de uitgangsladder te laten zien. Als die regel op geen enkele manier infomatief is:  eruit. --

@HandigeHarrie. Ik geef hier nog inhoudelijk reactie op jouw eerdere uitspraak over 'het nut van de tabel', te weten:
        De tabel toont hoe groot de afwijkingen worden als je op een rein gestemd instrument probeert te spelen met een
        heleboel voortekens. Handige Harrie(overleg) 12 okt 2016 23:35 (CEST).

1. De tabel geeft de toonhoogten die optreden bij (herhaalde) kwintmodulaties, in de muziek.   Los van welke notatievorm dan ook, dus het aantal voortekens in het notenschrift heeft daar nog niets mee te maken.  Ja?   Zoekend naar wat jij mogelijk bedoelt met "de afwijkingen" en met "een heleboel voortekens", kom ik op het volgende:

2. Stel dat een reine zanger, of de bespeler van een rein gestemd clavecimbel, niet op het gehoor bijhoudt hoeveel kwintmodulaties er vanaf het begin van het stuk (netto, omhoog minus omlaag) voorgekomen zijn, en hij wil dat aantal halen uit z'n bladmuziek. Dan moet hij niet kijken naar het actuele aantal voortekens (niet of het er weinig zijn of 'een heleboel') maar naar het verschil tussen het actuele aantal en het aantal aan het begin van het stuk.  Ja?   Aan al die (noten-)namen in de tabel heeft die zanger evenmin iets (tenzij het stuk toevallig met een blanke voortekening begint: "in C geschreven is"; nog wel even wat puzzelen).  Ja?
Nu weet hij dus hoeveel regels boven of onder de middenregel in de tabel hij moet kijken. Hij zal ook weten van welke ladderplaats (do of re of mi of ...) hij de reine toonhoogte zoekt, en vindt dan in de cel met die naam een centswaarde.

3. HandigeHarrie heeft het echter niet over het vinden van een reine centswaarde, maar over het uit de tabel aflezen van "afwijkingen". Wat bedoelt hij daarmee? In bijna de helft van de gevallen (5 van de 12) staat er recht-onder (of recht-boven) in de middenregel geen centswaarde, en is er dus geen 'afwijking' te bepalen.
Dat kan wél als je de middenregel vult met evenredige centswaarden, bedoelt HH dat?   Op het rein gestemde clavecimbel zullen ook de vijf tussentoetsen een zekere toonhoogte laten horen, er is echter bij met weten geen vaste norm voor wat die toonhoogten precies moeten zijn. Dus ook langs die weg zijn de door HandigeHarrie genoemde 'afwijkingen' niet precies te vinden. --

Er is niet meer dan één 'reine ladder'

De benaming 'reine ladder' (bij mijn weten alleen in gebruik voor de diatonische groteterts/majeur-toonladder; wat de 'reine' verhoudingen zouden zijn bij de natuurlijke/harmonische/melodische kleinetertstoonladders is me niet bekend, afgezien van de 6/5 voor de terts) slaat op ELKE reeks van tonen met onderlinge 'afstanden' (kort voor: frequentieverhoudingen) 9/8, 10/9, 16/15, 9/8, 10/9, 9/8, 16/15. Samen juist een octaaf.   Het is dus niet een reeks van tonen, maar een tonenpatroon.
Hetzelfde geldt voor de gelijkzwevende ladder; opgevat als diatonische majeurladder zijn de afstanden in dat patroon: heel-heel-half-heel-heel-heel-half (met half = twaalfdewortel twee).
De verschillende posities in de diatonische majeurladder worden vanouds aangeduid met latijnse rangtelwoorden; tegelijk zijn dat de namen voor de intervallen vanaf de beginpositie.   Het gebruiken van het woord 'laddertonen' voor 'ladderposities' kan snel tot misverstand leiden; het gaat bij een ladder in de toontheorie niet om tonen (elk met een bepaalde toonhoogte) maar om een afstandenpatroon.

Aldus is er precies één reine toonladder (ladderpatroon, toonafstandenpatroon), in dit lemma staat die ene ladder centraal. Momenteel gaan de auteurs van de sectie "Toonladder van de reine stemming" echter uit van het bestaan van meerdere reine toonladders: driemaal is sprake van een "toonladder in C" - "grotetertstoonladder van c" - "ladder van c", en eenmaal van een "grotetertstoonladder op de toon g". In het eerste geval lijkt die specifieke aanduiding geen enkele functie te hebben. In de verdere gevallen gaat het betoog uit van de situatie in het notenschrift, met (onvermijdelijk) slechts een beperkt aantal mogelijkheden ter aanduiding van toonhoogte-nuances. Want het gaat over
- een ladder die uit stamtonen bestaat,
- een toon die fis wordt genoemd,
- een verhoogde f,
allemaal nomenclatuur uit het notenschrift en niet uit het in dit lemma aan de orde zijnde toontheorie-onderwerp: de reine stemming.

Zolang de onjuistheid van het bovenstaande niet hier in dit overleg is aangetoond, zal ik doorgaan met het verwijderen van notenschrift-zaken die vermengd staan met de verdere artikeltekst. --

mi=182
mi 182 spatiebalk-spatie
mi 182 thinsp-spatie
mi 182 nbsp-spatie
| 26 spaties
mi 182

Tabel zonder is-gelijk-tekens

Motivatie bij artikel-aanpassingen 20 okt 2016
Vier (onderdelen uit) toevoegingen van 6, 7, 8 en 15 oktober 2016 verwijderd:

1. cursieve kopie
"een" reine stemming? - er is er maar één. "...klinkt anderhalf keer zo hoog" - krompraat.

2. cursieve kopie
"Deze reeks toegepast op de toonladder in C, staat ook wel ..." - krompraat. Het is onzin om te zeggen dat de reine toonladder alleen 'Ptolemeïsche ladder' of (misschien) 'Ptolemeïsche reeks' genoemd wordt, indien die ergens in notenschrift genoteerd zou staan met de do op de c-positie.

3. passage Madyno
Een achttal zinnen vanaf  "Een probleem van de reine stemming..........."  is te interpreteren wegens het voortdurend negeren van het essentiële verschil tussen een 'toon' (toonhoogte) en een 'noot' (in het notenschrift een combinatie van ...........). Zoals hier:
a. "...ladder van c..." - 'majeurladder' is een begrip uit de toontheorie; de toevoeging "van c", of "van d", etc. verandert niets aan die ladder en is dus onbegrijpelijk.
b. "...die uit de stamtonen bestaat..." - stamtonen??; net zo verwarrend als het door Handige Harrie gebruikte "relatieve tonen" en "absolute tonen".
c. "...ladder op de toon g" - is dat de ladder op 15/8 van 440Hz ? zeg dat dan.
d. "...dan zijn daarin de verhoudingen..." - ongewijzigd gebleven; hoeft dus niet vermeld.
e. "...de toon...fis..." - hoeveel hertz?
f. "De toon a verschilt licht van [de toon a]" - weglaten , of zeggen wat je bedoelt.

4. cursieve kopie, sectie Reine intervallen in andere stemmingen
Inmiddels is gebleken dat niemand terzake bronnen kan leveren. Bovendien staat de schrijfstijl in deze hele sectie heel ver af van een encyclopedische informatie-verstrekking. Het lijkt me - met permissie - onsamenhangend gebabbel.
Je eerste zin zal voor niemand te begrijpen zijn. Want we hebben het hier over een ladder met zeven sporten, niet met twaalf ("alle twaalf tonen van de ladder"). En dan nog: het artikel geeft (tot nu toe) geen scherpe definitie van "rein interval" of van "rein gestemd interval". Het interval re-la (heeltal-verhouding 40/27) staat in de laatste sectie wél bij de tonen (beter: intervallen) die uit reine modulaties voortkomen. En dat interval zou dus ook kunnen voorkomen bij wat heet een 'perfect rein' zingend koor.

Bij het handhaven van de 13-regelige tabelversie; reactie op argumentatie door Josq (20 okt 2016 00:40 (CEST)):
- "zaken die nauwelijks relevant zijn" - Het meervoud 'zaken' lijkt niet van toepassing; over het 'nauwelijks' zullen de meningen kunnen verschillen.
- "zo'n uitgebreide gecompliceerde tabel" - 'uitgebreid': inderdaad ja;  'gecompliceerd': extra's uit vorige versies zijn vervallen; de bedoeling van de tabel wordt met de grote versie minstens zo goed (zo niet beter) gevisualiseerd als met de kleine. De uitgangsladder bovenaan (en herhaald onderaan) lijkt nog net iets logischer.
Vergelijking met het na drie resp. negentien modulaties ongeveer terugkeren van de uitgangsladder bij verschuivingen met factor 5/4 resp. 6/5, laat zien dat de 'twaalf' bij de kwinten niets te maken heeft met de gebruikelijke verdeling van het octaaf in 12 'halftoon'-gebiedjes.
--

In tekst uitsluitend onderdelen schrappen. Ook wijzigen: 1x sol > so, 2x si > ti. In slotsectie in kopje: tonen > intervallen

do 24

re 228

mi 410

fa 522

so 726

la 908

ti 1112

do 1224

so 24

la 206

ti 410

do 522

re 726

mi 908

fa 1020

so 1224

re 24

mi 206

fa 318

so 522

la 708

ti 908

do 1020

re 1224

la 2

ti 206

do 318

re 522

mi 704

fa 816

so 1020

la 1202

mi 2

fa 114

so 318

la 500

ti 704

do 816

re 1020

mi 1202

ti 2

do 114

re 318

mi 500

fa 612

so 816

la 998

ti 1202

so 114

la 296

ti 500

do 612

re 816

mi 998

fa 1110

re 114

mi 296

fa 408

so 612

la 794

ti 998

do 1110

la92

ti 296

do 408

re 612

mi 794

fa 906

so 1110

mi 92

fa 204

so 408

la 590

ti 794

do 906

re 1110

ti 92

do 204

re 408

mi 590

fa 702

so 906

la 1088

fa 0

so 204

la 386

ti 590

do 702

re 906

mi 1088

fa 1200

do 0

re 204

mi 386

fa 498

so 702

la 884

ti 1088

do 1200

_______________________

Onder sectiekopje "Randschriften"

@Handige Harrie.   Over je tabelversie van 16 oktober.
Het weglaten van de kruis/mol-tekens links en van de nootnamen, maakt de bedoeling van de tabel voor de lezer een heel stuk duidelijker. Prima.   Daarnaast: Je voortdurende pogingen om de lay-out en de details in de tabel te verbeteren, hebben m.i. toch nog niet tot het optimale resultaat geleid:
De extra kaders om groepen gelijktonige cellen, en ook de aanzienlijke (onnodige?) variatie in de overlappingen, geven een onrustig, verwarrend beeld.   Met een (beperkte) horizontale verschuiving van die celgroepen ben ik het helemaal eens. Die verschuiving wordt echter zeker zo goed (m.i. beter) zichtbaar gemaakt - samen met het afwisselend gebruik van grijstint - door het precies onder elkaar plaatsen van wát er gelijk is: de centswaarden. (Waarom je het nodig vindt om in een 'samenvatting' het uitlijnen van die centswaarden 'syntaxiskul' te noemen, ontgaat me.)
De grootte van die verschuivingen komen in de variant die ik nu ga opslaan, overeen met waar jij op de meeste plaatsen voor koos, zonder minder wenselijke kantlijn-overschrijding. ________________________________________________

@Josq.   Bij jouw 5-regel-versie van de tabel (variant 18 okt 2016 12:36).
Deze 5regel-versie lijkt me, evenals de overeenkomstige 13regel- versie, acceptabel. Ik kan zo gauw nog niet zeggen welke mijn voorkeur heeft.
Over de geschrapte tekst-alinea boven de tabel: Die bijna-terugkeer van de uitgangsladder (op de piano weer op alleen witte toetsen) lijkt me toch wel een vermeldenswaardige consequentie van het verschuivingsproces. Ook in vergelijking met de situatie bij groteterts-modulaties en kleineterts-modulaties. Wil ik weer terughebben.
Over wat Handige Harrie (ten onrechte) 'absolute namen' noemt, en wat jij 'notennamen' (notenschriftnamen) noemt, is hierboven al veel gezegd. Als iemand het niet eens is met de aldaar gegeven argumentatie, kan dat dan AUB in dit overleg aan de orde gesteld, en niet direct in de artikelpagina? Ik wil heel graag de argumenten zien. (Josq verwees op 8 okt 2016 10:15 naar het omvangrijke artikel van Ben Dijkhuis; dat blijkt evenmin vrij van vermenging van toontheorie met notenschriftnamen en toetsenbordnamen).
Met "welke toonsoort als uitgangspunt" en "uitgangsladder overeenkomt met C-groot" haal je het notenschrift er weer bij. Want 'toonsoort' gebruik je hier niet in de muzikale betekenis van: do-ladder, la-ladder, en verdere kerktoonsoort-ladders. --

@Handige Harrie.   Waarom wil je die notenschrift-besmetting weer terug in het - toontheoretische - reinestemming-artikel? Waarom geef je er op deze pagina geen argumenten voor?
Leg hier eens uit waarom je beslist in de tekst wilt hebben: "dan verandert fa in ti" bij een modulatie over een kwint omhoog? Waarom is dat beter dan wat je weghaalde? Zo ook mbt. het belang van de speciale fa-ti link in jouw tabelversies.
Je omkleuring van de slottabel is een heel lelijke verslechtering. Bij het maken van de tabel heb ik ook gezocht naar een tweede geschikte grijstint - maar niet gevonden. Vandaar de centrering van de kopjes-inhouden met herhaalde nbsp's. Jij houdt daar niet van, okee, maar moet je dat aan anderen opdringen?   Ik hou vast aan de door mij gekozen grijstinten. --

@Allen.   Ik zet de eerste versie van vandaag (12:12 CEST) terug met als argument dat géén van de latere versies in dit overleg bespreekbaar geweest zijn. --

Argumentatie van een terugzetting. Josq onderaan ik kom terug.

@Handige Harrie.  

_______________________________________________

Nog vijf nummers inlassen bij de Josq-tekst.

Josq, ik ben zo vrij je bolletjes te nummeren.   Ziehier mijn 'verfijningen en aanvullingen:

1a. - Je schrijft hier "toonsoort". Graag duidelijk maken of je hiermee op de betekenis doelt in: de majeur-toonsoort (do-ladder), mineur-toonsoort (la-ladder), en nog verdere 'kerk'-toonsoorten.   Of doel je met dat woord op de verschillende 'vaste voortekeningen' na het sleutelteken in een notenschriftbalk (gekoppeld aan de éénletternamen en de is- en es-namen voor combinaties van een balkpositie, een balksleutel en een eventuele kruis of mol). Of misschien op beide door elkaar?
Ook duidelijk maken in hoeverre de betekenis van 'toonaard' en 'toongeslacht' samenvalt met die van 'toonsoort'.

- Je schrijft ook: "do, re, mi ...". Eveneens duidelijk maken of je hier alleen mee doelt op de ladderposities in een (zich octaafsgewijs herhalend) zeven-tonen-per-octaaf-patroon met tussenstappen 9/8, 10/9, 16/15, 9/8, 10/9, 9/8, 16/15.

2a. Juister/scherper lijkt me:   "Bij kwintmodulaties vallen vijf nieuwe toonhoogten samen met voorafgaande". en "Bij groteterts-modulaties (en ook bij kleineterts-modulaties) vallen drie nieuwe toonhoogten samen met voorafgaande".
Met 'gelijkblijven' en met 'verschillen' wordt net iets anders gezegd (of: gesuggereerd).

3a. Alle notenschrift-consequenties voor de duidelijkheid in een aparte 'bijlage'-sectie.
Niet "een van de toonhoogteverschillen [het verschil fa-ti?] wordt gerepresenteerd....", maar:  "een van de twee niet in de oude ladder voorkomende toonhoogten wordt gerepresenteerd ...." (lijkt me overigens lastig kort te omschrijven).

4a. Zonder "het andere verschil", maar met:   de toonsafstand tot de meest nabije toonhoogte in de oude ladder is 81/80 (22 cents, 'didymische komma').

5a. 'Culmineren', ja.   Met als interessante observatie dat na twaalf kwintmodulaties de hele uitgangsladder tot op 1/48 octaafbreedte (23 van de 1200 cents) benaderd wordt. Bij grotetertsmodulaties na drie modulaties -41 cents (125/128), en bij kleinetertsmodulaties na negentien modulaties -2,8 cents.

6a. Hoe zit het met de 'reine' (natuurlijke, melodische, harmonische) mineurtoonladder?

7a. Dat ook uit de theorie van de reine stemming géén toonsafstanden (heeltalverhoudingen of centswaarden) zijn af te leiden voor een (vaakgenoemde, maar niet met een toonsafstand tot de laddertonen vastgelegde) "toon fis" of een "toon ges" .

PS1. De laatste weken is weer enige notenschrift-nomenclatuur ("de majeurtoonladder van c" en dergelijke) in het het artikel terechtgekomen.

PS2. Op jouw woorden aan mij (van 18 okt 2016 20:59 (CEST)):   Jij lijkt daar te zeggen dat de randschriftnamen van Handige Harrie iets concreet kunnen maken voor een lezer; ik zou niet weten wát. Laat Handige Harrie dat eerst eens uitleggen, en dan graag zonder lege kreten als "ze [die namen] zeggen een heleboel". -- _________________________________________________________________

@Handige Harrie.   Je uitleg (19 okt 2016 09:26 (CEST)) laat nog verschillende vragen open. Ik begin met in te gaan op jouw voorbeeld:   "Zo kun je zien dat in de toonaard Bes de relatieve toon fa overeenkomt met de absolute toon Es. De toonhoogte (vanaf de C) is 294 cent."   Ik label m'n commentaar-delen met kleine letters:
a. Je kiest hier de tabelregel die beschrijft waar de tonen van de reine uitgangsladder terechtkomen na twee reinekwint-modulaties omlaag; voorafgegaan door de aanduiding 2♭.
b. Dat "2♭" slaat op de notenschrift-situatie met twee moltekens links in de balk na het sleutelteken; genaamd: toonaard Bes.
c. Als afgezien wordt van het gebruik van extra ('toevallige') voortekens, wordt de majeurladder genoteerd met zeven noten met de namen: Bes, C, D, Es, F, G, A.   Let op:  'Bes' is hier een notennaam, geen toonaard-naam.)
d. Aan de Es-noot is niet te zien of er de gelijkzwevende, of de reine, of de nog bij een andere stemming behorende, toonsafstand tot de door de Bes-noot gerepresenteerde toonhoogte van het actuele tooncentrum, mee bedoeld is.
e. En aan de twee mollen in de voortekening is evenmin te zien of er modulaties over reine, gelijkzwevende, of bij een andere stemming behorende, kwinten mee bedoeld zijn.
f. Ondanks die beide onzekerheden wil jij volhouden dat een lezer relevante informatie kan halen uit het label 'Es' dat jij aan de cel met 'fa 294' wil hangen. Nogmaals: welke informatie bedoel je?
g. Uit het bovenstaande zal duidelijk zijn dat de noot Es (een ovaaltje op - onder meer - de onderste lijn van een Gsleutel-balk voorafgegaan door een molteken) een grote variatie aan toonhoogtes kan aanduiden.
h. Ik zie niet om welke reden bij één van die toonhoogtes (294 cents boven de C à 6/5 van 440Hz) de naam 'absolute toon Es' zou moeten horen.

${\ce {->}}$

________________________________________

Tussentonen-tabel

Reine intervallen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder (grijstint wisselt per 100 cents)

	een modulatie	twee     modulaties	afstand tot do
			verhouding	cents
do			1/1	0	↓50
	la + terts		25/24	≈71
		re + terts + kwint	135/128	≈92
	fa − terts		16/15	≈112	↓150
	la − kwint		10/9	≈182
re			9/8	≈204	↓250
	ti + terts		75/64	≈275
		fa − kwint − kwint	32/27	≈294
	so − terts		6/5	≈316	↓350
mi			5/4	≈386
		re + kwint + kwint	81/64	≈408
		do − terts − terts	32/25	≈427	↓450
		la + terts + terts	125/96	≈457
fa			4/3	≈498
		re − terts + kwint	27/20	≈520	↓550
		la + terts − kwint	25/18	≈569
	re + terts ti + kwint		45/32	≈590
		fa − terts − kwint	64/45	≈610
		re − terts − terts	36/25	≈631	↓650
		ti + terts + terts	375/256	≈661
		la − kwint − kwint	40/27	≈680
so			3/2	≈702	↓750
	mi + terts		25/16	≈773
	do − terts		8/5	≈814	↓850
la			5/3	≈884
	re + kwint		27/16	≈906
		fa − terts − terts	128/75	≈925	↓950
		re + terts + terts	225/128	≈977
	fa − kwint		16/9	≈996
	re − terts		9/5	≈1018	↓1050
ti			15/8	≈1088
		so − terts − terts	48/25	≈1129	↓1150
		mi + terts + terts	125/64	≈1159
do			2/1	1200

Variant 1

Reine intervallen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder (grijstint wisselt per 100 cents)

	een modulatie	twee     modulaties	afstand tot do
			verhouding	cents
do			1/1	0	50 150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150
	la + terts		25/24	≈71
		re + terts + kwint	135/128	≈92
	fa − terts		16/15	≈112
	la − kwint		10/9	≈182
re			9/8	≈204
	ti + terts		75/64	≈275
		fa − kwint − kwint	32/27	≈294
	so − terts		6/5	≈316
mi			5/4	≈386
		re + kwint + kwint	81/64	≈408
		do − terts − terts	32/25	≈427
		la + terts + terts	125/96	≈457
fa			4/3	≈498
		re − terts + kwint	27/20	≈520
		la + terts − kwint	25/18	≈569
	re + terts ti + kwint		45/32	≈590
		fa − terts − kwint	64/45	≈610
		re − terts − terts	36/25	≈631
		ti + terts + terts	375/256	≈661
		la − kwint − kwint	40/27	≈680
so			3/2	≈702
	mi + terts		25/16	≈773
	do − terts		8/5	≈814
la			5/3	≈884
	re + kwint		27/16	≈906
		fa − terts − terts	128/75	≈925
		re + terts + terts	225/128	≈977
	fa − kwint		16/9	≈996
	re − terts		9/5	≈1018
ti			15/8	≈1088
		so − terts − terts	48/25	≈1129
		mi + terts + terts	125/64	≈1159
do			2/1	1200

Variant 2·

Reine intervallen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder (grijstint wisselt per 100 cents)

	een modulatie	twee     modulaties	afstand tot do
			verhouding	cents
do			1/1	0	– −50 − − − −150 − − −250 − − − −350 − − − −450 − − − −550 − − − − − −650 − – – –750 – – –850 – – – –950 − − − − − − −
	la + terts		25/24	≈71
		re + terts + kwint	135/128	≈92
	fa − terts		16/15	≈112
	la − kwint		10/9	≈182
re			9/8	≈204
	ti + terts		75/64	≈275
		fa − kwint − kwint	32/27	≈294
	so − terts		6/5	≈316
mi			5/4	≈386
		re + kwint + kwint	81/64	≈408
		do − terts − terts	32/25	≈427
		la + terts + terts	125/96	≈457
fa			4/3	≈498
		re − terts + kwint	27/20	≈520
		la + terts − kwint	25/18	≈569
	re + terts (= ti + kwint)		45/32	≈590
		fa − terts − kwint	64/45	≈610
		re − terts − terts	36/25	≈631
		ti + terts + terts	375/256	≈661
		la − kwint − kwint	40/27	≈680
so			3/2	≈702
	mi + terts		25/16	≈773
	do − terts		8/5	≈814
la			5/3	≈884
	re + kwint		27/16	≈906
		fa − terts − terts	128/75	≈925
		re + terts + terts	225/128	≈977
	fa − kwint		16/9	≈996
	re − terts		9/5	≈1018
ti			15/8	≈1088
		so − terts − terts	48/25	≈1129
		mi + terts + terts	125/64	≈1159
do			2/1	1200

_________________________________________________________________
[16] Frans van der Grijn - Tienhoven: In het Europese systeem krijgen de tonen namen waarin zowel de noot als het octaaf gegeven zijn. Zo ook in de bladmuziek: feitelijk staat op papier welke toets de speler dient in te drukken. Slechts door aanvullende informatie in de partituur geeft de componist aan welke “klinkende toonhoogte” de componist bedoelt. Een aanduiding “Hw 16’” in de partituur verandert niet de in te drukken toets, maar wel de klinkende toonhoogte.

Omdat de naamgeving nogal verschillende is over de globe, onderstaand een vergelijkend overzicht om zaken helder te stellen.

Ben Dijkhuis - Medemblik:
"Inzake liturgische muziek" par. 1.2
Let wel dat de aangeven reeks tonen, een equivalent is van ons huidige toonstelsel en niet per se, exact deze toonhoogte bezit. Om dit euvel te ondervangen, spreekt men soms liever in termen van de relatieve gezongen aanduidingen do (i.p.v. c), re (d), mi (e), fa (f), sol (g), la (a), ti (b), waarbij de absolute toonhoogte er niet toe doet. Voor het gemak en voor een duidelijk overzicht, gebruik ik bij voorkeur wel de toonbenamingen.
Hesselp: Hier worden toonhoogten verward met toon-afstanden.

toon	do	re	mi	fa	so	la	ti	do
verhouding met grondtoon	1/1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2/1
onderling	9/8    10/9   16/15   9/8    10/9    9/8    16/15
verschil in cent t.o.v. grondtoon	0	204	386	498	702	884	1088	1200
onderling	204    182    112     204    182     204     112

Balliballi

@Balliballi. Ich parafrasiere: "Fis und Ges geben (ein wenig) verschiedene Tonhöhe an".
Es bleibt aber die Frage: Welche Tonhöhen (in eine gegebene Oktave)?   Ich sage: Fis und Ges sind Näme für die Notenschrift-Noten (Markierungen) F♯ and G♭. Welch Tonhöhen sie repräsentieren ist variabel. Denn:
A. Sehe die Farbfiguur in [17]
B.

Concept aan Joachim

Gis ein anderer Ton wie As (?)   Nicht immer, denn in eine 12-stufig erweiterten Tonleiter (rein oder mitteltönig oder pythagorisch oder gleichstufig oder ...) sind 'Gis' und 'As' synonym. Ja?
Dis ein anderer Ton wie Es (?)   Auf wieviel Cent soll ein Geiger  E - Es  intonieren beim rein spielen von:  
E - ♭E - E - ♭E - E - B - D - C - A ?   Und auf wieviel Cent soll er  E - Dis  intonieren beim rein spielen von:  
E - ♯D - E - ♯D - E - B - D - C - A ?   Worauf basiert die Gieger sich dabei?

Reine mineurladder, twee varianten

Voorstel tot uitbreiding van de sectie ...... met de natuurlijke mineur-ladder in reine stemming. De opmerking over de latere toevoeging van de zevende toon (ti/si) aan de ladders, lijkt wat storend in dit artikel over reine stemming; heeft daar niet mee te maken. De cents-waarden die horen bij de reine majeurladder worden in de sectie Modulatie in twee tabellen genoemd; hier weinig informatief, hier dus weg.

Toonladders in reine stemming

Reine majeurladder

De majeur toonladder (de 7-tonige groteterts-ladder, do-ladder, ionische ladder) in reine stemming, kan worden beschreven met de frequentieverhoudingen uit de volgende tabel.

naam	do	re	mi	fa	so	la	ti	do
verhouding met grondtoon	1/1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2/1
verhouding onderling	9/8   10/9   16/15   9/8   10/9    9/8   16/15

Reine mineurladder

De mineur toonladder (de 7-tonige natuurlijke mineurladder, ook: kleinetertsladder, la-ladder, eolische ladder) in reine stemming, kan worden gezien als volledig samenvallend met de majeurladder indien de la als grondtoon wordt beschouwd.

naam	la	ti	do	re	mi	fa	so	la
verhouding met grondtoon	1/1	9/8	6/5	27/20	3/2	8/5	9/5	2/1
verhouding onderling	9/8   16/15   9/8     10/9   16/15   9/8   10/9

Een kleine variant hiervan heeft een reine kwart (4/3) als vierde trap, 81/80 onder de toon re.

Geen reine 12-tonige ladder

Er zijn meerdere voorstellen gedaan om de reine zeventonige ladder met nog vijf 'tussentonen' aan te vullen tot een twaalftonige ladder; tot één canonieke versie heeft dat echter niet geleid.

Byte

Veelvouden van bytes
met SI-voorvoegsel			met binair voorvoegsel			afwijking tussen SI en binair
symbool	naam	waarde	symbool	naam	waarde
kB	kilobyte	10001 = 103	KiB	kibibyte	10241 =210	2,4%
MB	megabyte	10002 = 106	MiB	mebibyte	10242 =220	4,9%
GB	gigabyte	10003 = 109	GiB	gibibyte	10243 =230	7,4%
TB	terabyte	10004 = 1012	TiB	tebibyte	10244 =240	10,0%
PB	petabyte	10005 = 1015	PiB	pebibyte	10245 =250	12,6%
EB	exabyte	10006 = 1018	EiB	exbibyte	10246 =260	15,3%
ZB	zettabyte	10007 = 1021	ZiB	zebibyte	10247 =270	18,1%
YB	yottabyte	10008 = 1024	YiB	yobibyte	10248 =280	20,9%
RB	ronnabyte	10009 = 1027	RiB	robibyte	10249 =290	23,8%
QB	quettabyte	100010 = 1030	QiB	quebibyte	102410 =2100	26,8%

Naam	Afkorting	Aantal bytes (sinds 1998)	Aantal bytes (tot 1998)	Naam voor dat aantal (sinds 1998)	Afkorting (sinds 1998)	Verschil
Kilobyte	kB	1 000	1 024	Kibibyte	KiB	2,40%
Yottabyte	YB	1 000 000 000 000 000 000 000 000	1 208 925 819 614 629 174 706 176	Yobibyte	YiB	20,89%

Drie benamingssystemen voor byte-veelvouden

traditioneel niet meer aanbevolen				decimaal SI-norm (vanaf 1998)				binair SI-gedoogd (vanaf 1998)
naam	symbool	aantal bytes		naam	symbool	aantal bytes		naam	symbool	aantal bytes
kilobyte	kB	10241 = 210		kilobyte	kB	10001 = 103		kibibyte	KiB	210 = 1,024·103
...	...	...		...	...	...		...	...	...
yottabite	YB	10248 = 280		yottabite	YB	10008 = 1024		yobibyte	YiB	280 ≈ 1,209·1024

Beste Richardw. Wederom dank voor je overzichtelijke puntsgewijze commentaar. In mijn reactie ga ik uit van mijn onderstaande, n.a.v. jouw hint nog iets meer gecomprimeerde, tabelversie.
- Inderdaad, in die tabel staat (per regel) tweemaal 'kilobyte', 'kB' en '2¹⁰'. Heel bewust, omdat zodoende elk van de drie hier relevante nomenclaturen(naam+symbool) een complete afgeronde beschrijving krijgt. Ik heb heel erg de indruk dat dat voor een zoekende lezer het minste gepuzzel geeft. Comprimeren van de informatie is mooi, maar het moet ophouden wanneer het leesgemak eronder gaat lijden.
- Houdt jouw voorstel echt in dat je die 'blauwkoptabel' in de intro laat staan? Daar hoort dat secondaire aspect (over de veelvoud-aanduidingen) toch helemaal niet thuis? (Ja, het 'staat' wel leuk.)
- Jouw 'halve meter' cijferbrij in plaats van (of naast) 2⁸⁰ heeft geen enkel zinnig doel (lijkt mij), zeker waar er pal naast nog een verduidelijking van de grootte-orde staat: 1024⁸ en 1,209·10²⁴. Heel veel ruimte, voor nul informatie.
"Voordeel...is dat je direct kunt aflezen dat...nu...is, vroeger...was en dat...tegenwoordig...genoemd wordt. Nogmaals, dergelijke absolutistische taal hoort hier niet thuis, is ook heel ver bezijden de praktijk-waarheid. Als de tekst erboven een stuk genuanceerder is, prima; maar de tabel moet dan niet wat anders zeggen/suggeren.

Corrigeren in de artikeltekst:
Geheugengroottes worden altijd uitgedrukt in een numerieke hoeveelheid bytes. De aanduiding kilobytes, megabytes en gigabytes duiden niet altijd op duizendvouden, zoals in het algemene spraakgebruik. (dubbelzinnig!) Zie Wiki-artikelen IEEE en Byte in Engels, Duits en Frans (Critique d'un monopole)

Auteurs: twee slottabellen: 20 dec 2009, 80. 101.105.136
de aanbevolen uitspraak van kibibyte is: kiebiebaait, (niet kiebaaibaait). Let op de hoofdletter in het symbool KiB naast de kleine letter in kB.

         tekst sectie Veelvouden: Rob Hooft (beta en ICT-achtergrond) 8 mei 2003.
         blauwkoptabel: 21 oktober 2009 RomaineBot (hij ook op 13 mei 2010 in apart Veelvoudenartikel).

Drie benamingssystemen voor byte-veelvouden

traditioneel niet meer aanbevolen				decimaal SI-norm (vanaf 1998)				binair SI-gedoogd (vanaf 1998)
naam	symbool	aantal bytes		naam	symbool	aantal bytes		naam	symbool	aantal bytes
kilobyte	kB	10241 = 210		kilobyte	kB	10001 = 103		kibibyte	KiB	210 = 1,024·103
...	...	...		...	...	...		...	...	...
yottabite	YB	10248 = 280		yottabite	YB	10008 = 1024		yobibyte	YiB	280 ≈ 1,209·1024

Drie benamingssystemen voor byte-veelvouden

traditioneel door IEC afgeraden???			decimaal IEC-norm (vanaf 1998)???			binair door IEC incidenteel gedoogd ???
aantal bytes	symbool          naam		aantal bytes	symbool          naam		aantal bytes	symbool          naam
210 = 10241	kB   kilobyte		103 = 10001	kB   kilobyte		210 = 1,024·103	KiB   kibibyte
...	...		...	...		...	...
280 = 10248	YB   yottabite		1024 = 10008	YB   yottabite		280 ≈ 1,209·1024	YiB   yobibyte

@Richardw:   M.b.t. de tabellen in jouw laatste versie-R (mét de blauwkoptabel) versus mijn laatste versie-H (zonder de blauwkoptabel) vind ik in dit overleg tot nu toe geen argumenten die pleiten voor de eerste keuze. Wel omgekeerd, want:
- Versie-R telt in beide tabellen samen 19 kolommen, tegen 12 in versie-H (in een nieuw voorstel hieronder: 11). Zonder enig verlies aan informatie, want de zin van de 3n-nullen-vorm voor 10³ⁿ en de zin van de cijferbrij-vorm voor 2¹⁰ⁿ ontbreekt (is hier nog niet aangetoond).
- Drie van de grijze tabelkoppen in versie-R zijn voor een zoekende gebruiker onbegrijpelijk: waren er vóór 1998 geen tienmachts-bytesaantallen?, ná 1998 geen tweemachts-bytesaantallen??, "dat aantal"???.
- De zin direct boven die grijze kolomkoppen:  "Als...gevolgd wordt, dan geldt..."  is al even mistig. Het lijkt nog het meest op de cirkel:  "Als iemand 'één kilobyte' zegt voor duizend bytes, dan geldt dat 'één kilobyte' gebruikt wordt voor duizend bytes" .
- Korte, onderscheidende benamingen voor de drie systeemvarianten komen in versie-R niet voor; ze zouden goed bruikbaar zijn bij verwijzingen tussen de voorafgaande/toelichtende tekst en de tabel(len).
M.b.t. de tekst in sectie "Veelvouden van bytes":
Over de eerste helft van die tekst heb ik geen opmerkingen. Maar de status van de adviezen/richtlijnen van IEC en IEEE, en de relatie tot het SI, zou ik op een nogal andere manier willen verwoord willen zien. De enige bron/voetnoot verwijst naar de tekst "Prefixes for binary multiples"; in de laatste twee zinnen daarvan staat echt iets anders dan "Sindsdien is het niet meer gewenst....". Engelse, Duitse en Franse Wikipedia-artikelen spreken ook in minder absolute termen over het gebruik van het IEC-systeem: hier vermeld de eerste tabel ook het "JEDEC"-systeem, en hier staat een slotsectie "Critique d'un monopole".   Mede na nadere bestudering van de IEC-IEEE-brontekst kom ik tot een nieuw voorstel, ter vervanging vanaf  "In 1998 besloot..." :

Namen en symbolen voor hoge veelvouden
De in onderstaande tabel onder IEC-norm en IEC-binair vermelde aanduidingen voor byte-veelvouden (evenzo voor bit-veelvouden), zijn in 1998 door het internationale normalisatie-bureau IEC aangewezen als IEC International Standard. Waarop het grote, toonaangevende instituut IEEE besloot het te gaan toepassen in al z'n normvoorschriften.<noot ref>(en) National Prefixes for binary multiples, NIST, ingezien 10 december 2016</ref> Met de kanttekening dat het traditionele systeem (kilobyte = 1024B, etc.) - mits steeds expliciet als zodanig kenbaar - kan worden gebruikt totdat een systeem van binaire voorvoegsels zal zijn aanbevolen door een daarvoor in aanmerking komende normen-instantie.<noot ref>Mega will mean 1 000 000, except that the base-two definition may be used (if such usage is explicitly pointed out on a case-by-case basis) until such time that prefixes for binary multiples are adopted by an appropriate standards body.</ref>

Decimaal   (grondtal 10,  SI)			Binair   (grondtal 2,  niet SI)
aantal bytes machten van 1000	IEC-norm (dubbelzinnig)		aantal bytes machten van 1024	traditioneel-                 binair (dubbelzinnig)	IEC-binair vanaf 1998 (eenduidig)
	symbool naam			symbool naam	symbool naam
103  = 10001	kB    kilobyte		210 = 10241 ≈ 1,02·103	kB    kilobyte	KiB    kibibyte
106  = 10002	MB    megabyte		220 = 10242 ≈ 1,05·106	MB    megabyte	MiB    mebibyte
109  = 10003	GB    gigabyte		230 = 10243 ≈ 1,07·109	GB    gigabyte	GiB    gibibyte
1012 = 10004	TB     terabyte		240 = 10244 ≈ 1,10·1012	TB     terabyte	TiB     tebibyte
1015 = 10005	PB     petabyte		250 = 10245 ≈ 1,13·1015	PB     petabyte	PiB     pebibyte
1018 = 10006	EB     exabyte		260 = 10246 ≈ 1,15·1018	EB     exabyte	EiB     exbibyte
1021 = 10007	ZB     zettabyte		270 = 10247 ≈ 1,18·1021	ZB     zettabyte	ZiB     zebibyte
1024 = 10008	YB     yottabyte		280 = 10248 ≈ 1,21·1024	YB     yottabyte	YiB     yobibyte

De voorvoegsels kibi, ..., yobi maken (in tegenstelling tot de voorvoegsels kilo, ..., yotta) géén deel uit van het SI, het moderne metrisch/decimale eenhedenstelsel.   De naam 'kibibyte' is gevormd uit 'kilo(binary)-byte, aanbevolen uitspraak:  kiebiebaait (niet kiebaaibaait).   Het symbool KiB heeft een hoofdletter K, het symbool kB niet.
Voor hoge veelvouden van "bit" (1 byte = 8 bits) zijn door IEC en IEEE dezelfde voorvoegsels aangewezen als voor "byte".

NB: De meerwaarde van een apart artikel 'Veelvouden van bytes' ontgaat me geheel. De titel kan wat mij betreft blijven, met alleen een doorverwijzing naar de laatste sectie in "Byte". Kun jij kijken of er daarbij nog iets zinvols verloren gaat? --

aantal bytes    macht van 1024	traditioneel     (niet SI)	binair   (IEC-1998)		aantal bytes macht van 1000	decimaal  (conform SI)
	symbool naam	symbool naam			symbool naam
210 = 10241 = 1,024·103	kB     kilobyte	KiB     kibibyte		103 = 10001	kB     kilobyte
...	...	...		...	...
280 = 10248 ≈ 1,209·1024	YB     yottabyte	YiB     yobibite		1024 = 10008	YB     yottabite

aantal bytes    macht van 1024	traditioneel     (niet SI)	binair   (IEC-1998)		aantal bytes macht van 1000	decimaal  (conform SI)
	symbool naam	symbool naam			symbool naam
210 = 10241 = 1,024·103	kB     kilobyte	KiB     kibibyte		103 = 10001	kB     kilobyte
...	...	...		...	...
280 = 10248 ≈ 1,209·1024	YB     yottabyte	YiB     yobibite		1024 = 10008	YB     yottabite

Prefixentabel versie-H-10dec

decimaal   (grondtal 10,  SI)			binair   (grondtal 2,  niet SI)
aantal bytes machten van      1000	IEC-norm voor alle IEEE-      standaarden tweeduidig		aantal bytes         machten van              1024	traditioneel-             binair tweeduidig	IEC-binair vanaf 1998 eenduidig
	symbool naam			symbool naam	symbool naam
103 = 10001	kB     kilobyte		210 = 10241 = 1,024·103	kB     kilobyte	KiB     kibibyte
...	...		...	...	...
1024 = 10008	YB     yottabite		280 = 10248 ≈ 1,209·1024	YB     yottabyte	YiB     yobibite

Prefixentabel versie-H-10dec align

Decimaal   (grondtal 10,  SI)			Binair   (grondtal 2,  niet SI)
aantal bytes machten van 1000	IEC-norm (dubbelzinnig)		aantal bytes machten van 1024	traditioneel-                 binair (dubbelzinnig)	IEC-binair vanaf 1998 (eenduidig)
	symbool naam			symbool naam	symbool naam
103  = 10001	kB    kilobyte		210 = 10241 ≈ 1,02·103	kB    kilobyte	KiB    kibibyte
106  = 10002	MB    megabyte		220 = 10242 ≈ 1,05·106	MB    megabyte	MiB    mebibyte
109  = 10003	GB    gigabyte		230 = 10243 ≈ 1,07·109	GB    gigabyte	GiB    gibibyte
1012 = 10004	TB     terabyte		240 = 10244 ≈ 1,10·1012	TB     terabyte	TiB     tebibyte
1015 = 10005	PB     petabyte		250 = 10245 ≈ 1,13·1015	PB     petabyte	PiB     pebibyte
1018 = 10006	EB     exabyte		260 = 10246 ≈ 1,15·1018	EB     exabyte	EiB     exbibyte
1021 = 10007	ZB     zettabyte		270 = 10247 ≈ 1,18·1021	ZB     zettabyte	ZiB     zebibyte
1024 = 10008	YB     yottabyte		280 = 10248 ≈ 1,21·1024	YB     yottabyte	YiB     yobibyte

Toelichting bij artikelwijziging

De intro-tabel is uitgebreid, en verplaatst naar sectie 'Veelvouden'. Tekst aldaar meer aansluitend gemaakt bij de gegevens uit deze bron (voetnoot).
Tabelkolommen 1024^1,...8 en 1000^1,...,8 uit vorige versies gehandhaafd (Het namensysteem heeft stappen van 1024 en van 1000, dus de rangnummers van het systeem zijn de exponenten bij grondtallen 1024 en 1000. Ook wegens: tera-tetra, peta-penta, exa-six, zetta-sept, yotta-octa.)
Symbool en naam horen hier bij elkaar, dus in één kolom; daarnaast juist een scheiding tussen Decimale (de voorkeursnorm voorop) en Binaire aanduidingssystemen.

Vervolgens: ik zou in de tabel geen machten van 1000 of 1024 opnemen. Dat maakt het alleen maar onoverzichtelijker. De grondtallen zijn 10 en 2.
Hesselp: Over opname van de kolommen met 10241,...8 en 1001,...,8 heb ik ook even gedubt. Het namensysteem werkt met stappen van 1024 en van 1000, dus de rangnummers van het systeem zijn de exponenten bij de grondtallen 1024 en 1000. Dit zit ook in de bijna-gelijkheid van tera-tetra-4, peta-penta-5, yotta-octa-8. Lijkt me aardig om dat zichtbaar te laten zijn.
Richardw: Aardig, misschien – maar is het nuttig voor dit artikel?

Ook 'traditioneel' is wat misleidend, omdat ook vóór de kibibyte en dergelijke geïntroduceerd werden, kilo soms voor 1000 gebruikt werd. AAAAAAAAAA Heb je gelijk in. Daarom in mijn latere voorstel alleen de combi-naam "traditioneel-binair".

'Onbegrijpelijke tabelkoppen' vind ik ook wat resoluut: dat 'naam voor dat aantal' terugslaat op 'aantal bytes (voor 1998, in bepaalde gevallen)' lijkt mij niet onduidelijk. Dat betekent overigens niet dat ze niet aangepast kunnen worden. In jouw voorstel staan de kolommen rechts van de lege kolom eigenlijk los van die links van de lege kolom. AAAAAAAA Ja, die scheiding lijkt me niet onnodig. Alleen de donkere kop verbind beide delen.

Het inkorten van de getallen kan prima. Als combinatie zou je kunnen denken aan onderstaande tabel.

Verder zou ik de tabel zoveel mogelijk een 'standaard' wikitabel laten zijn en niet zelf kleuren en zo gaan benoemen. AAAAAAAAAA Is dat echt een groot bezwaar? zijn daar wiki-voorschriften/aanwijzingen over te vinden. Het tweetal grijstinten vind ik hier functioneel. Ook 'knutselen' met rijen nbsp's liever niet doen – te veel kans op resultaten die afhankelijk zijn van niet te beïnvloeden externe omstandigheden. AAAAAAAA Er zijn meen ik nog andere manieen om tekst in een cel te centreren, moet ik nog opzoeken.

Over opname van de kolommen met 10241,...8 en 1001,...,8 heb ik ook even gedubt. Het namensysteem werkt met stappen van 1024 en van 1000, dus de rangnummers van het systeem zijn de exponenten bij de grondtallen 1024 en 1000. Dit zit ook in de bijna-gelijkheid van tera-tetra-4, peta-penta-5, yotta-octa-8. Lijkt me aardig om dat zichtbaar te laten zijn. --

Hesselp (overleg) 9 dec 2016 16:49 (CET)Aardig, misschien – maar is het nuttig voor dit artikel? Verder zou ik de tabel zoveel mogelijk een 'standaard' wikitabel laten zijn en niet zelf kleuren en zo gaan benoemen. Ook 'knutselen' met rijen nbsp's liever niet doen – te veel kans op resultaten die afhankelijk zijn van niet te beïnvloeden externe omstandigheden. Wat denk je van (tabelvoorstel)

Toch fijn dat je daarbij volledig voorbij gaat aan mijn opmerkingen van 9 december 17.46 uur. Dat je decimaal links zet, geen probleem. Dat het voorvoegsel 'peta' een relatie heeft met 'penta' (peta = (103)5) geldt algemeen voor SI-voorvoegsels en heeft niet direct met bits of bytes te maken. Onder een kopje 'binair' is het niet nodig om achter 'traditioneel' ook nogeens 'binair' te plakken. Uitlijnen met nbsp's geeft niet altijd de gewenste resultaten – op mijn scherm 'zweeft' een en ander al. Richard 11 dec 2016 12:41 (CET)

Jammer dat je met wat minder zondagse woorden begint, onze correspondentie leek me juist plezierig constructief.
Op jouw "zou ik de tabel zoveel mogelijk 'standaard' laten zijn" en "liever niet 'knutselen' met rijen nbsp's", heb ik het aantal grijstinten in de tabelkop van 2 naar 1 teruggebracht, en het aantal nbsp's van 45 naar 13. Dat was, met mijn beperkte kennis van de mogelijkheden, zoveel mogelijk. Want ik hecht aan het gebruiken van 'opmaak'-faciliteiten ter (veronderstelde) verhoging van leesgemak (hier ging het om variatie in lettertypen in de kop, en het vermijden van een verticaal tussen symbool-naam-combinaties).
Met het "al zweven van een en ander" zul je doelen (?) op het niet perfect uitgelijnd staan van de beginletters k, m en g; dat betaalde ik voor het vervallen van de scheidingslijn. Jouw omwisseling van symboolkolom en naamkolom leidt tot een kleinere ruimte tussen naam en bijbehorend symbool; op zich mooi!. Overigens zou ik het réchts uitlijnen van alle ..B's en van alle ...byte's net iets rustiger vinden dan het huidige links-uitlijnen, maar met mijn nbsp's werd dat wel erg omslachtig.
Waarom je de 'derde decimaal' weer toevoegt, begrijp ik niet (je eerdere argument mbt. 10% geldt niet na het ≈-teken). En evenmin het terugzetten van het NE babbelzinnetje "Nodeloos te zeggen......meebrengt." alsook het onlogische "bovendien".
Over het m.i. NE-zijn van de woordkeuze "de nieuwe standaard", tweemaal aan het slot, schreef ik al eerder. Valt onder 'promotie', zie ook [18]. De waarschuwing in de twee slotzinnen is goedbedoeld, maar hoort hier m.i. niet.
Ik zal zelf nu geen wijzigingen in het artikel aanbrengen, het is een heel stuk beter dan voorheen. --

binair (grondtal 2, niet conform SI)					decimaal (grondtal 10, conform SI)
aantal bytes	traditioneel		volgens IEC-1998		aantal bytes	naam	symbool
	naam	symbool	naam	symbool
	(tweeduidig)		(eenduidig)			(tweeduidig)
210 = 1,024 × 103	kilobyte	kB	kibibyte	KiB	103	kilobyte	kB
220 ≈ 1,049 × 106	megabyte	MB	mebibyte	MiB	106	megabyte	MB
230 ≈ 1,074 × 109	gigabyte	GB	gibibyte	GiB	109	gigabyte	GB
240 ≈ 1,100 × 1012	terabyte	kB	tebibyte	KiB	1012	terabyte	kB
250 ≈ 1,126 × 1015	petabyte	MB	pebibyte	MiB	1015	petabyte	MB
260 ≈ 1,153 × 1018	exabyte	GB	exibyte	GiB	1018	exabyte	GB
270 ≈ 1,181 × 1021	zettabyte	MB	zebibyte	MiB	1021	zettabyte	MB
280 ≈ 1,209 × 1024	yottabyte	GB	yobibyte	GiB	1024	yottabyte	GB

? Richard 9 dec 2016 17:46 (CET)

__________________________________________________________

Alternatieve tabel-indeling:

traditioneel			decimaal (SI)			binair
aantal bytes	symbool          naam		aantal bytes	symbool          naam		aantal bytes	symbool          naam
210 = 10241	kB   kilobyte		103 = 10001	kB   kilobyte		210 = 1,024·103	KiB   kibibyte
...	...		...	...		...	...
280 = 10248	YB   yottabite		1024 = 10008	YB   yottabite		280 ≈ 1,209·1024	YiB   yobibyte

Uitwiskeling

Deze pagina is verwijderd. Ter informatie wordt het verwijderingslogboek en het hernoemingslogboek van deze pagina hieronder weergegeven.

8 dec 2016 12:24 Dqfn13 (Overleg | bijdragen) heeft de pagina Uitwiskeling verwijderd (Beoordelingssessie pagina's 28-11-2016: Mogelijk wel relevant als 32 jaar oud wiskundetijdshrift voor -docenten, maar opmaak voldeed bij lange niet.) 11 aug 2015 15:52 IJzeren Jan (Overleg | bijdragen) heeft de pagina Uitwiskeling verwijderd (Schending van auteursrechten of geplaatst zonder toestemming, link: De inhoud was: "{{nuweg|1=Inbreuk auteursrecht of geplaatst zonder toestemming [http://www.uitwiskeling.be].}} {{wiu||2=2015|3=08|4=10...)

Wikipedia:Te beoordelen pagina's/Toegevoegd 20161114

Uitwiskeling - NE / promo - RonaldB (overleg) 14 nov 2016 12:58 (CET)

Tegen Tegen verwijderen - ik paste pagina aan zodat zichtbaar is dat dit info en geen promo is (vond inspiratie op de goedgekeurde wikipediapagina Pythagoras(tijdschrift)), vulde de info ook verder aan, als onvoldoende aanpassingen, graag overleg - Iguanodon67 (overleg) 26 nov 2016 16:06 (CET)

Tegen verwijderen Het artikel geeft zinnige informatie aan wie - zoals ikzelf - interesse heeft in achtergronden van wiskunde-onderwijs en daarbij ergens stuit op de naam 'Uitwiskeling'. Het heeft niets met promo te maken; het geeft anderssoortige informatie dan de eigen website van het blad. Dus wel E. Het blad is een communicatie-kanaal van goede kwaliteit, betrekking hebbend op een niet onbelangrijk schoolvak. Al ruim dertig jaar, dus bepaald geen eendagsvlieg. -- Hesselp (overleg) 28 nov 2016 11:54 (CET)

Opmerking zie ook hier - RonaldB (overleg) 2 dec 2016 01:03 (CET)

Reeks (wiskunde)

De term reeks wordt in de wiskunde gebruikt voor een bepaalde wijze van aanduiden van getallenrijen en ook van enkelvoudige getallen (speciaal waar het gaat om niet-rationale getallen).
Daarnaast komt reeks voor als synoniem van rij .

Reeks als aanduidingsvorm

Terminologie
Met  de partieelsommenrij van rij a  wordt bedoeld de rij met als termen: a1, a1+a2, a1+a2+a3, ... .
Met  de verschillenrij van rij a  wordt bedoeld de rij met als termen: a1, a2-a1, a3-a2, ... .
Zo is elke rij de partieelsommenrij van z'n verschillenrij. En ook is elke rij de verschillenrij van z'n partieelsommenrij.
Definitie: De aanduiding van een getallenrij door middel van z'n verschillenrij (en niet rechtstreeks door de termen zelf) heet reeksvorm of kortweg reeks.
Ook de aanduiding van de eventuele limiet van een door z'n verschillenrij aangeduide rij, wordt wel "reeksvoorstelling", "reeksvorm" of "reeks" genoemd.

Voorzover het gaat om schriftelijke aanduidingen in formulevorm betreft het in beide situaties de volgende vormen:

$\sum a$  ,    $\sum$$_{i}\ a_{i}$  ,    $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$    (sigmavormen),       $a_{1}{+}\,a_{2}{+}\,a_{3}{+}\cdots$  ,    $a_{1}{+}\,a_{2}{+}\cdots {+}\,a_{i}{+}\cdots$    (plussenvormen) .

Uniek en allesbehalve uniek
Elke rij heeft precies één verschillenrij, en dus ook één unieke 'reeksvoorstelling' (afgezien van enkele detail-varianten).
Daarentegen zijn er bij elk getal talloos veel verschillende rijen met dat getal als som (als limiet van z'n parteelsommenrij). Zodoende heeft elk getal talloos veel verschillende 'reeksvoorstellingen'.

Ondubbelzinnige formulevormen De dubbele betekenis van de hierboven getoonde vormen (rij ofwel getal) kan leiden tot onzekerheid of misverstand, vooral wanneer de bedoelde betekenis onvoldoende uit de context is op te maken. In plaats van bovengenoemde dubbelzinnige reeksvormen zijn ook de volgende niet-dubbelzinnige vormen te gebruiken:

Convergentie, convergent zijn, convergeren van een reeks

Met "de reeks Σa convergeert / is convergent"
<reff> Idem: "de reeks sigma a is convergent", "de reeks a1+a2+...convergeert" en "de rij a1+a2+... is convergent"</reff>
wordt bedoeld dat de partieelsommenrij van rij a (dat is de rij met als termen a1, a1+a2, a1+a2+a3, ..., ofwel de rij (a1+...+an)n=1,2,...) een limiet heeft
<reff> eindige limiet</reff>
/convergeert / convergent is.

Termen van een reeks, som van een reeks

In afwijking van het taalgebruik bij 'convergentie' geldt:
- "de termen van reeks Σa" staat voor "de termen van rij a"
- "de som van reeks Σa" staat voor "de som van rij a".

Uitbreiding: reeksen met functies (i.p.v. getallen) als termen

Een voorbeeld: de bekende getallenrij van omgekeerde faculteiten: ............. kan gegeneraliseerd tot de functie-rij: ............. ; hiermee is voor elke waarde van x telkens een andere getallenrij bepaald.
Net als bij de getallenrijen is ook elke functierij aan te duiden door middel van z'n eerste term en de opvolgende 'verschilfuncties'. Zo'n aanduiding kan dan een reeks (functiereeks) genoemd worden.
Zoals een getallenrij een limietgetal kan hebben, zo kan een functierij ook een 'limietfunctie' hebben. Dat is de functie die aan iedere domeinwaarde x toevoegt: de limiet (indien bestaand) van de bij die x horende getallenrij.
Ook kan iedere functie gezien worden als limietfunctie van talloos veel verschillende functierijen, en dus ook aangeduid worden als limietfunctie van de partieelsommenrij van talloos veel verschillende functierijen. Bij elke functie horen vele 'reeksvoorstellingen'.
Reeksontwikkelingen. Als sprake is van een reeks-ontwikkeling van een functie, gaat het om een heel speciale keuze uit z'n mogelijke reeksvoorstellingen. Zo gaat het bij de mclaurin-ontwikkeling van de functie exp om de opsplitsing in de functietermen 1, x, x2/2!, ... . En de ................

Reeks (wiskunde),   concept 8 augustus 2016

Het woord reeks komt in wiskundetaal voor als
- naam voor een speciaal soort aanduidingen voor getallen (en functies), veelal:  $\scriptstyle \sum$ ${a}$  of  $a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots$  ,
en - minder dan voorheen - als
- synoniem voor rij  (meestal een oneindige rij, een afbeelding op de natuurlijke getallen).

            'REEKS'  ALS NAAM VOOR BEPAALDE GETAL-AANDUIDINGEN
De combinatie van
(1) een aanduiding voor de afbeelding die aan een rij z'n partieelsommenlimiet^noot1 toevoegt,  en
(2) een aanduiding voor een getallenrij (of een rij functies) als operand bij die afbeelding,
wordt  reeks  of  reeksvorm  genoemd.   Vrijwel steeds betreft dit een van de volgende formulevormen:

$\sum a$  ,    $\sum$$_{i}\ a_{i}$  ,    $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$    (sigmavormen),       $a_{1}{+}\,a_{2}{+}\,a_{3}{+}\cdots$  ,    $a_{1}{+}\,a_{2}{+}\cdots {+}\,a_{i}{+}\cdots$    (plussenvormen) .

Als de partieelsommen van de operand-rij naar een limiet gaan, heet de reeks/reeksvorm convergent (of convergerend), en staat de vorm als geheel voor die limietwaarde.  Zo niet, dan heet de vorm divergent (of divergerend)^noot3, en is betekenisloos.
Voor de reeksvorm ter aanduiding van een getal als limiet van een zekere rij $u$,  wordt gekozen in die gevallen waarin de verschillenrij  $u_{1},\,u_{2}{-}u_{1},\,u_{3}{-}u_{2},\cdots$   eenvoudiger te beschrijven is dan rij $u$ (de partieelsommenrij van die verschillenrij) zelf.

Rekenregels voor convergente reeksvormen.^noot2  De uitdrukkingen in linker- en rechterlid duiden hetzelfde getal aan:

$c\ \sum$$_{i}\ a_{i}\ =\,\sum$$_{i}\ (c\ a_{i})$

$\sum$$_{i}\ a_{i}\ +\,\sum$$_{i}\ b_{i}\ =\,\sum$$_{i}\ (a_{i}+b_{i})$

$\sum$$_{i}\ a_{i}\ \times \,\sum$$_{i}\ b_{i}\ =\,\sum$$_{i}\ (a_{1}b_{i}+\cdots +a_{i}b_{1})$     (mits $(|a_{i}|)$ of $(|b_{i}|)$ sommeerbaar).

Let op.  Bovengenoemde sigmavormen en plussenvormen komen ook voor ter aanduiding van de partieelsommenrij zélf.
Ondubbelzinnige notaties voor de partieelsommenrij van een rij $a\scriptstyle$ zijn:

$a_{1},\ \ a_{1}{+}\,a_{2},\ \ a_{1}{+}\,a_{2}{+}\,a_{3},\ \cdots$           of          $(a_{1}{+}\cdots {+}\,a_{n})_{n=1,2,\cdots }$          of          $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)_{n=1,2,\cdots }.$

            'REEKS'  ALS SYNONIEM VOOR RIJ
In oudere - Latijnse - teksten komt series alleen in de rij-betekenis voor.  In Nederlandse schoolboeken is vanaf omstreeks 1960 (ter voorkoming van meerduidigheid) 'reeks' massaal vervangen door 'rij', zonder dat de betekenis veranderde. Zie hier.
'Reeks'  in de rij-betekenis komt weinig voor wanneer tussen de termen geen optelling gedefinieerd is.  

            'REEKS'  IN SAMENGESTELDE AANDUIDINGEN
Samengestelde aanduidingen met 'reeks', zoals daar zijn:
- oneindige reeks, rekenkundige reeks, meetkundige reeks, harmonische reeks, hyperharmonische reeks, alternerende reeks,
   monotone reeks, stijgende reeks, sommeerbare reeks,
- de partieelsommen van een reeks, de partieelsommenrij van een reeks, de som van een reeks, de termen van een reeks,
   de convergentiesnelheid van een reeks, convergentietests voor reeksen,
- (als het gaat om rijen van functies in plaats van getallenrijen:) machtreeks, hypergeometrische reeks, goniometrische reeks,
   fourierreeks, de taylorreeks van ... , de maclaurinreeks van ..., de fourierreeks van ..., de reeksontwikkeling van ... ,
laten zich vaak op twee manieren interpreteren. Te weten:
a. Het woord 'reeks' is een variant van 'rij', zeker in oude(re) teksten.
b. Het woord 'reeks' betreft een sigmavorm of plussenvorm. Waarbij aangemerkt dient te worden dat bijvoorbeeld  'meetkundige reeks'  gelezen moet als:  reeks(reeksvorm) met een meetkundige rij als operand.
Want een vorm (een aanduiding voor een getal) kan zelf niet meetkundig, stijgend, harmonisch, etc. zijn.
Combinaties met convergent en divergent vereisen nog extra aandacht: convergente rij staat voor een limiethebbende rij, terwijl convergente reeks (meestal) staat voor een reeksvorm met een somhebbende rij als operand.^noot3

            CAUCHY'S ONDERSCHEID TUSSEN 'CONVERGEREN' EN 'CONVERGENT'  ALS BRON VAN VERWARRING
De Fransman Cauchy (1789-1857), die belangrijke bijdragen leverde aan de formalisering van de infinitesimaalrekening, hanteerde de volgende terminologie^noot4:
- convergeren, convergeert, convergerend   voor: het naar een limiet gaan van een rij (Frans: suite)
- reeks (Frans: série)   voor: een oneindige rij grootheden (On appelle série une suite indéfinie de quantités) , en dus voor een
   rij waarvan de termen optelbaar zijn (waaronder getallenrijen)
- convergent   voor: het naar een limiet gaan van de partieelsommen van een reeks^noot5
- som van de reeks   voor: de partieelsommenlimiet van een convergente reeks.
Cauchy's opmerkelijke keuze voor het adjectief 'convergent' heeft tot veel verwarring geleid. Het betekenisverschil met 'convergeren' is door lang niet alle wiskundigen gevolgd. Sommigen gebruiken sommeerbaar of somhebbend voor het 'convergent' van Cauchy. Bij anderen is een taalgebruik ontstaan waarin 'reeks' ook kan slaan op een sigmavorm of een plussenvorm ter aanduiding van de som van een gegeven rij. In combinatie met zo'n reeksvorm betekent zowel 'convergeren' als 'convergent' dat de in die vorm voorkomende rij een som heeft.
Verwarring is te voorkomen door de term 'reeks' te vermijden. En door te kiezen voor '(absoluut)sommeerbaar' als (de absolute waarden van) de termen van een rij een som hebben.

            NOTEN
noot1. De limiet van de uit rij $a$ gevormde rij   $a_{1},\ \ a_{1}{+}\,a_{2},\ \ a_{1}{+}\,a_{2}{+}\,a_{3},\ \cdots$  .

noot2. Niet te verwarren met de rekenregels voor rijlimiet-vormen  ($a$ en $b$ zijn convergerende rijen, $c$ is een getal):
        $c\cdot \lim a\ =\ \lim \,(c{\cdot }a_{n})_{n=1,2,\cdots }$
        $\lim a+\lim b\ =\ \lim \,(a_{n}{+}b_{n})_{n=1,2,\cdots }$
        $\lim a\times \lim b\ =\ \lim \,(a_{n}\ b_{n})_{n=1,2,\cdots }$
        $\lim a\ /\ \lim b\ =\ \lim \,(a_{n}/b_{n})_{n=1,2,\cdots }$   (mits rij $b$ geen nulrij).

noot3. C.F. Gauss (1777-1855), 'Werke', Abt.I, Band X, S.400:  Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung .... .  Gauss gebruikt hier Reihe waar later met dezelfde betekenis Folge de voorkeur zou krijgen.

noot4. Cours d'analyse, 1821, p.123

noot5. De zin waarin Cauchy de term 'convergente' introduceert, staat in toekomende tijd (Si, pour des valeurs de  $n$  toujours croissantes, la somme  $s_{n}$  s'approche indéfiniment d'une certaine limite  $s$ , la série sera dite  $convergente$ , et la limite en question s'appellera la  $somme$  de la série.)  Bij het introduceren van de term 'série' koos hij echter voor de meer neutrale tegenwoordige tijd.

            BRONNEN
- M.J. Belinfante, Convergentie en som van oneindige Reeksen, 1925, Euclides 1-4 pp.142-160.   Pag. 143:   "Wat is een oneindige reeks? De tegenwoordige wiskunde beantwoordt deze vraag aldus: een oneindige reeks is een voorschrift dat aan elk natuurlijk getal een grootheid toeordent."   Pag. 146:   "Al naar nu bij het onderzoek van een oneindige reeks het voornaamste doel is het bedrag van de opeenvolgende termen te leeren kennen, dan wel in hoofdzaak het bestaan van een som ons interesseert, spreekt men van fundamentaalreeks en van somreeks. Bij de laatste verbindt men de termen door + teekens."
- E.J. Dijksterhuis, 1926-'27, Boekbespreking in Bijvoegsel van ... onderwijsbelangen jaargang 3, afl. 3-4, p.98-101 (gecomprimeerd citaat:) het beschouwen van een oneindige reeks als een uitdrukking in plaats van als een rij, lijkt minder gewenscht.
- H.B.A. Bockwinkel, Kollege integraalrekening, 1932, p.3:   "De uitdrukking   u₁ + u₂ + u₃ + ···   of  Σ₁^∞ u_n   wordt een oneindige reeks genoemd. Wat voor betekenis die uitdrukkingen a priori in de gedachten van de schrijver hebben, wordt men niet gewaar.
- D.A.Quadling, Mathematical analysis (edities 1955 - 1968):   "When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES."   (Als een zekere rij beschouwd wordt in relatie tot z'n partieelsommenrij, wordt er vaak de aanduiding oneindige reeks voor gebruikt.)
- P.J.G. Vredenduin, 1959-'60, Vakblad Euclides pag. 57-59: jrg. 35, nr. 2, p. 57-59 Citaten: "In het Nederlandse V.H.M.O. wordt tussen rijen en reeksen doorgaans geen duidelijk onderscheid gemaakt."     "....de verwarring waar thans het Hoger Onderwijs over klaagt, dreigt dan zijn intrede bij het V.H.M.O. te doen."     "Dit voorstel is simpel en radicaal: gebruik de term reeks niet......De woorden convergent en divergent zijn nu overbodig geworden."
- P.G.J. Vredenduin, Rij en reeks, 1967, Euclides 43-1 pp.22-23:   "De moeilijkheid, waarmee de nomenclatuurcommissie zat, is het geven van een verantwoorde definitie van een reeks. Van der Blij omzeilt dit op handige wijze. Hij definieert helemaal niet, wat een reeks is. Wat hij definieert is alleen:  a. convergente reeks,  b. som van een convergente reeks,  c. divergente reeks."
- M. Spivak, Calculus (edities 1967-2006):   "The statement that {a_n} is, or is not, summable is conventially replaced by the statement that the series   Σ_{n =1}^∞ a_n   does, or does not, converge. This terminology is somewhat peculiar, because………."   (De bewering dat   {a_n}   al dan niet sommeerbaar is, wordt traditioneel vervangen door de bewering dat de reeks   Σ_{n =1}^∞ a_n   al dan niet convergeert. Deze terminologie is enigszins eigenaardig, omdat .....)
- N. G. de Bruijn, Bijlage college Taal en Struktuur van de Wiskunde, deel V-21, 1978:   "Het taalgebruik ten aanzien van reeksen is traditioneel slecht."
- A.C.M. van Rooij, Analyse voor Beginners, 1986 Epsilon-uitgaven; (Het woord 'reeks' blijkt gemist te kunnen worden.)
- H.N. Pot, Wat reeksen zijn, is niet te zeggen, NAW 2008
- A.C.M. van Rooij, Wat reeksen zijn, is niet te zeggen, NAW 2009:   "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord ‘convergent’ niet in twee betekenissen gebruikt."
- Hans Maassen, Calculus 1 en 2, 2004, pag.42: "Een uitdrukking als  a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ∙ ∙ ∙  heet een reeks."
- WikiWoordenboek, 2010:   Reeks (wiskunde) een opeenvolgende rij van getallen   [toegevoegd 30 sep 2016, Hesselp]
- Lijst van dertig pogingen tot betekenisomschrijving van de term reeks sectie 16
- REEKS en CONVERGENT in Nederlandse schoolboeken, 1900 - 1970 sectie 18 .

Bij plaatsing van het bovenstaande ware de bronvermeldingen sterk te reduceren. -- Hesselp (overleg) 8 aug 2016 16:49 (CEST)
Hersteld, na inbraak door The Banner. -- Hesselp (overleg) 8 aug 2016 18:46 (CEST)

Het gaat niet om afspraken, maar om wat de gebruikelijke voorrang is tussen notatie-varianten

De huidige tekst is lang niet slecht in vergelijking met wat je elders wel ziet. Toch lijken me nog zeer essentiële verbeteringen mogelijk. Graag commentaar op onderstaande punten.

A. Bij regel 1: "...is een afspraak...".
Al (veel) langer dan een eeuw wordt er over deze kwestie gesproken en geschreven alsof het om een "afspraak" zou gaan. Echter, nog nimmer is boven water gebracht wanneer, waar, door wie, en bij welke gelegenheid die afspraak gemaakt is. Staat daar iets van op schrift?
En wanneer en door wie is besloten tot vervanging van (wat in de artikeltekst genoemd wordt) de 'oudere volgorde' door de 'moderne volgorde'? Is toen echt besloten dat voortaan 6ab : 2b gelezen dient te worden als gelijkwaardig met 3ab² ipv. 3a ?
Waar over het onderwerp 'bewerkingsvolgorde' geschreven is, kan dit toch alleen maar gezien als pogingen tot codificatie van wat door de auteur als usance ervaren wordt, binnen een (meestal onvermelde) doelgroep? (In de vroegere ULO/MULO-eindexamens kwamen expliciet opgaven als 12 : 3 × 4 = ... voor. Maar nooit heb ik kunnen vinden waar/wanneer formeel het 'goede' antwoord is overeengekomen.)

B. Bij regel 1: "...de volgorde waarin bewerkingen...".
In feite gaat het niet om de volgorde van bewerkingen als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, etc., maar om de prioriteit tussen de verschillende aanduidings-wijzen van de diverse (binaire en unaire) operaties. Is er verschil tussen:
a : b × c en a : b · c en a : bc en a ÷ b × c en a ÷ b · c en a ÷ bc en a / b × c en a / b · c en a / bc ? Kan de prioriteit afhangen van de gekozen spatiëring?
Is 4 ^ 3 ^ 2 gelijk aan 4 ^ 3 ² ?
Is "driemaal vijf plus twintig" wel of niet evenveel als "driemaal vijfentwintig" ?

C. Bij regel 2: "...het uitwerken van een rekenkundige expressie."
Het gaat hier net zo goed om notatie-gewoonten bij algebraïsche als bij rekenkundige uitdrukkingen.
En ook dat 'uitwerken' doet niet ter zake: wat is er uit te werken aan (1 + 2 × π) of aan (1 + 2 sqrt 3).

D. Bij het interpreteren van een wiskundige expressie voor wat betreft de bewerkingsvolgorde, gaat het niet om het toepassen van universele regels maar om het inschatten van de prioriteiten die bij het schrijven van de expressie bedoeld zullen zijn.

E. De slotregel van het artikel zegt: "de notatie 3/5x wordt afgeraden". Zou hetzelfde niet ook gezegd kunnen (moeten?) worden mbt. de notatie 3 : 5x ?
--

Reacties aan Blueknight, 22 april 2017

BlueKnight   Ik zal hier proberen je vraag te beantwoorden naar "een specifieke bron die aangeeft dat die standaardteksten niet zo best kloppen".
Bronnen die expliciet kritiek uiten op de gebruikelijke standaardteksten, staan hierboven vermeld in deze sectie (concept 8 augustus 2016). Ik verwijs naar hetgeen daar vermeld staat in het onderdeel BRONNEN bij de auteurs:
E.J.Dijksterhuis,   H.B.A. Bockwinkel,   P.G.J. Vredenduin,   Michael Spivak,   N.G. de Bruijn,   H.N. Pot,   A.C.M. van Rooij.   De laatste is wellicht het meest uitgesproken en toegelicht. --

Blueknight   Dank voor snelle correctie van de niet geheel correct ingevoerde link. Excuus aan wie hier problemen mee had. --

Cesàro-Mittel

Was im Artikel von "Cesàro-Summe" und "Cesàro-summierbar" gesagt wird, ist - meiner Meinung - fehl.  Die Verbindung mit dem schwierige, nirgendwo klar definierte, heutige Konzept 'Reihe', macht eine klare Auseinandersetzung nicht einfach (nicht möglich?).
Eine gegebene Reihe wird mit zwei verschiedene Folgen (und bisweilen mit ein Limes-Zahl) verbunden gedacht, aber was die 'Reihe' selbst ist.....??

Kann man sagen das folgenden Aussagen allgemein als korrekt gesehen werden? :
1. Beim Konvergenz einer 'Reihe' handelt es sich um die Konvergenz (der Folge) ihrer Partialsummen.
2. Beim Grenzwert/Limes einer 'Reihe' handelt es sich um ....? (nicht definiert, niemals gebraucht).
3. Beim Summierbarkeit einer 'Reihe' handelt es sich um die Summierbarkeit (der Folge) ihrer Glieder.
4. Beim Summe einer 'Reihe' handelt es sich um die Summe (der Folge) ihrer Glieder.
5. Beim Cesàro-Konvergenz einer 'Reihe' handelt es sich um ....? (nicht definiert, niemals gebraucht).
6. Beim Cesàro-Grenzwert/Limes einer 'Reihe' handelt es sich um ....? (nicht definiert, niemals gebraucht).
7. Beim Cesàro-Summierbarkeit einer 'Reihe' handelt es sich um die Cesàro-Summierbarkeit (der Folge) ihrer Glieder.
4. Beim Cesàro-Summe einer 'Reihe' handelt es sich um die Cesàro-Summe (der Folge) ihrer Glieder.

Der heutige Artikel hat einmal 'Cesàro-Summe' und viermal 'Cesàro-Summierbarkeit'. Alles was davon gesagt wird, ist fehl (meiner Meinung); sehe meinem Vorschlag hierunten.
Ausserdem: man kann nicht definieren was 'Cesàro-Mittel' sind. Nur was 'die Cesàro-Mittel einer gegebenen Folge'  sind. Nämlich: die Glieder der aus der gegebenen Folge ($a_{n}$) gebildeten Folge $($($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n)_{n=1,2,\cdots }$ .

Wer hat Kommentar beim Vorschlag hierunter  (und wer will Sprache und Grammatik korrigieren? Danke!):

            C e s à r o - M i t t e l
Mit Cesàro-Mittel einer Folge (oder Cesàro-Durchschnitte einer Folge), werden die arithmetischen Mittel der Glieder ihrer endlichen Anfangsstücke angedeutet.
Das 'Mittel-nehmen' gibt ein Ausgleich von (eventuelle, nicht zu grosse) Unregelmässigkeiten in einer gegebener Folge, wodurch es möglich wird falls die Folge selbst nicht konvergiert, doch eine alternatieve 'Grenzwert' bei zu fügen. Dieses Verfahren macht es ebenfalls bisweilen möglich einer nicht-summierbarer Folge eine alternatieve 'Summe' zu geben. Die Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906) zurück.

Cesàro-konvergente Folge
Wenn die Glieder einer Folge ($a_{n}$)  einem Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  konvergent .
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  der Glieder $a_{n}$  einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-konvergent,  und diesen Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge ($a_{n}$) .   Die Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge, ist der (gewöhnlichen) Grenzwert dieser Folge gleich.

Cesàro-summierbare Folge
Wenn die Summenfolge ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)  =  ($s_{n}$)  einer Ausgangsfolge ($a_{n}$) konvergiert, nennt man Folge ($a_{n}$) summierbar.
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($s_{1}+\cdots +s_{n}$)$/n$  der Partialsummen $s_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-summierbar oder C1-summierbar,  und diesen Grenzwert  Cesàro-Summe der Folge ($a_{n}$) . Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der (gewöhnliche) Summe dieser Folge gleich.

Beispiele
Zu die divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (die Grandi-Folge, G)  gehören die Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,   (1-1+1-1+1)/5 = 1/5,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heisst Folge G  Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.

Zu die nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   (1+0+1+0+1) = 3/5,   (1+0+1+0+1+0) = 3/6,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heisst Folge G  Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2.

Anwendung ...........
Literatur............
Weblinks.............

Antwort Kmh

Toevoegen: Beweis in Cauchyscher Grenzwertsatz

A. Heutige Text ist falsch, weil:
- Im Anfang sind 'Cesàro-Mittel' und 'Cesàro-Summe" als Synonym presentiert.   Aber: "Konvergenz der Cesàro-Mittel der Folge" Z.3 oder "Konvergenz im Sinne von Cesàro" oder "Cesàro-Konvergenz"   ist ungleich  "Cesàro-summierbarkeit der Folge".

- Im tekst steht: "Aus der Konvergenz einer Folge folgt ihre Cesàro-Summierbarkeit."   Aber: die Folge  (1/n)  ist konvergent (Grenzwert 0), doch nicht Cesàro-summierbar.

B. Was ist (für Anfänger) leichter zu lesen und verstehen?

Zu einer Zahlenfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ wird durch $c_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ die Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert und als Folge von Cesàro-Mitteln bezeichnet.

Falls die Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so wird die Ausgangsfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als Cesàro-summierbarkonvergent bezeichnet.

oder

Wenn die Glieder einer Folge ($a_{n}$)  einem Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  konvergent .
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  der Glieder $a_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-konvergent .

Ja stimmt, Summierbarkeit bezieht auf Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und nicht auf die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ selbst. Ärgerlich das das seit Jahren so falsch im Artikel stand, ohne dass es jemand auffiel. Im Hinblick darauf ist dann auch die von dir vorgeschlagene Strukturierung mit separaten Abschnitten zu Summierbarkeit und Konvergenz besser. Ich werde es in den nächsten Tagen mal etwas überarbeiten. Unabhängig davon verdient die Cesaro-Summierbarkeit sowie verwandte Summation-Methoden eigentlich einen eigenen Artikel.--Kmhkmh (Diskussion) 08:09, 5. Jul. 2017 (CEST)

Es scheint, wir kommen weiter/näher.
Du schreibst: "Summierbarkeit bezieht auf Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und nicht auf die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ selbst." Ich verstehe nicht was hier gemeint ist. "Summierbare Folge" ist klar und unzweideutig. Bei "summierbare Reihe" muss man wissen das (meistens) nicht "summierbare Partialsummenfolge einer Folge" gemeint wird, aber "konvergente ('limitierbare') Partialsummenfolge einer Folge".   "Summierbare Reihe einer Folge" und "summierbare Folge" sind also synonym.
Ich wollte sehr gerne das nicht eindeutig zu definieren Wort "Reihe" aus beide 'Cesàro'-artikel weglassen.
Es ist vielleicht praktisch das Resultat des 'etwas überarbeiten' zuerst hier zu zeigen? --

About the meaning of "series"

The use of the word "series" is at many places questionable, because of the twofold way this word is generally used.
1. As name for a sequence with numbers as its terms. (Cauchy 1821: a sequence of real numbers).
2. As name for a symbolic form like capital-sigma or pluse-bullets, consisting of expression for the summation functtion and for a sequence a (with terms that can be added).
Such a form denotes either: the sequence of partial sums of a, or: (in case a is summable) the limit of the partial sums of a.

Zitat: "...da in der Literatur summierbar eindeutig mit Reihen assoziiert ist ....... an der üblich Darstellung... "
Gegenüber "eindeutig mit Reihen" und "üblich" kann gestelt:
- Im "Cauchyscher Grenzwertsatz" :  nur "Folge".     - Im "Cesàro-Mittel" :  nur "Folge" (einmal "Fourier-Reihen").   - Google:
    summierbare Folge 385,   summierbare Reihe 311
    summierbare Folgen 170,   summierbare Reihen 235
    summable sequence(s) 35 900,   summable series 8 550
    Cesàro summable sequence(s) 1 817,   Cesàro summable series 288
    suite sommable 427,   série sommable 290 .
Also glaube ich nicht das es gegen einen Wikipedia-Regel sein soll, wenn in die Cesàro-Artikel nur für 'Folge' gewählt wird. (Um Verwirrung zu vermeiden. Und die Form-Bedeutung des Worts 'Reihe' kommt in diesen zwei Texte nicht vor.)
Das nicht eindeutig sein von 'Reihe' will ich weiter erläutern mittels Folgendes, auf englisch:

About the meaning of "series"   The use of the word "series" is at many places questionable, because of the threefold way it is generally used.
1. As name for a sequence with numbers as its terms. (Cauchy 1821: a sequence of real numbers).  Later also: functions .
Used in: arithmetic sequence/series, geometric sequence/series, harmonic sequence/series, alternating sequence/series, partial sums of a sequence/series, sum of a sequence/series, terms of a sequence/series, summable sequence/series, ..... etc.
[Traditionally the adjective 'convergent' is used in two different ways;  in "convergent series" it means: 'having a sum',  and in "convergent sequence": 'having a limit'.]
2a, 2b. As name for a symbolic form like the capital-sigma form (Σ_i a_i) and the pluses-bullets form (a₁ + a₂ + ···), expressing a summation function and a sequence (with terms that can be added).  Such a form denotes either:  the sequence of partial sums of the sequence expressed in the form, or:  (in case this sequence is summable) the sum of this sequence.
--

Wir reden hier aneinander vorbei

Wir reden hier aneinander vorbei. Mir geht es nicht um die Ausdrücke "summierbare Folge" versus "summierbare Reihe" oder Ähnliches, sondern darum dass in der Literatur, wenn von Summierbarkeit die Rede ist auch immer der Begriff Reihe in der Nachbarschaft fällt. Sowie man eben auch die (die Folge der) Partialsummen mit einer Reihe assoziiert bzw. wenn von Partialsummen die Rede ist auch fast immer der Begriff Reihe in der Nachbarschaft auftaucht. Deswegen halte ich es für widersinnig, das im Artikel zu künstlich zu unterdrücken und den Begriff Reihe aus vermeintlichen didaktischen Gründen(?) überhaupt nicht zu erwähnen, so wie Hesselp das offenbar möchte, wenn ich ihn da richtig verstanden habe.--Kmhkmh (Diskussion) 04:10, 6. Jul. 2017 (CEST)

Ja, wir reden hier einander vorbei ..... solange du schreibst (zweimal hieroben): "der BEGRIFF Reihe in der Nachbarschaft fällt/auftaucht" (= geschrieben steht).   Ein WORT, oder allgemeiner: ein verbaler oder symbolischer AUSDRUCK, kan geschieben stehen. Nicht der hinterliegende 'Begriff'.  Wie eher gesagt, das Wort 'Reihe' lässt sich nicht eindeutig mit nur ein Begriff verbinden. Sehe die Untereinteilung in meiner Tekst auf English (01:38, 6 Juli).
Oder, wenn das nicht überzeugt, sehe "Angabe als Reihe" mit:
-  das nichts-sagende "Eine Folge deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge ist, heißt eine Reihe." (Früher: "......geschrieben werden kann, heisst eine Reihe.")  Kommentar: Jeder Folge ist Summenfolge ihrer Differenzenfolge.
-  "Man kann jede Folge ... als eine Reihe auffassen".  Kommentar: 'Man kann..'? Warum nicht 'Man soll..'? Warum nicht: 'Man kann jede Folge 'Reihe' nennen.'?
-  "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar.  Kommentar: Warum 'nicht scharf, und nicht 'gar nicht'?
Oder sehe "Reihe - Definition" mit (paraphrasiert):
-  "Eine Folge heisst 'Reihe', wenn man [wer?] die Folge aus ihre Differenzenreihe konstruiert hat."  Kommentar: Was sagt ein Mathematiker davon?
Oder sehe Dreissig Versuche um 'Reihe' zu definieren  Gefunden in Biblioteke in Holland.

In deinen acht Zeilen lese ich:  "der Begriff Reihe",  "mit einer Reihe",  "der Begriff Reihe",  "den Begriff Reihe".  Es ist mir nicht möglich zu verstehen was du meinst wenn du scheibst das ich etwas "künstlich unterdrücken" will,  solange ich hier nicht lesen kann was du versteht unter 'Reihe' (oder 'Reihe zu einer Folge'), und was du denkst das ein Leser sich dabei denkt.
In meiner Textvorschlag (15:31, 4. Jul.) wird - meiner Meinung nach - nichts "künstlich unterdrückt"  (I did not (artificially) 'avoid or skip the term series'.)  Ich versuchte die Text maximal eindeutig und lesbar zu machen; ich glaube nicht das es eine WP-Regel gibt die das nicht billigt.

Das traditionele zweideutig sein von 'konvergent' und 'konvergieren' (Gauss 18??: " Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung", Werke, Abt.I, Band X, S.400.)  macht  'konvergente Folge a  ≠   'konvergente Reihe zu a '  (weil: 'summierbare Folge a '  =  'summierbare Reihe zu a ').
Viele Autoren (sehe Google) versuchen beim Cesàro-konvergenz die zweideutigkeit zu vermeiden, und anwenden nicht 'Cesàro-konvergente Reihe zu a '  (und zugleich ebensowenig 'Cesàro-summierbare Reihe zu a '). --

Um es noch einmal zu sagen, wir stellen es so dar, wie es in der Literatur dargestellt wird. Dass du den Begriff Reihe offenbar wegen der Mehrdeutigkeit nicht magst, kann ich bedingt nachvollziehen, das ist aber für WP irrelevant. Die Diskussionen zu Reihen und Folgen auf en.wp habe ich gelesen und die dort von gewünschte Gleichsetzung/Gleichbehandlung von Reihe und Folge bzw. Nichtverwendung des Reihenbegriffes wurde abgelehnt. Aus meiner Sicht zu Recht und ich sehe keinen Grund da auf de.wp anders zu verfahren.--Kmhkmh (Diskussion) 21:18, 6. Jul. 2017 (CEST)

1)   "...wie es in der Literatur dargestellt wird."
Ich wiederhole: bitte zeige hier Bücher usw. mit einer Sektion: Cesàro-summierbare 'Objekte' .  So das die Leser hier sehen können was du meinst mit 'in der Literatur'.
2)   "...den Begriff Reihe offenbar wegen der Mehrdeutigkeit..."
Nochmals: Nein. Das Wort (der Name) 'Reihe' ist mehrdeutig. Was du denkst bei 'den Begriff Reihe' hast du hier noch nicht erzählt. Ich warte.
3)   "Nichtverwendung des Reihenbegriffes..."
Welches 'Reihenbegriff' hast du hier vor Augen? Ich weiss es wirklich nicht, du sprichst (schreibst) in Rätsel.
4)   Zusammenfassend:  Wir sind darüber einverstanden das die heutige Text 'falsch' ist ("Ja stimmt"; 08:09, 5.Jul.). Noch immer?  Es liegt einen Vorschlag vor, und du hast angekündigt 'es etwas zu umarbeiten'.  Ich sehe natürlich gerne dein Resultat; innerhalb einer Woche? (oder zwei?). --

Vorschlag-2

Revision "Cesàro-Mittel", Vorschlag-2

Mehr Ergänzungen oder Änderungen erwünscht?

            C e s à r o - M i t t e l

Die Folge von Cesàro-Mittel (Cesàro-Durchschnitte) zu einer gegebener Folge  hat als Glieder:  die arithmetischen Mittel der Glieder der endlichen Anfangsstücke der gegebenen Folge.
Das 'Mittel-nehmen' gibt ein Ausgleich von (eventuelle, nicht zu grosse) Unregelmässigkeiten in einer gegebener Folge, wodurch es möglich wird falls die Folge selbst nicht konvergiert, doch eine alternatieve 'Grenzwert' bei zu fügen. Dieses Verfahren macht es auch bisweilen möglich einer nicht-summierbarer Folge eine alternatieve 'Summe' zu geben. Die Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906) zurück.

(== )Definitionen( ==)
(=== )Cesàro-konvergente Folge( ===)
Wenn die Glieder einer Folge ($a_{n}$)  einem Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  konvergent .
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  der Glieder $a_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-konvergent / C1-konvergent ,  und diesen Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge ($a_{n}$) .
Satz:   Die Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge, ist der gewöhnlichen Grenzwert dieser Folge gleich.  Beweis in Cauchyscher Grenzwertsatz.

(=== )Cesàro-summierbare Folge( ===)
Wenn die Partialsummenfolge ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)  =  ($s_{n}$)  einer Ausgangsfolge ($a_{n}$) konvergiert, nennt man den Folge ($a_{n}$) summierbar ,  und den Grenzwert der Partialsummenfolge  Summe der Folge ($a_{n}$) .
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($s_{1}+\cdots +s_{n}$)$/n$  der Partialsummen $s_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man:  die Folge ($a_{n}$)  Cesàro-summierbar / C1-summierbar ,  und die Grenzwert  Cesàro-Summe der Folge ($a_{n}$) .
Satz: Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der gewöhnliche Summe dieser Folge gleich.

(=== )Namen mit  'Reihe' ( ===)
- Für das (Cesàro-)summierbar sein einer Folge ($a_{n}$) wird auch gesagt:  die Reihe zur Folge ($a_{n}$) ist (Cesàro-)konvergent,  und geschrieben: die Reihe  $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ist (Cesàro-)konvergent .
- Häufig, aber uneigentlich, auch:  die Reihe zur Folge ($a_{n}$) ist (Cesàro-)summierbar.  (Uneigentlich, weil es die (Cesàro-)konvergenz und nicht die (Cesàro-)summierbarkeit der Partialsummenfolge der Folge ($a_{n}$)  betrifft.)
- Ebenso uneigentlich ist es um die (Cesàro-)summe der Folge ($a_{n}$),  (Cesàro-)Summe der Reihe zur Folge ($a_{n}$) zu nennen.

(== )Beispiele( ==)
Zu die divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (die Grandi-Folge, G)  gehören die Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,  1/5,  0,  1/6,  0,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heisst Folge G  Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.

Zu die nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   3/5,  3/6,   4/7,  4/8,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heisst Folge G  Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2.

(== )Anwendung( ==) Die Cesàro-Mittel sind insbesondere in der Theorie der Fourier-Reihen von Bedeutung.

(== )Literatur( ==)

• Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.155
• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S.459
• G. Walz, Lexikon der Mathematik, 2. Aufl. 2017

(== )Weblinks( ==)

• Cesaro-Mittel und Cesàro-Summierbarkeit auf PlanetMath (engl.)
• Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)

Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Analysis

Ergänzung   Im letztem Vorschlag ist noch nicht genannt: Folge von Cesàro-Mittel einer Folge. Das kann im Anfangssastz:
    Die Folge von Cesàro-Mittel / Cesàro-Durchschnitte zu einer (gegebener) Folge  hat als Glieder:
    die arithmetischen Mittel der Glieder der endlichen Anfangsstücke der gegebenen Folge.

Das "einer Folge" oder "zu einer Folge" oder "zu einer gegebener Folge" muss dazu stehen. Genau wie bei: "Grenzwert einer Folge",  "Partialsummenfolge einer Folge",  "Reihe zu einer Folge",  "Summe einer Folge" .   Denn nur "eine Grenzwert" bedeutet nichts (nichts mehr als: "eine Zahl") . --

referentie groen maken.

Revision "Cesàro-Mittel", Vorschlag-3

Die Folge von Cesàro-Mittel (Cesàro-Durchschnitte) zu einer gegebener Folge  hat als Glieder:  die arithmetischen Mittel der Glieder der endlichen Anfangsstücke der gegebenen Folge.
Das 'Mittel-nehmen' gibt ein Ausgleich von (eventuelle, nicht zu grosse) Unregelmässigkeiten in einer gegebener Folge, wodurch es möglich wird falls die Folge selbst nicht konvergiert, doch eine alternatieve 'Grenzwert' bei zu fügen. Dieses Verfahren macht es auch bisweilen möglich einer nicht-summierbarer Folge eine alternatieve 'Summe' zu geben. Die Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906) zurück.

Definitionen

Konvergente Folge   -   Cesàro-konvergente Folge

Wenn die Glieder einer Folge ($a_{n}$)  einem Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  konvergent .

Wenn die arithmetischen Mittel  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  der Glieder $a_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-konvergent / C1-konvergent ,  und diesen Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge ($a_{n}$) .

Satz:   Die Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge, ist der normalen Grenzwert dieser Folge gleich.  Beweis hier.

Konvergente Reihe   -   Cesàro-summierbare Reihe

Wenn die Partialsummenfolge ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)  =  ($s_{n}$)  einer Folge ($a_{n}$) konvergiert, nennt man die Reihe zur Folge ($a_{n}$) konvergent (meistens) oder summierbar (weniger),  und den Grenzwert der Partialsummenfolge  Summe der Reihe zur Folge ($a_{n}$) .   ( "Reihe zur Folge ($a_{n}$)"  wird gewöhnlich als  "Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$"  notiert. )

Wenn die arithmetischen Mittel  ($s_{1}+\cdots +s_{n}$)$/n$  der Partialsummen $s_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man  die Reihe zur Folge ($a_{n}$)  Cesàro-summierbar / C1-summierbar (meistens) oder Cesàro-konvergent (weniger),  und die Grenzwert  Cesàro-Summe der Reihe zur Folge ($a_{n}$) .

Satz: Die Cesàro-Summe einer konvergenten (summierbaren) Reihe, ist der normalen Summe dieser Reihe gleich.

Statt  '(Cesàro-)konvergente / summierbare Reihe'  und  '(Cesàro-)Summe einer Reihe' , wird auch gesprochen von  (Cesàro-)summierbare Folge  und  (Cesàro-)Summe einer Folge, mit gleicher Bedeutung.

Beispiele

Zu die divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (die Grandi-Folge, G)  gehören die Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,  1/5,  0,  1/6,  0,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heisst Folge G  Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.

Zu die nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   3/5,  3/6,   4/7,  4/8,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heisst die Reihe zur Folge G (und auch die Folge G selbst)  Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2.

(== )Anwendung( ==) Die Cesàro-Mittel sind insbesondere in der Theorie der Fourier-Reihen von Bedeutung.

(== )Literatur( ==)

• Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.155
• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S.459
• G. Walz, Lexikon der Mathematik, 2. Aufl. 2017

(== )Weblinks( ==)

• Cesaro-Mittel und Cesàro-Summierbarkeit auf PlanetMath (engl.)
• Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)

Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Analysis

Ergänzung   Im letztem Vorschlag ist noch nicht genannt: Folge von Cesàro-Mittel einer Folge. Das kann im Anfangssastz:
    Die Folge von Cesàro-Mittel / Cesàro-Durchschnitte zu einer (gegebener) Folge  hat als Glieder:
    die arithmetischen Mittel der Glieder der endlichen Anfangsstücke der gegebenen Folge.

Das "einer Folge" oder "zu einer Folge" oder "zu einer gegebener Folge" muss dazu stehen. Genau wie bei: "Grenzwert einer Folge",  "Partialsummenfolge einer Folge",  "Reihe zu einer Folge",  "Summe einer Folge" .   Denn nur "eine Grenzwert" bedeutet nichts (nichts mehr als: "eine Zahl") . --

Cesàro-Mittel - Vorschlag 4

Die Folge von Cesàro-Mittel (Cesàro-Durchschnitte) zu einer gegebener Folge  hat als Glieder:  die arithmetischen Mittel der Glieder der endlichen Anfangsstücke der gegebenen Folge.
Das 'Mittel-nehmen' bewirkt ein Ausgleich von (eventuelle, nicht zu grosse) Unregelmässigkeiten in einer gegebener Folge, wodurch es möglich wird falls die Folge selbst nicht konvergiert, doch eine alternatieve 'Grenzwert' bei zu fügen. Dieses Verfahren macht es auch bisweilen möglich einer nicht-summierbarer Folge eine alternatieve 'Summe' zu geben. Die Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906) zurück.

Definitionen

Konvergente Folge   -   Cesàro-konvergente Folge

Wenn die Glieder einer Folge einem Grenzwert nähern, heißt die Folge konvergent .

Wenn (für $n\rightarrow \infty$)  die arithmetischen Mittel  ($s_{1}+\cdots +s_{n}$)$/n$  der $n$ Anfangsglieder einer Folge $(s_{k})$ einen Grenzwert nähern, heißt dieser Folge Cesàro-konvergent oder C1-konvergent ,  und der Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge $(s_{k})$.

Satz:   Die Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge, ist der normalen Grenzwert dieser Folge gleich.  Beweis hier.

Summierbar   -   Cesàro-summierbar

Wenn (für $k\rightarrow \infty$)  die Partialsummen  ($a_{1}+\cdots +a_{k}$)  der $k$ Anfangsglieder einer Folge $(a_{i})$ einen Grenzwert nähern, kann Folge $(a_{i})$ summierbar genennt werden,  und der Grenzwert  Summe der Folge $(a_{i})$.

Wenn (für $n\rightarrow \infty$)  die arithmetischen Mittel  ($s_{1}+\cdots +s_{n}$)$/n$  der $n$ Anfangsglieder der Partialsummenfolge $(s_{k})$ einer Folge $(a_{i})$ einen Grenzwert nähern,  kann Folge $(a_{i})$ Cesàro-summierbar (C1-summierbar) genennt werden  und der Grenzwert  Cesàro-Summe der Folge $(a_{i})$.

Satz: Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der normalen Summe dieser Folge gleich.

Nomenklatur mit  'Reihe'

Früher (18.-19. Jahrhundert)  würde  konvergent sein  (und  konvergieren)  gesagt für sowohl  'ein Grenzwert haben'  als  'eine Summe haben'.  Dabei würde eine unendlichen Zahlenfolge fast immer  Reihe (im lateinischem Text: series)  genannt.
Infolgedessen wird noch immer oft  konvergente Reihe (meistens)  oder  summierbare Reihe (seltener)  gesagt wenn die Partialsummen einen Grenzwert - die Summe der Reihe - nähern.
Ebenso: Cesàro-summierbare Reihe (meistens),  Cesàro-konvergente Reihe (seltener),  und  Cesàro-Summe der Reihe .

Beispiele

Zu die divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (die Grandi-Folge, G)  gehören die Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,  1/5,  0,  1/6,  0,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heißt Folge G  Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.

Zu die nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   3/5,  3/6,   4/7,  4/8,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heißt Folge G  Cesàro-summierbar, mit  Cesàro-Summe 1/2.

Zur Artikeltext 15. Juli 2017

- Die eher genannte 'fehlenden Detailinformationen' sind noch nicht spezifiziert, also kann der kürzere Tekst prävalieren.
- Die Version 11. Juli würde 'keine Verbesserung' genannt, darum ist wieder von Version 9. Juli ausgegangen.
- Das Wort "Reihe" kommt in dem Definitios-Text nur in Namen vor. Also hat eine Diskussion bezüglich die Bedeutung/Bedeutungen dieses Wort hier kein Zweck. --

Anwendungen

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kerne in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergente Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.155
• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer 2016, ISBN 9783662534984, S. 304
• Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
• Carl L. DeVito: Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett, 2007, ISBN 9780763738938, S. 43
• Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94-118, insbesondere S. 96

Weblinks

• Timo Weidl: Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro - Teil eines Analysis II Skripts (Uni Stuttgart)
• Richard Hensh: Infinite Series - Vorlesungsmaterialen (Michigan State University), S. 11-15
• Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)

Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Analysis

Cesaro summation

Definitions
A sequence {a_i} (and the corresponding series) is called Cesàro summable, if the arithmetic mean of its first partial sums,
${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(a_{1}+\cdots +a_{i})$,   for  tends to a limit  (the Cesàro sum of the sequence and the corresponding series).
It is easy to show that any summable sequence (and series) is Cesàro summable, and its usual sum equals the Cesàro sum. However, as the first example below demonstrates, Cesàro summability does not imply usual summability.

Examples
The sequece  1, -1, 1, -1, 1, ···  (sequence of Grandi)  has as sum sequence (sequence of partial sums):   1, 0, 1, 0, 1, ··· . This (divergent) sum sequence has as Cesàro means:   1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   (1+0+1+0+1) = 3/5,   (1+0+1+0+1+0) = 3/6,   4/7,  4/8,   5/9,  5/10,  ··· ,  converging to 1/2.
So the non-summable 1, -1, 1, -1, 1, ··· is Cesàro summable, with Cesàro sum 1/2 .

The sequece  1, 2, 3, 4, 5, ···  has as sum sequence:   1, 3, 6, 10, 15, ··· . This sum sequence has as Cesàro means:   1/1 = 1,   (1+3)/2 = 4/2,   (1+3+6)/3 = 10/3,   (1+3+6+10)/4 = 20/4, ··· ,  diverging to plus infinite.
So the sequence of natural numbers is not Cesàro summable.   In fact, any sequence which diverges to (positive or negative) infinity, has a sum sequence with diverging Cesàro means, and hence such a series is never Cesàro summable.

Cesàro means

In mathematics, the Cesàro means (also called Cesàro averages) of a sequence (a_n) are the terms of the sequence (c_n), where

$c_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

is the arithmetic mean of the first n elements of (a_n). This concept is named after Ernesto Cesàro (1859 - 1906).

A basic result states that if

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$

then also

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=A.$

That is, the operation of taking Cesàro means preserves convergent sequences and their limits. This is the basis for taking Cesàro means as a summability method in the theory of divergent series. If the sequence of the Cesàro means is convergent, the series is said to be Cesàro summable. There are certainly many examples for which the sequence of Cesàro means converges, but the original sequence does not: for example with

$a_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=2k-1,\\0&{\mbox{if }}n=2k\end{cases}}$,

we have an oscillating sequence, but the means have limit ${\frac {1}{2}}$. (See also Grandi's series.)

Cesàro means are often applied to Fourier series, since the means (applied to the trigonometric polynomials making up the symmetric partial sums) are more powerful in summing such series than pointwise convergence. The kernel that corresponds is the Fejér kernel, replacing the Dirichlet kernel; it is positive, while the Dirichlet kernel takes both positive and negative values. This accounts for the superior properties of Cesàro means for summing Fourier series, according to the general theory of approximate identities.

A generalization of the Cesàro mean is the Stolz-Cesàro theorem.

The Riesz mean was introduced by M. Riesz as a more powerful but substantially similar summability method.

Revised text:

Cesàro means

In mathematics, the Cesàro means (also called Cesàro averages) of a sequence ($a_{n}$),  are the arithmetic means  
($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  of the terms of sequence ($a_{n}$).  This concept is named after Ernesto Cesàro (1859 - 1906).

A basic result states that the limit of a convergent sequence equals the limit of its Cesàro mean.

That is, the operation of taking Cesàro means preserves the convergence and the limit of a sequence. This is the basis for using Cesàro means in a summability method in the theory of divergent series.

Cesàro means are often applied to Fourier series,

Kmh

Ehrlich gesagt langsam finde ich die Diskussion nervig und sie fängt an auf der Stelle zu treten, deswegen werde ich sie mit diesem Beitrag vorläufig beenden. Jemand mit deinen Kenntnissen sollte genug Literatur kennen und zwar auch solche die in diesem Zusammenhang im Zusammenhang mit Cesaro-Mittel, (Cesaro-)Summierbarkeit, oder Cesaro-Konvergenz der Begriff Reihe fällt.

Um deine obige Frage zu beantworten, unter Literatur versteht man Zeitschriften/Journale und Bücher und im Artikel stehen die ganze schon zwei Bücher angegeben, die damals für den Artikel verwendet wurden. Aber wenn du unbedingt einen Google-Vergleich möchtest, mit Google-Books erhält man z.B. "summierbare Folge" - 162 Treffer und "summierbare Reihe" - 294 Treffer, "summable sequence" - 3200 Treffer und "summable series" - 4540 Treffer. In diesem Lexikon-Eintrag zur Cesaro-Summation bzw. Summierbarkeit wird der Wort Folge nicht einmal verwendet: Guido Walz: Lexikon der Mathematik.

Eine Diskussion um Vor- und Nachteile sowie Mehrdeutigkeit des Reihenbegriffes führe ich mit dir hier nicht. Ob dich oder mich der Begriff stört (oder auch nicht) ist für WP kein Kriterium und die Darstellung in WP orientiert sich, wie bereits mehrfach erwähnt, an der in der Literatur üblichen Darstellung. Gibt es mehrere übliche Darstellungen, erwähnt WP gegebenenfalls alle. Die Orientierung an der Literatur ist eine Projektvorgabe und nicht verhandelbar.

Ja, die aktuelle Darstellung der Summierbarkeit ist völlig falsch und wird bei der Überarbeitung dementsprechend korrigiert, ebenso werden die Beispiel etwas erweitert und die Verweise auf Fourier-Reihen und divergente Reihen etwas ausgebaut.--Kmhkmh (Diskussion) 05:05, 7. Jul. 2017 (CEST)

A.  "...fängt an auf der Stelle zu treten,..."
Mit als erster Ursache das du beharrst in deinen Texte von "der Begriff Reihe" zu reden, ohne deine Auffassung darüber zu erläutern.  Du sollst recht haben, wenn du sagst das deiner (und meiner) Interpretation die Darstellung in WP nicht beeinflüssen soll. Aber bitte, kannst du dann auch afhören hier von "der Begriff Reihe" zu reden beim Argumentieren.
B.  Vielen Dank für den Lexikon-Artikel, es war mir nicht bekannt. Mit darin:
-  "Eine Reihe zu einer gegebenen Folge, heisst Cesàro-konvergent wenn.......... . Man sagt dann.....ist Cesàro-summierbar ";
-  scheinbar ist  "der Wort Folge nicht einmal verwendet".  Aber deinem (08.09, 5. Jul.) "Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$"  ist auch zu lesen als "Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zur Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$",  und auch als "Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zu einer beliebigen Folge".
Ebenso beim aussprechen von  " $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ "  im Lexikon-Artikel.
C.  Mit Google Books (bzw. Google) fand ich noch:
"Cesaro summable" sequence 673 (2750)  "Cesaro summable" series 1250 (3530)
"Cesaro convergent" sequence 112 (938)           "Cesaro convergent" series 164 (1180)
"C1 summable "sequence 27 (347)           "C1 summable" series 38 (366)
"C1 convergent" sequence 9 (285)                     "C1 convergent"series 20 (436)
Folgerung (?): "summable" slagt "convergent" , "series" slagt "sequence" . --

Artikelversie 22:38, 10. Juli, Kmhkmh

Commentaren:

(==) Zum Artikeltext 22:38, 10. Juli 2017 (==)
Bei diesem offenbar sorgfältig zusammengesetzten Text (und Literatur/Weblinks):

1. (Zeile 1) "oder auch Cesàro-Summe" ist nicht passend in diesem Satz.

2. Die Namen Cesàro-Summe der Reihe zu einer Folge und Cesàro-Summe einer Folge sollen ins Artikel nicht fehlen.

3.Im Artikel wird mit  $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine (nicht mathematisch definierte) Reihe bezeichnet,  mit  $\textstyle C{\text{-}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine Zahl.  (Dabei wird in der Literatur mit  $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ auch noch die Partialsummenfolge einer Folge bezeichnet.)   Dieser doppelsinniger Gebrauch der Sigma-Schreibweise ist zwar üblich, aber hier nicht empfehlenswert.
Die Frage ist: soll ein WP-Text die zwei-(oder drei-)deutigkeit in der Praxis übernehmen? Oder versuchen sie möglichst zu vermeiden.

4. Mit  "Folgen von Partialsummen (Reihen)" (Zeile 3)  wird suggeriert das 'Reihe' und 'Folge von Partialsummen' hier synonym gebraucht sind, wie oft in der Literatur. Was hier gemeinnt sein soll, ist für vielen nicht leicht zu verstehen.

5. Warum "Formale Definition"? Ist nur "Definition" nicht exact genug?   Zwei andere Bedeutunge von "formal" liegen nah:
- Sehe "Formally" in Weblink 'Richard Hench' (an expression that may or may not make sense); und
- "formal sum" in einem Teilgebiet der Algebra.

6. "Zu einer gegebenen Zahlenfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bildet man die arithmetische Mittel über die ersten n Folgenglieder, also ...."   Das ist sehr weit von dem übligen Sprachgebrauch in einer Enzyklopädie. Warum so umständlich, mit extra Symbole $\sigma _{n}$ ? Das gewisse Lehrbücher es so schreiben (nicht das Walz-Lexikon) ist doch nicht hinreichend als Grund um es in WP unnötig komplex zu machen?

7) Das Verstehen des heutigen Text ist extra schwer, weil das $\sigma _{n}$-Symbol kein $a$ mit sich hat.   Und weil mehrmalig nur Cesàro-Mittel steht, und nicht Cesàro-Mittel der Folge ($a_{n}$), oder ähnliches.

8) Das zweite Beispiel nimmt 18 Zeilen, weil es in drei auch gut (besser?) kann.

9) Zum Schluss die zentrale Frage.
Soll der WP-Artikel beim erklären der Begriffe Cesàro-Mittel, Cesàro-Konvergenz, Cesàro-Summierbarkeit', 'Cesàro-Summe' nur basiert sein auf mathematisch definierbaren Sachen (z.B. Folge = Function auf $\mathbb {N}$); wie in Version Hesselp?
Oder soll "der Begriff Reihe" als Basisbegriff genommen werden; wie in Version Kmhkmh?
Einerseits kommt "Reihe" (auch "unendliche Summe" genannt) sehr häufig in der Literatur vor. Auf der anderen Seite betrifft es ein nirgendwo mathematisch definiert 'etwas',  irgendwo zwischen die Begriffe Folge, ihrer Partialsummenfolge und ihrer Summe. Und zwischen einem mathematischem Begriff und einer Notationsweise. Hier und hier und hier und hier und hier  kann man sehen das es hier nicht geht um einen in mathematischen Sinne definierbaren Begriff.

Inhaltlich beschreiben beide Artikel-Versionen genau die auch in der Literatur beschrieben Begriffe. Die eine spricht von: C-Summe einer Folge, die andere von: C-Summe einer Reihe. Im letzten Fall muss der Leser weiter im Kontext suchen mit welchen Folge sie 'assoziiert', 'verbunden', 'zugehörig' ist. Und der Leser muss wissen das er für "die Reihe zur Folge ($a_{n}$)", auch einfach "Folge ($a_{n}$)" lesen darf. Mit 1 Ausnahme: wenn irgendwo "konvergente Reihe (zur Folge ($a_{n}$) )" steht,  muss "summierbare Folge ($a_{n}$)"   gelesen werden. (In der Urzeit (Cauchy, Gauss) wird 'konvergent' für summierbar und für 'limitierbar' benutzt.)

Gibt es eine WP-Regel der sagt das in einer WP-Text nicht für die einfachste Formulierungen gewählt werden kann, wenn diese Formulierungen in der Literatur nicht üblich sein?

10) In einer Umarbeitung der Version 9. Juli steht nun dennoch die 'Reihe'-Nomenklatur voran. Der Stil ist enzyklopädisch gehalten.
--

Zur Wiederherstellung 05:36, 12. Juli 2017

Die Zusammenfassung redet von (1) Darstellung nach angegebener Literatur, und (2) Formatverstösse.
Zu (1): Ist kein Grund zur Zurücksetzung. Explizit soll angegeben werden, warum gedacht wird das Version-Kmhkmh dem Leser mehr Info gibt, oder leichter zu verstehen ist, als die sehr viel kürzere, in enzyklopädicher Stil geschrieben, Version Hesselp.
Zu (2): Es ist mir nicht klar was gemeinnt wird. Welche WP-Regel ist übertreten?Auf welche 'Verstösse' wird hier hingewiesen? --

Hieroben schrieb Kmhkmh (05:05, 7. Jul. 2017 (CEST)): "Gibt es [in der Literatur] mehrere übliche Darstellungen, erwähnt WP gegebenenfalls alle." Ich habe zwei konkrete Fragen dabei.
In der Literatur gibt es Darstellungen von was die Namen 'C-summierbarkeit' und 'C-Summe' bezeichnen:
- mit und <ohne> ein Symbol (σ_n, σ) für die Glieder (und den Grenzwert) der Folge der arithmetischen Mittel der Glieder der Folge der Partialsummen der Glieder einer gegebenen Folge; sollen beide Darstellungen erwähnt werden in WP-'Cesàro-Mittel'?
mit ein, mitzwei, und mit drei Bedeutungen des Worts 'Reihe'; sollen deswegen drei Darstellungen nebeneinander kommen in WP-'Cesàro-Mittel'? --

Zur Rückgänglichmachung 19:33, 16. Juli 2017

a. Das Argument im Zusammenfassung: "sprachlich nicht ausreichend", reicht hier nicht um eine Tekst-Version wogegen keine Bedenken mehr gemacht werden, zu ersetzen. Weil (b. und c.)

b. Es fehlen Vorschläge zur sprachliche Verbesserung. Wo kann Hilfe dazu gefunden werden?

c. Die (doppelt so lange) Version 19:47, 16 Juli 2017 hat seriöse Schwäche und Fehler. Z.B.:
- c1. Intro Satz. 3: "Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit ..."
Aber das 'summierbar sein' (die (Cesàro-)Summierbarkeit) betrifft nicht die Folge von Partialsummen einer Ausgangsfolge, aber die Ausgangsfolge selbst.
- c2. Sektion "Spezialfall Reihen".  In Satz 2 kann  "Reihe Σ a_n"  ersetzt werden durch  "Folge (a_n)".  Aber in Satz 3 soll für "Reihe Σ a_n"  gelesen werden:  "Partialsummenfolge der Folge (a_n)".   Eine unnötige zweideutigkeit.
- c3. Zirkelschluss. Im Intro Satz 3 wird gesagt das für 'Reihe' auch gelesen kann: 'Folge von Partialsummen'. In "Spezialfall Reihen" Satz 1 steht also:  "...auf Reihen, das heisst auf die Folge der Partialsummen der Reihe Folge der Partialsummen der ...(usw.?)".
- c4. Die unter c2 erwähnte Zweideutigkeit macht die Sektion "Terminologie" unbegreiflich.

Man kan zusammengesetzte Namen definieren mit 'Reihe' darin. Aber man kann das Wort nicht anwenden in eine Beschreibung von neue Begriffe, weil es keine eindeutige mathematische Bedeutung hat. --

20 juli

Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten n Folgengliedern gebildeten arithmetische Mittel bezeichnet. Konvergieren diese für wachsende n so spricht man dann von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.

Die Folge von Cesàro-Mittel (Cesàro-Durchschnitte) zu einer gegebener Folge  hat als Glieder: die arithmetischen Mittel der Glieder der endlichen Anfangsstücke der gegebenen Folge.
Das 'Mittel-nehmen' bewirkt ein Ausgleich von (eventuelle, nicht zu grosse) Unregelmässigkeiten in einer gegebener Folge, wodurch es möglich wird falls die Folge selbst nicht konvergiert, doch eine alternatieve 'Grenzwert' bei zu fügen. Dieses Verfahren macht es auch bisweilen möglich einer nicht-summierbarer Folge eine alternatieve 'Summe' zu geben. Die Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906) zurück.

Glied $n$ der Folge von Cesàro-Mittel (Cesàro-Durchschnitte) zu einer gegebener Folge  ist die arithmetischen Mittel der Glieder 1 zu $n$ der gegebenen Folge.  Nähern diese Mittel für wachsende n gegen einen Grenzwert, dann heißt die Ausgangsfolge Cesàro-konvergent .
Eine Folge heißt Cesàro-summierbar wenn ihrer Partialsummenfolge Cesàro-konvergent ist. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück. Sie ist insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.

In der Diskussiosseite noch keine sprachliche Korrektionsvorschläge zur Version 15. Juli. Und keine Verbesserungsversuche der angezeigte Fehler und Schwäche in Version 23:16, 18 Juli.

@HilberTraum. Bitte die gefundenen Grammatik- und Rechtschreibungsfehler hier melden. Oder im Artikeltext verbessern. --

22 juli

Alternatief voor beginregels:
Die arithmetische Mittel der Glieder 1 zu n einer Folge heißen  Cesàro-Mittel der Folge;  falls sie einen Grenzwert nähern, nennt man die Folge  Cesàro-konvergent und der Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge.

Cesàro-Durchschnitte ist nicht in der angegebenen Literatur zu finden, ebensowenig via Google. Also: auslassen.
Zwei neue 'Einzelnachweisen':
N.G. de Bruijn, Vorlesungen 'Sprache und Struktur der Mathematik' (1978, Niederländisch) Beilage V-21: "Der Sprachgebrauch in Bezug auf Reihen ist traditionell schlecht."
H.J. Keisler, Elementary Calculus, 3rd ed. 2012, p.501:  "When we wish to find the sum of an infinite sequence ‹a_n›  we call it an  infinite series  and write it in the form  a₁ + a₂ + ··· + a_n + ··· "  .

Keisler: With each infinite series.....there are associated two sequences: the sequence of terms ... and the sequence of partial sums .........

Karl Zeller, Theorie der Limitierungsverfahren. 1. Aufl. 1958, 2. Aufl. (mit W. Beekmann) 1970.
Karl Zeller 1958, pp. 1-21

Kishore/Misra, On the consistancy of limitation methods for (N,pn) summable sequences, 1981 " a sequence limitable by method X" [19]

G.M. Petersen, Consistent limitation methods. Proceedings AMS, Vol.7, No.3, June 1956, pp.367-9

Die "Encyclopedia of Mathematics" sagt bei [20] Regular summation methods are those methods for summing series (sequences) that sum every convergent series (sequence) to the same sum as that to which it converges.

Zehn Jahre ohne 'Reihe'-namen in diesem Artikel. (Gestart 7 Dec. 2007 door Kmhkmh; met Heuser en Barner/Flohr als literatuur.)

- Bei: "Nichtverwendung des Reihenbegriffes wurde abgelehnt".
Nein, es war umgekehrt. Alle Diskussions-Teilnehmer akzeptierten das es keine mathematische Definition zu finden ist für 'der Reihebegriff'. Und das das Wort 'Reihe' ('series') nur brauchbar ist als Variante für (ebensowenig als mathematischer Begriff zu definieren) 'unendliche Summe' ('infinite sum'). Sehe "removing subhead ['Definition', Hesselp as discussed on talk"]

- Bei: "gewünschte Gleichsetzung/Gleichbehandlung von Reihe und Folge [....] wurde abgelehnt"
Auf en.wp in dieser Artikel-Version Attempt to describe different uses of the word 'series' in mathematics. Instead of defining this word as the name of a non-existend entity. Als vierter/letzter Mögligheit wurde genannt: "Finally, (the noun) series can be synonymous with sequence.  Cauchy defined the word series by "an infinite sequence of real numbers". The use of the word 'series' for 'sequence' has a long tradition, with analogons in other languages, but seems to be considered as somewhat outdated."   Dieser Auffassung ist in der Diskussion nirgendwo abgeleugnet.

- In dieser Version  wurde "summable series"  introduziert als Synonym für "convergent series" . --

Man kann Formulierungen mit 'Reihe' definieren für zusammengesetzte Namen und für Aussagen.

Schreibfehler (nog niet geplaatst)
Version 23:16, 18 Juli enthalt (meiner Meinung) folgende kleine (Rechtschreib-)fehler:
- Sektion 'Definition' Satz 1 und Sektion 'Terminologie' Satz 4:   Folgenglieder / Folgeglieder ? Zie uni Bremen.
- Sektion 'Definition' Satz 3:  Wert a / Wert $a$,  gegen a / gegen $a$ ?
- Sektion 'Terminologie' Satz 4:  Summierbarkreit / Summierbarkeit ?
- Sektion 'Anwendungen' Satz 2:  der divergente Reihen / der divergenten Reihen ?
- Literatur Clark - Dictionary: nicht S. 120 aber Seite 160 ?

Auch:  Cesàro-Durchschnitte. Weglaten? Nergens in genoemde literatuur Noch op Google. Wat gebruiken Heuser, Barner/Flohr, Walz (angegebene Literatur)?

Wat reeksen zijn is niet te zeggen 2008, toevoegen? + commentaar Arnoud? - Van Rooij, Analyse voor beginners

"Revert unexplained removal of valid content."

Belege in WP-Artikel sollen die Nachprüfbarkeit von Informationen gewährleisten.
"zuverlässige Publikationen"

Man kan zusammengesetzte Namen definieren mit 'Reihe'.  Aber man kann das Wort nicht anwenden in eine Beschreibung von neue Begriffe, weil es in der Praxis keine eindeutige mathematische Bedeutung hat.

Wer glaubt das es ein wohl-definierten mathematischen 'Begriff Reihe' gibt (das die Definition des 'Begriff Reihe' in die Menge von Analysis-Bücher zurückzufinden ist),  würde einstimmen  (ja?)  mit:
A. Eine Reihe heisst C-summierbar falls seiner Partialsummenfolge C-konvergent ist.
B. Eine Reihe heisst C-konvergent falls seiner Partialsummenfolge C-konvergent ist.
C. Eine Reihe heisst C-summierbar falls seiner Gliederfolge C-summierbar ist.
D. Die Partialsummenfolge einer C-konvergente Reihe ist C-konvergent.
E. Die Partialsummenfolge einer C-summierbare Reihe ist  nicht (nicht immer) C-summierbar.
Es gibt alternierende Folgen, alternierende Reihen, geometrische Folgen, geometrische Reihen, hyperharmonische Folgen, hyperharmonische Reihen, teleskopische Folgen, teleskopische Reihen, summierbare Folgen, summierbare Reihen, ... usw.   Auch: die Partialsummenfolge einer Folge, die Partialsummenfolge einer Reihe.
Frage:  Gibt es auch Partialsummenreihen (einer Folge oder einer Reihe)?  Warum nicht?

In Diskussion:

Walz: In der Literaturangaben wird hingewiesen auf: G. Walz, Lexikon der Mathematik. Darin auf Seite 304:
"gewissen divergenten Reihen sinnvoll noch einen Wert zuzuordnen, sie also zu limitieren oder zu summieren."
Ist 'limitieren' hier als Synonym von 'summieren' präsentiert?  Also soll der Grenzwert der Reihe, der Wert wozu ihre Glieder sich nähern, ihrer Summe gleich sein?
Ohne Klarheit zu dieser Fragen, ist es nur verwirrend um den Leser diese Walz-Seite zu empfehlen. --

DeVito: In der Literaturangaben wird hingewiesen auf: C.L. DeVito, Harmonic Analyses.   Mit auf Seite 43 eine ganz ungewöhnliche Auffassung von "series": zweiseitig unendlich!
Darum soll diese DeVito-Seite nicht als Quelle genennt werden. --

Weblink Weidl hat:  Konvergiert die Folge der arithmetische Mittel einer gegebener Folge gegen S, dann ..... nimmt die zu der gegebene Folge gehörende Reihe den Wert S an.
Wie macht eine Reihe das: 'ein Wert annehmen' ?  Nicht geeignet für einen Enzyklopädie-Leser. --

Weblink Hensh gibt auf Seite 12 'Cesàro sum' als Name für die, einer gegebener Reihe zugefügte, Mittel-Folge, und auch als Name für die einzelne Glieder ('Cesàro sums', Plural) dieser Folge.  Verwirrend. --

Weblink SOS Math hat:  "The new sequence generated from {x_n} is called the Cesaro Mean of the sequence."
Der WP-Artikel sagt etwas anderes. Also nicht als Quelle auf zu nehmen. --

Der am 10. Juli präsentierte Artikeltext hatte als 'Zusammenfassung':  Darstellung nach angegebener Literatur.  Weil die 'angegebener Literatur' sich als sehr divergent und inkonsequent erweisst, ist nicht zu entscheiden welcher der nach 8. Juli 2017 präsentierte Textversionen die 'angegebener Literatur' näher ist. --

Uit gebruikerspagina Kmhkmh:
Literatuurvermeldingen met pagina-nummers koppelen aan locaties in de artikeltekst. De kernzin in de voetnoot citeren, plus de lokale definitie van 'Reihe'.
voorkeur Kmhkmh :Die Angaben sind oft in gewisser Weise redundant, aber unter Literatur steht die "beste" oder empfehlenswerteste Literatur zum Thema und meist ohne spezifische Seitenangaben.

Unter der Einzelnachweisen steht, was auch immer zum Beleg eines bestimmten Inhalts verwendet wurde, da greift man natürlich oft auch auf die Publikationen aus dem Literaturabschnitt zurück, aber natürlich auch auf viele weitere Publikationen. Publikationen die nur für wenige Einzelaussagen verwendet werden, aber sonst keine weitere Bedeutung für das Artikelthema haben oder deren weitere Inhalte im Prinzip bereits durch "bessere"/empfehlenswertere Publikationen im Literaturabschnitt abgedeckt sind, übernimmt im Normalfall nicht in den Literaturabschnitt.

darstellung nach angebener Literatur, Die Orientierung an der Literatur ist eine Projektvorgabe und nicht verhandelbar. Kmhkmh

Digamma

@Digamma, du sprichst (in Fragen zur Wikipedia) von ein 'Kritikpunkt' (wichtiger als 'Grammatik- und Rechtschreibfehler').  Bitte, kannst du hier den von dir beabsichtigde 'Kritikpunkt' (oder Punkte) spezifizieren, insofern noch nicht inzwischen in dieser Textversion oder auf dieser Diskussionsseite widerlegt?
Benutzer Kmhkmh spricht von "enthält weniger Detailinformationen" 13. Jul. 2017; welche Informationen kann er hiermit gemeint haben? --

Was meint Digamma mit 'Kritikpunkt'?

Folge

Angabe mit Differenzen
Das $n$-te Glied einer beliebigen Folge $(s_{n})$ kann mittels der Differenzen   $a_{n+1}$= $s_{n+1}$−$s_{n}$  und  $a_{1}$= $s_{1}$  geschrieben als

$a_{1}+\cdots +a_{n}$  oder  $\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$.  

Folge $(s_{n})$ kann also geschrieben als  $(a_{1}+\cdots +a_{n})_{n=1,2,\cdots }$  oder  $($$\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$$)$$_{n=1,2,\cdots }$ , obwohl man gewöhnlich die

etwas kürzere Formen  $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   und   $\sum$$_{i=1}^{\,\infty }a_{i}$  gebraucht.

Wobei man beachten soll daß die beide letzte Formen auch für den - eventuelle - Grenzwert der Folge $(s_{n})$ benutzt werden.
Eine solcher Differenzenform ist praktisch, wenn die Differenzen einfacher zu beschreiben sind als Glieder selbst.  Beispiel:

$1,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {5}{6}},\ {\frac {7}{12}},\ {\frac {42}{60}},\,\cdots$  =  $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$  =  $1,\ (1-{\frac {1}{2}}),\ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}),\ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}),\ \cdots$  =  $\sum$$_{i=1}^{\,\infty }\,(-1)^{n-1}/n$

mit Differenzenfolge  $-{\frac {1}{2}},\,+{\frac {1}{3}},\,-{\frac {1}{4}},\,+{\frac {1}{5}},\,\cdots$  =  $($${\frac {(-1)^{n}}{n+1}}$$)$$_{n=1,2,\cdots }$ .

Anderseits soll eine arithmetische Folge nur selten in der Differenzenform  $a+d+d+d+\cdots$  geschrieben werden.
Statt Differenzenform (oder Reiheform) wird meistens kurz Reihe gesagt.

Argument terugzetting: "Nicht hilfreich", ohne ErLäuterung, reicht nicht für eine Revert. Sehe Portal:Mathematik/Qualitätssicherung.

Danke, S. K. Kwan, für deine Erläuterung. Damit wird aber nicht klar warum Version 'Angabe als Reihe' für Leser 'hilfreicher' sein soll als Version 'Angabe mit Differenzen'.
Satz 1 unter 'Angabe als Reihe' ist Unsinn/nichtssagend (weil die dort genannte Kondition nicht selektiv ist, und also kein 'Reihebegriff' einführen kann). Deshalb sollen keine 'zuverlässige Publikationen' gefunden werden können zur Belegung. Also soll dieser Abschnitt ersetzt werden. --

Samenvatting: Nicht klar warum Version 'Reihe' hilfreicher sein soll als Version 'Differenzen'.

Kopje verderop aanpassen. (Arithmetische Folgen)
Samenvatting: 'Angabe mit Differenzen' statt 'Angabe als Reihe', sehe Diskussion.

WP-Reihe

Scharfere formulierung im Abschnitt 'Definition'
Im Intro des Artikeltexts heißt es:  "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."  Diese Formulierung scheint nicht sehr exakt. Denn: die Glieder jeder (Zahlen-)Folge sind 'die Partialsummen einer anderen Folge' (nämlich: die Differenzenfolge der erstgenannte (Zahlen-)Folge).   Also: 'Reihe' und 'Folge' sind (scheinen) Synonyme.
Im Abschnitt 'Definition' ist aber etwas anderes gemeint. Wiewohl die Sätze 2 und 3 etwas scharfer formuliert werden können:

Diese Glieder der neue Folge heißen: ($n$-te) Partialsummen der gegebene Folge.  Die neue Folge $\left(s_{n}\right)$ heißt:
Partialsummenfolge der gegebene Folge  oder  Reihe zur Folge $\left(a_{n}\right)$.  Falls Folge $\left(s_{n}\right)$ konvergiert, so nennt man ihren Grenzwert  Wert der Reihe zur $\left(a_{n}\right)$,  Summe der Reihe zur $\left(a_{n}\right)$  oder auch  Summe der Folge $\left(a_{n}\right)$ .

Sprachkorrektion

Die arithmetischen Mittel der Glieder 1 bis n einer Folge heißen  Cesàro-Mittel der Folge;  wenn sich diese Mittel einen Grenzwert nähern nennt man die Folge  Cesàro-konvergent  und der Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge.
Eine Folge heißt  Cesàro-summierbar wenn ihrer Partialsummenfolge Cesàro-konvergent ist.
Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück.  Sie ist insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.

Definitionen

Konvergente Folge   -   Cesàro-konvergente Folge   -   Cesàro-Grenzwert

Wenn sich die Glieder einer Folge einen Grenzwert nähern, heißt die Folge konvergent .

Wenn (für $n\rightarrow \infty$) sich die arithmetischen Mittel  ${\tfrac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}$  der $n$ Anfangsglieder einer Folge $(s_{k})$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(s_{k})$ Cesàro-konvergent,  C1-konvergent  oder  C₁-limitierbar,  und der Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge.

Durch den Cauchyschen Grenzwertsatz läßt sich zeigen, dass der Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge dem normalen Grenzwert dieser Folge gleich ist.

Summierbare Folge   -   Cesàro-summierbare Folge   -   Cesàro-Summe

Wenn (für $k\rightarrow \infty$) sich die Partialsummen  ($a_{1}+\cdots +a_{k}$)  der $k$ Anfangsglieder einer Folge $(a_{i})$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$  summierbar,  und der Grenzwert  Summe der Folge.

Wenn (für $n\rightarrow \infty$) sich die arithmetischen Mittel  ${\tfrac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}$  der $n$ Anfangsglieder der Partialsummenfolge $(s_{k})$ einer Folge $(a_{i})$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$ Cesàro-summierbar oder C1-summierbar,  und der Grenzwert Cesàro-Summe der Folge.  Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der normalen Summe dieser Folge gleich.

Nomenklatur mit  'Reihe'

Vor dem 20. Jahrhundert wurde  konvergent sein (und  konvergieren)  sowohl für  'ein Grenzwert haben'  als auch für  'eine Summe haben'  gebraucht.  Zudem wurde eine unendlichen Zahlenfolge fast immer Reihe genannt.   Infolgedessen wird noch immer oft von konvergenter Reihe oder, seltener, summierbarer Reihe gesprochen (statt summierbarer Folge), wenn sich die Partialsummen einer Folge die 'Summe der Reihe' (Summe der Folge) nähern.
Ebenso wird Cesàro-summierbare Reihe (seltener Cesàro-konvergente Reihe), und  Cesàro-Summe einer Reihe gesagt.

Das Wort 'Reihe' kann vorkommen in eindeutig definierte zusammengesetzte Namen, aber das Wort selbst hat in der Praxis keine eindeutige mathematische Bedeutung.

Beispiele

Zur divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (Grandi-Folge, G)  gehören die Cesàro-Mittel:

        1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,  1/5,  0,  1/6,  0,  usw.

Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heißt Folge G  Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.

Zur nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel:

        1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   3/5,  3/6,   4/7,  4/8,  usw.

Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heißt Folge G  Cesàro-summierbar, mit  Cesàro-Summe 1/2.

Anwendungen

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kerne in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.155
• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
• Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
• Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94-118, insbesondere S. 96

Diskussion 4 Aug.

Leerzeichen
Die Leerzeichen im Beispiel sind optional und werden auf dieser Seite zur besseren Lesbarkeit gesetzt. Kompakte Zuweisungen von einem Namen und einem Wert werden meist ohne Leerzeichen und Semikolon geschrieben; mehrere Zuweisungen auch mit komplexen Werten dagegen durch Leerzeichen besser lesbar gemacht.[21]

4. Doppelte Leerzeichen, genügend Absätze, eine leserliche Schriftgröße (mindestens 12pt) und eine deutliche Schrift sorgen für eine bessere Lesbarkeit. [22]

Im normalen Fließtext werden Wortzwischenräume durch [...] ein Leerzeichen eingegeben. [23]

Ich bin es gerade gewohnt, doppelte Leerzeichen an Satzgrenzen zu setzen, weil ... Doppelte Leerzeichen, genügend Absätze, [...] sorgen für eine bessere Lesbarkeit.

Zur Textversion 'Cesàro-Mittel', Leif Czerny - 08:42, 3 Aug. 2017
Zulaufen/streben/nähern: Was sind hier 'zuverlässige Quellen'? Was sagt die angegebene Literatur: Heuser, Barner/Flor, Walz? (Weiß jemand das? Ich habe diesen Texte noch nicht gesehen.)   "Sich einem Grenzwert nähern" steht bei:  von Mangoldt, Knopp, Courant/Robbins.'  Vielleicht mit einer Fußnote: "Heißt auch: .... oder ..." ?

Maximaler Klarheit des Artikels fordert maximal sichtbarer Trennung zwischen Fließtext und die introduzierte (meistens zusammengesetzte) Namen für mathematische Begriffe/Objekte. Deshalb:
- a. Satz 2: ..... nennt man [oder: heißt] die Folge  Cesàro-konvergent  und der Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge.
- b. Abschnitt 'Summierbare Folge ....', Satz 2: ...so heißt die Folge... [nicht: ...so ist die Folge...].
- c. Abschnitt 'Reihen-Nomenklatur':   besser: Nomenklatur mit  'Reihe'  (Fußnote N.G. de Bruijn kann weg)
- d. Satz 2: Zudem wurde eine unendlichen Zahlenfolge fast immer Reihe oder (lateinisch) Series genannt, ohne Unterschied Ausgangsfolge / Summenfolge.
- e. Satz 6: Nicht: ....sollte man auf diese Ausdrucksweise [...] verzichten. Aber, entweder: (1) Aber man kann das Wort nicht anwenden in eine Beschreibung von neue Begriffe, weil es in der Praxis keine eindeutige mathematische Bedeutung hat;   oder (2) Das kann auf eindeutiger Weise, aber das einzelne Wort 'Reihe' kann nicht gebraucht werden in der Definition eines neuen Begriffs (weil das Wort selbst keine eindeutige mathematische Bedeutung hat).
- f. Auch das Doppelleerzeichen akzentuiert Unterbrechunge im Fließtext, und sorgt für eine bessere Lesbarkeit. Es gibt hier drei Situationen:
- f1. Zwischen zwei Sätze. Hier ist 1 Leerschritt die Regel.
Obwohl man mit googlen finden kann: "Doppelte Leerzeichen, genügend Absätze, [...] sorgen für eine bessere Lesbarkeit.",   "Ich bin es gerade gewohnt, doppelte Leerzeichen an Satzgrenzen zu setzen, weil ...",  und  "Die Leerzeichen im Beispiel sind optional und werden auf dieser Seite zur besseren Lesbarkeit gesetzt. (betrifft 0 oder 1 Leerzeichen)" .
- f2. Die 'bessere Lesbarkeit' ist evident (ja?) in  1/1 = 1, (1+0)/2 = 1/2, (1+0+1)/3 = 2/3, (1+0+1+0)/4 = 2/4,  gegen
1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   Glaubt jemand, eine Mehrheit der WP-Gemeinschaft wurde hier für nur 1 Leerschritt wählen?
- f3. Zum Schluß: größere Leerschritte vor und nach kursiver oder fetter neu-definiierte Namen. Gibt's hier WP-Regel, außer 'maximaler Lesbarkeit' ?
--

zulaufen/streben/nähern < auf einen Grenzwert zulaufen > gibt 2 070 000 Google-Treffer;
< gegen einen Grenzwert streben > 405 000
< sich einem Grenzwert nähern > 142 000.

Josef Leydold, Mathematik - Grundlagen, Wien, 2016, S. 35:   "dass sich die Glieder immer mehr dem Wert 0 nähern, je größer ...". Leydold, S.35

= Uni Bremen = Endliche und unendliche Reihen
[24]

1.2 Reihen Während in der Umgangssprache die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ kaum unterschieden werden, sind sie zwei mathematische Fachbegriffe, die sehr genau auseinander gehalten werden müssen. Was nicht einfach ist, da sie eng miteinander verbunden sind. Definition 1.5 Gegeben ist eine Zahlenfolge an ( )n∈ . Dann heißt die Zahlenfolge Sn ( )n∈ die (endliche) Reihe zu an und ist definiert durch Sn = ak k =1 nΣ . Sn heißt dann n-te Partialsumme zur Zahlenfolge an ( )n∈ . Für den Fall der Konvergenz ist S = ak k =1 ∞Σ die ( unendliche) Reihe zu a n .

Nun könnte man umgekehrt vermuten, dass immer dann, wenn die Folge eine Nullfolge ist, die zugehörige unendliche Reihe konvergiert. Das ist jedoch nicht so! Das berühmteste Gegenbeispiel für diese Vermutung ist die harmonische Reihe. Definition 1.6 Die (unendliche) Reihe zur Folge an ( )n∈ mit an = 1 n , also S = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ... heißt harmonische Reihe. Satz 1.6 Die harmonische Reihe konvergiert nicht. Zu diesem Satz werden wir uns hier zwei Beweise anschauen. Es gibt neben diesen beiden noch weitere Beweise.

5 aug. aanvulling Diskussion Cesàro-Mittel

Heinrich Weber, Enzyklopädie der elementaren Algebra und Analyses 2. Aufl. 1906, S. 397
"Man sagt, die Reihe  a₁+a₂+a₃+ ···  [...] konvergiert."
Genau wie bei Hardy: was sagt man (was sagte man Anno 1906) für die Symbolen-Ausdruck? --

Josef Leydold, Mathematik - Grundlagen, 2016, [25] S.35:
Die Reihe der Folge ⟨a_i⟩ lautet   ⟨s_i⟩ = ⟨Σ_i=1^k 2i-1⟩  =  ⟨1,4,9,16,25,...⟩  =  ⟨k²⟩

Genau wie bei Hardy:
1906 Heinrich Weber:   Man sagt, die Reihe  a₁+a₂+a₃+ ··· [...] konvergiert.  (Enzyklopädie der elementaren Algebra und Analyses, 2. Aufl., S.397)
2016 Josef Leydold:   Die Reihe der Folge ⟨a_i⟩ lautet   ⟨s_i⟩ = ⟨Σ_i=1^k 2i-1⟩  =  ⟨1,4,9,16,25,...⟩  =  ⟨k²⟩.  (Mathematik - Grundlagen, S.35) --

Leydold, S.35

Toevoegen voetnoten / Belege

Noch vier Einzelnachweisen bei:  "Zudem wurde eine unendlichen Zahlenfolge fast immer Reihe [...] genannt, ... .":
C.L.B. Susler,  A.L. Cauchy's Lehrbuch der algebraischen Analysis, 1828, S.92:
"Eine unbestimmte Reihenfolge von Größen [...] welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander abgeleitet werden können, heißt eine Reihe".
E.H. Schnuse,  A.L. Cauchy's Vorlesungen über die Differentialrechnung..., 1836, S.10:
"Eine Unbestimmte Folge von Größen [...] welche nach einem bestimmten Gesetze aus einander entstehen, heißt eine Reihe."
Schlömilch,  Handbuch der Mathematik, 2. Aufl., 1904:
"Eine Reihe besteht aus einer Anzahl von Gliedern, die nach demselben Gesetze gebildet sind."
Heinrich Weber, Enzyklopädie der elementaren Algebra und Analyses 2. Aufl. 1906, S. 397:
"Unter einer Zahlenreihe verstehen wir eine gesetzmäßige Aufeinanderfolge von Zahlen irgend welcher Art ..."
"Die Reihe der A_ν heißt die Summenreihe der Reihe der a_ν" .

"Revert unexplained removal of valid content."

Belege in WP-Artikel sollen die Nachprüfbarkeit von Informationen gewährleisten.
"zuverlässige Publikationen"

WP - Portal:Mathematik/Qualitätssicherung

Ich habe noch keine Reaktionen gesehen auf meinem Diskussionsbeitrag 1. Aug. 2017, Punkt 1:  "Weil die Glieder einer Folge immer die Partialsummen ihrer Differenzenfolge gleich sind, sollen 'Folge' und 'Reihe' synonym sein?".

Bitte "nicht hilfreich" (und "Sehe ich (auch) ähnlich") erklären auf Diskussion:Folge (Mathematik). Und erklären warum für Leser informativer geachtet wird:
      "Eine Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ ist, heißt
       eine Reihe",  und:  "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar."

Kmhkmh nennt "bestimmten mathematischen Begriffen". Bitte melden auf Diskussion:Folge (Mathematik) an welche 'mathematische Begriffe' hier referiert wird. Unter Beachtung von "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar."
Bitte gefundene Sprachfehler (und Grammatik- und Rechtschreibfehler) melden auf Diskussion:Folge (Mathematik).
Für "Differenzenform" und "Reihe(n)form", sehe Diskussion:Folge (Mathematik). --

Differenzenform

Ist "Form mit Differenzen" oder "Form mit Differenzen der Folgeglieder"  besser Leserfreundlich als "Differenzenform" ? Bitte Vorzüge hier melden.   Ähnlich mit "Reiheform" . --

Die obige Erklärung entspricht einfach dem, wie Reihen in Schule und Studium eingeführt werden. Wenn Du einen anderen didaktischen Zugang hast, dann schreib ein Lehrbuch. Falls sich dieses am Markt durchsetzen sollte, dann können wir auch den Artikel ändern.--S. K. Kwan (Diskussion) 12:51, 10. Aug. 2017 (CEST)

Frage: Was meinst Du, S.K. Kwan, mit "obige Erklärung" (wo 'Reihen eingeführt werden') ?
Sind es einige Sätze in Sektion "Angabe als Reihe"? Welche?   Bitte Antwort auf Diskussion:Folge (Mathematik)-- Hesselp (Diskussion) 13:36, 10. Aug. 2017 (CEST)

Die oben zitierte Erklärung, wie sie ursprünglich im Artikel stand:
"Eine Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ ist, heißt eine Reihe",  und:  "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar."
--S. K. Kwan (Diskussion) 14:01, 10. Aug. 2017 (CEST)

Danke, S. K. Kwan, für deine Erläuterung. Damit wird aber nicht klar warum Version 'Angabe als Reihe' für Leser 'hilfreicher' sein soll als Version 'Angabe mit Differenzen'.
Satz 1 unter 'Angabe als Reihe' ist Unsinn/nichtssagend (weil die dort genannte Kondition nicht selektiv ist, und also kein 'Reihebegriff' einführen kann). Deshalb sollen keine 'zuverlässige Publikationen' gefunden werden können zur Belegung. Also soll dieser Abschnitt ersetzt werden. -- Hesselp (Diskussion) 19:45, 10. Aug. 2017 (CEST)

Nicht alles, was sachlich richtig ist, muß auch in den jeweiligen Artikel. Die Artikel stellen immer eine Auswahl dar und orientieren sich dabei an dem, was auch in gängigen Lehrbüchern als wichtig angesehen wird.

Es gibt (nicht zuletzt auf dieser Qualitätssicherungsseite) genug Mathe-Artikel, bei denen man sinnvoll mitarbeiten kann ohne dass man unbedingt seine Privatpräferenzen in in jahrelanger Diskussion fertiggestellte Artikel zu Grundlagenthemen zu drücken versucht.--S. K. Kwan (Diskussion) 21:54, 10. Aug. 2017 (CEST)

@ S. K. Kwan: "Nicht alles...muß drin", okay.   "...immer eine Auswahl...", okay.
Die Sache ist aber, daß niemand hier die Aussage "Satz 1 unter 'Angabe als Reihe' ist Unsinn/nichtssagend (weil die dort genannte Kondition nicht selektiv ist, und also kein 'Reihebegriff' einführen kann)." bestreitet. Und auch daß eine (unbestritten, sehe Diskussion:Folge) alternative Text vorhanden ist (letzter Version hier). "Nicht hilfreich" wurde (noch) nicht erklärt.
Unter diesen Umständen ignoriere ich deine 'unbedingt seine Privatpräferenzen .. zu drücken'. (Hat WP etwas gegen Entfernung von Unsinn?) --

+1--Kmhkmh (Diskussion) 21:58, 10. Aug. 2017 (CEST)

ebenfalls +1. Bitte trage nicht deine Privatpräferenzen, wie Kwan richtig sagt, in den Artikel ein, schon gar nicht per EW.

Abgesehen davon: Auch die jetztige Def von Reihe im Artikel gibt es so in der Literatur nicht. Ich sehe allein in dem Absatz etwa ein Dutzend Fehler bzw. Ungenauigkeiten. Ich kümmere mich die Tage drum.--Frogfol (Diskussion) 22:28, 10. Aug. 2017 (CEST)

- "Privatpräferenzen"   Wo im Abschnitt  'Angabe mit 'Differenzen' [26]  siehst Du 'Privatpräferenzen'?   Dieser Text beschreibt die 'Angabe einer Folge mittels der Differenzen ihrer Glieder', zum Großteil übereinkommend mit was im Abschnitt 'Angabe als Reihe' steht (oder gemeint ist). Ohne das 'Satz 1 - Problem'. Ja?
- "...schon gar nicht per EW"   Meiner Textvorschlag steht seit 1. Augustus an der Diskussionsseite, ich habe deinen Kommentar nicht gesehen. Noch immer willkommen! --

Welche der sieben Sätze zeigen unerwünschte 'Privatpräferenzen' ?

Angabe mit Differenzen
¹Das $n$-te Glied einer beliebigen Folge $(s_{n})$ kann mittels der Differenzen   $a_{n+1}$= $s_{n+1}$−$s_{n}$  und  $a_{1}$= $s_{1}$  geschrieben als

$a_{1}+\cdots +a_{n}$  oder  $\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$.  

²Folge $(s_{n})$ kann also geschrieben als  $(a_{1}+\cdots +a_{n})_{n=1,2,\cdots }$  oder  $($$\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$$)$$_{n=1,2,\cdots }$ , obwohl man gewöhnlich die

etwas kürzere Formen  $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   und   $\sum$$_{i=1}^{\,\infty }a_{i}$  gebraucht.

³Wobei man beachten soll daß die beide letzte Formen auch für den - eventuelle - Grenzwert der Folge $(s_{n})$ benutzt werden.
⁴Eine solcher Differenzenform ist praktisch, wenn die Differenzen einfacher zu beschreiben sind als die Glieder selbst. ⁵Beispiel:

$1,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {5}{6}},\ {\frac {7}{12}},\ {\frac {42}{60}},\,\cdots$  =  $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$  =  $1,\ (1-{\frac {1}{2}}),\ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}),\ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}),\ \cdots$  =  $\sum$$_{i=1}^{\,\infty }\,(-1)^{n-1}/n$

mit Differenzenfolge  $-{\frac {1}{2}},\,+{\frac {1}{3}},\,-{\frac {1}{4}},\,+{\frac {1}{5}},\,\cdots$  =  $($${\frac {(-1)^{n}}{n+1}}$$)$$_{n=1,2,\cdots }$ .

⁶Anderseits soll eine arithmetische Folge nur selten in der Differenzenform  $a+d+d+d+\cdots$  geschrieben werden.
⁷Statt Differenzenform (oder Reiheform) wird meistens kurz Reihe gesagt. (Fußnote: 'Reiheform' wurde eindeutiger sein, weil 'Reihe' in vielen Bedeutungen vorkommt.)

2 Fragen: - Welche Sätze enthalten unerwünschte 'Privatpräferenzen' ?
- Welche Sätze enthalten 'in der Fachwelt vollkommen unübliche Begriffe' ? (sehe hier)
--

Setzt sich andauernd über die geführte Diskussion im Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Folge (Mathematik) hinweg. Führt Editwar gegen mehrere Benutzer und wurde bereits vor ein paar Tagen gesperrt. Ich sehe da nur einen Single Purpose Account der nicht etablierte Begriffsdefinitionen in den Artikel Folge (Mathematik) und Reihe (Mathematik) drücken will. Gruß  --JonskiC (Diskussion) 21:17, 13. Aug. 2017 (CEST)

1. Im Portal:Mathematik ist niemals den Text meiner Vorschläge und Edits inhaltlich mit Beispiele kritisiert. Nur nicht benannte, mir zugedachte 'Privatpreferenzen'.
2. "...vor ein paar Tagen gesperrt."   Habe ich nicht bemerkt. Ist das übrigens hier relevant?
3. Im Artikel Folge handelt es sich nicht um eine 'Begriffsdefinition', aber um die Beschreibung einer Weise von Angeben von (mathematischen) Folgen.   Und im Artikel Reihe geht es ebensowenig um eine 'Begriffsdefinition', aber um eine Verschärfung der Nomenklatur.
4. Auf meine Fragen um Beispiele (10. Aug., 10. Aug., 11. Aug., 12. Aug., 13. Aug. kommt kein Antwort.
Grüße (PS. Meine Muttersprache ist niederländisch.) --

Frogfol

@Frogfol. Du schreibst hier:   "Möchte per EW seine persönlichen Präferenzen im Artikel Folge (Mathematik) unterbringen (Diff1, Diff2, Diff3), entgegen der Diskussion im Portal, seine Begriffe in der Fachwelt vollkommen unüblich."
Bitte spezifizieren in welchen Sätzen in meinen Edits (unerwünschte) 'persönliche Präferenze' und 'in der Fachwelt vollkommen unübliche Begriffe' vorkommen.
Bis jetzt sind solche Präferenze und Begriffe nicht angewiesen. --

Einer meiner Privatpreferenzen ist der Wünsch die nichtssagende und darum verwirrende Satz "..." te vervangen door iets beters.

Sperrprüfung

1. Im Portal:Mathematik ist niemals den Text meiner Vorschläge und Edits inhaltlich mit Beispiele kritisiert. Nur nicht benannte, mir zugedachte 'Privatpreferenzen'.
2. "...vor ein paar Tagen gesperrt."   Habe ich nicht bemerkt. Ist das übrigens hier relevant?
3. Im Artikel Folge handelt es sich nicht um eine 'Begriffsdefinition', aber um die Beschreibung einer Weise von Angeben von (mathematischen) Folgen.   Und im Artikel Reihe geht es ebensowenig um eine 'Begriffsdefinition', aber um eine Verschärfung der Nomenklatur.
4. Auf meine Fragen um Beispiele (10. Aug., 10. Aug., 11. Aug., 12. Aug., 13. Aug.) kommt totall kein Antwort.
Grüße (PS. Meine Muttersprache ist niederländisch.)
-- Hesselp (Diskussion) 01:28, 14. Aug. 2017 (CEST)

5. Es handelt sich hier wesentlich nur um EINEN Satz. In Artikel 'Reihe': Intro Satz 1 Satz 3, und in Artikel 'Folge': Abschnitt 'Angabe als Reihe' Satz 1. Der Satz sagt: "Eine Folge deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge ist, heißt eine Reihe" .
Allen sind überein dass hier etwas nichtssagends steht (weil JEDER Folge angegeben kann mit ihrer Glieder-Differenzen statt ihrer Glieder selbst). Bin ich einen Vandal, weil ich deshalb diesen Satz auslassen will ? (Und keine andere Reaktion kommt als 'Privatpreferenzen'.) -- Hesselp (Diskussion) 07:56, 14. Aug. 2017 (CEST)

übertrag auf WP:SPP durch mich, JD.

Info {{{1}}}

VM --JD {æ} 16:31, 14. Aug. 2017 (CEST)

Die zweite VM war am 13. August, nicht am 14. August. Eine eskalierende Sperre, da Hesselp das konsenslose Verhalten fortsetzte, das am 11. August in dieser VM sanktioniert wurde. Führt Edit-War gegen mehreren Mitarbeitern des Portals Mathematik, siehe diese Portal-Diskussion. Bei der ersten VM ging es um den Artikel Folge (Mathematik), bei der zweiten ging es um Reihe (Mathematik). Das ganze hat anscheinend angefangen mit dem Artikel Cesàro-Mittel, siehe insbes. die ganze Diskussionsseite. Ab dem 1. August ging es los in Folge (Mathematik), zunächst mit diesem Diskussionsbeitrag. Im wesentlichen meint Hesselp, dass die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ synonym sind, und dass die fraglichen Artikel entsprechend umgeschrieben werden sollten. Er führt Argumente auf, aber keine Belege.

Die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ sind nicht synonym sondern lediglich äquivalent. Die Portal-Mitarbeiter weisen zu recht darauf hin, dass der bisherige Stand der beiden Artikel die Behandlung in allen einschlägigen Lehrbüchern entspricht. Hesselp antwortet nicht mit zuverlässigen Quellen, die seinen Standpunkt vertreten, sondern er bestreitet lediglich, dass man seinen Standpunkt argumentativ widerlegt hat. Ich finde, er will Theoriefindung per Edit-War in den Artikeln drücken.

Hesselp muss lernen, sich an WP:Q, WP:TF und WP:WAR zu halten. Die Sperre und ihre Länge sind richtig. --GroupCohomologist (Diskussion) 19:20, 14. Aug. 2017 (CEST)

Ich war überrascht, dass nur drei (3) Tage Sperre verhängt wurden. In der VM wurde ausdrücklich darauf hingewiesen, dass Hesselp das gleiche Verhalten in der en-WP zeigte. Dort wurde er sechs (6) Monate für bestimmte Themenbereiche gebannt: Auszug: "I don't see much indication that he sees anything objectionable about his behavior. In that case, the unconstructive time-wasting and edit-warring will likely continue". Einsicht zeigt er auch in der de-WP nicht, auch nicht in dieser Sperrprüfung. Der Sperrgrund ist nicht zu beanstanden, die Sperrlänge m. E. eher zu kurz, JD war da sehr gütig. --Siwibegewp (Diskussion) 20:16, 14. Aug. 2017 (CEST)

6. Benutzer GroupCohomologist schreibt: "Im wesentlichen meint Hesselp, dass die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ synonym sind,...".  Nein, GroupCohomologist, das habe ich niemals irgendwo geschrieben. Bitte komme mit Belege für deine Behauptung.
7. 'Synonym sein' hat nichts zu tun mit 'Begriffe', sondern mit Wörter / Nahmen / Nomenklatur.  Ja?
8. Bitte erkläre was Du meinst mit das 'äquivalent sein' von "Folge" und "Reihe". Gibt es Quellen hierzu? Ich habe nie von 'äquivalente Begriffe' gelesen.
9. Es geht mir um den nichtssagenden/verwirrenden Satz:  "Eine Folge, deren........, heißt eine Reihe" (der obigen Punkt 5).  Es sind noch keine zuverlässige Publikationen gezeigt wo erklärt wird welche Information dieser Satz dem Leser gibt.  Bitte zeige solche Quellen.
10. Das Wort  'Reihe'  wird in der Praxis nicht eindeutig gebraucht. Das ist keine Theoriefindung, aber eine Konstatierung in der Praxis. Haben wir hier Konzenz?  Beispiel: im Artikel 'Reihe' steht unter 'Definition' eine Bedeutung, und im Konzept 'Cesàro-Mittel' steht hier eine andere, inklusiv eine Reihe von Belege.
11. Benutzer GroupCohomologist schreibt auch: "Die Portal-Mitarbeiter weisen zu recht darauf hin, dass der bisherige Stand der beiden Artikel die Behandlung in allen einschlägigen Lehrbüchern entspricht. Hesselp antwortet nicht mit zuverlässigen Quellen,... ".   Ich antworte nicht? Ich habe mehrfach gewiesen auf eine Liste mit 30 verschiedene Versuche in 'Lehrbüchern' um 'Reihe' eine eindeutige Definition zu geben.  Diese Verschiedenheit ist nicht im Artikel 'Reihe' zurückzufinden.
12. Um EW.  Auf meinem Änderungsvorschlag in Diskussion:Reihe hat niemand reagiert. Und in Portal:Mathematik beschränkt sich der inthaltlichen Kommentar auf "Änderungen nicht hilfreich" (S. K. Kwan) und "versucht Privatpräferenzen in Artikel zu drücken" (S. K. Kwan und Frogfol). Auf meine Fragen um mehr Spezifizierung kommt kein Antwort.   Bin ich, Hesselp, unter diesen Umstände, der Edit-Warrior?  Ja? --

Volledige tekst van Seite 'Sperrprüfung'

Benutzer:Hesselp

wurde gesperrt von {{Admin-DC|JD}}.

Auf die Seite "Wikipedia:Vandalismusmeldung" kam 14. Aug. 21:17 eine Meldung von Benutzer JonskiC.  Ich wollte darauf reagieren (weil kein (mM) konkrete vandalistische Aktion meinerseits genennt wurde).  Aber ich war zu spät, am 22:07 wurde ich blokkiert. Hierunter meine Argumente; können Sie bitte kontrollieren ob meine Benehmen auf die Portalseite als vandalistisch und sperrwürdig gesehen werden kann/müß ?

1. Im Portal:Mathematik ist niemals den Text meiner Vorschläge und Edits inhaltlich mit Beispiele kritisiert. Nur nicht benannte, mir zugedachte 'Privatpreferenzen'.
2. "...vor ein paar Tagen gesperrt."   Habe ich nicht bemerkt. Ist das übrigens hier relevant?
3. Im Artikel Folge handelt es sich nicht um eine 'Begriffsdefinition', aber um die Beschreibung einer Weise von Angeben von (mathematischen) Folgen.   Und im Artikel Reihe geht es ebensowenig um eine 'Begriffsdefinition', aber um eine Verschärfung der Nomenklatur.
4. Auf meine Fragen um Beispiele (10. Aug., 10. Aug., 11. Aug., 12. Aug., 13. Aug.) kommt totall kein Antwort.
Grüße (PS. Meine Muttersprache ist niederländisch.)
-- Hesselp (Diskussion) 01:28, 14. Aug. 2017 (CEST)

5. Es handelt sich hier wesentlich nur um EINEN Satz. In Artikel 'Reihe': Intro Satz 1 Satz 3, und in Artikel 'Folge': Abschnitt 'Angabe als Reihe' Satz 1. Der Satz sagt: "Eine Folge deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge ist, heißt eine Reihe" .
Allen sind überein dass hier etwas nichtssagends steht (weil JEDER Folge angegeben kann mit ihrer Glieder-Differenzen statt ihrer Glieder selbst). Bin ich einen Vandal, weil ich deshalb diesen Satz auslassen will ? (Und keine andere Reaktion kommt als 'Privatpreferenzen'.) -- Hesselp (Diskussion) 07:56, 14. Aug. 2017 (CEST)

übertrag auf WP:SPP durch mich, JD.

Info {{{1}}}

VM --JD {æ} 16:31, 14. Aug. 2017 (CEST)

Die zweite VM war am 13. August, nicht am 14. August. Eine eskalierende Sperre, da Hesselp das konsenslose Verhalten fortsetzte, das am 11. August in dieser VM sanktioniert wurde. Führt Edit-War gegen mehreren Mitarbeitern des Portals Mathematik, siehe diese Portal-Diskussion. Bei der ersten VM ging es um den Artikel Folge (Mathematik), bei der zweiten ging es um Reihe (Mathematik). Das ganze hat anscheinend angefangen mit dem Artikel Cesàro-Mittel, siehe insbes. die ganze Diskussionsseite. Ab dem 1. August ging es los in Folge (Mathematik), zunächst mit diesem Diskussionsbeitrag. Im wesentlichen meint Hesselp, dass die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ synonym sind, und dass die fraglichen Artikel entsprechend umgeschrieben werden sollten. Er führt Argumente auf, aber keine Belege.

Die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ sind nicht synonym sondern lediglich äquivalent. Die Portal-Mitarbeiter weisen zu recht darauf hin, dass der bisherige Stand der beiden Artikel die Behandlung in allen einschlägigen Lehrbüchern entspricht. Hesselp antwortet nicht mit zuverlässigen Quellen, die seinen Standpunkt vertreten, sondern er bestreitet lediglich, dass man seinen Standpunkt argumentativ widerlegt hat. Ich finde, er will Theoriefindung per Edit-War in den Artikeln drücken.

Hesselp muss lernen, sich an WP:Q, WP:TF und WP:WAR zu halten. Die Sperre und ihre Länge sind richtig. --GroupCohomologist (Diskussion) 19:20, 14. Aug. 2017 (CEST)

Ich war überrascht, dass nur drei (3) Tage Sperre verhängt wurden. In der VM wurde ausdrücklich darauf hingewiesen, dass Hesselp das gleiche Verhalten in der en-WP zeigte. Dort wurde er sechs (6) Monate für bestimmte Themenbereiche gebannt: Auszug: "I don't see much indication that he sees anything objectionable about his behavior. In that case, the unconstructive time-wasting and edit-warring will likely continue". Einsicht zeigt er auch in der de-WP nicht, auch nicht in dieser Sperrprüfung. Der Sperrgrund ist nicht zu beanstanden, die Sperrlänge m. E. eher zu kurz, JD war da sehr gütig. --Siwibegewp (Diskussion) 20:16, 14. Aug. 2017 (CEST)

6. Benutzer GroupCohomologist schreibt: "Im wesentlichen meint Hesselp, dass die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ synonym sind,...".  Nein, GroupCohomologist, das habe ich niemals irgendwo geschrieben. Bitte komme mit Belege für deine Behauptung.
7. 'Synonym sein' hat nichts zu tun mit 'Begriffe', sondern mit Wörter / Nahmen / Nomenklatur.  Ja?
8. Bitte erkläre was Du meinst mit das 'äquivalent sein' von "Folge" und "Reihe". Gibt es Quellen hierzu? Ich habe nie von 'äquivalente Begriffe' gelesen.
9. Es geht mir um den nichtssagenden/verwirrenden Satz:  "Eine Folge, deren........, heißt eine Reihe" (der obigen Punkt 5).  Es sind noch keine zuverlässige Publikationen gezeigt wo erklärt wird welche Information dieser Satz dem Leser gibt.  Bitte zeige solche Quellen.
10. Das Wort  'Reihe'  wird in der Praxis nicht eindeutig gebraucht. Das ist keine Theoriefindung, aber eine Konstatierung in der Praxis. Haben wir hier Konzenz?  Beispiel: im Artikel 'Reihe' steht unter 'Definition' eine Bedeutung, und im Konzept 'Cesàro-Mittel' steht hier eine andere, inklusiv eine Reihe von Belege.
11. Benutzer GroupCohomologist schreibt auch: "Die Portal-Mitarbeiter weisen zu recht darauf hin, dass der bisherige Stand der beiden Artikel die Behandlung in allen einschlägigen Lehrbüchern entspricht. Hesselp antwortet nicht mit zuverlässigen Quellen,... ".   Ich antworte nicht? Ich habe mehrfach gewiesen auf eine Liste mit 30 verschiedene Versuche in 'Lehrbüchern' um 'Reihe' eine eindeutige Definition zu geben.  Diese Verschiedenheit ist nicht im Artikel 'Reihe' zurückzufinden.
12. Um EW.  Auf meinem Änderungsvorschlag in Diskussion:Reihe hat niemand reagiert. Und in Portal:Mathematik beschränkt sich der inthaltlichen Kommentar auf "Änderungen nicht hilfreich" (S. K. Kwan) und "versucht Privatpräferenzen in Artikel zu drücken" (S. K. Kwan und Frogfol). Auf meine Fragen um mehr Spezifizierung kommt kein Antwort.   Bin ich, Hesselp, unter diesen Umstände, der Edit-Warrior?  Ja? -- Hesselp (Diskussion) 22:56, 16. Aug. 2017 (CEST)

Sperre ist abgelaufen, hier kann geschlossen werden. Auf JD's Hinweis aus der Sperrbegründung: "unbedingt nach Sperrablauf Portaldiskussion abschließen und an dortiges Ergebnis halten." sei nochmals hingewiesen. --Siwibegewp (Diskussion) 00:52, 17. Aug. 2017 (CEST)

Wikipedia:Edit-War

Faustregeln zur Vermeidung: Wer eine Bearbeitung eines anderen Benutzers ohne offensichtlichen Grund (wie beispielsweise Vandalismus) rückgängig macht, sollte seinen Revert in der Zusammenfassungszeile oder auf der Diskussionsseite begründen. Wer eine so mit Begründung revertierte Bearbeitung erneut durchführen will, sollte zuvor die Diskussion mit dem Revertierenden (vorzugsweise auf der zum Artikel gehörenden Diskussionsseite) suchen und erst nach Vorliegen eines entsprechenden Diskussionsergebnisses bzw. bei Ausbleiben von Reaktionen nach einer angemessenen Wartefrist seine Bearbeitung wiederholen. Dies gilt nicht nur beim Wiederholen einer eigenen Bearbeitung, sondern auch von Bearbeitungen anderer. Auch sind bei erstmaligen Revertierungen aktuelle und dem Revertierenden bekannte frühere Diskussionen zu berücksichtigen.

Wer eine Bearbeitung eines anderen Benutzers ohne offensichtlichen Grund (wie beispielsweise Vandalismus) rückgängig macht, sollte seinen Revert in der Zusammenfassungszeile oder auf der Diskussionsseite begründen (Wikipedia:Edit-War)

Begründung Revert :, 18.Aug.2017: Inhaltliche Konsens bez. die Änderungen, sehe obige Diskussion. Eventuelle Ideen und Aktionen des Autors, sind hier nicht relevant.

22. Augustus a. Ich verstehe Deine Sperre-Argumentierung noch immer nicht. Du hast der Diskussionsseite (10 Zeilen) gelesen? Dort steht mein Argument. Und kein Wort dagegen. Das ist doch inhaltlich Konsensus?
b. In Wikipedia:Edit-War lese ich  " Wer eine Bearbeitung eines anderen Benutzers ohne offensichtlichen Grund (wie beispielsweise Vandalismus) rückgängig macht, sollte seinen Revert in der Zusammenfassungszeile oder auf der Diskussionsseite begründen."  Und: 'die Diskussion suchen' ....'nach Wartefrist wiederholen' ..... 'bei erstmaligen Revertierungen frühere Diskussionen berücksichtigen'. Wo habe ich diese Regeln übertreten?
c. Habe ich auch nicht hieroben (Punkte 1-12) die Diskussion gesucht?
d. Wo steht das 'Konsens' notwendig ist für eine (Sperrefreie) Bearbeitung/Zurücksetzung/Revert? (erwünscht, ja).--

Wo habe ich die Regeln übertreten?

1. Im Portal:Mathematik ist niemals den Text meiner Vorschläge und Edits inhaltlich mit Beispiele kritisiert . Nur nicht benannte, mir zugedachte 'Privatpreferenzen' sind kritisiert.
2. "...vor ein paar Tagen gesperrt."   Habe ich nicht bemerkt. Ist das übrigens hier relevant?
3. Im Artikel Folge handelt es sich nicht um eine 'Begriffsdefinition', aber um die Beschreibung einer Weise von Angeben von (mathematischen) Folgen.   Und im Artikel Reihe geht es ebensowenig um eine 'Begriffsdefinition', aber um eine Verschärfung der Nomenklatur.
4. Auf meine Fragen um Beispiele (10. Aug., 10. Aug., 11. Aug., 12. Aug., 13. Aug.) kommt totall kein Antwort.
5. Es handelt sich hier wesentlich nur um EINEN Satz. In Artikel 'Reihe': Intro Satz 1 Satz 3, und in Artikel 'Folge': Abschnitt 'Angabe als Reihe' Satz 1. Der Satz sagt: "Eine Folge deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge ist, heißt eine Reihe" .
Allen sind überein dass hier etwas nichtssagends steht (weil JEDER Folge angegeben kann mit ihrer Glieder-Differenzen statt ihrer Glieder selbst). Bin ich einen Vandal, weil ich deshalb diesen Satz auslassen will ? (Und keine andere Reaktion kommt als 'Privatpreferenzen'.)
6. Benutzer GroupCohomologist schreibt hier: "Im wesentlichen meint Hesselp, dass die Begriffe „Folge“ und „Reihe“ synonym sind,...".  Nein, GroupCohomologist, das habe ich niemals irgendwo geschrieben. Bitte komme mit Belege für deine Behauptung.
7. 'Synonym sein' hat nichts zu tun mit 'Begriffe', sondern mit Wörter / Nahmen / Nomenklatur.  Ja?
8. Bitte erkläre was gemeint ist mit das 'äquivalent sein' von "Folge" und "Reihe". Gibt es Quellen hierzu? Ich habe nie von 'äquivalente Begriffe' gelesen.
9. Es geht mir um den nichtssagenden/verwirrenden Satz:  "Eine Folge, deren........, heißt eine Reihe" (der obigen Punkt 5).  Es sind noch keine zuverlässige Publikationen gezeigt wo erklärt wird welche Information dieser Satz dem Leser gibt.  Bitte zeige solche Quellen.
10. Das Wort  'Reihe'  wird in der Praxis nicht eindeutig gebraucht. Das ist keine Theoriefindung, aber eine Konstatierung in der Praxis. Haben wir hier Konsens?  Beispiel: im Artikel 'Reihe' steht unter 'Definition' eine Bedeutung, und im Konzept 'Cesàro-Mittel' steht hier eine andere, inklusiv eine Reihe von Belege.
11. Benutzer GroupCohomologist schreibt auch: "Die Portal-Mitarbeiter weisen zu recht darauf hin, dass der bisherige Stand der beiden Artikel die Behandlung in allen einschlägigen Lehrbüchern entspricht. Hesselp antwortet nicht mit zuverlässigen Quellen,... ".   Ich antworte nicht? Ich habe mehrfach gewiesen auf eine Liste mit 30 verschiedene Versuche in 'Lehrbüchern' um 'Reihe' eine eindeutige Definition zu geben.  Diese Verschiedenheit ist nicht im Artikel 'Reihe' zurückzufinden.
12. Um EW.  Auf meinem Änderungsvorschlag in Diskussion:Reihe hat niemand reagiert. Und in Portal:Mathematik beschränkt sich der inthaltlichen Kommentar auf  "Änderungen nicht hilfreich" (S. K. Kwan) und "versucht Privatpräferenzen in Artikel zu drücken" (S. K. Kwan und Frogfol). Auf meine Fragen um mehr Spezifizierung kommt kein Antwort.   Bin ich, Hesselp, unter diesen Umstände, der Edit-Warrior?  Ja? --

JoskiC - Ausklappen - Einklappen

Über mich: 24 Jahre alt, Wissenschaftliche Hilfskraft im Bereich Statistik/Ökonometrie. Einklappen - Ausklappen

22. Augustus, Werner von Basil

@Werner von Basil.   Meinen Kommentar zu Deinem Text habe ich hierunter eingefügt.

Nochmals zum Verständnis: ein Konsens bestand nicht und besteht nicht, bzw. Du hast bislang für die von dir gewünschte Änderung keinen erzielt.
        Hesselp: Du sprichtst völlig in Rätsel. Warum sagst Du dass kein Konsens besteht bez. mein Vorschlag in de Diskussionsseite Reihe (Mathematik)? Niemand hat bisher, auch nicht auf die Seite 'Portal:Mathematik/Qualitätssicherung', auch nicht auf die Seite 'Diskussion:Cesàro-Mittel' mein Vorschlag kritisiert oder inhaltlich kommentiert.

Siehe hierzu auch nochmals in die VM-Entscheidung vom 13. August auf Grund derer Du für drei Tage gesperrt wurdest: Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2017/08/13#Benutzer:Hesselp.
        Hesselp: Ich habe nochmals gesehen. Und kein Wort inhaltlich Kommentar auf mein Vorschlag in de Diskussionsseite Reihe (Mathematik) gefunden. Hast Du?

Nach deren Ablauf hast Du genau nicht das getan, was Du hättest machen sollen, sondern den Edit-War gleichlautend wieder aufgenommen. Es ist dabei, auch das als Wiederholung, nicht entscheidend ob Du Deine im Edit-War-Modus durchgeführte Änderung mit einer Kommentierung in der Zusammenfassungszeile versiehst, sondern vielmehr, das es weiterhin eines Konsens dahingehend ermangelt, das diese Änderung überhaupt erfolgen soll.
        Hesselp: Was könnte/sollte ich tun, weil sich seit 2. Augustus niemand mit Kritik bez. mein Vorschlag in der Diskussiosseite gemeldet hat?

Aktuell wurden dir für sieben Tage die Schreibrechte entzogen.
        Hesselp: Für vierzehn Tage (19. Aug. - 2. Sep.)

Vor drei Tagen hast Du um Entsperrung zur Einlegung einer Sperrprüfung gebeten - ohne diese bisher zu beantragen.         Hesselp: Hieroben schrieb ich an Dir:  "@Werner von Basil: – Sperrprüfung gewünscht. --Hesselp (Diskussion) 16:44, 19. Aug. 2017 (CEST)". Ähnlich wie beim vorigen Sperre (01:28, 14. Aug. 2017 (CEST)).   Bitte erkläre was Du meinst mit "ohne diese bisher zu beantragen".   Ist "Sperrprüfung gewünscht", mit acht Zeilen Erläuterung, nicht klar genug?

Vielmehr bist Du darum bemüht mit mir einen inhaltlichen Diskurs zu führen. Als Admin kann und werde ich diesen jedoch nicht führen. Aber auch dies schrieb ich dir bereits hier drüber.
        Hesselp: Nein, keine inhaltliche Diskurs mit Dir; ich fragte nur zu konstatieren dass in der Disk (10 Zeilen) kein kritisch Wort zu finden ist.

Inhaltliche Fragen klären die Benutzer untereinander, auf den einschlägigen Diskussionsseiten oder / und durch Hinzuziehung einer 3. Meinung, sie werden jedoch nicht durch einen Adminentscheid beantwortet.
        Hesselp: "untereinander" - ja; aber dann soll die Kritik zuerst in der Disk sichtbar sein müssen. Bis heute nicht.

Solltest Du bis morgen weiterhin auf die Einlegung der Sperrprüfung verzichten, werde ich die Sperrparameter wieder einsetzen.
        Hesselp: Ich weiss nicht was Du meinst mit 'Einlegung der Sperrprüfung' und 'Sperrparameter'. (Habe ich in sieben Wochen noch nicht gelernt.)

PS-1: Ich sehe gerne Deine Antwort auf:  d. Wo steht das 'Konsens' notwendig ist für eine (Sperrerisiko-freie) Bearbeitung/Zurücksetzung/Revert? (Erwünscht, ja).

PS-2: Ich bin von diesem Moment ab, bis Samstagabend 26. Augustus 2017, völlig OFF-LINE. --

Dritte Meinung

Im WP-Artikel Reihe (Mathematik) lautet Satz 3:  "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind.".  Dieser Satz ist nichtssagend, weil die Glieder JEDER Folge a1, a2, a3, ... die Partialsummen ihrer Differenzenfolge a1, a2-a1, a3-a2, ... sind.  Diese Tatsache wird in

Diskussion:Folge (Mathematik)

Satz 1 des heutigen Abschnitts Angabe als Reihe ist sinnlos

Sinnlos, weil JEDER Folge identisch mit der Partialsummenfolge ihrer Differenzenfolge ist.
Eine Alternative für diesen Abschnitt ist möglicherweise:

Angabe mit Differenzen
Das $n$-te Glied einer beliebigen Folge $(s_{n})$ kann mittels der Differenzen   $a_{n+1}$= $s_{n+1}$−$s_{n}$  und  $a_{1}$= $s_{1}$−$\,0$  geschrieben als

$a_{1}+\cdots +a_{n}$  oder  $\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$.  

Folge $(s_{n})$ kann also geschrieben als  $(a_{1}+\cdots +a_{n})_{n=1,2,\cdots }$  oder  $($$\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$$)$$_{n=1,2,\cdots }$ , obwohl man gewöhnlich die

etwas kürzere Formen  $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   und   $\sum$$_{i=1}^{\,\infty }a_{i}$  gebraucht.

Wobei man beachten soll daß die beide letzte Formen auch für den - eventuelle - Grenzwert der Folge $(s_{n})$ benutzt werden.
Eine solcher 'Differenzenform' ist praktisch, wenn die Differenzen einfacher zu beschreiben sind als die Glieder selbst.
Beispiel:
Die Folge  $1,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {5}{6}},\ {\frac {7}{12}},\ {\frac {42}{60}},\,\cdots$   kann mittels ihrer Differenzen  $-{\frac {1}{2}},\,+{\frac {1}{3}},\,-{\frac {1}{4}},\,+{\frac {1}{5}},\,\cdots$  (die Glieder ihrer Differenzenfolge) angegeben als  $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$  (Kurzform für  $1,\ \ (1-{\frac {1}{2}}),\ \ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}),\ \ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}),\ \cdots$  ).

Anderseits soll eine arithmetische Folge nur selten in der Differenzenform  $a+d+d+d+\cdots$  angegeben werden.
Statt Differenzenform (oder Reiheform) wird meistens kurz Reihe gesagt.

- Wer hat Kommentar bei diesem Text?
- @S. K. Kwan. ([27])  Wo ist dieser Text weniger hilfreich als der heutige?
- @S. K. Kwan. ([28])  Was ist als unerwünschte 'Privatpräferenz' zu sehen und nicht in gänglichen Lehrbüchern zu finden?
- @HilberTraum. ([29])  Differenzenform einer Folge (und  Reihe(n)form einer Folge) ist hier kurz für: Angabe einer Folge mittels der Glieder der Differenzenfolge dieser Folge. Genau was dieser Abschnitt zeigen will, also keine 'Begriffsfindung'.
- Wer bestreitet das meinungslos sein von Satz 1 ? (Daß der Satz schon seit 14. Oktober 2004 hier steht ist interessant, ist aber kein inhaltlich Argument zur Beibehaltung.) --

Die Partialsummenfolge der Folge (a_n) kann benannt mit "Reihe zu (a_n)"; nicht nur "Reihe"

Beim Abschnitt 'Definition':
Die Glieder $s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}$ der 'neuen Folge' können nicht selektiv benannt werden mit  "($n$-te) Partialsummen", aber z.B. mit  "($n$-te) Partialsumme der Folge (a_n)".
Ebenso nicht nur "Reihe" aber (eventuell) "Reihe zu (a_n)" oder "Reihe zur Folge (a_n)" zur Benennung von die Partialsummenfolge der Folge (a_n).
Korrekt?  Falls nein, warum nicht?

Neben das logische Argument, stehen Quellen:
- Barner-Flor, Analysis I (1974) S. 141:   Die Zahlenfolge  $($$\sum$$_{k=0}^{\ n}a_{k}$$)$ bezeichnet man als die zu $(a_{k})$ gehörende unendliche Reihe.
- Josef Leydold, Mathematik Grundlagen (Wien 2016) S. 34:  "Die Folge ⟨$s_{k}$⟩ aller Teilsummen einer Folge ⟨$a_{i}$⟩ heißt die Reihe der Folge ⟨$a_{i}$⟩."
- TU Darmstadt/Mathematik (2009), Kapitel 7 Reihen, S.50:  "Man bezeichnet die Folge $(s_{m})_{m}$ als die Reihe und die Folgenglieder $s_{m}$ als die Partialsummen zur Folge $(a_{n})_{n}$".
- Beni Keller (Uni-Zürich) Folgen und Reihen (2017), S. 4:  "Die Folge $(s_{m})[...]$ nennen wir Reihe der Folge $(a_{n})$.   Das Glied $s_{n}$ nennen wir $n$-te Teilsumme der Folge $a$, ..." .
- Kmhkmh 5. Juli 2017:  "Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$"
--

@Stephan Kulla. Deine Bearbeitung der Sektion 'Definition' hilft nicht. Denn, wie schon hier und hier (mit Quellen) geschrieben, die Folge der aus einer gegebenen Folge $(a_{n})$ gebildete Teilsummen, kann nicht mit nur "Reihe" bezeichnet werden. (Aber - z. B. - mit "Reihe zu $(a_{n})$" oder "Reihe zur Folge $(a_{n})$" oder "Reihe zur gegebenen Folge" oder ....). Die kurze unspezifizierte Bezeichnung "Reihe" wäre hier nur ein Synonym für "Folge" sein (weil JEDER Folge identisch mit der Partialsummenfolge ihrer Differenzenfolge ist).
Wer kennt und nennt hier Argumente dagegen? --

Vorschlag Definitions/Nomenklatur? Text na 2 September 2017

Änderungen im Abschnitt 'Definition': Vorschlag 6. Sept., Fragen

Definition
Die Partialsummenfolge (Teilsummenfolge, Summenfolge)  $a_{1},\ a_{1}+a_{2},\ a_{1}+a_{2}+a_{3},\cdots$  einer gegebener Folge  $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\cdots$  wird auch  Reihe der gegebener Folge  (Reihe zur Folge a-n,  Reihe zu a-n ) genannt.  Und wird geschrieben:  Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$,  oder nur:  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$.

Für ihrer eventuelle Grenzwert wird  Wert der Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$  benutzt.  Oft auch  Summe der Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$  (weniger logisch weil es nicht die Summe der Partialsummenfolge betrifft).

Beispiel:  Die Folge  1, 2, 3, 4, 5, ··· ist Partialsummenfolge der Folge 1, 1, 1, ···; kann also mit Reihe zum Folge 1, 1, 1, ···  bezeichnet werden.

- Wer hat Kommentar beim obigen Text?
- Wer kann hier zeigen welche Information der Leser finden kann in der heutigen Version (Stephan Kulla), aber nicht im obigen Vorschlag (Hesselp)?
- Wer kann hier mit Argumente bestreiten daß die heutige Sektion 'Definition' impliziert daß alle Folgen auch "Reihe" heißen?  Gegenbeispiel?
- Die heutige Version nennt Otto Forsters Analysis, Band 1 als Quelle.  Er schreibt (4. Aufl. 1983):
        Die Folge der Partialsummen einer Folge $(a_{n})$ heisst  (unendliche) Reihe  und wird mit  $\sum$$_{k=1}^{\ \infty }a_{k}$  bezeichnet.
Also kommt im symbolischen Ausdruck die gegebene Folge vor, im verbalen Ausdruck aber nicht.  Wer kann diese Inkonsequenz rechtfertigen?  Sonst die Quelle streichen.
--

- Wer bestreitet dass WP bekennen moet dat het woord "Reihe" in de calculus in meerdere betekenissen gebruikt wordt? (Zie ook de grote variatie in de leerboeken) Zou dit artikel dit niet ook moeten laten zien?

Summe der Folge = Wert der Reihe

Wird aus den n n -ten Partialsummen eine Folge {sn}∞n=0 {sn}n=0∞

gebildet, so heißt die Folge der Partialsummen Reihe. Konvergiert diese Folge gegen eine Zahl s

s , so heißt s s

Summe der Folge {ak}∞k=0

{ak}k=0∞

oder Grenzwert der Reihe. 

Vragen aan Werner von B. of er nu genoeg gediskt is.

Omdat het zo in een boek staat?

Differenzenfolge

In der Reihenlehre handelt es sich um Vorstellungen von Folgen mittels der Glieder ihrer Differenzenfolgen.

Zusamenfassung: Wichtigste Anwendung (Reihenlehre) nennen in der Einleitung.

Geschichte?

• Früher sollte Reihe (auch Progression, lat. series oder progressio) Folge bedeutet haben oder ein Oberbegriff für Folge und Reihe gewesen sein; siehe z.B. books.google.de/books?hl=de&id=iKxeAAAAcAAJ&pg=PA165 oder www.zeno.org/Pierer-1857/A/Reihe .
• Nach der Einleitung hier mit "unendliche Reihe" könnte Reihe früher auch Summen ("endliche Reihen") bezeichnet haben.

Wäre schön, wenn hier mehr zur Begriffsgeschichte stünde. -80.133.117.68 18:11, 6. Dez. 2015 (CET)

Auch Bourbaki (= Encyclopedia of Mathematics; of toch niet? nakijken!)

Textvorschlag 10 Sep. 2017

Das Resultat der Bearbeitung einer Textversion (von Leif Czerny am 3. August 2017 hier angelegt) steht hierunter:

Die arithmetischen Mittel der Glieder 1 bis n einer Folge heißen Cesàro-Mittel der Folge; wenn sich diese Mittel einen Grenzwert nähern nennt man die Folge Cesàro-konvergent und der Grenzwert Cesàro-Grenzwert der Folge.
Eine Folge heißt Cesàro-summierbar wenn ihrer Partialsummenfolge Cesàro-konvergent ist.
Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück. Sie ist insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung.

Wenn sich die Glieder

$\qquad \qquad \ \ a_{i}$

einer Folge $(a_{i})$, für $i\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt die Folge $(a_{i})$ konvergent.

Wenn sich die arithmetischen Mittel

$\qquad {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}$

der $n$ Anfangsglieder einer Folge $(a_{i})$, für $n\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$ Cesàro-konvergent, C1-konvergent oder C₁-limitierbar, und der Grenzwert Cesàro-Grenzwert der Folge.

Durch den Cauchyschen Grenzwertsatz läßt sich zeigen, dass der Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge dem normalen Grenzwert dieser Folge gleich ist.

Wenn sich die Partialsummen

$\qquad a_{1}+\cdots +a_{n}$

der $n$ Anfangsglieder einer Folge $(a_{i})$, für $k\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$ summierbar, und der Grenzwert Summe der Folge.

Wenn sich die arithmetischen Mittel

$\qquad {\frac {s_{1}+\ldots +s_{k}}{k}}$

der $k$ Anfangsglieder der Partialsummenfolge $(s_{n})=(a_{1}+\cdots +a_{n})$ einer Folge $(a_{i})$, für $k\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$ Cesàro-summierbar oder C1-summierbar, und der Grenzwert Cesàro-Summe der Folge.
Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der normalen Summe dieser Folge gleich.

Vor dem 20. Jahrhundert wurde  konvergent sein (und  konvergieren)  sowohl für  'ein Grenzwert haben'  als auch für  'eine Summe haben'  gebraucht.  Zudem wurde eine unendlichen Zahlenfolge fast immer Reihe genannt.   Infolgedessen wird noch immer oft von konvergenter Reihe oder, seltener, von summierbarer Reihe gesprochen (statt summierbarer Folge), wenn sich die Partialsummen einer Folge die 'Summe der Reihe' (Summe der Folge) nähern.
Ebenso wird Cesàro-summierbare Reihe (seltener Cesàro-konvergente Reihe), und Cesàro-Summe einer Reihe gesagt.

Das Wort 'Reihe' kann vorkommen in eindeutig definierte zusammengesetzte Namen, aber das Wort selbst hat in der Praxis keine eindeutige mathematische Bedeutung.

Zur divergenten Folge
        1,  -1,  1,  -1,  1,  ···  (Grandi-Folge)
gehören die Cesàro-Mittel:
        1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,  1/5,  0,  1/6,  0,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heißt die Grandi-Folge Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.

Zu der nicht summierbaren Grandi-Folge gehört die divergente Partialsummen-Folge
        1,  0,  1,  0,  1,  ···
mit Cesàro-Mittel:
        1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   3/5,  3/6,   4/7,  4/8,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heißt die Grandi-Folge Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2.

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kerne in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
• Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
• Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94-118, insbesondere S. 96

<!--{{SORTIERUNG:Cesaro Mittel}}--> [[:Kategorie:Folgen und Reihen]] [[:Kategorie:Analysis]] [[en:Cesàro mean]] [[fr:Moyenne de Cesàro]]

- Wer hat Kommentar?
- Am 3. Juli schrieb Kmhkmh hier oben:
      Die "kürzere" Verson ist weder enzyklopädischer noch verständlicher und enthält weniger Detailinformationen.
Die Fragen hierzu:
      Bei: "Weniger Detailinformationen im Hesselp-Version":   Kann Kmhkmh Beispiele geben? Und angeben warum dieser die       Darstellung für Leser verständlicher machen?
sind bisher nicht beantwortet.
-

Cesàro-Mittel

Hallo, mein Freund. ich hatte das alles doch schon einmal (2./3. Aug.)durchgearbeitet. Es fängt doch schon bei den Überschriften mir mehrfachen Leerzeichen und Gedankenstrichen an- was soll der Quatsch? Jede noch so kleine Wissenschaftliche Zeitschrift erwartet, dass man sich an die Formatierungsregeln hält, wenn man einen Beitrag einreicht, das ist hier nicht anders. Auch ungrammatische Formulierungen und hausgemachte Lehnübersetzungen sind einfach ein Unding. Man kann nicht darauf bestehen, mitmachen zu dürfen, wenn man dann von vornherein alles ganz anders machen will. Da überrascht es nicht, wen die Kollegen aus der Mathematik-Redaktion dich inhaltlich auch nicht ernst nehmen. Bitte unterlasse das posten weiterer Textvorschläge, solange sie in diesen Hinsichten mangelhaft sind.-- Leif Czerny 20:34, 12. Sep. 2017 (CEST)

Was soll der Quatsch?   Bitte sehe Hinweis-1: "Diskutiere bitte sachlich und freundlich."
Ich wiederhole:
- Bitte anzeigen wo Du noch einige sprachliche Fehler und einige Formatierungs-Fehler siehst.
- Bitte inhaltlich reagieren auf Punkte a, f, f1, f2, f3.
- "Unüblich (4. Aug. 2017) ≠ "unzulässig".
Dabei:
- Zu  "Jede noch so kleine Wissenschaftliche Zeitschrift erwartet, dass man sich an die Formatierungsregeln hält, wenn man einen Beitrag einreicht, das ist hier nicht anders.":   bitte zeige hier die WP-Formatierungsregeln bezüglich die oben erwähnte Punkte a, f, f1, f2, f3.   Welche sind adviserend, welche verpflichtend?   Grüße --

Kmhkmh == Terminologie == Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe $\textstyle \sum a_{n}$ haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder $C_{1}$-summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkreit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe $\textstyle \sum a_{n}$ entspricht.

Achselzuckend?]  [Bearbeiten]   [Bearbeiten]

Wo Leif Czerny schreibt (10. Sep. 2017):
"diverses, ...... hast Du jetzt achselzuckend wieder rückgängig gemacht"
hätte er mehr wahrheitsgemäß schreiben können:
"diverses, ...... hast Du jetzt aufgrund bisher unbestrittene Argumente (12 Aug. 2017), wieder vorgeschlagen". --

Ich brauche mich von Dir nicht diffamieren zu lassen. Sich nicht an Sprach- und Layoutkonventionen halten zu wollen, bis einem jemand persönlich darlegt, dass man es vielleicht doch machen sollte, sich nicht an Absprachen halten und notwendige Schritte auslassen wollen, aber dann andere persönlich anzugreifen, weil sie keine Lust haben, sich mit einem fehlerbehafteten Vorschlag auseinanderzusetzen, bevor die Mängel auch nur ansatzweise beseitigt sind... das hat so alles keinen Sinn. Bitte suche dir einen Mentor (WP:Mentorenprogramm). ich werde mit dir so nicht mehr zusammenarbeiten.-- Leif Czerny 12:19, 18. Sep. 2017 (CEST)

@Leif Czerny. Punkt für Punkt (insoweit es den Artikeltext betrifft):
1.   "Sprachkonvention(en)"
1a.  Betreffs zulaufen/streben/nähern:  "Sich nähern" ist gar nicht ungewöhnlich, ich nennte bereits Von Mangoldt, Knopp, Courant/Robbins, Leydold S.35.  Dabei: der WP-Artikel Grenzwert (Folge) hat 'nähert sie sich'; Grenzwert (Funktion) hat 'sich annähert'; Mathe für Nicht-Freaks hat 'die Folgenglieder [...] nähern sich von oben'.
1b.  Sind auch andere Sprachkonventionen gemeint? Falls ja, welche?
1c.  Hier (11. September 2017) sprichst du von 'immer noch einige sprachliche Fehler'; ohne Spezifizierung sind sie nicht zu finden.
1d.  Und hier (12 September 2017) sprichst du von 'ungrammatische Formulierungen und hausgemachte Lehnübersetzungen'; idem.
2.   Layoutkonvention(en)
2a.  Betriffs variabele Leerschritte: ich habe mittlerweile gelernt dass die deutsche Typographie sich allmählich geändert hat. (Vor einem Jahrhundert - und auch später - war eine größere Leerschritt zwischen Sätze ganz normal. Auch jetzt gibt's noch Ausnahmen: sehe der etwa dreifache Leerschritt in alle Überschriften in WP-Artikel.) Im 'Textvorschlag 10 Sep. 2017' sind Layout-Änderungen gemacht.
2b.  Sind auch andere Layoutkonventionen gemeint? Falls ja, welche?
--

Als Fließtext oder Lauftext bezeichnet man im Schriftsatz durchgängigen Text, soweit dieser in einem Stück und ohne Unterbrechungen durch Absätze, Überschriften, Abbildungen, Fußnoten und Ähnliches gesetzt wird.

Viermal inkonsequent

Satz 3 der heutigen Intro spricht von "den Grenzwert". Gemeint ist hier: den Grenzwert einer Reihe (= den Grenzwert der Partialsummenfolge einer Folge (a_n) ).  Dieser Grenzwert kann aber nicht bezeichnet als:  der C-Summe der Partialsummenfolge der Folge (a_n).  Die C-Summe einer Folge ≠ ihrer C-Grenzwert.

Im Artikel Reihe (Mathematik) ist  "Reihe $\textstyle \sum a_{n}$"  definiert als  "Partialsummenfolge der Folge (a_n)" .
Also kann Satz 2 im Abschitt 'Spezialfall Reihen' gelesen als:  Zu einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sind die Partialsummen der Partialsummenfolge der Folge (a_n) definiert als: ....  Aber es betrifft hier nicht  'Partialsummen der Partialsummen'.

Ebenso kann Satz 2 im Abschitt 'Terminologie' gelesen als:   Bezogen auf der Partialsummenfolge einer Folge (a_n) haben die Bezeichnungen C-konvergent und C-summierbar die gleiche Bedeutung.   Aber....dieser Satz ist unwahr:  die Summenfolge einer Folge (a_n)  kann C-konvergent sein und zugleich doch nicht C-summierbar.

Auch Satz 4 dieses Abschnitts ist nicht korrekt: das "C-Summierbar sein einer Folge" ist nicht gleichbedeutend mit das "C-Summierbar sein der Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen".
--

Spezialfall Reihen Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe.

Satz 1 im Abschitt 'Spezialfall Reihen'

".... auf Reihe, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe" - Zirkelschluss

Differenzenfolgen

Bemerkungen

Differenzenfolgen in der Reihenlehre

In der Reihenlehre handelt es sich um Vorstellungen von Folgen mittels der Glieder ihrer Differenzenfolgen.  Darauf kann hingewiesen werden mit folgender Quelle:
Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis 1, 1984, S. 188:  "Das Eigentümliche der Reihenlehre besteht somit darin, Aussagen über eine vorgegebene Folge (s_n) nicht durch unmittelbare Betrachtungen der Glieder s_n, sondern durch Untersuchung einer Hilfsfolge, nämlich der Differenzenfolge (s_n − s_{n −} 1)  zu gewinnen."
Wer hat Argumente dafür oder dagegen? --

"keine Reihe im üblichen Sinne" ?

Im Artikel Reihe sagt Satz 3:  "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."
Im Artikel Differenzenfolge sagt (unter 'Eigenschaften') Satz 3:  "Nach Newton lässt sich jede Folge auch mit ihren Differenzenfolgen [...] darstellen".  (Deshalb kann jede Folge auch 'Reihe' genennt werden.)
Und hier im Artikel 'Folge', sagen Satz 1, 8 und 9 dasselbe.
Also: warum soll eine Differenzenfolge nicht eine Reihe (im üblichen Sinne) heißen können? --

"entsteht durch Bilden der Differenzen" ?

Das Artikel fängt an mit:
"Die Differenzenfolge [...] einer gegebenen Zahlenfolge entsteht in der Mathematik durch Bilden der Differenzen [...]".
Das ist, mMn, sehr weit von dem in einer Enzyklopädie üblichen Stil.  Alternative:
"Die Differenzenfolge einer gegebenen Zahlenfolge hat als Glieder die Differenzen von je zwei benachbarten Glieder der gegebenen Folge."
Und mehr genau im nächsten Sektion:
Mit  die Differenzenfolge einer unendlichen Zahlenfolge $(a_{n})_{n\geq 0}$   kann hingewiesen auf:
1.  der unendlichen Folge $(d_{n})_{n\geq 0}$ mit  $d_{n}=a_{n+1}-a_{n},\ \ n=0,1,2,\dots$
2.  der unendlichen Folge $(\delta _{n})_{n\geq 0}$ mit  $\delta _{0}=a_{0},\ \ \delta _{n+1}=a_{n+1}-a_{n},\ \ n=0,1,2,\dots$

Wer hat Kommentar, wer kennt zwei verschiedene Nahmen? --

Tsirel

Maybe I understand

Maybe I understand your point, at last!

Here is my guess. We have here another oddity of mathematical terminology. (Strangely I did not note it before.) First, both notations, $a_{1}+a_{2}+\dots$ and $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$ are ambiguous; depending on the context they may denote either a series (that has terms and partial sums), or the sum of this series! Examples:

(a) the series $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}$ converges absolutely;

(b) according to Euler, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}};$

in (a) the expression denotes the series, but in (b) a similar expression denotes the sum of the series.

Is the word "series" ambiguous in the same way? Probably, less ambiguous, since usually one writes "sum of the series", not just "series", when the sum is meant. But probably a less accurate language is used sometimes, like this:

(c) the series $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {0.9^{n}}{n^{2}}}$ does not exceed $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}};$

in this phrase the "series" does not exceed a number, therefore the "series" is interpreted as a number. Though, one may say that no, the author uses element-wise inequality between one series and another series, and deduces inequality between their sums.

Does a similar oddity apply to integrals? Usually, $\int _{0}^{1}x\,dx$ denotes the number ${\frac {1}{2}}$ (rather than the whole integrand function). But probably a less accurate language is used sometimes, like this:

(d) all Riemann sums for $\int _{0}^{1}x\,dx$ are less than 1;

(e) the integral $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$ is not absolutely convergent;

surely in (d) one does not mean Riemann sums for the number ${\frac {1}{2}},$ and in (e) one does not mean that a number could be absolutely convergent. Boris Tsirelson (talk) 18:59, 29 June 2017 (UTC)

Tsirel, you write (18:59, 29 June) on the (regrettable) fact that the capital-sigma form (and the pluses-bullets form) is used to denote a number as well as a not-number (a 'series', whatever it may be).  In the WP-article you can see this double-meaning, just before the subhead 'Convergent series'.  Many authors use the same forms also in a third meaning: to denote the sum sequence of a given sequence.
But this is NOT my point (not one of my points). What I want is: to make clear in the WP-article why a student should believe in the existence of a 'mathematical object' (a 'series') somewhere between:  a sequence, its sum sequence, and its (eventual) sum. Why should students have to learn to manipulate with this (difficult to define: see the wealth of contradicting sources) 'object' ? -- Hesselp (talk) 23:13, 29 June 2017 (UTC)

I see. Well, then we basically return to the beginning of this section:

Mathematically, I like the point of view pushed by you. I happen to teach analysis only in the second year. But if I taught it in the first year, maybe I would follow you, saying "summable sequence" and "series representation", never just "series".

However, note a difference: on my courses I am the decision maker; here on Wikipedia I am not. Here a point of view cannot be presented until/unless it is widely used. And if it is, it must be presented with "due weight".

Locally, on many points I fail to understand you. Nevertheless, globally I (seem to) understand, and to some extent I tend to agree that the language of the series theory could be better.

Now the question is, how can you push your point of view. Here on Wikipedia the argument that "your" language is better does not work. Wikipedia mirrors the current state of the society, not a desirable better state. This itself means that you cannot use WP. In addition, in my opinion, you often intermix correct and incorrect claims, which irritates other editors (as you definitely feel) and makes WP useless for you.

I invite you to Wikiversity (WV). Yes, it is much less visited than WP. However, it is possible to provide a link from a WP article to a relevant WV article (if the WP community does not object, of course); this option is rarely used, but here is a recent example: the WP article "Representation theory of the Lorentz group" contains (in the end of the lead) a link to WV article "Representation theory of the Lorentz group".

In fact, "08:42, 21 June 2015 User account Hesselp (discuss | contribs) was created automatically" on WV, see v:Special:Log/Hesselp. Thus, I guess, you can log in there with the same password as here. And then we could continue the discussion there, either on your talk page, or on my talk page.

Or, better, you could create an article there, intended to help students (which is welcome there much more than here). Another option is, to submit your article to WikiJournal of Science there. (I once did so, see it.) Boris Tsirelson (talk) 05:46, 30 June 2017 (UTC)

@Tsirel   Hi Boris.   After three monthes finally a reaction on your constructive words above.
Your suggestions concerning Wikiversity and WikiJournal of Science I certainly keep in mind. But at first I changed over to the German WP. You can read that language? If so, perhaps you can have a look in Reihe (Mathematik), Folge (Mathematik), Differenzenfolge and Cesàro-Mittel (plus Diskussion pages). There I found very clear contradictions in the existing texts.
You wrote:  "WP mirrors the current state of the [mathematical] society ....". Okay. But in that 'current state' the word 'series' (and 'Reihe' and 'série') is used (and has been used) in different meanings. So a WP-article should (imo) try to describe that situation.
One more point. You supported (?) the use of 'summable sequence' instead of the more usual "sequence with a convergent associated series" (or some kind of abbreviation of this).   Unfortunately I saw some places where 'summable sequence' means (if I got it right; in contexts with 'indexed families') "sequence with converging partial sums of its absolute (ubsigned) terms".   We have to be carefull in using this word 'summable'.   Hessel ==

Ironically, I learnt German during 15 years (pupil, univ. student, doctorant) and never used; I never formally learnt English, but always used; and now my Deutsch is much worse than my English. Well, I'have read (not thoroughly) (especially "Semantik und Vergleich"), and I see that the situation there is quite similar to the situation here. No wonder; both mirror the same state of the society. About "WP-article should try to describe that situation" I agree; but it is not about contradictions in mathematics (God forbid...), but about oddities of mathematical terminology. A mathematician that reads or writes a text that uses "series" always guesses correctly from the context what is meant this time, and is never confused. You wrote above: I don't think I can agree with every occurrence, but in many cases I think I can. No, I really cannot imagine myself, or my colleague, to be seriously confused this way. A student may be confused, yes, this is a pedagogical problem, not a mathematical problem. Every natural language has oddities; native speakers do not suffer from this, foreigners do. Mathematicians use in practice a "half-natural" language, which is rather safe, since there is a formal language behind, with no oddities, but too unpractical for everyday use.

Yes, I know that "summable family" (of real numbers) is automatically "absolute", just because no order is given on the index set. But the word "sequence" (in contrast to "family") emphasizes the given order of terms. Thus I would not hesitate (on my course) to say: each sequence is a family, but be careful: a summable sequence need not be a summable family. Boris Tsirelson (talk) 05:37, 27 September 2017 (UTC)

Only a pedagogical problem?

A.   "it is not about contradictions in mathematics [...] but about oddities of mathematical terminology"
A mathematical or a pedagogical problem? I cannot choose. But in the present text of I read in Satz 3 that 'Reihe' is the name for every Folge with a Differenzenfolge (e.g. every Zahlenfolge). And in Satz 8 (in a cripple way) that 'Reihe zum Folge (a_n)' means the same as 'Partialsummenfolge der Folge (a_n)' . Sätz 3 and 8 are contradictional, imo. At least it should be noticed that this are two different ways the word 'Reihe' is used in calculus.

B.   How do first class mathematicians (try to) solve this definition-question? See:
- Bourbaki, Éléments de Mathématique, Première partie, Livre III (Topologie générale), Chap. 3, Par. 4, N^o 6. Series (Deuxième Édition, 1951, p. 42-43)  "On appelle série définie par la suite (x_n) le couple des suites (x_n) et (s_n) ainsi associées."
- Encyclopedia of Mathematics - Series:   "A pair of sequences of complex numbers {a_n} and {a₁+ ··· + a_n} is called a (simple) series of numbers"
- B. Tsirelson 28 June 2017:   "Definition 1. A series (of real numbers) is a pair of (infinite) sequences $a_{1},a_{2},\dots$ and $S_{1},S_{2},\dots$ (of real numbers) such that $S_{n}=a_{1}+\dots +a_{n}$ for each $n$."

This definition - though formally not incorrect - is absurd, for you can choose whatever you want as second element in the pair. "Series" can be defined as being an ordered pair with an infinite sequence-with-addition as its first element and a arbitrary object as its second. Consequences:
an alternating/harmonic/Fibonacci series $\equiv$ a pair with an alternating/harmonic/Fibonacci sequence as its first element;
a convergent series $\equiv$ a pair with as first element a sequence with converging partial sums;
the terms / partial sums of a series $\equiv$ the terms / partial sums of its first element
the sum of a series ( (a_n) ; .... )   $\equiv$ the limit of the partial sums of sequence (a_n).
A series is a pair?  Did you ever see  (1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ;  1, 3/2, 7/4, 15/8, ...)  as an example of a convergent series?

C.   "Experienced mathematicians don't have problems with the meaning of 'series'. ".
Yes, they can distinguish between a convergent sequence and a convergent series. They know that 'sum of a sequence' means (about?) the same as 'sum of a series'. And they know that you should never say 'absolutely convergent sequence'. Nor 'limit of a series'.  But do they all know the difference between a Cesàro-convergent sequence and a Cesàro-convergent series ?   See the last sentence before the heading "Examples" in [30]: "For any convergent sequence, the corresponding series is Cesàro summable and the limit of the sequence coincides with the Cesàro sum."

D.   Is it a mathematical problem or a pedagogical problem that caused the situation that writers and controllers of the English WP-article on 'series', gave up their attempts to formulate a definition?  I don't know.

E.   On the meaning of 'summable sequence': Bourbaki choose for summable = absolutely summable !  For evidence, scroll down to the last five lines of page 269 in this book. (The same in the first (French) edition, 1942.)

F. About writing an article on this subject: ten years ago I wrote this article in the journal "Nieuw Archief voor wiskunde" of the Dutch Mathematical Society (title: Was Reihen sind, kann man nicht sagen; reeks = series, rij = sequence)
--

I do not like to discuss a lot of arguments at once. For me, if something is true, it is true due to a single strong argument, not a lot of weak arguments.

About your "A series is a pair?  Did you ever see  (1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ;  1, 3/2, 7/4, 15/8, ...)  as an example of a convergent series?" I may reply: did you ever see ({1,2},{(1,1),(1,2),(2,2)}) as an example of an ordered set? Or ({1,2},{{},{1},{1,2}}) as an example of a topological space? Now try to write in this way an example of a two-element group; it will be more cumbersome. I could also use the definition (a,b)={{a},{a,b}} in order to make the things much worse looking. Not a valid argument against a definition. Or else most of our definitions will be under attack. Boris Tsirelson (talk) 05:24, 1 October 2017 (UTC)

Showing the symbolic form  (1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ;  1, 3/2, 7/4, 15/8, ...)  denoting a (Bourbaki-)series, intended to illustrate the absurdness (not the formal wrongness) of the Bourbaki-definition. So I can agree with your comments.
G.   The artificial nature of defining 'series' as a pair, I see reflected in the number of inconsequences in the 'Encyclopedia of Mathematics'. For instance:
G1. Series,ca line 24 "An example of a convergent series is the sum of the terms of an infinite geometric progression"
A series is a pair, the sum of a progression is not a pair.
G2. Power series, ca line 21  "When r = ∞, the series (1) either terminates, i.e. it is a polynomial ...,"
A series is a pair, a polynomial is not a pair.
G3. Uniformly-convergent series, ca line 15  "Example. The series Σ zⁿ/n! = e^z "
A series is a pair, e^z is not a pair.
G4. Geometric progression, ca line 10  "The expression [...] is the simplest example of a convergent series"
A series is a pair, an expression is not a pair.
G5.  Multiple series, line 1 "s-tuple series: An expression of the form ..."   Idem.

H. All such oddities are caused by the fact that Cauchy in 1821 (French original page 123) choose for 'convergente' to label a sequence with converging/clustering partial sums. His essential difference between "having converging terms" and "convergent" (= "having converging partial sums") is (or: seems to be) overlooked many times.
Nowadays everyone can verify this: scroll to page 85, textlines 1 and 6. The Cauchy-meaning of 'quantity' is explained in page 5, textline 8-9 saying: "we will only apply the term quantities to real positive or negative quantities, that is to say to numbers preceded by the signs + or − ."
The difference Cauchy made between 'sequence' (French: suite) and 'series' (French: série) is, imo, in modern words:
sequence: a mapping on N, often in a set with a 'distance',
series: a mapping on N in a set with a 'distance' plus an 'addition'.

The Cauchy-difference between sequence and series reflects the difference in content of the chapter headed by 'Sequences' and the chapter headed by 'Series' in very many textbooks on Calculus. (In chapter 'Sequences' any addition of terms is absent.)
Do you agree with me that it is much more practical to consider the result of the Taylor-expansion of a function f (and the result of its Fourier-expansion as well) , named "the Taylor series of f", as a mapping-on-N  instead of a pair of two mappings-on-N ?

B1. A supplement to my earlier point B on the not very convincing Bourbaki-definition:
Instead of Bourbaki's 'series' as name for a pair  ( {a_n} ;  {a₁+ ··· +a_n} ), you could use the word 'series' for the quartupel
( {a_n} ;  {a₁+···+a_n} ;  {|a₁|+···+|a_n|} ;  {a₁/1+(a₁+(a₁+a₂))/2+···+(a₁+(a₁+a₂)+···+(a₁+···+a_n))/n} ).
Now with the simple/short descriptions:   a convergent / absolutely-convergent / Cesàro-convergent series  $\equiv$  a series with a convergent 2nd / 3rd / 4th element. (To avoid misunderstanding: I'm not advocating this variant.)
--

About "illustrate the absurdness (not the formal wrongness) of the Bourbaki-definition": so, do you find most of our definitions to be "absurd (but not formally wrong)"? Or only that of series? Specifically: do you find absurd the definition of (a) ordered set, (b) topological space, (c) group?

About all else: well, this discussion becomes senseless. You insist on "literal" treatment of texts about series, while I support the (widely used) context-dependent treatment. We must agree to disagree. I know that math is formal; but I also know that in practice it is rather formalizable. It is written on semi-natural language(s); a mathematician can translate it to a formal language (using his understanding of context), but this is very seldom made, since it is (a) as tedious as programming, and (b) of almost no practical use (unlike programming); really, this is made only for proof assistants. Boris Tsirelson (talk) 20:44, 2 October 2017 (UTC)

By the way, your discussion style reminds me of that of Chjoaygame (long series of arguments against the mainstream, based on old texts of founding fathers, etc). Maybe you two could be a kind of friends... Boris Tsirelson (talk) 05:59, 3 October 2017 (UTC)

About your first three lines.   My qualification 'absurd' (unnecessary complicated) had to do ONLY with the introduction of sequence - sum sequence - pairs as a notion apart from sequence and sum sequence of a sequence (= sequence of partial sums of a sequence). And with using the word 'series' exclusively for such pairs in texts on calculus.  I cannot see that I wrote or suggested that this qualification had to do with anything else.
Unfortunately you don't comment substantially on my claim 'unnecessary complicated'.

About: "long series of arguments against the mainstream, based on old texts of founding fathers,...".   I'm puzzling on what you could have had in mind when you typed 'the mainstream': (a) Do you see a certain way of defining (describing of the content of) the word 'series' that is used by the main part of authors of textbooks (and WP-articles) on calculus? Which way?   (b) Or do you mean that most of these authors don't present a formally correct definition being in line with the way they use the word 'series' in the subsequent text?   (c) Or a third possibility?
Moreover, is your clause "based on old texts of founding fathers" referring to 'mainstream' or to 'arguments'? Which 'fathers' are meant?

About your 'literal' versus 'context-dependent'.  When and where I see possibilities to avoid/reduce inconsistancies and ambiguities concerning the use of the word 'series' in WP-texts, in a way that doesn't make the text more difficult to read for beginners, I want to discuss and finally import such (what I see as) improvements. In other words: making a text less 'context-dependent' without lowering the readibility, I see as improvement. You agree with this? Could this be an alternative for your 'agree to disagree'? --

About "you don't comment substantially on...": if you'll single out one argument, I'll be able to concentrate on it. I am lost among ABCDEFG(-5)H...

Have you an example when the usual "series" terminology really confuses professional mathematicians (rather than students)? Without such example I still think the problem is pedagogical.

About your last paragraph: well, yes and no. As I wrote, I could use such improvement on my course, since (a) the course is a pedagogical effort, (b) on my course I am the decision maker. However, I would not do so in a research paper (see "a"), nor on Wikipedia (see "b").

About "founding fathers" I am sorry; you mention once Cauchy 1821, but you do not base on such old works; my error. Boris Tsirelson (talk) 09:41, 4 October 2017 (UTC)

Almost all the points marked A-H are just observations by me, related with the unclearness of the word 'series'; only the last sentence in H, I formulated as a direct question to you.

On the example you asked for: see the six sentences in the section 'Series' in the WP-article Sequences:
- "A series is, informally, an expression of the form Σa_n "
- "The partial sums of a series are the expressions ...."
- "...we say that the series Σa_n is convergent, ..."  [a convergent expression?? what's that?].
Will professional mathematicians be able to decipher the intended content of this section? Probably yes, but only with quite a bit of their experience as 'context'. I see at least as many 'mathematical' faults in this text than 'pedagogical' faults. [The central point in my critics is in fact: don't see notation as content.]
Now you are going to say that you didn't mean textbooks or WP-articles, but high standard research papers. Okay. Already for a long time I try to find occurrences of the word 'series' in this kind of texts, but I find it very hard to spot them. Are they rare, or do I search at the wrong places?
On the examples G1-G5 from the Encyclopedia of Mathematics: I would say that this are more mathematical inconsequencies than pedagogical weaknesses. And in what degree your professional mathematicians will be really confused by them? Degree zero?

'Founding Father' Cauchy once opened my eyes: page 123 sentence 1 and 4. This two sentences are the base for me (except his unfortunate choice for 'convergent' for converging partial sums). And I would say I suppose that Cauchy's formalisation is much closer to the informal notion of a series at the present public, than Bourbaki's artificial sequence-sumsequence-pairs.
Cauchy's Cours d'Analyse is an "old work". But his approach is explicitely copied until at least 1938: G. Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen. --

On your remarks (5 Oktober 2017) until 'Identify':
No problem for me to agree with you that a mathematical notion can be defined in differntly formulated - equivalent - ways.
On your sentence:     "Identify a series with the sequence of its terms, or the sequence of its partial
                sums, or with the pair of sequences, it is all the same, due to the evident one-to-one
                correspondence between these objects." :
I read this as:
A series can be identified/represented by its terms,
a series can be identified/represented by its partial sums, and
a series can be identified/represented by its terms-sums-couple.
But the mathematical notion mostly called 'series' isn't defined by showing its terms representation. Nor by showing - imo - its partial-sums representation or its terms-and-sums representation.
One more point: I hope I don't misread your sentence by interpreting 'these objects' as: 'these representations' or 'these identification tools'.

Substituting the word 'series' in your sentence by the word 'sequence', the content of it remains equally true - yes?  This seems to indicate that you see the notion series as identical with the notion sequence - yes?
If your answer is 'yes', I agree with 'Only a pedagogical problem' (without question mark). I.e.: the problem of how to convince quite a lot of authors of calculus-books (and WP-articles) that their way of presenting this notion-with-two-names in their separate chapters 'Sequences' and 'Series' makes it very difficult for students to see the definitions in the two chapters as intended to be equivalent. --

No. Once again, "I know basic relations between terms and partial sums (of a series), and...".   I definitely do not want to define "terms and partial sums of a sequence", "Fourier sequence" etc. I definitely do not want to rewrite the (example of) question "if a Fourier series converges in $L_{2}[0,2\pi ],$ does this imply convergence almost everywhere?" as "if a Fourier sequence converges in $L_{2}[0,2\pi ],$ does this imply convergence almost everywhere?" The existing terminology is just convenient; even if it may look a bit strange when considered at a certain angle, this is not enough motivation for abandoning it. Just another oddity of the math language (practical, formalizable, not formal). Like many persistent oddities of a natural language, it is more convenient to keep it than to abandon it. Simple as this. Boris Tsirelson (talk) 18:16, 9 October 2017 (UTC)

Oops, I am wrong. There is no problem to say "terms and partial sums of a sequence". However, what about "Fourier sequence"? Is it the sequence of terms of a Fourier series, or of its partial sums? Boris Tsirelson (talk) 19:38, 9 October 2017 (UTC)

Your answer on my  "you see the notion series as identical with the notion sequence - yes?"  is  "No."
With as your argument ('argument'):  "The existing terminology is just convenient;"  and (paraphrased): there is no reason to abandon "Fourier series" and change over to "Fourier sequence".
Sorry, but I cannot see this remarks as an explanation of the difference between 'the notion sequence' and 'the notion series'. For me 'the notion sequence' coincides with 'the notion mapping on N'; and for 'the notion series' you didn't show me a - mathematically different - alternative.
To avoid misunderstanding: I accept the situation that the (worldwide) tradition has 'sequence' in some contexts, and 'series' in other contexts (quite often it is 'series' when the question of convergence of the partial sums of the terms is actual). And sometimes the tradition has no preference (harmonical sequence / harmonical series).   Two names for the same notion: it's not the ideal situation, but tradition is stronger than Esperanto.

In the Encyclopedia of Mathematics I found as headings:
- Monotone sequence vs. Alternating series
- Geometric progression vs. Hypergeometric series
- Arithmetic progression vs. Arithmetic series of order m
- Cauchy sequence vs. Harmonic series
Can you explain the reason for the choice between 'sequence/progression' and 'series' in each case? (I doubt; I couldn't find the clue in the articles Series and Sequence.)
Two names for the same notion, okay, but be consequent for the rest. For a student and a WP-reader is unhappy with (cited from the same encyclopedia):
- Harmonic series:   The series of numbers Σ 1/k
- Euler series:   The expression Σ 1/p
- Arithmetic series of order m:   The sequence of values ...
- Series (= infinite sum):   The pair of a sequence its sum sequence. --

Oops, I am wrong. There is no problem to say "terms and partial sums of a sequence". However, what about "Fourier sequence"? Is it the sequence of terms of a Fourier series, or of its partial sums? Boris Tsirelson (talk) 19:38, 9 October 2017 (UTC)

You will understand that I agree with your correction. About your Fourier-question:
The result of the Fourier-expansion of a given function f is (in my perception) the mapping on N that combines each element of N with a term (a function, not a number) of the expansion. Whether you name this result "the Fourier series of f" or "the Fourier sequence of f" ist mir egal. Although I know that the second is extreme unusual, as is its symbolic expression with commas instead of pluses; but as I'm not aware of a mathematical difference in notion, the name with 'sequence' is not mathematically incorrect. --

Well, frankly, we could identify a series with the sequence of its partial sums, say "differences" whenever we now say "terms", and say "terms" whenever we now say "partial sums". Then the above (example of) question sounds "if a Fourier sequence converges in $L_{2}[0,2\pi ],$ does this imply convergence almost everywhere?"; rather acceptable. And the Alternating series test becomes: "for a sequence to converge it is sufficient that its differences are alternating and monotonically decreasing to 0 in absolute values"; rather acceptable, too. But who is motivated enough to replace a lot of habitual formulations with such new formulations? Also, I am afraid that, trying to commit such a terminological revolution, we'll divide in two parties, one identifying a series with the sequence of its partial sums, the other identifying a series with the sequence of its terms. Isn't it better to leave it as is? Boris Tsirelson (talk) 19:54, 9 October 2017 (UTC)

I don't succeed in getting clear what you mean with  "identify a series with the sequence of its partial sums". What do you mean here with "a series"?   According to Bourbaki and the Encyclopedia of Mathematics: "a pair of a sequence and its sum sequence". But a pair of two sequences is something else as a single sequence, so the consequences of your 'identify' remain mysterious to me.   On your wording of the 'Alternating series test'. Just as the symbolic form Σ a_i can have different meanings depending on the context, the word 'convergent' has to be interpreted depending on its context ('having a limit' or 'having a sum' = 'having partial sums with a limit'). Neither of the two seems to be applicable in your  "for a sequence to converge it is sufficient that its differences are alternating and monotonically decreasing to 0 in absolute values". --

Well, it seems I did my best already, and have nothing to add. Probably this is just another frustrating discussion. We fail to communicate. I understood that you dislike the "series" terminology and want to replace it with "sequences only" terminology. Finally I agree that this is possible, and show you some examples of the usual formulations translated into the new language (just to look, does it sounds good or not). And you miss my point completely and write that I cannot treat a series as a singe sequence and a pair simultaneously! Quite a miscommunication. And in addition, I see that you violate your topic ban, thus probably you'll be banned completely, and this discussion will stop anyway. Not a happy end. Boris Tsirelson (talk) 05:33, 10 October 2017 (UTC)

My topic ban concerns Series (mathematics) and its talk page (see here). So I suppose that my edits on Cesàro summation did not violate the ban.
Yes, we fail to communicate on a central point. It is as it is.  Anyway, I want to say that I'm very, very grateful for all your patience with me. And that you helped me to get my views on the subject even more concrete, and to find more compact and to-the-point wordings.
Although unfortunately not enough.... It seems that I have to accept that most mathematicians are born with a belief in the existence of 'series(es)'. So that they can write "treat a series as a single sequence and as a pair" without a specification/clarification about what they intend to communicate with the word "series" in that phrase. I miss this gene. With regards. --

Uitklappen/inklappen

Onderstaande opdrachten werken alleen in WP-pagina's van de EIGEN TAAL.

(geeft als heading: 'Extended content', in grijsbalk met kaderlijn; bodytekst zonder grijs in een extra kader) (1= weglaten mag; alles op één regel mag)

(in grijsbalk met kaderlijn; bodytekst zonder grijs in een extra kader) (1= en 2= mag weg; alles mag op één regel)

(zonder grijsbalk, zonder kaderlijn) (headtekst en bodytekst verwisselt tov. Collapse-versie)

koptekst 

inhoud=blabla

(dit werkt in WPnl)

Taylor, Fourier,  not Laurent

Cesàro - Slawomir

On restoring 10 October 2017 version 26 June 2017

1. Version 26 June and 10 Oct. of the article has in section 'Definition' (without symbolic notation, and added underlining):
    (A) "A series is called Cesàro summable, ..., if the average value of its partial sums tends to ... .";
version 8 July and 11 Sept. has:
    (B) "A sequence is called Cesàro summable, if the arithmetic mean of its partial sums tends to a limit";
and Sławomir Biały mentions as definition (above, 10 Oct.):
    (C) "A sequence is Cesaro summable if the sequence of partial sums has a mean that converges".
It's not at all clear why (B) should be wrong, while (C) should be right.

2. Sławomir Biały restores a version with (last sentence before 'Exemples') the clearly incorrect:  "For any convergent sequence, the corresponding series is Cesàro summable".

Conclusion: no valid arguments for restoring version 26 June 2017 are presented. --

I agree with the removal of the incorrect sentence.
Can you, Sławomir Biały, specify why my wording (B) "A sequence is called Cesàro summable, if the arithmetic mean of its partial sums tends to a limit" is incorrect, while your wording (C) "A sequence is Cesaro summable if the sequence of partial sums has a mean that converges" should be correct?
Moreover, can I assume consensus on stating that the definition of the Cesàro-sum of a infinite sequence is identical with the definition of the Cesàro-sum of a infinite series and as well of the Cesàro-sum of a infinite sum ?
Who can mention differences? --

To the watchers of this page:  Who has argumented objections against version 11 September 2017 of the article with the definition of 'Cesàro summable' as mentioned by Sławomir Biały 10 October 2017 ? (Considerable shortening of section 'Definition', without loss of information.) -- Hesselp (overleg) 15 okt 2017 00:27 (CEST)

On 10 October 2017 you (Sławomir Biały) wrote:
"A sequence is Cesaro summable if the sequence of partial sums has a mean that converges".
What do you see now is being incorrect in that wording of 'the definition' ?  Without your answer the proposal for a revision (shortening) will remain unchanged. -- Hesselp (overleg) 15 okt 2017 11:06 (CEST)

I missed all the drama, but the current version is fine. I don't think there are any major changes needed. Hesselp, the version you had in place in September before it was restored was incorrect. --Deacon Vorbis (talk) 14:54, 15 October 2017 (UTC)

To Deacon Vorbis. I can see your changes in the second part of the article as improvements. As I see the deletion of the sentence  "For any convergent sequence, the corresponding series is Cesàro summable" in the Definition section on 12 October 2017. (See my proposal 30 June 2017).
According to me, the readability of the Definition section can be improved by the much shorter wording (without changing the content) as in my edits. I shouldn't call that a 'major change'. But by what reason do you write that this edits were incorrect?  Please be specific. --

Aanpassingen in versie 11 September:

In mathematical analysis, Cesàro summation assigns values to some sequences without a sum in the usual sense.

Cesàro summation is named for the Italian analyst Ernesto Cesàro (1859–1906).

The term summation can be misleading, as some statements and proofs regarding Cesàro summation can be said to implicate the Eilenberg–Mazur swindle. For example, it is commonly applied to Grandi's series with the conclusion that its sum is 1/2.

Definitions
The Cesàro means of a sequence ($a_{n}$)  are the arithmetic means  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  ($n=$ 1, 2, 3, ...) .

The series with terms a_n is called Cesàro summable, with Cesàro sum A ∈ ℝ, if, as n tends to infinity, the arithmetic mean of its first n partial sums 's₁,s₂,...,s_n' tends to A .

A series is called Cesàro summable, with Cesàro sum A ∈ ℝ, if, as n tends to infinity, the arithmetic mean of its first n partial sums tends to A .

A sequence is Cesàro summable, if the sequence of partial sums has its Cesàro means converging to a limit (the Cesàro sum of the sequence). 
 It is easy to show that any summable sequence is Cesàro summable, and its usual sum equals the Cesàro sum. However, as the first example below demonstrates, Cesàro summability does not imply usual summability.

Examples
The sequence  1, -1, 1, -1, 1, ···  (sequence of Grandi)  has as sum sequence (sequence of partial sums):   1, 0, 1, 0, 1, ··· . This (divergent) sum sequence has as Cesàro means:   1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   (1+0+1+0+1)/5 = 3/5,   (1+0+1+0+1+0)/6 = 3/6,   4/7,  4/8,   5/9,  5/10,  ··· ,  converging to 1/2.
Hence, the non-summable 1, -1, 1, -1, 1, ··· is Cesàro summable, with Cesàro sum 1/2 .

The sequence  1, 2, 3, 4, 5, ···  has as sum sequence:   1, 3, 6, 10, 15, ··· . This sum sequence has as Cesàro means:   1/1 = 1,   (1+3)/2 = 4/2,   (1+3+6)/3 = 10/3,   (1+3+6+10)/4 = 20/4, ··· ,  diverging to plus infinite.
So the sequence of natural numbers is not Cesàro summable.   In fact, any sequence which diverges to (positive or negative) infinity, has a sum sequence with diverging Cesàro means, and hence such a series is never Cesàro summable.

Cesaro mean

Cesàro mean: Revision history

View logs for this page

Jump to: navigation, search

Search for revisions From year (and earlier): From month (and earlier): all January February March April May June July August September October November December Tag filter:

For any version listed below, click on its date to view it. For more help, see Help:Page history and Help:Edit summary. External tools: Revision history statistics ·

Revision history search · 
Edits by user · 
Number of watchers · 
Page view statistics · 
Fix dead links
 

(cur) = difference from current version, (prev) = difference from preceding version, m = minor edit, → = section edit, ← = automatic edit summary(newest | oldest) View (newer 50 | older 50) (20 | 50 | 100 | 250 | 500)

(cur | prev) 12:04, 14 October 2017 Sławomir Biały (talk | contribs) . . (30 bytes) (-2,309) . . (The cited sources are not about the ostensible subject of this article (which is the limit of averages of a sequence), but rather the Cesaro sum. Redirecting to the article that more accurately reflects reliable sources.) (undo | thank) (cur | prev) 12:02, 14 October 2017 Sławomir Biały (talk | contribs) . . (2,339 bytes) (+34) . . (None of this is in the cited source) (undo | thank) (cur | prev) 18:02, 12 October 2017 Hesselp (talk | contribs) m . . (2,305 bytes) (+1) . . (Typo: 'Cesàro means' should be plural here.) (undo) (cur | prev) 19:22, 8 July 2017 Hesselp (talk | contribs) . . (2,304 bytes) (-527) . . (Wrong assertion, and overlappings with 'Cesàro summation' removed; shorter - equivalent - wording.) (undo) (cur | prev) 19:50, 18 November 2016 InternetArchiveBot (talk | contribs) . . (2,831 bytes) (+43) . . (Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead. #IABot (v1.2.7.1)) (undo) (cur | prev) 18:23, 16 April 2016 Dexbot (talk | contribs) m . . (2,788 bytes) (-23) . . (Bot: Cleaning up old interwiki links) (undo) (cur | prev) 11:54, 8 January 2016 Smeuuh (talk | contribs) m . . (2,811 bytes) (-258) . . (Remove false example (that anyway doesn't add anything to the previous one)) (undo | thank) (cur | prev) 12:41, 4 October 2015 84.226.185.221 (talk) . . (3,069 bytes) (+116) . . (undo) (cur | prev) 07:49, 24 October 2014 Gilliam (talk | contribs) m . . (2,953 bytes) (+3) . . (Reverted edits by 84.199.109.98 (talk) to last version by Catrincm) (undo | thank) (cur | prev) 07:42, 24 October 2014 84.199.109.98 (talk) . . (2,950 bytes) (-3) . . (undo) (cur | prev) 08:23, 14 May 2014 Catrincm (talk | contribs) m . . (2,953 bytes) (-1) . . (→External links: Fixing Broken Link) (undo | thank) (cur | prev) 22:52, 11 November 2013 Nyttend (talk | contribs) m . . (2,954 bytes) (-4) . . (Reverted edits by RjwilmsiBot (talk) to last version by Druseltal2005) (undo | thank) (cur | prev) 14:30, 13 October 2013 RjwilmsiBot (talk | contribs) m . . (2,958 bytes) (+4) . . (fixing page range dashes using AWB (9535)) (undo) (cur | prev) 02:19, 17 May 2013 Druseltal2005 (talk | contribs) m . . (2,954 bytes) (+38) . . (undo | thank) (cur | prev) 04:49, 16 May 2013 Druseltal2005 (talk | contribs) . . (2,916 bytes) (+2) . . (corrected: sum of 1-1+1-1.. = 1/2 (!)) (undo | thank) (cur | prev) 05:14, 7 March 2013 Addbot (talk | contribs) m . . (2,914 bytes) (-69) . . (Bot: Migrating 2 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q2045894) (undo) (cur | prev) 21:46, 21 January 2013 79.167.59.127 (talk) . . (2,983 bytes) (-2) . . (undo) (cur | prev) 21:44, 21 January 2013 79.167.59.127 (talk) . . (2,985 bytes) (+2) . . (undo) (cur | prev) 05:26, 26 October 2012 Pamb0sd16 (talk | contribs) . . (2,983 bytes) (+1) . . (I corrected the oscillating sequence so that it is Cesaro summable to 1/2.) (undo | thank) (cur | prev) 09:55, 20 August 2012 210.17.197.215 (talk) . . (2,982 bytes) (+1) . . (undo) (cur | prev) 08:36, 20 April 2012 Manoguru (talk | contribs) . . (2,981 bytes) (0) . . (spelling) (undo | thank) (cur | prev) 02:47, 31 March 2012 Helpful Pixie Bot (talk | contribs) m . . (2,981 bytes) (+6) . . (ISBNs (Build KB)) (undo) (cur | prev) 18:10, 24 March 2012 194.42.23.152 (talk) . . (2,975 bytes) (+2) . . (undo) (cur | prev) 18:09, 24 March 2012 194.42.23.152 (talk) . . (2,973 bytes) (+2) . . (undo) (cur | prev) 18:08, 24 March 2012 194.42.23.152 (talk) . . (2,971 bytes) (+60) . . (undo) (cur | prev) 06:36, 23 March 2012 194.42.23.145 (talk) . . (2,911 bytes) (+89) . . (undo) (cur | prev) 16:49, 14 November 2011 212.189.140.211 (talk) . . (2,822 bytes) (-1) . . (undo) (cur | prev) 16:48, 14 November 2011 212.189.140.211 (talk) . . (2,823 bytes) (+2) . . (undo) (cur | prev) 16:48, 14 November 2011 212.189.140.211 (talk) . . (2,821 bytes) (+1) . . (undo) (cur | prev) 16:47, 14 November 2011 212.189.140.211 (talk) . . (2,820 bytes) (+12) . . (undo) (cur | prev) 16:46, 14 November 2011 212.189.140.211 (talk) . . (2,808 bytes) (+10) . . (undo) (cur | prev) 09:12, 12 August 2009 217.224.185.171 (talk) . . (2,798 bytes) (-11) . . (→External links: corr. de-wiki) (undo) (cur | prev) 23:40, 21 July 2009 Ilya Voyager (talk | contribs) . . (2,809 bytes) (+45) . . (+ iwiki (ru)) (undo | thank) (cur | prev) 22:11, 19 January 2009 165.91.208.192 (talk) . . (2,764 bytes) (+2) . . (undo) (cur | prev) 18:46, 4 December 2008 Giftlite (talk | contribs) m . . (2,762 bytes) (-3) . . (-.) (undo | thank) (cur | prev) 22:03, 22 September 2008 TaBOT-zerem (talk | contribs) m . . (2,765 bytes) (-2) . . (robot Modifying: fr:Lemme de Cesàro) (undo | thank) (cur | prev) 21:50, 1 September 2008 SmackBot (talk | contribs) m . . (2,767 bytes) (0) . . (Standard headings/general fixes) (undo | thank) (cur | prev) 10:41, 25 June 2008 Kmhkmh (talk | contribs) . . (2,767 bytes) (+190) . . (→References) (undo | thank) (cur | prev) 13:39, 12 June 2008 Silly rabbit (talk | contribs) . . (2,577 bytes) (-126) . . (removed irrelevant trivia section) (undo | thank) (cur | prev) 19:30, 27 April 2008 Uncia (talk | contribs) . . (2,703 bytes) (+525) . . (provide references; remove "unreferenced" tag; add See also for Cesaro summation) (undo | thank) (cur | prev) 20:42, 22 March 2008 SmackBot (talk | contribs) m . . (2,178 bytes) (+23) . . (Date the maintenance tags or general fixes) (undo | thank) (cur | prev) 19:15, 21 March 2008 Crazysane (talk | contribs) . . (2,155 bytes) (+36) . . (undo | thank) (cur | prev) 00:26, 5 January 2008 Giftlite (talk | contribs) m . . (2,119 bytes) (+1) . . (+.) (undo | thank) (cur | prev) 02:23, 1 January 2008 PixelBot (talk | contribs) m . . (2,118 bytes) (+11) . . (robot Modifying: de:Cauchyscher Grenzwertsatz) (undo | thank) (cur | prev) 22:16, 7 December 2007 84.174.237.134 (talk) . . (2,107 bytes) (+22) . . (undo) (cur | prev) 01:45, 23 August 2007 Jitse Niesen (talk | contribs) . . (2,085 bytes) (-28) . . (revert - the means of the *sequence* are -1, 0, -1/3, 0, -1/5, ...) (undo | thank) (cur | prev) 20:29, 22 August 2007 Alercher (talk | contribs) . . (2,113 bytes) (-2) . . (undo | thank) (cur | prev) 20:29, 22 August 2007 Alercher (talk | contribs) . . (2,115 bytes) (0) . . (undo | thank) (cur | prev) 20:28, 22 August 2007 Alercher (talk | contribs) . . (2,115 bytes) (-1) . . (undo | thank) (cur | prev) 20:28, 22 August 2007 Alercher (talk | contribs) . . (2,116 bytes) (+31) . . (undo | thank)

(newest | oldest) View (newer 50 | older 50) (20 | 50 | 100 | 250 | 500)

Talk:Cesàro mean

Talk:Cesàro mean

From Wikipedia, the free encyclopedia

Jump to: navigation, search

WikiProject Mathematics

iconMathematics portal

This article is within the scope of WikiProject Mathematics, a collaborative effort to improve the coverage of Mathematics on Wikipedia. If you would like to participate, please visit the project page, where you can join the discussion and see a list of open tasks. 

Mathematics rating: Stub Class

Low Importance

 Field:  Analysis 

Vague and Potentially Confusing uses of Terminology[edit]

I find this ambiguous and confusing. I believe the problem partly relates to the established terminological difference between convergence of an infinite series and convergence of an infinite sequence, the former being no more than an instance of the latter using as "the sequence" the partial sums of "the series". This can work OK, but then, in the current wording of this article, the sentence "If the sequence of the Cesàro means is convergent, the series is said to be Cesàro summable." (my italics) seems to me very unclear. Which is "the series"?

Coming fresh to this terminology, and reading this sentence and what precedes it, one would be entitled to conclude that the infinite series ∑ i = 1 ∞ a i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}} {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}} is called "Cesàro summable" when the sequence {cn}, as defined a little above, converges in the usual sense of an infinite sequence. However, referring to the page on Cesàro summation, it seems instead that it is rather a series ∑ i = 1 ∞ ( a i − a i − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }(a_{i}-a_{i-1})} {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }(a_{i}-a_{i-1})} (whose partial sums -- rather than whose terms -- are the sequence {an}) that would properly be described as "Cesàro summable" in this case that {cn} converges as an infinite sequence.

Can someone who is sure of established terminology -- regarding sequence/series and Cesàro summation/convergence-of-Cesàro means etc -- help here? (Or if the established terminology either does not exist or exists but is inherently confusing, then instead provide a note to warn us of this and help guide us through the minefield?)

Thanks in advance for any thoughts. — Preceding unsigned comment added by 83.217.170.175 (talk) 17:32, 17 April 2013 (UTC) I've tried to clean cesaro-mean and cesaro-sum in the expected way. (I hope I didn't introduce more mess as has been before ...) --Gotti 05:49, 16 May 2013 (UTC) — Preceding unsigned comment added by Druseltal2005 (talk • contribs)To 83.217.170.175. After four years, I found your remark concerning the (imo: at least) unclear way 'Cesàro summability of a series' is described in Cesàro mean. I agree completely with you.

The revisions by Druseltal2005 (17 April May 2013) are insufficient; and he introduces the - never seen - label 'Cesàro mean of a sequence' (for: 'the limit of the Cesàro means of a sequence' or 'the Cesàro limit of a sequence').
See my recent comment and proposals on Talk:Cesàro summation.   Opinions?   -- Hesselp (talk) 09:09, 2 July 2017 (UTC)The book of Konrad Knopp about infinite series is online in german and I think even in english (the latter at least in snippets at google-books). Perhaps someone can use his/this authoritative definitions from there (I've not much time & energy in the moment) Gotti 04:34, 4 July 2017 (UTC) — Preceding unsigned comment added by Druseltal2005 (talk • contribs)

External links modified[edit]

Hello fellow Wikipedians,

I have just modified one external link on Cesàro mean. Please take a moment to review my edit. If you have any questions, or need the bot to ignore the links, or the page altogether, please visit this simple FaQ for additional information. I made the following changes: Added archive https://web.archive.org/web/20111109095614/http://planetmath.org/encyclopedia/CesaroMean.html to http://planetmath.org/encyclopedia/CesaroMean.html

When you have finished reviewing my changes, please set the checked parameter below to true or failed to let others know (documentation at {{Sourcecheck}}).

You may set the |checked=, on this template, to true or failed to let other editors know you reviewed the change. If you find any errors, please use the tools below to fix them or call an editor by setting |needhelp= to your help request. If you have discovered URLs which were erroneously considered dead by the bot, you can report them with this tool. If you found an error with any archives or the URLs themselves, you can fix them with this tool.

If you are unable to use these tools, you may set |needhelp=<your help request> on this template to request help from an experienced user. Please include details about your problem, to help other editors.

Cheers.—InternetArchiveBot (Report bug) 19:50, 18 November 2016 (UTC)

Categories: Mathematics articles related to analysis Stub-Class mathematics articles Low-Priority mathematics articles

Navigation menu

Hesselp

Alerts (27)27

Notices (0)0

Talk Sandbox Preferences Beta Watchlist Contributions Log out

Article

Talk

Read

Edit

New section

View history

Unwatch

More

Search

Main page Contents Featured content Current events Random article Donate to Wikipedia Wikipedia store

Interaction

Help About Wikipedia Community portal Recent changes Contact page

Tools

What links here Related changes Upload file Special pages Permanent link Page information

Print/export

Create a book Download as PDF Printable version

Languages

This page was last edited on 12 October 2017, at 18:11. Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License; additional terms may apply. By using this site, you agree to the Terms of Use and Privacy Policy. Wikipedia® is a registered trademark of the Wikimedia Foundation, Inc., a non-profit organization. Privacy policy About Wikipedia Disclaimers Contact Wikipedia Developers Cookie statement Mobile view

Second copy (from editing section)

Vague and Potentially Confusing uses of Terminology

I find this ambiguous and confusing. I believe the problem partly relates to the established terminological difference between convergence of an infinite series and convergence of an infinite sequence, the former being no more than an instance of the latter using as "the sequence" the partial sums of "the series". This can work OK, but then, in the current wording of this article, the sentence

"If the sequence of the Cesàro means is convergent, the series is said to be Cesàro summable."

(my italics) seems to me very unclear. Which is "the series"?

Coming fresh to this terminology, and reading this sentence and what precedes it, one would be entitled to conclude that the infinite series

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$

is called "Cesàro summable" when the sequence {c_n}, as defined a little above, converges in the usual sense of an infinite sequence. However, referring to the page on Cesàro summation, it seems instead that it is rather a series

$\sum _{i=1}^{\infty }(a_{i}-a_{i-1})$

(whose partial sums -- rather than whose terms -- are the sequence {a_n}) that would properly be described as "Cesàro summable" in this case that {c_n} converges as an infinite sequence.

Can someone who is sure of established terminology -- regarding sequence/series and Cesàro summation/convergence-of-Cesàro means etc -- help here? (Or if the established terminology either does not exist or exists but is inherently confusing, then instead provide a note to warn us of this and help guide us through the minefield?)

Thanks in advance for any thoughts. — Preceding unsigned comment added by 83.217.170.175 (talk) 17:32, 17 April 2013 (UTC)

I've tried to clean cesaro-mean and cesaro-sum in the expected way. (I hope I didn't introduce more mess as has been before ...) --Gotti 05:49, 16 May 2013 (UTC) — Preceding unsigned comment added by Druseltal2005 (talk • contribs)

To 83.217.170.175.  After four years, I found your remark concerning the (imo: at least) unclear way 'Cesàro summability of a series' is described in Cesàro mean.   I agree completely with you.
The revisions by Druseltal2005 (17 April May 2013) are insufficient; and he introduces the - never seen - label 'Cesàro mean of a sequence' (for: 'the limit of the Cesàro means of a sequence' or 'the Cesàro limit of a sequence').
See my recent comment and proposals on Talk:Cesàro summation.   Opinions?   -- Hesselp (talk) 09:09, 2 July 2017 (UTC)

The book of Konrad Knopp about infinite series is online in german and I think even in english (the latter at least in snippets at google-books). Perhaps someone can use his/this authoritative definitions from there (I've not much time & energy in the moment) Gotti 04:34, 4 July 2017 (UTC) — Preceding unsigned comment added by Druseltal2005 (talk • contribs)

External links modified

Hello fellow Wikipedians,

I have just modified one external link on Cesàro mean. Please take a moment to review my edit. If you have any questions, or need the bot to ignore the links, or the page altogether, please visit this simple FaQ for additional information. I made the following changes:

• Added archive https://web.archive.org/web/20111109095614/http://planetmath.org/encyclopedia/CesaroMean.html to http://planetmath.org/encyclopedia/CesaroMean.html

When you have finished reviewing my changes, please set the checked parameter below to true or failed to let others know (documentation at {{Sourcecheck}}).

{{sourcecheck|checked=false}}

Cheers.—InternetArchiveBot (Report bug) 19:50, 18 November 2016 (UTC)

Talk:Cesàro mean: Revision history

Talk:Cesàro mean: Revision history

View logs for this page

Jump to: navigation, search

Search for revisions From year (and earlier): From month (and earlier): all January February March April May June July August September October November December Tag filter:

For any version listed below, click on its date to view it. For more help, see Help:Page history and Help:Edit summary. External tools: Revision history statistics ·

Revision history search · 
Edits by user · 
Number of watchers · 
Page view statistics · 
Fix dead links
 

(cur) = difference from current version, (prev) = difference from preceding version, m = minor edit, → = section edit, ← = automatic edit summary

(cur | prev) 18:11, 12 October 2017 Hesselp (talk | contribs) m . . (5,051 bytes) (+11) . . (→Vague and Potentially Confusing uses of Terminology: Corection of a date.) (undo) (cur | prev) 04:37, 4 July 2017 SineBot (talk | contribs) m . . (5,040 bytes) (+290) . . (Signing comment by Druseltal2005 - "→Vague and Potentially Confusing uses of Terminology: ") (undo) (cur | prev) 04:34, 4 July 2017 Druseltal2005 (talk | contribs) . . (4,750 bytes) (+296) . . (→Vague and Potentially Confusing uses of Terminology) (undo | thank) (cur | prev) 09:09, 2 July 2017 Hesselp (talk | contribs) . . (4,454 bytes) (+794) . . (How to describe: 'Cesàro summability of a series' ?) (undo) (cur | prev) 19:50, 18 November 2016 InternetArchiveBot (talk | contribs) . . (3,660 bytes) (+1,100) . . (Notification of altered sources needing review #IABot (v1.2.7.1)) (undo) (cur | prev) 05:50, 16 May 2013 SineBot (talk | contribs) m . . (2,560 bytes) (+294) . . (Signing comment by Druseltal2005 - "→Vague and Potentially Confusing uses of Terminology: ") (undo) (cur | prev) 05:49, 16 May 2013 Druseltal2005 (talk | contribs) . . (2,266 bytes) (+165) . . (→Vague and Potentially Confusing uses of Terminology) (undo | thank) (cur | prev) 17:34, 17 April 2013 83.217.170.175 (talk) . . (2,101 bytes) (+9) . . (→Vague and Potentially Confusing uses of Terminology) (undo) (cur | prev) 17:34, 17 April 2013 83.217.170.175 (talk) . . (2,092 bytes) (+7) . . (→Vague and Potentially Confusing uses of Terminology) (undo) (cur | prev) 17:33, 17 April 2013 SineBot (talk | contribs) m . . (2,085 bytes) (+303) . . (Signing comment by 83.217.170.175 - "Plea for clarification from an expert in the terminology.") (undo) (cur | prev) 17:32, 17 April 2013 83.217.170.175 (talk) . . (1,782 bytes) (+1,704) . . (Plea for clarification from an expert in the terminology.) (undo) (cur | prev) 07:39, 24 May 2007 Cronholm144 (talk | contribs) . . (78 bytes) (+4) . . (rated article) (undo | thank) (cur | prev) 13:37, 14 May 2007 Geometry guy (talk | contribs) . . (74 bytes) (+74) . . (Subpages no longer needed using AWB) (thank)

Navigation menu

Hesselp

Alerts (27)27

Notices (0)0

Talk Sandbox Preferences Beta Watchlist Contributions Log out

Article

Talk

Read

Edit

New section

View history

Unwatch

More

Search

Main page Contents Featured content Current events Random article Donate to Wikipedia Wikipedia store

Interaction

Help About Wikipedia Community portal Recent changes Contact page

Tools

What links here Related changes Atom Upload file Special pages Page information

Languages

Privacy policy About Wikipedia Disclaimers Contact Wikipedia Developers Cookie statement Mobile view

Cesàro mean versie Hesselp 8 July 2017

In mathematics, the Cesàro means (also called Cesàro averages) of a sequence ($a_{n}$),  are the arithmetic means  
($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  of the terms of sequence ($a_{n}$).  This concept is named after Ernesto Cesàro (1859 - 1906).

A basic result states that the limit of a convergent sequence equals the limit of its Cesàro mean.

That is, the operation of taking Cesàro means preserves the convergence and the limit of a sequence. This is the basis for using Cesàro means in a summability method in the theory of divergent series.

Cesàro means are often applied to Fourier series, since the means (applied to the trigonometric polynomials making up the symmetric partial sums) are more powerful in summing such series than pointwise convergence. The kernel that corresponds is the Fejér kernel, replacing the Dirichlet kernel; it is positive, while the Dirichlet kernel takes both positive and negative values. This accounts for the superior properties of Cesàro means for summing Fourier series, according to the general theory of approximate identities.

A generalization of the Cesàro mean is the Stolz-Cesàro theorem.

The Riesz mean was introduced by M. Riesz as a more powerful but substantially similar summability method.

See also

• Cesàro summation

External links

• Cesaro mean at PlanetMath
• Cesaro mean at SOS Math

[[Category:Means]] [[Category:Mathematical series]]

Cesàro mean versie 18 November 2016

In mathematics, the Cesàro means (also called Cesàro averages) of a sequence (a_n) are the terms of the sequence (c_n), where

$c_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

is the arithmetic mean of the first n elements of (a_n). This concept is named after Ernesto Cesàro (1859 - 1906).

A basic result states that if

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$

then also

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=A.$

That is, the operation of taking Cesàro means preserves convergent sequences and their limits. This is the basis for taking Cesàro means as a summability method in the theory of divergent series. If the sequence of the Cesàro means is convergent, the series is said to be Cesàro summable. There are certainly many examples for which the sequence of Cesàro means converges, but the original sequence does not: for example with

$a_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=2k-1,\\0&{\mbox{if }}n=2k\end{cases}}$,

we have an oscillating sequence, but the means have limit ${\frac {1}{2}}$. (See also Grandi's series.)

Cesàro means are often applied to Fourier series, since the means (applied to the trigonometric polynomials making up the symmetric partial sums) are more powerful in summing such series than pointwise convergence. The kernel that corresponds is the Fejér kernel, replacing the Dirichlet kernel; it is positive, while the Dirichlet kernel takes both positive and negative values. This accounts for the superior properties of Cesàro means for summing Fourier series, according to the general theory of approximate identities.

A generalization of the Cesàro mean is the Stolz-Cesàro theorem.

The Riesz mean was introduced by M. Riesz as a more powerful but substantially similar summability method.

See also

• Cesàro summation

External links

• Cesaro mean at PlanetMath
• Cesaro mean at SOS Math

[[Category:Means]] [[Category:Mathematical series]]

On the choice between the names "Cesàro summable sequence" and "Cesàro summable series"

Comparing the numbers of Google hits results in: "Cesàro summable sequence" 973;  "Cesàro summable sequences" 593;  "Cesàro summable series" (sing.+pl.): 690.
For all kinds of summability together, Google produces:   "summable sequence" 27 100;  "summable sequences" 47 300;  "summable series" (sing.+pl.): 21 100.

Moreover, the WP article 'Series (mathematics)' decribes the modern meaning if the word 'series' by:
The series defined by an infinite sequence of addible terms is the operation of adding this terms one after the other.
It's not easy to see 'Cesàro summability' as a property of that operation.

Who can bring arguments for using "Ceàro summable series" in the article? Mentioning both names is a possibility as well, of course. -- Hesselp (overleg) 16 okt 2017 18:16 (CEST)

Deacon Vorbis

I missed all the drama, but the current version is fine. I don't think there are any major changes needed. Hesselp, the version you had in place in September before it was restored was incorrect. --Deacon Vorbis (talk) 14:54, 15 October 2017 (UTC)

To Deacon Vorbis. I can see your changes in the second part of the article as improvements. As I see the deletion of the sentence  "For any convergent sequence, the corresponding series is Cesàro summable" in the Definition section on 12 October 2017. (See my proposal 30 June 2017).
According to me, the readability of the Definition section can be improved by the much shorter wording (without changing the content) as in my edits. I shouldn't call that a 'major change'. But by what reason do you write that this edits were incorrect?  Please be specific. -- Hesselp (talk) 19:31, 15 October 2017 (UTC)

Please read WP:IDHT and WP:DEADHORSE --Deacon Vorbis (talk) 16:34, 16 October 2017 (UTC)

But to add a little, the short version is that the way you give the definition isn't as clear, and your insistence on "sequence" instead of "series" isn't standard. Lest you risk a wider topic ban, it might be a good idea to drop this one. --Deacon Vorbis (talk) 17:05, 16 October 2017 (UTC)

Deacon Vorbis, thank you for (what I see as) a specification of your 'incorrect' (15 Oct.).
On: "the definition isn't as clear":  Is the following variant a sufficient improvement?
Definition:  A sequence/series (with terms $a_{i}$ and partial sums $a_{1}+\cdots +a_{i}=s_{i}$)  is called Cesàro summable, if the arithmetic mean of its first $n$ partial sums, $(s_{1}+\cdots +s_{n})/n$,  for increasing $n$ tends to a limit  (the Cesàro sum of the sequence).
On "sequence instead of series isn't standard":  There are two different situations. Just as anyone else, I see that "convergent series" is widely more used than "summable sequence".  But the Cesàro-case is different. See the Google statistics. And on the German page "Diskussion:Cesàro-Mittel" user HilberTraum states (5 July 2017):   Bisher war mir ein Begriff wie „summierbare Reihe“ ebenfalls unbekannt. Es gibt zwar ein paar Google-Treffer, aber üblich scheint es mir, nur „summierbare Folge“ oder (wesentlich häufiger, weil allgemeiner) „summierbare Familie“ zu definieren. [I think it is usual only to define 'summable sequence' or 'summable family'.]
Finally: as far as I know, this Talk Page is not meant for a reaction on remarks concerning the risk of bans. -- Hesselp (overleg) 17 okt 2017 01:31 (CEST)

"Methods for the summation of series" on EoM:"Cesàro summation methods". Boris Tsirelson (talk) 20:29, 16 October 2017 (UTC)

It's much more difficult, imo, to see 'Cesàro summability' as a property of a sequence-sumsequence-pair, than as a property of a sequence (with addible terms).

Zygmund's Trigonometric series uses both. Sławomir Biały (talk) 21:31, 16 October 2017 (UTC)

Maybe this idea can be realized as well in the WP-article. The wording of the definition remains the same for:
A series (with terms a_i) is called Cesàro summable if ... ,   and for
A sequence (with terms a_i) is called Cesàro summable if ... . --

@D.Lazard.  Do you accept as belonging to your (imo correct) set of equivalent phrases as well:  "the infinite series with terms $a_{i}$ is convergent",   "the infinite series with terms $a_{i}$ is summable"  and  "the infinite sequence with terms $a_{i}$ is summable" ?
Secondly, you don't see the number (and the contexts) of google hits on "Cesàro summable sequence" and "Cesàro summable sequences" (973+593) as convincing enough for mentioning in Cesàro summation ? --

Cherrypicking?

Thank you, Tsirel.   Now with sources  https://www.google.com/search?tbm=bks&q=%22   and   https://scholar.google.com/scholar?hl=en&as_sdt=0%2C5&q=%22
"Cesaro summable series":   136 + 47 = 183
"Cesaro summable sequences":   127 + 138 = 265
"Cesaro summable sequence":   46 + 31 = 77.     265 + 77 = 337
Did you,Sławomir Biały, use other sources than I ? -- Hesselp (overleg) 17 okt 2017 20:55 (CEST)

'Counting by hand', as proposed by Tsirel, results in the following numbers of different titles:
Google Books: "Cesaro summable sequence(s)" 43,   "Cesaro summable series" 24
Google Scholar (articles): "Cesaro summable sequence(s)" 150,   "Cesaro summable series" 47
--

Suggestion Lazard

I welcome Lazard's suggestion, provided that the first sentence in the section is shortened to the neutral:
  Let {a_n} be a sequence, and let  $a_{1}+\cdots +a_{k}=s_{k}$  be its th partial sum. (Or splitted into 3 lines.)

Although his suggestion can be improved. For the definition remains partly verbal and partly symbolic (How many readers know how to pronounce:  "the series  $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$"; could it be "the series with terms a index n" ?).   I see it as desirable to separate the verbal wording and the symbolic presentation. The definition has to tell (in words) what's the condition for a sequence/series to be called Cesàro summable. This can be accomplished (with the definition of 'Cesàro means of a sequence' restored in 'Cesàro mean' or incorporated here in 'Cesàro summation') by:
  "A sequence or series is called Cesàro summable, if the Cesàro means of its sequence of partial sums tends to a limit
  (the Cesàro sum of the sequence or series)."

An alternative without using 'Cesàro means' is (with two non-essential symbolic 'parentheses'):
  "A sequence/series (with terms $a_{i}$ and partial sums $a_{1}+\cdots +a_{i}=s_{i}$)  is called Cesàro summable, if the arithmetic
  mean of its first $n$ partial sums, $(s_{1}+\cdots +s_{n})/n$,  for increasing $n$ tends to a limit  (the Cesàro sum of the
  sequence/series)." --

Reaction on Tsirel & Dmcq

On 'An opinion' (Boris Tsirelson, Dmcq)
Thanks to both of you for your efforts to explain your position, in a clear way.  I'll make remarks on six points.

    On  "Sometimes $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ denotes ..."
This symbolic form is used in three ways: the sum number, the sum sequence and the 'series' of sequence (a_n).
As is this capital-sigma form, the adjective ‘convergent’ is ambiguous as well: "having a limit" and "having a sum". This double meaning has a long history, at least untill Euler and the Bernoullis. I cite (once more) Gauss, 18??: Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung, Werke, Abt.I, Band X, S.400.  In all his publications Cauchy used the verb converger for limittable and the adjective convergente for summable, but this seems to be never adapted at large.

    On  "We do not have a single, universally accepted..."
Is this really true? Or do we overlook Cauchy's observation? His famous Cours d'Analyse starts in CHAPITRE VI p.123 simply with: On appelle série une suite indéfinie de quantités ... . ("An infinite sequence of quantities is called series",  with 'quantity' = 'real number' as declared in PRÉLIMINAIRES p.2.)   Doesn't this fits with the (universal) practice: 'series' is used instead of 'sequence' in situations where it's essential that addition between terms is defined? And doesn't this fits with the contents of the chapters headed 'Sequences' and 'Series' in almost all textbooks on calculus? (Keep in mind that Cauchy used 'convergent' for 'converging partial sums' = 'summable',  not for 'converging terms'.)
You are going to qualify this as being OR, not allowed in WP?  It's nothing else than the observation that Cauchy's terminology (with his 'convergente' replaced by 'sommable') still fits with actual practice.

    On  "Maybe he hopes..." .
That’s your idea, Tsirel;  my comment: “Gedanken sind frei, wer kann sie erraten...”.  Actually I’m quite convinced, and I wrote it several times, that a chapter “Series” (and a chapter “Cesàro summability” connected with Fourier-expansion especially) would be much easier to understand by using ‘sequence’, ‘summable’ and ‘absolutely summable’ instead of ‘series’, ‘convergent’ and ‘absolutely convergent’ (avoiding ambiguities). On the other hand, the argument “prepare a student (and a WP-user) to reading existing math literature”, is as important to me as it is to you. That’s beyond discussion.

    On  "he misses my point completely".
I looked again at your questions of 9 October 2017 (18:16 and 19:54). You varied the wordings of your two phrases in a way I never thought of. Combined with your puzzling "identify a series with...." I missed your point, yes indeed.

    On  "They say series, we should say series".
They say series.   Literally yes, they use the word "series". But examining calculus textbooks you can find maybe a dozen different - non equivalent - attempts to describe its meaning. All of them pretending to present THE meaning; no one mentions Tsirel's "We do not have a single...".
So what do you, Dmcq, mean with "we should say series"?   Should the WP article choose for just one description (out of the 'dozen')?  Bourbaki's? as in the renowned EoM.
Or, current practice in WP, present a handful of non-equivalent descriptions, pretending their equivalence?  see:
- a series is, roughly speaking, a description of the operation of adding infinitely many quantities, one after one ([31]),
- a series, which is the operation of adding the a_i  one after the other (line 21),
- a series is an infinite sum (Basic properties, line 1),
- a series is the sum of the terms of an infinite sequence of numbers (line 1)
- a series is, ... an expression of the form  Σ_n=1^∞ a_n  or   a₁ + a₂ + ··· (section Series, line 1).
Or, distinguish explicitely the different roles of the s-word in: series-expression, series-representation, series-expansion, and more?   And mention that 'sequence' and 'series' are synonyms (though sometimes one variant is more usual) in: alternating se..., Fibonacci-se..., geometric se..., harmonic-se..., power-se..., trigonometric-se..., et cetera.

    On  "Bourbaki’s definition is absurd".
I cannot provide sources that support the qualification 'absurd'. Nor sources that comment on 'series' defined as a  sequence - sum sequence pair. I can show circa 10 titles of calculus books with their exposition on 'series' based on this pair; so it seems to be important enough to be mentioned in WP Series (mathematics).
One more remark on this quite unusual definition: Cauchy’s "sequence with real numbers as terms" implies that the partial sums are defined. So "a sequence with additionable terms" is close to "a sequence with a sum sequence", and in this interpretation of Bourbaki there’s nothing 'absurd' left anymore.
-- Hesselp (overleg) 22 okt 2017 18:01 (CEST)

@Dmcq.   Your comment concerns Deacon Vorbis, 22 Oct., I suppose?   I agree, it wouldn't be possible to find reliable sources for his double cyclic:  An infinite series is an expression ....denoting either itself or its sum.
In case you meant my text (22 Oct.), you probably missed Cauchy, Gauss, Bourbaki, EoM. --

Bourbaki has, in editions 1942 until 1971, the distinctive forms:  S$\textstyle _{n=0}^{\ \infty }a_{n}$,   $\textstyle \sum _{n=0}^{\ \infty }a_{n}$  and  $\textstyle \left((a_{n})\ ;\sum _{n=0}^{\ \infty }a_{n}\right)$ .
The object symbolically denoted by  $\textstyle \left((a_{n})\ ;\sum _{n=0}^{\ \infty }a_{n}\right)$,  is verbally described by:  the series defined by the sequence $\textstyle (a_{n})$  or  the series whose general term is $\textstyle a_{n}$  [or simply  the series $\textstyle (a_{n})$,  by abuse of language, if there is no risk of confusion].

Falsifying (or misreading) Cauchy

G. Birkhoff's incorrect translation/interpretation of Cauchy

I invite everyone who criticizes my attempts to improve WP articles on 'series', to compare five sentences from Cauchy's text (1821) with Birkhoff's adapted (improved? modernized?) version (1973).

A.  Birkhoff's adapted translation (see Garrett Birkhoff A Source Book in Classical Analysis 1973 page 3;  this adapted text is copied by J. Fauvel, J. Gray in The History of Mathematics: A Reader 1987, p.567, no digital version of this section) :
A sequence is an infinite succession of quantities u₀, u₁, u₂, u₃, ...
which succeed each other according to some fixed law.
These quantities themselves are the different terms of the sequence considered.
Let  s_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ··· + u_n-1  be the sum of the first n terms, where n is some integer.
If the sum s_n tends to a certain limit s for increasing values of n, then the series is said to be convergent,
and the limit in question is called the sum of the series.
[.....] By the principles established above, for the series   u₀ + u₁ + u₂ + ··· + u_n + u_n+1 + ···   to converge,
it is necessary and sufficiant that the sums  s_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ··· + u_n-1  converge to a fixed limit s as n increases.

B.  Birkhoff's translation without his adaptations (see Cauchy 1821 (French) and Bradley-Sandifer 2009 (English)) :
Series is used as name for (Cauchy: On appelle série) an infinite sequence (Cauchy: suite) of quantities u₀, u₁, u₂, u₃, ...
which succeed each other according to some fixed law.
These quantities themselves are the different terms of the series considered.
Let  s_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ··· + u_n-1  be the sum of the first n terms, where n is some integer.
If the sum s_n tends to a certain limit s for increasing values of n, then the series is said to be convergent (Cauchy: convergente),
and the limit in question is called the sum (Cauchy: somme) of the series.
[.....] By the principles established above, in order that the series   u₀ ,  u₁ ,  u₂ ,  ···,  u_n ,  u_n+1 ,  ···   be convergent,
it is necessary and sufficiant that the sums  s_n = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + ··· + u_n-1  converge to a fixed limit s as n increases.

Cauchy's nomenclature is consistent (although the adjective 'summable' instead of his adjective 'convergent' - close to the verb 'to converge' for 'tend to a limit' - could have avoided quite a lot of misunderstanding).   In the adapted text, the word 'series' pops up in the fourth sentence without any explanation.
Birkhoff remarks in a footnote  "Cauchy uses the word 'series' for 'sequence' and 'series' alike, ...". This is incorrect: Cauchy uses série in all his works only for "an infinite sequence of reals". --

At Tsirel

"Cauchy's description" is already in use in the following sense (explained by me on Hessel's talk page, but apparently not understood). Mathematics works with notions rather than definitions. A notion is, effectively, an equivalence class of definitions. There is no gain in canonizing one definition and exterminating all others. It is better to know many equivalent definitions, and to understand their interplay (which needs mathematical maturity, sometimes missing). See Equivalent definitions of mathematical structures. For example, topological space has at least 7 definitions (which is good, not bad). Five (and more) equivalent (not at all "contradictory") definitions of a series is also a good, not bad, situation. One of these is "Cauchy's description" (which is just a historical fact of no special importance nowadays, I think so). Boris Tsirelson (talk) 05:53, 31 October 2017 (UTC)

@Boris Tsirelson.   Again, I agree with your general remarks on  "A notion is, effectively, an equivalence class of definitions."
But (1):   How can you write "Five (and more) equivalent .... definitions of a series is also a good ... situation." ?  For that seems to say just the opposite of your "We do not have a single, universally accepted (and rigorous, of course) definition of "a series" ".
But (2):  The 'five' refers (yes ?) to five actual descriptions in WP, summed up above almost at the end of. How can you say that this five are 'not at all "contradictory"' ?  For:
Don't you agree with me that an expression for a notion cannot define that notion itself ?
Idem, that the notion in question cannot be defined by "the operation of adding the terms" as well as by "a description of the operation of adding...." ?
Idem, that "the operation of adding the terms" comes much closer to the notion 'summing a series' than to the notion 'series' itself? --

This user has been banned from editing Series (mathematics) and its talk page (see [32]. He has formally respected the ban, but has continued his disrupting behavior on several talk pages where series are discussed (WT:WPM#User:Hesselp again and Talk:Cesàro summation#The series corresponding with a given sequence?). I suggest to enforce the ban to everything that is about some kind of series, and to extend the duration of the ban. D.Lazard (talk) 16:55, 30 October 2017 (UTC)

Forsyth

The mathematical notion usually named 'series' can be expressed/denoted by the symbolic form  a₁ + a₂ + a₃ + ··· .  But equally well by the symbolic form  a₁ ,  a₂ ,  a₃ ,  ··· .  For the comma's-notation, see A.R. Forsyth Theory of functions of a Complex Variable, 1918 page 21.  Whatever the choice of symbolic notation, the denoted notion remains the same.
The same applies for the name of this notion: whether one says 'series' or 'infinite sequence with addable terms' or 'sequence with a sum sequence',  the notion does not change. --

Paul August

• Support Per all of the above. Paul August ☎ 18:56, 1 November 2017 (UTC)
• Support -- in Hesselp's response to me here, Hesselp makes clear that all his or her editing is indeed focused on the single topic/article to which the ban was applied. --JBL (talk) 16:49, 2 November 2017 (UTC)

1. You are right.  2. So what? I cannot see it as an argument to support a suggested ban. -- Hesselp (talk) 19:55, 2 November 2017 (UTC)

See WP:SPA. Paul August ☎ 20:05, 2 November 2017 (UTC)

In WP:SPA I see distinguished: "well-intentioned editors" versus "favored-point-of-view-promoting editors".  Via the link labelled 'which is not allowed" I reach a section titled "WP is not a soapbox or means of promotion" with five 'not-allowed' categories.  No one of this five, as far as I can see, has to do with my intentions.
That is: via analysing and comparing the merits of the different attempts to describe the meaning of the mathematical notion mostly called 'series', reach as goal a situation without simultanuous non-equivalent (conflicting) descriptions of this notion in WP-articles (I noticed five different ones on the moment).
Here the force of clear sources and of logic reigns, not the force of promoting an a priori favorite. (At least: as long as no parts of the discussion are deleted from WP:WPM; recently here: [33], [34], [35], [36], [37], [38]). -- Hesselp (overleg) 3 nov 2017 00:54 (CET)

Neutral

• Neutral   I'll not appeal against a temporary ban on attempts to remove conflicting (non-equivalent) 'descriptions' of the notion usually called series from WP-articles. Or attempts to comment on this situation at least, e.g. in "Series (mathematics)". (Operation? Description of an operation? Expression? Infinite sum? Pair of related sequences? Undefined notion, requiring some mathematical maturity? Sequence that can be written as sum sequence?).
  I didn't succeed in convincing the majority, that Cauchy's suite indéfinie de nombres réelles comes closest to the way this notion is used by mathematicians in practice.  With his convergente read as 'having a sum' / 'summable',  converger des termes as 'having a limit' / 'tending to a limit' / ('limitable')  and nombres réelles as 'addable terms'.
  I'm going to look for more/better sources and arguments. --

Sources

Nog niet in WP vermelde bronnen:

Philip Jourdain The Nature of Mathematics (1912-1919)page 106

A.A. Klaf 1964, 2012 definition 'series'

Bronnen van "Series"-artikel in EoM:

Bromwich 1908 [Bromwich, "An introduction to the theory of infinite series" page 15]

Stromberg 1981 page 54

Knopp 1922 page 94
"Eine Reihe ist ein Symbol für die Folge seiner Teilsummen" (seiner slaat op Symbol, dus: Teilsummen van het Reihe-symbool !!)
Dus: Een bepaald symbool voor: de deelsommenrij van zichzelf, heet 'Reihe'. Maar deelsommen volgen uit een gegeven rij, niet uit een gegeven symbool!

Zygmund 1988 Page 1

Pascal / Epstein Repertorium der höheren Analysis, 1910 page 421 en [wordt helaas niet getoond
page 424 en page 424 en page 424

Growth constant

How is related with every exponential/organic process

Radagasty (26 October 2017) correctly states the circularity in the starting sentences of e (mathematical constant) and Natural logarithm. And three commentators correctly state that there are alternative characterizations later on.  I agree with Radagasty that this is not the most desirable situation.  As an alternative I propose to start the article with the following rewording of the well known story on continuous compounding (see section 'Compound interest').

"The number ' (2,718...) shows up in comparing exponential/organic growth (constant growth rates on equal time intervals) with lineair/anorganic growth (constant increments on equal time intervals) starting at the same moment with the same value and the same rate. At the moment the lineair proces has doubled the start value, the exponential process reached 2,718... = times that value."   Together with a figure (I'm not able to produce it) with: an exponential curve and asymptote (horizontal), a tangent, vertical line segments at the common starting point and at the point where lineair growth has doubled the start value, and "1", "2" and "" .
Support? --

No. That's pretty incomprehensible. --Deacon Vorbis (talk) 20:15, 19 November 2017 (UTC)

No also. Very cryptic and not of any help. Sapphorain (talk) 20:55, 19 November 2017 (UTC)

Nope. Also, none of the definitions in the lead is circular. In particular, the natural logarithm is defined in the first paragraph of the lead independently of the subject of the article. Also, what you wrote is mathematically wrong. Sławomir Biały (talk) 01:15, 20 November 2017 (UTC)

Obviously not, it's incomprehensible. The current version, by contrast, is good. --JBL (talk) 02:44, 20 November 2017 (UTC)

No. The proposed change is mathematically wrong also, unless those "equal time intervals" are infinitesimally small. I prefer a simpler definition like "the area under the curve y=1/x is 1.0 in the range x=1 to e." ~Anachronist (talk) 05:53, 20 November 2017 (UTC)

@Anachronist. 1. Mathematically wrong? Please clarify this.  For an exponential process ('function' in mathematics) can be described by the condition:  $f(t_{1}+\Delta t)/f(t_{1})=f(t_{2}+\Delta t)/f(t_{2})$ for all $t_{1}$ and $t_{2}$, and for all finite $\Delta t$.   Yes?

2.  The visualizations of both the arbitrary-exponential-curve-with-arbitrary-tangent-definition  and  the 1/x-curve-with-square-equals-the-sofa-shaped-region-definition, show as a line segment compared with a unit segment. In my opinion the first construction is more comprehensible and more general ('simpler') than the second. Which argument(s) you have for choosing the second (with the not at all trivial process of equalizing the sofa-area to the square-area)? -- Hesselp (overleg) 20 nov 2017 22:36 (CET)

The starting sentence  "The number is the base of the natural logarithm" doesn't make clear at all why the number is somewhere between 2 and 3. Whereas you can see this clearly by comparing two ordinates in the picture of a (arbitrary) exponential curve and a (arbitrary) tangent.   "Just as" you can estimate $\phi$ by comparing length and width in the picture of a golden rectangle.  What could be 'misleading' in this?
How to get an exponential curve?  Mark in a grid the points (0, 0.5) (3, 1) (6, 2) (9, 4) (12, 8) and draw a smooth curve by hand.   This curve can be seen as being the graph of the natural logarithmic or exponential function by choosing appropriate scales along axes. (The subtangent of the curve has to be seen as having length 1.)

About what is cited as "key facts".  The mutual linking can be avoided as well by starting with:
"The number is the base of the exponential function (or exponential functions?) identical to its deivative."
Isn't this even more a 'key fact'?   -- Hesselp (overleg) 21 nov 2017 22:47 (CET)

Reaction on edits by JBL and CBM.

Can be said here, what is seen as 'wrong' in the sentence cited by Sławomir Biały?
Notice that the first illustration in the section In calculus (with tangents in (0, 1) to the dotted and dashed curves as well), shows three times that doubling the ordinate of the tangent, coincides with a 2.7-fold ordinate of the exponential curve.

And this.  Can we maintain the following order of discussion?
1. Is the proposed alternative (mathematically) correct?
2. Then, if yes, what are its (dis-)advantages?
3. Then, voting on the desirability of the alternative. -- Hesselp (overleg) 21 nov 2017 22:47 (CET)

Reaction on Sławomir Biały and JBL.

Further discussion on three proposals for the start of the article

Proposal 19 November 2017   "The number ' (2,718...) shows up when exponential/organic growth (constant growth rates on equal time intervals)  is compared with lineair/anorganic growth (constant increments on equal time intervals) starting at the same moment with the same value and the same rate.  At the moment the lineair proces has doubled the start value, the exponential process reaches 2,718... = times this value."   Visualized in a picture with: an exponential curve and asymptote (horizontal), a tangent, vertical line segments at the tangent point and at the point where lineair growth has doubled the start value, and "1", "2" and "" .

Five negative reactions: 'pretty incomprehensible',   'Very cryptic and not of any help',   'mathematically wrong',   'incomprehensible',   'mathematically wrong also, unless those "equal time intervals" are infinitesimally small'.
As far as I understand, the 'mathematically wrong' by Sławomir Biały is based on his conception that the number doesn't has to do with exponential curves and exponential functions (or anyway less than with the natural logaritmic function). My argument against this opinion I mentioned here, second sentence.
And on the 'mathematically wrong also' by Anachronist: I don't think you can mention one exponential function not satisfying "constant growth rates on equal - finite - time intervals". And not one non-exponential function satisfying it on all interval-pairs.  Apart from this, the two short descriptions in parentheses are not essential in this proposal.

Proposal 20 November 2017   "The number ' (2.718...) is closely connected with any exponential curve, just as $\pi$ (3.141...) with any circle and $\phi$ (1.618...) with any golden rectangle."   Together with the basic picture visualizing this connection: curve, asymptote, tangent, and vertical segments of length 1 (at the tangent point), and 1/ .

With a general description of the topic instead of a complete formal definition, as asked for by CBM. Two negative reactions, only motivated by:
- 'deeply misleading'  (without any explanation)
- 'less clear than what we have now'  ('closely connected with any exponential curve' versus 'base of the natural logaritm'). -- Hesselp (overleg) 22 nov 2017 16:58 (CET)

Proposal 21 November 2017   "The number ' is the base of the exponential function identical to its derivative."
No reactions on this proposal (close to the present sentence, without the mutual linking signaled by Radagasty, 26 October 2017) until now. -- Hesselp (overleg) 22 nov 2017 16:58 (CET)

@Anachronist. I did not  "start this talk page conversation";   I was number six who came in.
And this discussion is not about series(sequences) or sequences(series), but about possibilities to improve the first sentence in (mathematical constant).
Yes, you can use series-representation and series-notation to express number e.  But you can use that representation for any number (and any function), so in your interpretation my current topic ban should regard almost all mathematics.  That’s not what admin TomStar81 wrote me on 7 November 2017.
You (almost) said that you are going to block my account. If you think that is fair in the present situation, and the best for Wikipedia – I cannot stop you. From my side, I thought (and think) that my successive proposals for the starting sentence of this article, and my attempts to explain and defend them, could contribute to an improvement. -- Hesselp (overleg) 22 nov 2017 23:44 (CET)

No change. Regarding the first proposal, which I am astonished Hesselp is still pushing: Presumably Hesselp believes that the "exponential process" $f(t)=2^{t}$ should grow by a factor of e when the "linear process" doubles its start value. This requires a very strong source to be believable. The second proposal is based on a false analogy: the numbers e, , and φ are defined in very different ways, and seems to contain the fallacy of the first proposal albeit less explicitly. The remaining one is already discussed in the first paragraph of the lead in a much clearer and more explicit way, though Hesselp apparently hasn't read the first paragraph of the article yet because he denies that it does this. Sławomir Biały (talk) 12:26, 23 November 2017 (UTC)

@Sławomir Biały. You ask for 'a very strong source' for my first Proposal 19 November 2017.
My answer: see the subsection Compound interest.  Concentrate in this twenty lines on: $1.00,  $2.00,   $2.71828... and 'continuous compounding' (read this as: 'exponential process').
For a visual analogon: draw a tangent to the exponential curve (at the right of the text), find the point on this tangent with ordinate double the ordinate of the 'starting point' (the point of tangency), and estimate the surplus of the continuous-compounding proces at the lineair-doubling moment. This Bernoulli-source is strong enough?

Based on the discussions until now, my favorite opening of the lead should be:
Proposal 23 November 2017:   "The number ' (2,718...) decribes the surplus of exponential (continuous compounding, cumulative) growth, over lineair growth with the same value and growth-rate at the start.  At the moment the lineair process has doubled the start value, the exponential process reaches 2,718... = times this value."
With as main arguments that this makes visible: (1) The number shows up not only in abstract mathematics (special 'nice' exponential and logarithmic functions) but as well in every (ideal) organic process. In the case of bacteria (with parent generation P and new generations F1, F2, ...):  (P+F1+F2+F3+...) = e·P  when (P+F1) = 2·P.   (2) The value is somewhere over 2. -- Hesselp (overleg) 23 nov 2017 23:19 (CET)

Strong source

@Sławomir Biały.   The tangent in arbitrary point (u, 2^u) on the graph of your function f  (with equation
y(t) = 2^u + (t-u)·2^uln2 )  grows to double value at moment v (with 2·2^u = 2^u + (v-u)·2^uln2  or  v = u + 1/ln2 ).
So  f(v) / f(u) = 2^u+1/ln2 / 2^u = ..... e.  Same result as Bernoulli. -- Hesselp (overleg) 24 nov 2017 11:55 (CET)

Additional remarks, on your (paraphrased):  It's quite simply not true that any exponential process satisfies a certain specific scaling law that involves e.
1.  I don't understand what you mean by 'a scaling law'.  For by 'an exponential growth/process'  I mean a special way a certain quantity varies in the course of (mostly) time, not depending on any 'scaling'  whatever.
2.  The connection of any exponential function with the number e shows up already in the fact that the ' e-logarithm is needed to describe its slope. This leads to one more variant for the first sentence of the lead:
Proposal 24 November 2017   "The number ' is the constant value of  (base of f) ^ (f' / f)  for every exponential function f." -- Hesselp (overleg) 24 nov 2017 18:08 (CET)

@Purgy.   One detail, concerning your  "is the unique exponential function equal to its own derivation".
You intend to say, I suppose: "is the unique antilogarithmic function equal to its own derivation".   For there are infinitely many exponential functions with this property (type  a·e^x). -- Hesselp (overleg) 24 nov 2017 18:08 (CET)

• Sławomir Białys support and agreement, here and here, can be seen as new facts? -- Hesselp (overleg) 25 nov 2017 14:49 (CET)

Improved formulation:
- is an exponentional relation (unscaled)   $\Longrightarrow \ f(t+f(u)/f'(u))\ /\ f(t)\ \,=\ \,e$
- is an exponential function (domain $\mathbb {R}$)   $\ \Longrightarrow \ [f(1)/f(0)]^{f'(0)/f(0)}\ \,=\ \,e$
-- Hesselp (overleg) 25 nov 2017 14:49 (CET)

Further improved:
For every exponential process $f$ (with its subtangent $\tau _{f}$ being the constant value of $f/f'$) and for all $t$,
$f(t+\tau _{f})\,/\,f(t)$  equals  $e$ .
(I'm still trying to find back sources. Someone else?)   -- ~~

Further improved:
For every exponential process $f$ (with subtangent $\mathrm {st} _{f}$, the constant value of $f/f'$) and for all $t$,
$f(t+\mathrm {st} _{f})\,/\,f(t)$  equals  $e$ .
(I'm still trying to find back my source(s). Someone else?)   -- ~~

• Doing nothing  Not any concrete example of disruption is mentioned here.  And not any concrete example of violation of an actual ban is mentioned here (not every formula with addition-signs denotes an object that can be seen as being included in it; an exponential process or function is not included either). -- ~~

• Apology  A considerable part of the discussion with me in the section 'Circular Definition' was about my proposal for an altenative start of the article on 19 November 2017. The words 'has doubled the start value' in this proposal, were interpreted as 'has doubled the abscissa at the start', while it was meant as 'has doubled the ordinate at the start'.
  I've seen much too late that the original wording was not unambiguous (as being myself very familiar with the picture of the 'exponential surplus').  I regret that I didn't see this earlier, and I apologize for that. As an extra argument to clarify my proposal, I used the well known situation with growing bacteria, not realizing that this could be seen as having a link with the earlier discussion concerning the subject 'series'. -- Hesselp (overleg) 29 nov 2017 01:03 (CET)

The word 'value' in my proposal for a definition of seems to be not as ambiguous as I wrote above. For in the WP-article 'Function (mathematics)', section Introduction and examples says:  "The input to a function is called the argument and the output is called the value" . -- ~~

The formula "P+F1+F2+F3+..." in this edit was used as an expression denoting a varying (increasing) quantity - a growing colony of bacteria. NOT denoting a mathematical object as described in the article I'm banned for. And so not either denoting an abstract data type as this object is called here and here.

Klavar WP

Bij terugzetting 1 december 2017

&Drabkikker.  Voor iedere gebruiker van deze gigantische encyclopedie geldt dat een óvergroot deel nog veel minder relevant is dan het hier als verwijderingsmotief gebruikte "minder relevant".  Dat geldt voor bijvoorbeeld Atmosferische optica evenzeer als voor ieder ander (onderdeel van) een onderwerp.  Het genoemde motief wettigt daarom niet de kaalslag in het artikel. Afzonderlijke, van inhoudelijke motivering voorziene, wijzigingsvoorstellen kunnen op deze overlegpagina aan de orde gesteld worden. Overigens: dank voor alle detail-opmerkingen, rond een tiental ervan is overgenomen, voor andere lijkt me vaak WP:BTNI te gelden. -- ~~

proef

$\flat \flat$

Geen 7 maar 12 noot-posities[bewerken]

Een notenschrift maakt gebruik van noten om de in een muziekstuk voorkomende tonen bij benadering te beschrijven. In Klavar is dat niet anders. Met noten wordt hier gedoeld op de rondjes of ovaaltjes die door hun plaatsing ten opzichte van de lijnen van de notenbalk (en door een eventueel voorafgaand kruis- of molteken), informatie geven over de hoogte van een muzikale toon.

is weer typisch formeel en wil op de achtergrond duidelijk (?) maken dat precieze toonhoogten niet vastliggen. Dat is hier echter helemaal niet relevant. Deze sectie bespreekt de verschillen tussen de traditionele notenbalk en de balk bij Klavar. Daarom mijn voorstel: Notenbalk Bij Klavar 12 posities voor een noot[bewerken]

Een notenschrift maakt gebruik van noten om de in een muziekstuk voorkomende tonen bij benadering te beschrijven. In Klavar is dat niet anders. Met noten wordt hier gedoeld op de rondjes of ovaaltjes die door hun plaatsing ten opzichte van de lijnen van de notenbalk (en door een eventueel voorafgaand kruis- of molteken), aangeven welke stamtoon (of daarvan afgeleide toon) gespeeld moet worden. Madyno (overleg) 26 jun 2018 10:52 (CEST)

@Madyno.  Het "informatie geven over de hoogte van een muzikale toon" lijkt me juist heel neutraal, en helemaal niet "formeel". Jouw "moet worden" is dat juist wél. Als je denkt aan een toetsinstrument is het niet helemaal onlogisch (wel wat onaardig gezegd), maar aan de 'strijkers en zangers' wordt een grotere vrijheid gegund.
Dat je hier "stamtoon" schrijft, is natuurlijk uit den boze: het huidige artikel zegt alleen hoe ze heten, en is verder onduidelijk. (Als gesteld zou worden dat de letters A, B, C, ..., G verwijzen naar de toontrappen in een diatonische ladder - net als de do-re-mi-...namen - dan botst dat met "weergegeven zonder voorteken".  Ja toch?! )
Het slot "de hoogte van een muzikale toon." kan misschien beter worden: "de hoogte van de gewenste toon" of "de hoogte van de bedoelde toon". --

Bij een aantal van Madyno's afwijzingen is mogelijk een wenselijker alternatief te vinden (maar 'langer' is niet altijd 'leesbaarder'); andere zijn - zeker in hun context - goed bruikbaar (soms tussen apostrofs).
De Woordenlijst is geen criterium (die gaat over spelling, niet over de toelaatbaarheid of frequentie van samenstellingen of afleidingen). Want what about stamtoon, nootwaarde, nootduur, subdominant, muziekstijl, kerktoonladder, toongeslacht, toontrap, ... en héél veel meer? --

Toelichting bij artikel-bewerking 27 juni 2018

1. De sectie Nadelen is op 28 mei toegevoegd op een manier en met een inhoud die niet strookt met het in Wikipedia:Balans genoemde, zie deze en deze toelichting. Tegenargumenten zijn niet ingebracht. Bij de tekstherziening op 5 juli 2015 zijn alle punten van deze (al vanaf 22 sep 2009 aanwezige) 'nadelen'-lijst, stuk voor stuk in de tekst aan de orde gesteld.
2. "Noot-posities" valt inhoudelijk samen met "posities voor noten"; de korte vorm geeft in deze context evenmin aanleiding tot misverstaan, een heeft de voorkeur.
3. Halve noten slaat altijd op tijdsduur. De kruisen en mollen komen in sectie 1 aan bod, het streven is om de paar inleidende zinnen zo kort mogelijk te laten zijn.
4. Ik zie nu dat "maatstreep" (een WP-artikel) veel gangbaarder is dan "maatlijn". De betekenis van het voor de meeste lezers nieuwe woord 'tellijntjes' is in de naaststaande figuur te zien; toevoeging van "(zie figuur)" of "(zie figuur 'Greensleeves')" lijkt me overbodig.
5. Nootvormen. Deze term is niet ongebruikelijk, en valt inhoudelijk samen met "vormen van de noten"; "Waardestreep" is een WP-artikel.
6. Klavarnotatie heeft hier mijn voorkeur boven "Klavar"; "de Klavarnotaties" voegt zich qua woordvorm goed bij "het traditionele schrift". Verder zie ik het als minder wenselijk om overal direct de korte vorm gebruiken die (bijna?) alleen door Klavar-lezers gekent wordt. BTNI?
7. "de Klavarbalk" is net wat specifieker dan alleen "Klavar", en in deze context volkomen duidelijk.
8. Toetsenbord - een zeer gebruikelijk woord - stond hier ter afwisseling van het vaker in deze tekst voorkomende "klavier". BNTI?
9. "Een klavier" zal net wat eerder dan 'het klavier' doen denken aan meerdere instrumenten (piano, orgel, clavecimbel, ..). BNTI?
10. Voor hen vervalt bij het van het blad spelen de rol van letternamen voor noten en toetsen. Zie hier, punt 1. Dit blijft zo, ook al kunnen in andere situaties dan bij 'van het blad spelen' letternamen nuttig zijn.
11. (Sectie: Toonhoogte en nootpositie) F-kruis-noot vervangen door 'F♯-noot'. Dat voorkomt mogelijk misverstand omdat 'Fis' niet alleen als naam voor een noot voorkomt.

Op haast alle door Brimz op 25 juni doorgevoerde wijzigingen ná de inleiding, volgt een reactie nog nader. --

12. (In het vergelijkende schema) Nootposities is hier iets specifieker, en dus beter, dan alleen "posities".

13. Notenbeeld is hier iets specifieker, en dus beter, dan alleen "beeld".

14. Balklijnen is hier iets specifieker, en dus beter, dan "notenbalk".

15. Toonbereik is hier iets specifieker, en dus beter, dan alleen "bereik". (Mag ook "toonhoogte-bereik" worden).

16. Nootposities vervangen door "noten" is niet helemaal correct. Want bij "opvolgende" gaat het om de 7 (c.q. 12) posities op de balk voor noten, terwijl TN 21 noten (al dan niet met voorteken) per octaaf kent.

17. (Onder het schema) Balkposities leest - in deze context - makkelijker dan "posities op de notenbalk". Het tweede "balkpositie" mag ook "positie" zijn.

18. Na ...een zekere bandbreedte. zijn zonder motivering drie zinnen verplaatst naar de sectie "Toonhoogte en nootpositie". In die drie zinnen staat wat achtergrond bij de keuze voor twaalf, met via een voetnoot een belangrijke link naar een tekst van Enevoldson. Klavar koos dus niet helemaal klakkeloos voor de twaalf nootposities vanwege de normale klavieren, maar ook vanwege de logica áchter die keuze. Deze toelichting is bewust geplaatst in de sectie waar verschillende aspecten van de overgang van zeven naar twaalf nootposities aan de orde komen. Zijn er argumenten vóór verplaatsing?

19. Bij twaalf-verdeling: als "12-verdeling" net wat beter gevonden wordt - prima.

20. "De op die twaalf-verdeling gebaseerde Klavarbalk" sluit dichter aan bij de voorgaande zin dan een verwoordening met "intervallen".

21. alle vaste en toevallige....: gezien de lange opsomming erna, is "alle" hier logischer dan "de".

22. Halftonen zal, net als halve tonen een aanvechtbare benaming zijn. Ik zie nu dat gewoon "toonhoogtes" hier prima past.

23. Liniëring is een heel gangbaar woord (zie bijv. google); voor "lijnverdeling" (nu wél een samenstelling?) geldt dat een heel stuk minder.

24. Kopje Klavar een greepschrift (tabulatuur)?. Mogelijk is het vraagteken hier ongewenst (?). Zonder dat vraagteken blijft de inhoud gelijk met "Klavar wel of niet een greepschrift (tabulatuur)"

Intro reine stemming

Betekenissen van "rein" splitsen?

De huidige beginzin spreekt van "een toonladder waarin de muzikale intervallen bestaan uit breuken van kleine gehele getallen".  Maar .....wáár ligt de grens tussen 'kleine' en 'niet-kleine' getallen?  Duidelijkheid lijkt alleen te bereiken door verschillende gebruiks-betekenissen van het woord 'rein' te onderscheiden:
-met ófwel als toonstappen 9/8 en 4⁴/3⁵ (pythagoreïsche ladders: majeur en mineur (zónder 5 als factor in Een reine stemming gebruikt tonen uit een diatonische toonladder teller of noemer)), ófwel als toonstappen 9/8, 10/9 en 16/15 (reine ladders: ladder van Aristostenes, ladder van Zarlino, la-ladder, mineurladders).
- Twee tonen vormen een rein interval wanneer hun boventoonreeksen gedeeltelijk samenvallen (ongeacht de afstand tot de eerste gemeenschappelijke toon), in tegenstelling tot niet-reine (irrationale) intervallen in een getempereerde stemming.
- Reine kwint komt voor ter benadrukking van het onderscheid met de overmatige kwint (25/24 hoger) en de verminderde kwint (25/24 lager); reine kwart evenzo.
Het WP-artikel de:Quinte noemt in een Anmerkung (boven het kopje Stimmung) ook een dubbele betekenis van 'rein'.
Opmerking met name aan Tom Peters: wanneer we in dit artikel de sectie 'Toonladders' aanvullen met de pythagoreïsche majeur- en mineur-ladders, wordt in die laatste de (door jou op 12 aug. 2017 voorgestelde) kleine septiem 16/9 zichtbaar. Die pythagoreïsche ladders worden door anderen ook gezien als behorend bij de reine stemming, en verdienen daarom uitvoeriger vermeld dan bij 'Zie ook' onderaan.
    V r a a g: zijn er bezwaren tegen het maken van onderscheid tussen deze betekenissen van 'rein' in de intro van het artikel?
Met als beginzinnen wellicht:
Muziek in reine stemming maakt – geheel of in hoofdzaak – gebruik van tonen uit een diatonische toonladder met toonsafstanden 9/8 en 256/243 (pythagoreïsche ladders), dan wel 9/8, 10/9 en 16/15 (reine ladders).
Het woord 'rein' komt in de muziekleer ook in andere betekenissen voor. Een rein interval is een afstand tussen twee tonen met een heeltallige frequentie-verhouding, dat wil zeggen: met boventoon-reeksen die gedeeltelijk samenvallen. En de benamingen reine kwint en reine kwart kunnen dienen ter onderscheiding van de 'overmatige' en de 'verminderde' kwint en kwart (25/24 erboven of eronder).
Er is een duidelijke samenhang tussen wat doorgaans als zuiver/rein klinkend beschouwd wordt, en het ontbreken van intervallen met gecompliceerde frequentie-verhoudingen. Het afwezig zijn van de factor 5 in de pythagoreïsche verhoudingen wordt soms ook van belang geacht.
--

In de genoemde varianten van de reine majeurladder en de reine kwint komen uitsluitend heeltallige verhoudingen voor, dus die varianten zijn wél 'rein' in de 'heeltallig'-betekenis.
Nog een voorbeeld van de dubbele betekenis van 'rein': de terts in de reine mineurladder (het reine interval 6/5), verschilt van de terts in de pythagoreïsche mineurladder (het eveneens reine interval 32/27 = 6/5 : 81/80); beide tertsen zijn reine (een wiskundige zou zeggen: rationale) intervallen, maar slechts één van beide behoort tot een ladder die 'de reine' heet.

Vraag: Komen er in het spraakgebruik nog andere combinaties voor met 'rein' in een specifieke betekenis; dus afgezien van: reine majeurladder, reine mineurladder, reine kwint, reine kwart, en .....reine stemming?
M.b.t. de combinatie 'reine stemming' kan geconstateerd dat die aanduiding nooit past bij een in de praktijk nagestreefde stemming van een instrument met 12 vaste toonhoogten per octaaf (haast alle piano's/orgels). Want toepassing van de reine majeurladder voor de wittetoetsen-tonen maakt het instrument (bij élke keuze voor de vijf zwarte) onbruikbaar voor het bestaande muziek-repertoire. Terwijl stemmingen waarbij gestreefd wordt naar reine (in de zin van rationale) intervallen voor alle elf toonafstanden tot een grondtoon, in theorie goed mogelijk zijn maar in de praktijk evenmin voorkomen. Conclusie: 'reine stemming' slaat op muziek waarin de tonen passen in het toonhoogtenpatroon van in eerste instantie de reine (7-tonige) majeurladder, en bij uitbreiding ook op dat van de reine (natuurlijke) mineurladder en van de pythagoreïsche majeur- en mineurladders.

@Josq. Bedankt voor de m. i. zeer ter zake doende opmerkingen.
- Over de "reine" kwint en kwart: ik stel voor om  "(25/24 erboven of eronder)."  te vervangen door  "(een chromatische halve toon erboven of eronder). Ook als het gaat om een gelijkzwevende kwint en kwart, hier betekent 'rein' dus niet 'heeltallige verhouding'. "
- Het (inderdaad aanvechtbare) onderscheiden van 'pythagoreïsche ladders' en 'reine ladders' baseerde ik in hoofdzaak op Theo Willemze als bron. Algemene muziekleer, par. 547, 548,549: "de stemming van Pythagoras", "de reine stemming (Aristoxenus)" en "de reine stemming (Zarlino)". Met een onregelmatige cursivering. Ik acht het goed mogelijk dat dit term-onderscheid niet algemeen gevolgd wordt. Als gewijzigde beginzin stel ik daarom voor:

Concept 1 maart
Het woord 'rein' kent in de muziekleer meerdere betekenissen.
Muziek in reine stemming maakt, geheel of in hoofdzaak, gebruik van tonen uit een diatonische toonladder in de stemming van Zarlino of een variant daarvan.
Een rein interval is een toonhoogte-afstand tussen twee tonen met boventoon-reeksen die gedeeltelijk samenvallen; oftewel: twee tonen met een heeltallige frequentie-verhouding, ook bij grote verhoudingsgetallen.
Wanneer bij een chromatische toonladder (een twaalf-verdeling van het octaaf) sprake is van een reine stemming, kan bedoeld zijn dat alle twaalf toonstappen reine intervallen zijn. ref>Voorbeelden hiervan zijn chromatische ladders in five-limit tuning en seven-limit tuning. </ref.
De benaming reine kwint kan behalve voor het interval 3:2, ook staan voor een combinatie van twee posities in een diatonische toonladder, gescheiden door drie ladderposities en zeven halve toonafstanden. Dus do-so, re-la, mi-ti, ..., maar niet ti-fa, zonder een precies voorgeschreven toonhoogte-afstand. ref>Theo Willemze Algemene muziekleer, 18e druk 2008, par. 362</ref   Bij reine kwart gaat het om twee tussenposities en vijf halve afstanden.

Algemeen wordt aangenomen dat er een directe samenhang bestaat tussen wat doorgaans als zuiver/rein klinkende muziek beschouwd wordt, en het ontbreken van intervallen met gecompliceerde frequentie-verhoudingen.

Toonladders bij muziek in reine stemming
In de reine stemming staat de diatonische (7-tonige majeur) Zarlino ref> Ook wel genoemd: ladder van Ptolemaeus </ref-toonladder centraal.
Maar ook de volgende drie ladders worden als basis voor muziek in reine stemming gezien:
- de Aristoxenos-ladder (twee identieke tetrachords gescheiden door een interval 9/8),
- de pythagoreïsche-ladder (zonder factor 5 in de verhoudingsgetallen, ten koste van hogere getallen)   en
- de natuurlijke mineur-ladder (met re/la = 4/3, tegen re/la = 27/20 bij Zarlino).
In onderstaande tabel zijn laddertonen die van Zarlino afwijken (steeds 81/80) onderstreept.

ladderpositie	la		ti		do		re		mi		fa		so		la		ti		do
Zarlino					1		9/8		5/4		4/3		3/2		5/3		15/8		2
	9/8       10/9       16/15       9/8       10/9        9/8         16/15
Aristoxenos					1		9/8		5/4		4/3		3/2		27/16		15/8		2
	9/8       10/9       16/15       9/8         9/8       10/9        16/15
pythagoreïsch					1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
	9/8         9/8     256/243     9/8         9/8         9/8       256/243
natuurlijk mineur	1		9/8		6/5		4/3		3/2		8/5		9/5		2
	9/8       16/15      10/9        9/8       16/15       9/8       10/9

De functie van chromatische (12-tonige) ladders
Bij het beschrijven van 'natuurzuivere' a capella zang of niet-begeleide strijkers-muziek is er geen rol voor een 12-tonige ladder. Na een modulatie naar een andere toonaard, wordt de eerder gebruikte diatonische (7-tonige) ladder ingeruild voor een verschoven kopie ervan.
Geheel anders is de situatie bij instrumenten met twaalf vaste tonen per octaaf: bij het stemmen ervan moet onvermijdelijk een keuze gemaakt uit de talloos veel verschillende chromatische (12-tonige) ladders. Afhankelijk van de soort(of soorten) muziek waar het instrument op dat moment voor bedoeld is; het kan daarbij gaan om een middentoonstemming, een getempereerde stemming, een welgetempereerde stemming, ofwel om de gelijkzwevende stemming (bij piano's vrijwel altijd, bij orgels minder). ref> - [39] Section Twelve-tone scale: "There are several ways to create a just tuning of the twelve tone scale";
- [40] "Nimmt man ... und ... und ..., erhält man zwölf Stufen";
- [41] Le choix du demi-ton à retenir dépend du type d'harmonie dans laquelle la gamme sera utilisée.
- Onderschrift bij tabel na 28 hoofdtekst-regels "This table shows one variation of just intonation." </ref

Bij de huidige inhoud van de sectie 'Verhouding tot de boventonenreeks' kan de vraag gesteld volgens welk criterium een interval gezien wordt als behorend tot (citaat:) "de toonafstanden van de reine stemming". Voor wat betreft de afstanden tot de grondtoon van de tonen in ladders die een rol spelen bij wat 'reine stemming' wordt genoemd: die staan aangegeven in de sectie 'Toonladders'. Het vermelden van alle toonafstanden tussen evengenoemde laddertonen resulteert in een heel lange, weinigzeggende opsomming. En lijsten met reine (heeltallige) intervallen met een eigen naam, zijn elders te vinden (Huygens-Fokkerlijst, Interval (muziek), Lijst van intervallen en de List of pitch intervals). Hier kan in een voetnoot naar verwezen bij de term 'rein interval'. Ook lijken links naar de meer specialistische lemma's Boventoon en Toonafstand passend.

Hieronder in aangepaste vorm: de tabel in de beoogde sectie "Toonladders bij muziek in reine stemming":

Er zijn meerdere voorstellen gedaan om de reine zeventonige ladder met nog vijf  'tussentonen'  aan te vullen tot een twaalftonige ladder; tot één canonieke versie heeft dat echter niet geleid.[2]  

Een voor klavierinstrumenten bruikbare twaalftoons(chromatische)-stemming, zal nooit een aangevulde reine zeventoons(diatonische)-stemming zijn.

Namen van reine intervallen verwijzen naar lange lijsten
Zie WP:Interval (muziek) voor nog meer. 16/9 kleine kleine septiem; re-do’, so-fa’, ti-la’ 9/5 grote kleine septiem; mi-re’, la-so’ 15/8 grote septiem (do-ti) 64/45 verminderde kwint (ti-fa’) ook pythagoreïsche intervallen, in aparte tweede kolom

Bronnen - Willemze, Schouten, Jan Biezen

De voetnoot met de naam Ptolemaeus kan inderdaad beter verplaatst naar de sectie Toonladders. Maar de beginzin laten eindigen met "gebruik van tonen uit zekere diatonische toonladders." wordt wel erg vaag; want die Zarlino-variant wordt toch algemeen als (veruit?) de belangrijkste gezien. De vaagheid van "kleine getallen" kan vermeden door concreet te verwijzen naar de ladders waar het (als zijnde theoretische modellen) om gaat, met ook de niet zo kleine getallen als 16, 27, 81, 243.
Geprobeerd is om in dit wijzigingsvoorstel verschillende gebruiksbetekenissen van reine stemming / interval / kwart-kwint, compact aan te duiden. De huidige tekst laat niet zien dat die betekenissen soms tegenstrijdig zijn. De figuur in de huidige intro wil ik laten staan.
In de sectie 'Toonladders' lijkt het me bij nader inzien overzichtelijker om in de figuur/tabel elk van de ladders te beschrijven op de manier van de eerste (Zarlino), dus mét stappen-rijtjes. --

Variant in petto: diatonische ladders met eenvoudige frequentie-verhoudingen tussen laddertonen en grondtoon.

Nog uitwerken en invoeren (Just intonation) In music, just intonation (sometimes abbreviated as JI) or pure intonation is any musical tuning in which the frequencies of notes are related by ratios of small whole numbers. Any interval tuned in this way is called a pure or just interval. Pure intervals are important in music because .....

- frequencies of NOTES ! - ANY interval tuned in SMALL whole numbers is called a just interval. - Pure intervals are IMPORTANT in music.

Reine stemming

De reine stemming is gebaseerd op boventoonposities

Het woord 'rein' kent in de muziekleer meerdere betekenissen.
Muziek in reine stemming maakt, geheel of in hoofdzaak, gebruik van tonen uit een diatonische toonladder in de stemming van Zarlino of een variant daarvan.
Een rein interval is een toonhoogte-afstand tussen twee tonen met boventoon- reeksen die gedeeltelijk samenvallen; oftewel: twee tonen met een heeltallige frequentie-verhouding, ook bij grote verhoudingsgetallen.
Wanneer bij een chromatische toonladder (een twaalf-verdeling van het octaaf) sprake is van een reine stemming, kan bedoeld zijn dat alle twaalf toonstappen reine intervallen zijn.
De benaming reine kwint kan behalve voor het interval 3:2, ook staan voor een combinatie van twee posities in een diatonische toonladder, gescheiden door drie ladderposities en zeven halve toonafstanden. Dus do-so, re-la, mi-ti, ..., maar niet ti-fa, zonder een precies voorgeschreven toonhoogte-afstand.   Bij reine kwart gaat het om twee tussenposities en vijf halve afstanden.

Algemeen wordt aangenomen dat er een directe samenhang bestaat tussen wat doorgaans als zuiver/rein klinkende muziek beschouwd wordt, en het ontbreken van intervallen met gecompliceerde frequentie-verhoudingen.

Toonladders bij muziek in reine stemming

In de reine stemming staat de diatonische (7-tonige) Zarlino-toonladder centraal.
Maar ook de volgende drie ladders worden als basis voor muziek in reine stemming gezien:
- de Aristoxenos-ladder (twee identieke tetrachords gescheiden door een interval 9/8),
- de pythagoreïsche-ladder (zonder factor 5 in de verhoudingsgetallen, ten koste van hogere getallen)   en
- de natuurlijke mineur-ladder (met re/la = 4/3, tegen re/la = 27/20 bij Zarlino).
In onderstaande tabel zijn laddertonen die van Zarlino afwijken (steeds met 81/80) onderstreept

ladderpositie	la		ti		do		re		mi		fa		so		la		ti		do
Zarlino					1		9/8		5/4		4/3		3/2		5/3		15/8		2
	9/8       10/9       16/15       9/8       10/9        9/8         16/15
Aristoxenos					1		9/8		5/4		4/3		3/2		27/16		15/8		2
	9/8       10/9       16/15       9/8         9/8       10/9        16/15
pythagoreïsch					1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
	9/8         9/8     256/243     9/8         9/8         9/8       256/243
natuurlijk mineur	1		9/8		6/5		4/3		3/2		8/5		9/5		2
	9/8       16/15      10/9        9/8       16/15       9/8       10/9

De rol van chromatische (12-tonige) ladders

Bij het beschrijven van 'natuurzuivere' a capella zang of niet-begeleide strijkers-muziek blijven 12-tonige ladders buiten beeld. Deze muziek gebruikt een diatonische (7-tonige) ladder die na een modulatie in kopie terugkomt met een nieuwe grondtoon.
Geheel anders is de situatie bij instrumenten met twaalf vaste tonen per octaaf: bij het stemmen ervan moet onvermijdelijk een keuze gemaakt uit de talloos veel verschillende chromatische (12-tonige) ladders. Afhankelijk van de soort(of soorten) muziek waar het instrument op dat moment voor bedoeld is; het kan daarbij gaan om een middentoonstemming, een getempereerde stemming, een welgetempereerde stemming, ofwel om de gelijkzwevende stemming (bij piano's vrijwel altijd, bij orgels minder).

Modulatie

Kwintmodulaties

Onderstaande tabel toont het resultaat van opeenvolgende verschuivingen van de Zarlinoladder (onderaan) over telkens een reine kwint (of een reine kwart in de andere richting, dat komt op hetzelfde neer).  Nieuwe tonen zijn zo nodig met octaafstappen teruggebracht tot het uitgangsoctaaf.

In elke regel geldt voor twee van de zeven tonen dat ze in de regel erboven niet meer voorkomen: steeds verdwijnen de toonhoogtes van fa en la, en komen er twee nieuwe toonhoogtes bij: de ene - ti - vrijwel midden tussen de oude fa en so in, de andere - re - 22 cents (81/80, een didymisch komma) boven de oude la. Bij verschuiving over een kwint omlaag zijn het de toonhoogtes van re en ti die niet (niet precies) terugkomen.

Na drie kwintverschuivingen is er nog één oorspronkelijke toonhoogte over. Na twaalf kwintverschuivingen valt het resultaat (na zeven octaven terugschuiven) vrijwel samen met de uitgangsladder, het verschil is 23,46 cent ( (3/2)¹², in de tabel 24 cent door cumulatieve afronding). Krap 1/8 hele toon.

Elke kwintverschuiving van de reine majeurladder geeft twee andere toonhoogtes;
in de cellen staat de relatieve naam van de ladderpositie en de afstand in cents tot de grondtoon linksonder.

do 24

re 228

mi 410

fa 522

so 726

la 908

ti 1112

do 1224

so 24

la 206

ti 410

do 522

re 726

mi 908

fa 1020

so 1224

re 24

mi 206

fa 318

so 522

la 704

ti 908

do 1020

re 1224

la 2

ti 206

do 318

re 522

mi 704

fa 816

so 1020

la 1202

mi 2

fa 114

so 318

la 500

ti 704

do 816

re 1020

mi 1202

ti 2

do 114

re 318

mi 500

fa 612

so 816

la 998

ti 1202

so 114

la 296

ti 500

do 612

re 816

mi 998

fa 1110

re 114

mi 296

fa 408

so 612

la 794

ti 998

do 1110

la92

ti 296

do 408

re 612

mi 794

fa 906

so 1110

mi 92

fa 204

so 408

la 590

ti 794

do 906

re 1110

ti 92

do 204

re 408

mi 590

fa 702

so 906

la 1088

fa 0

so 204

la 386

ti 590

do 702

re 906

mi 1088

fa 1200

do 0

re 204

mi 386

fa 498

so 702

la 884

ti 1088

do 1200

Tertsmodulaties

Bij een verschuiving van de Zarlino-ladder over een grote terts (5/4) verdwijnen er niet twee, maar vier tonen uit de ladder en komen er dus ook vier nieuwe bij. Na een drietal groteterts-modulaties ligt het resultaat - na octaafverschuiving - vrij dicht onder de uitgangsladder (afwijking 125/128, ofwel 41 cents).

Een modulatie over een kleine terts (6/5) vervangt ook steeds vier van de zeven laddertonen. Nu verschijnt er pas na negentien verschuivingen een goede benadering van de uitgangsladder; dat zal in de muziekpraktijk geen rol spelen, ook al is de afwijking dan nog geen 3 cents ( (6/5)¹⁹ / 2⁵ ≈ −2,8 cent).

Tussen opvolgende laddertonen liggen meer dan twee reine modulatie-tonen

De tabel toont de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de Zarlino-ladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf; de grijstint wisselt bij 50, 150, 250, ... cents.

Reine tonen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de Zarlino-ladder

	een modulatie	twee     modulaties	afstand tot do
			verhouding	cents
do			1/1	0
	la + terts		25/24	≈ 71
		re + terts + kwint	135/128	≈ 92
	fa − terts		16/15	≈ 112
	la − kwint		10/9	≈ 182
re			9/8	≈ 204
	ti + terts		75/64	≈ 275
		fa − kwint − kwint	32/27	≈ 294
	so − terts		6/5	≈ 316
mi			5/4	≈ 386
		re + kwint + kwint	81/64	≈ 408
		do − terts − terts	32/25	≈ 427
		la + terts + terts	125/96	≈ 457
fa			4/3	≈ 498
		re − terts + kwint	27/20	≈ 520
		la + terts − kwint	25/18	≈ 569
	re + terts ti + kwint		45/32	≈ 590
		fa − terts − kwint	64/45	≈ 610
		re − terts − terts	36/25	≈ 631
		ti + terts + terts	375/256	≈ 661
		la − kwint − kwint	40/27	≈ 680
so			3/2	≈ 702
	mi + terts		25/16	≈ 773
	do − terts		8/5	≈ 814
la			5/3	≈ 884
	re + kwint		27/16	≈ 906
		fa − terts − terts	128/75	≈ 925
		re + terts + terts	225/128	≈ 977
	fa − kwint		16/9	≈ 996
	re − terts		9/5	≈ 1018
ti			15/8	≈ 1088
		so − terts − terts	48/25	≈ 1129
		mi + terts + terts	125/64	≈ 1159
do			2/1	1200

Weer andere reine toonhoogten komen voor bij modulaties over een kleine terts (tweemaal een kwint minus een terts). En nog weer andere bij de verschillende modulatie-mogelijkheden van een mineur-toonladder. Allemaal tonen die, in tegenstelling tot de tonen van de evenredige twaalfverdeling van het octaaf, rein genoemd worden. Een muziekschrift kan die enorme verscheidenheid aan theoretisch reine toonhoogtes bij lange na niet weergeven. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen.

Zie ook

• Harmonische
• Lijst van intervallen
• Stemming (muziek)
• Stemming van Pythagoras
• Microtonale muziek
• Natuurtonenreeks

Externe link

• Geluidsfragment met verschil in zuiverheid tussen Pythagoreïsche, reine en gelijkzwevende stemming.
• Pianofragment met verschil in toonhoogte tussen gelijkzwevende en reine stemming.
• Waarom heeft onze toonladder 12 tonen?

Bronnen, noten en/of referenties

· ·

Toonstelsels

[[Categorie:Muziektheorie]] [[Categorie:Stemming (muziek)]]

Samenvatting:
Meerdere betekenissen van 'rein' onderscheiden. Toonladdertabellen gecombineerd. Voor intervalnamen naar elders verwezen.

"Drie van de zeven tonen in die ladders klinken met de grondtoon 'volkomen consonant' (fa: 4/3, so: 3/2, do': 2/1), en twee 'onvolkomen consonant' (mi: 5/4 of 6/5, la: 5/3 of 8/5)."

Nog als bron gebruiken: "Eine 12-stufige Skala der reine Stimmung ist rein theoretisch und daher willkürlich." (voetnoot 8 in WP:Reine Stimmung)

Als voetnoot noemen, de vierde editie (2003) van The Harvard Dictionary of Music, auteur Don Micheal Randel. Totaal ander artikel 'Just intonation' dan van Willi Apel. [42]

Overleg Reine stemming

@Madyno en Bdijkstra.   De aanduiding "reine stemming" komt voor in twee heel verschillende situaties:
- muziek in 'reine stemming' door vrije strijkers en/of zangers, op tonen uit de 7-delige Zarlinoladder (of de 7-delige pythagoreïsche of enkele varianten);  en
- een 'reine stemming' voor een 12-tonig (per octaaf) instrument, met uitsluitend tonen waarvoor per tweetal de boventoonreeksen gedeeltelijk samenvallen (dus geen irrationale verhoudingen).
Die tweede betekenis laat zich het eenvoudigst beschrijven met de gangbare naam 'rein interval'; een lezer zal verwachten dat die naam hier dan ook genoemd wordt.
De naam 'reine kwint' (en idem 'reine kwart') slaat in de eerste situatie op het interval 3/2, en in de tweede op: een rationale getalsverhouding dicht in de buurt van 3/2 en van 2^1/12. De derde betekenis van 'reine kwint' (als tegengestelde van 'overmatig' en 'verminderd') heeft weer een andere achtergrond; het lijkt me verhelderend voor een lezer als die ook even inhoudelijk aangestipt wordt. (Kan het nog korter dan in de huidige vorm?).
Een apart lemma "Rein (muziek)"? De bestaande doorverwijzingen van 'rein interval' naar 'Interval (muziek)', en van 'reine kwint' naar 'Kwint' lijken me vooralsnog voldoende (hoewel er aan beide lemma's nog wel wat te verduidelijken valt). --

@Madyno. De tweede betekenis van 'reine stemming' is direct gebaseerd op de notie die te omschrijven is als: 'interval tussen twee tonen waarvan de boventoonreeksen ten dele samenvallen'. Die notie wordt heel vaak met de naam 'rein interval' aangeduid. Vermelding van die gangbare naam zou niet in de intro thuishoren? Lijkt me uiterst onlogisch en lezer-onvriendelijk, ben ik het niet mee eens.  Ook een link naar het lemma 'Interval (muziek)' lijkt voor de hand te liggen, maar dan moet aldaar wel een uitleg bij 'rein interval' te vinden zijn; ik wil gaan proberen dat erin te krijgen.
De opmerking in de huidige intro over meerdere betekenissen van 'reine kwint/kwart' heb ik zojuist omgezet in een korte attendering, met nadere uitleg in een voetnoot. --

zou ook anders geredigeerd kunnen worden. Eventueel ook:   "Let op: de aanduidingen 'reine kwint' en 'reine kwart' komen in wel drie betekenissen voor." (met een opsomming daarvan in een voetnoot; twee ervan zijn direct gekoppeld aan betekenissen van 'reine stemming'). --

Madyno.  Hieboven is (23 feb) een wijzigingsvoorstel, met later (1 mrt) een anders opgezette tabel, concreet getoond en ter bespreking gesteld.  Jouw reacties hebben op twee plaatsen tot aanpassing en inkorting van de intro geleid.
Maar uitingen als:
"en dergelijke" (24 feb),
"een volledige behandeling daarvan hoort niet in dit lemma" (open deur, 25 feb),
"Ik weet niet of de nieuwe intro correct is." (5 mrt),
"zonder consensus overhoop wordt gehaald" (8 mrt)
geven bitter weinig aanknopingspunten voor een inhoudelijke afweging van voors en tegens op onderdelen.
Ik constateer dat m.b.t. de voorgestelde aanpassing van de twee secties na de intro, geen aanmerkingen zijn gemaakt. En ook, dat tot nu toe niet is bestreden dat de aanduiding 'reine stemming' (de lemma-titel) in de muziekwereld in de twee genoemde betekenissen voorkomt.

Ter concretisering van een nader opgesplitste discussie, formuleer ik deze drie vraagpunten:
- a. Ten dienste van de lezer van dit lemma dienen beide betekenissen van 'reine stemming' direct in de intro aan de orde te komen (niet alleen met 'er zijn meer betekenissen', maar met een (liefst korte) inhoudelijke begrips-aanduiding). Is hier bezwaar tegen?
Dan de termen 'rein interval' en 'reine kwint/kwart'.
- b. 'Rein interval' (heeltallige verhouding) slaat op de kern van de tweede betekenis van 'reine stemming'; het hier niet gebruiken van die term leidt tot gekunstelde taal-constructies. En onbegrip bij een deel van de lezers.  Welk bezwaar is er tegen het gebruiken van de term 'rein interval' bij het beschrijven van 'reine stemming-II' ?
- c. Ten slotte de reine kwint en kwart. 'Reine kwint/kwart is in twee betekenissen synomiem met 'kwint/kwart in reine stemming', de derde betekenis (niet-overmatig en niet-verminderd) helemaal niet. Welk bezwaar is er tegen het aanstippen in de intro van deze verwarringsbron?

Mijn hoofdbezwaar tegen de vandaag door Madyno teruggezette versie (8 mrt 2018 16:11) heb ik in de beginzinnen van mijn overlegbijdrage dd. 16 februari 2018 toegelicht. --

Nog over de linker tabelrand van de modulatie-tabel (in vroegere versies al in verschillende gedaanten aanwezig geweest en bediscussieerd):
Veel tabellen hebben zo'n linkerrand, met daarin per regel informatie over wat er op dezelfde hoogte rechts van staat. In dit geval zou dat betreffen: het aantal kwintverschuivingen vanaf de onderste (uitgangssituatie) regel.
Nu kan ik me niet voorstellen welke reden een lezer kan hebben om dat aantal verschuivingen, in de linkerrand te willen opzoeken. Het wordt zo alleen een verplicht nummer, omdat er nu eenmaal meestal iets staat. (Nog afgezien van het toevallige ruimtegebrek: de toegevoegde 'Voortekens'-kolom maakt de zaak een stuk rommeliger.)
Mocht het nodig gevonden worden de structuur van de tabel nog nader te verduidelijken, dan zou de bovenste tabelkop-regel kunnen worden: Elke kwintverschuiving van de Zarlino-ladder (elke hogere tabelregel) geeft twee andere toonhoogtes;

Voor uitbreiding naar beneden van deze modulatie-tabel zie ik geen goede reden; het wordt wel érg kolossaal. Kunnen er hier argumenten voor gegeven worden? --

Nog als bron gebruiken: "Eine 12-stufige Skala der reine Stimmung ist rein theoretisch und daher willkürlich." (voetnoot 8 in WP:Reine Stimmung)

"Breuken van kleine gehele getallen"  óf  een ruimere interpretatie?

We lijken weer terug bij 'af'.  Want willen we al dan niet als hoofdbetekenis van "reine stemming" en van "rein interval" in de Nederlandstalige Wikipedia blijven gebruiken: "...waarbij alle intervallen tussen tonen rein zijn, dat wil zeggen: door heeltallige frequentie-verhoudingen beschreven worden." ? Bij die hoofdbetekenis zal het in bepaalde gevallen nodig zijn er op te wijzen dat 'reine stemming' en 'rein' ook in meer beperkte betekenissen voorkomt (zoals nu ook regelmatig gebeurt).
Bij het vervangen van de 'heeltallig'-betekenis door het zinnetje met "breuken van kleine gehele getallen" - met het méér dan boterzachte 'kleine' - is geen serieuze lezer gediend.  De onbepaaldheid van dit 'kleine' maakt het onmogelijk om de aanduiding 'reine stemming' te gebruiken in andere contexten. Dat zullen we toch niet willen?  Zie de intro van deze versie(inclusief voetnoot) als alternatief, met "klein" in een bij de praktijk aansluitende rol. --

Je vergist je, Brimz.  Willi Apel (de auteur van de 'toegevoegde bron') heeft het over een "complete system of just intonation":  alle intervallen met een 5-limiet frequentie-verhouding.  Terwijl in 'zin 7' (met "blijkt al daaruit dat") "reine stemming" verwijst naar de Zarlino-ladder (eerder ook naar de pythagoreïsche majeurladder).
Overigens kan een lezer in géén van die interpretaties van "reine stemming" zien welke tonen (preciezer: intervallen) er met "bes", "aïs", "fis" en "ges" bedoeld worden. Die zin 7 geeft de lezer totaal geen informatie.

Of kom jij nu met:  "een lezer hoeft ook helemaal niet te weten welke tonen met die vier namen bedoeld zijn; want uit bedoelde bron valt op te maken dat als "reine stemming" gelezen wordt als "5-limiet-stemming" álle oneidig veel tonen in die stemming verschillend zijn; en dus kun je met 12 toetsen per octaaf nooit twaalf zuivere Zarlino-ladders laten klinken."  Ik ken een duidelijker manier om uit te leggen wat in de muziek met "stemming" bedoeld wordt. --

@Brimz.   Consensus? Dat is wel een erg groot woord in deze situatie.
In het overleg op deze pagina in de laatste paar maanden kom ik tegen, voorzover het de inhoud betreft:
- 6 juni Zanaq: wat klein is is vrij duidelijk beschreven
- 7 juni Zanaq: 'kleine getallen' betekent maximaal 5
- 8 juni Brimz: Volgens mij staat al zowel boven, in, als onder de tabel aangegeven welke van die verhoudingen rein zijn en welke niet.
- 8 juni Bob.v.R: In het artikel staat geen tegenstrijdigheid.
- 8 juni Bob.v.R: De inleiding van het artikel is tamelijk duidelijk. .
Het 'maximaal 5' van Zanaq wordt door Brimz en Bob.v.R niet gevolgd, dus géén consensus binnen dit drietal.
De boterzachtheid van "kleine getallen" maakt de tekst voor een lezer onbegrijpelijk, en blijft aanleiding geven om naar een beter (en beter bebrond) alternatief te zoeken. --

Ik blijf proberen het overleg over de inhoud van de artikeltekst voort te zetten. Uit het uitblijven van inhoudelijke bezwaren tegen eerder getoonde suggesties voor een alternatief, zou te concluderen zijn dat de volgende vijf punten acceptabel gevonden worden.  Zijn er toch nog bezwaren?
1. De bedoeling van de huidige intro+eerste sectie kan zónder een 'kleine getallen'-criterium samengevat als: Muziek in reine stemming gebruikt tonen uit een majeurladder met (grondtoon/toon-)verhoudingen  1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2/1,  dan wel uit een mineurladder met  1/1, 9/8, 6/5, 4/3, 3/2, 8/5, 9/5, 2/1 .
2. Die ladders zijn aan te duiden met de reine majeurladder (Zarlino-ladder) en de reine mineurladder.
3. Een consequentie is dat in de sectie 'Toonladders in reine stemming' de middelste tabel dient te vervallen.
4. En ook dat we in Wikipedia-teksten de pythagoreïsche majeurladder niet aanduiden als 'reine majeurladder' of 'reine toonladder' .
5. De Aristoxenos-ladder (met do-la = 27/16, verder gelijk aan Zarlino) kan als van secundair belang zijnde, genoemd in een terzijde of een voetnoot.

Het is (mij) onduidelijk of de tekst in de sectie 'Verhouding tot de boventoonreeks' nog ander informatie bedoelt te geven. Want hoe moet  'de toonafstanden in de reine stemming'  gelezen? Als daarmee álle intervallen tussen tonen van de beide reine ladders bedoeld zijn, dan horen bijvoorbeeld re-fa = 32/27 en fa-ti = 45/32 ook in de overzicht-tabel thuis. (En nog een paar uit de reine mineurladder.)  Is in deze tekst te lezen wat met de aanduiding 'rein interval' bedoeld kan zijn? Of staat dat al ergens anders? --

Mag alleen de gelijkzwevende twaalf-verdeling 'chromatisch' heten?

Chromatische toonladder

Ruw concept gewijzigde lemmatekst
De eerste artikelzin stelt dat een (de?) chromatische toonladder alle twaalf tonen van de gelijkzwevende stemming bevat.
De WP's en, de en fr geven niet deze stringente beperking. En verder worden in dit lemma genoemd: pythagoreïsche, stijgende, dalende, harmonische en melodische chromatische toonladders; uit welke toonstappen al die ladders zijn opgebouwd wordt in het midden gelaten. Soms worden namen voor die laddertonen gegeven, en soms met welk voorteken ze genoteerd worden in het notenschrift, maar daar zijn de toonverhoudingen niet uit op te maken.

Intro:

In de muziekleer is een chromatische toonladder (afgeleid van het Griekse χρώμα : chroma = kleur) iedere twaalf-deling van het octaaf met bij benadering gelijke toonstappen.
Het gaat daarbij om iets anders dan een in een compositie voorkomend 'chromatisch loopje', een stijgende of dalende reeks van na elkaar klinkende tonen die een halve toon in hoogte verschillen. Een chromatische toonladder beschrijft welke toonhoogten (beter: toonstappen) voorkomen in zo'n halve-tonen-loopje.
Het bovengenoemde onderscheid (een bepaalde twaalfverdeling vs. een halvetonenloopje) is minder makkelijk zichtbaar wanneer in beide betekenissen 'chromatische toonladder' gebruikt wordt.

Soorten en gebruikssituaties

Bij een gelijkzwevende chromatische ladder (of: een chromatische ladder in gelijkzwevende stemming) zijn alle twaalf toonstappen precies gelijk.

Bij een reine chromatische ladder (een chromatische ladder in reine stemming) zijn alle stappen heeltallige verhoudingen.
Voorbeelden: pythagoreïsche chromatische ladders,  vijf-limiet chromatische ladders,  zeven-limiet chromatische ladders.

De aanduiding chromatische Zarlinoladder zou gebruikt kunnen worden voor een met vijf tussentonen aangevulde 7-delige ladder van Zarlino; dit leidt echter op geen enkele manier tot een in de muziekpraktijk bruikbaar resultaat.

Niet-reine chromatische ladders vormen de toonvoorraad van middentoonstemmingen, getempereerde stemmingen en welgetempereerde stemmingen.

Notatievarianten in het notenschrift

Over de keuze van voortekens bij het noteren van chromatische tonen en chromatische loopjes (veelal niet juist één octaaf lang) in notenschrift zijn de vakmusici het niet altijd eens.

Bij de keuze tussen kruis of mol geeft het minimaliseren van het aantal benodigde herstellingstekens nogal eens de doorslag (kruisen bij een stijgend loopje, mollen bij een dalend).
_____________________________________________________________________________

Details in artikel 'Pythagoreïsche ladder':

Een chromatische pythagoreïsche ladder kan gemaakt uit de diatonische door splitsing van de vijf 9/8-stappen (bijna 204 cent) in 2⁸/3⁵ (ruim 90 cent) en 3⁷/2¹¹ (krap 114 cent).

Beginregel/intro "Stemming van Pythagoras":
De stemming van Pythagoras is een muzikale stemming waarin zo veel mogelijk reine kwarten en kwinten aanwezig zijn.

Mogelijke uitbreiding:

Madyno. Ik zeg liever niet dat een ladder "chromatisch IS" maar "chromatisch GENOEMD WORDT" of "chromatisch HEET". (Al zal ik daar zelf ook niet steeds consequent in zijn.)
Maar ter zake, over dalende en stijgende toonrijen (toonreeksen klinkt me ook erg vertrouwd).
Het gaat (in mijn ogen) bij een toonladder - in de muziektheoretische betekenis - om een verdeling van het octaaf in 7 of in 12 stukken/stappen (of 17 of 21 of 31 of ....). Soms vrij grof (als bij een diatonische ladder met 'hele' en 'halve' stappen), soms exact (beschreven door heeltallige dan wel irrationale verhoudingen).
Zo'n verdeling staat los van de manier waarop de tonen van zo'n theoretisch beschreven ladder gebruikt worden in een liedje of een compositie. Het zou best kunnen dat er (vrij vaste?) gewoontes bestaan omtrent de keuze voor een kruis dan wel een mol bij het noteren van een muziekstuk op de notenbalk (al dan niet in relatie tot het zoveel mogelijk vermijden van navolgende herstellingstekens), speciaal bij een oplopende of aflopende chromatische tonenreeks.
Maar gaat het dan om notatie-varianten, dan wel om instructie aan strijker of zanger om de tonenreeks echt hóórbaar iets anders te intoneren, afwijkend van (bijvoorbeeld) de gelijkzwevende chromatische ladder in de actuele toonaard? In het laatste geval, hoe groot zijn de afwijkingen tussen de toonstappen in de chromatische gelijkzwevende ladder en de toonstappen in 'de stijgende chromatische toonladder' en in 'de dalende chromatische toonladder'?
Bij het ontbreken van bronnen waarin die afwijkingen beschreven worden, en waarin aannemelijk gemaakt wordt dat die afwijkingen in gangbare muziekpraktijk hoorbaar zijn, lijkt het me moeilijk om er in het artikel iets informatiefs voor een lezer over te zeggen. --

Lemma-versie Madyno, 8 maart

(1) In de muziek is een chromatische toonladder (afgeleid van het Griekse χρώμα : chroma = kleur) een toonladder die bestaat uit twaalf tonen in een octaaf. (2)Elke toon verschilt een chromatische halve van de toon erboven of eronder. (3)In de westerse veelgebruikte gelijkzwevende stemming bestaat de chromatische ladder uit alle twaalf beschikbare tonen en is er geen bepaalde grondtoon, waardoor de toonladder op elke toon kan beginnen. (4)In andere stemmingen is deze symmetrie er niet en bestaat de ladder uit de tonen van de diatonische toonladder aangevuld met chromatische verhogingen en/of verlagingen. (5)Stijgend wordt de ladder gerekend met verhogingen (kruisen) en dalend met verlagingen (mollen), zij het dat stijgend de 6e toon niet verhoogd wordt, maar in plaats daarvan de 7e verlaagd, en dalend de 5e toon niet verlaagd wordt, maar de 4e verhoogd.

(6)Op de c (do) wordt dat dan:

stijgend: c – cis – d – dis – e – f – fis – g – gis – a – bes – b (– c)

dalend: c – b – bes – a – as – g – fis – f – e – es – d – des (– c)

(7)Voor de invoering van de welgetemperde stemmingen, was er de Pythagoreïsche chromatische toonladder die bestond uit een opeenvolging van 11 zuivere kwinten. (8)De welgetemperde stemmingen "temperen" de tonen van deze ladder door elke kwint met iets minder dan 2 cent te verlagen en elimineren zo het Pythagoreïsche komma.

(9)Naast de stijgende en dalende vorm, kent de muziektheorie nog de harmonische en melodische

Concept overleg-reactie Hesselp:
In de overleg-bijdragen van 4 en 5 maart staan vrij gedetailleerd genoemd, welke wijzigingen in de lemma-versie van 23 dec 2017 als wenselijk gezien worden. Op één punt kwam expliciete steun, bezwaar is op de overleg-pagina niet gemaakt. In de lemma-versie van 8 maart 12:55, zijn de beoogde wijzigingen verwerkt.
Enkele uren later verwijdert Madyno die versie, met als toelichting:
- De veranderingen bevallen me absoluut niet.
- Ik zou graag zien dat plannen tot wijziging, aanpassing en/of verbetering elk apart hier besproken worden.
Aan die laatste wens was voorafgaand aan de plaatsing 8 maart 12:55 voldaan; als er geen reacties komen is er ook geen aanknopingspunt voor nadere 'bespreking'. In deze situatie lijkt me terugplaatsing van versie 8 mrt 12:55 overeen te komen met de binnen WP gangbare regels, gewoonten en uitgangspunten.
Toch wacht ik daar nog even mee, want in de laatst geplaatste versie (8 mrt 15:35) komen in een zestal zinnen, plus een afbeelding en twee boektitels, wijzigingen voor (in de korte samenvatting: "voorlopige aanpassingen"). Wijzigingen die niet voorafgaand in het overleg zijn gemeld (iets consequenter graag, Madyno!), en die - op één punt na - niet aansluiten bij 'het licht van de bovenstaande discussie'.

Ik ga mijn bezwaren tegen die 'voorlopig aangepaste' versie hier noemen:
- 1. Op veel plaatsen waar het woord 'toonladder' voorkomt is het voor een (zeker voor een niet-ingewijde) lezer, raden of bedoeld wordt: (a) de (exact of bij benadering bepaalde) toonvoorraad die in een compositie-deel gebruikt wordt, of (b) een in een compositie voorkomend 'chromatisch loopje': een stijgende of dalende reeks van na elkaar klinkende tonen die een halve toon in hoogte verschillen, of (c) de wijze van noteren van zo'n (korter of langer) chromatisch loopje in het notenschrift.
Deze drie aspecten moeten duidelijk gescheiden worden. Het onder (a) genoemde is de hoofd-betekenis in dit lemma.
- 2. Er ontbreekt een onderverdeling in soorten chromatische toonladders (betekenis a).
- 3. Zin 1In de...: Niet elk twaalftal tonen in een octaaf vormt een chromatische toonladder.
- 4. Zin 2Elke...: Met "chromatische halve toon" wordt een wijze van weergeven van een klein interval bedoeld in het notenschrift (op twee aangrenzende balkposities, met bijbehorende benaming). Welke toonhoogte-verhouding (toonsafstand) ermee bedoeld wordt hangt van meerder factoren af; die factoren zijn in de definitie niet aan de orde.
- 5. Zin4In andere...: In een niet-gelijkzwevende stemming zijn niet alle toonstappen gelijk, klaar. Een onderverdeling in 'tonen van de diatonische ladder' en 'chromatische verhogingen/verlagingen' heeft niets met de stemming van een 12-tonig instrument te maken; alleen met bepaalde (meest niet-universele) notenschrift-conventies.
- 6. Zin 5Stijgend...: "...de ladder gerekend ... kruisen...mollen...niet verhoogd...wel verlaagd..." allemaal notenschrift-taal. Een uitleg bij het waarom van dat 'wordt gerekend met' en dat 'zij het dat' zou op zich interessant zijn, maar lijkt me niet hier maar in een notenschrift-lemma thuis te horen.  
- 7. Opvallend is dat het woord 'gerekend' in de plaats is gekomen voor 'beschreven'; wordt hier gesuggereerd dat die notenschrift-conventies berekenbare toonhoogte-verhoudingen impliceren? Zo ja, dan is dit lemma dé plaats om die berekeningen uit de doeken te doen.
- 8. Zin 6Op de c (do)...: Wat is de achtergrond van de wijziging van "bes" in "ais", etc.?  Alleen omdat het zo staat in een Prisma-pocket uit 1960/62? Zijn daarmee de toonstappen in alle chromatische toonladders ineens anders geworden?
- 9. Zin 7Voor de invoering...: Een tonenreeks die 'chomatische toonladder' genoemd wordt, bestaat uit twaalf stappen die samen een rein octaaf vormen. Dat zou dus ook moeten gelden voor 'de Pythagoreïsche chromatische toonladder'. Een reeks van zuivere kwinten (3/2) vormt na terugschuiven naar één octaaf, een reeks intervallen die samen géén zuiver octaaf vormen.
- 10. Zin 8De welgetemperde...: (Hee, was de uitkomst van de discussie over die woordvorm niet iets anders?) Welgetempereerde stemmingen (Werkmeister, Kinbergen, Valotti, etc.) gaan helemaal niet uit van "de tonen van deze (Pythagoreïsche) ladder". En zou dat wél zo zijn, dan is deze mededeling nog steeds irrelevant in dit lemma.
- 11. Zinnen 9-15 zijn (zonder bronvermelding) overgeschreven uit Brian Blood, Music theory online: chromatic scales. De hier aan de orde gestelde notenschriftproblemen en -discussies zouden niet de hoofdmoot van het artikel moeten vormen.

Wie heeft hier commentaar bij, graag - mede op verzoek van Madyno - per punt apart. --

Concept voor OP Chromatische toonladder

(nieuw kopje) NOTEN (?) van DE (?) chromatische toonladder
De sectie "Zie ook" van de lemma-tekst bevatte tot nu toe deze lijst met twaalf symboolvormen:
C · C♯ / D♭ · D · D♯ / E♭ · E · F · F♯ / G♭ · G · G♯ / A♭ · A · A♯ / B♭ · B .
Als zijnde aanduidingen voor 'noten' van 'de' chromatische toonladder. Echter:
- De vijf dubbelsymbolen geven toch juist niet een bepaalde noot in de notenbalk aan?
- Als de slash gelezen wordt als 'of', staat er niets anders dan dat alle twaalf schriftnoten gebruikt kunnen worden.
- Of is bedoeld te zeggen dat de noten E♯, F♭, B♯ C♭, en noten met dubbele voortekens uitgesloten zijn bij het noteren van 'de' chromatische toonladder?
- Aan wélke betekenis van 'chromatische toonladder' wordt in de tekstregel gerefereerd?
Omdat de boodschap niet duidelijk is, dient deze vermelding achterwege te blijven. --

wordt gesteld dat de symboolvormen als C#/Db, D#/Eb, ... aanduidingen zijn voor noten van de chromatische toonladder.  Dit roept vragen op als:
- De dubbelsymbolen geven toch juist niet een bepaalde noot in de notenbalk aan?
- Aan wélke betekenis van 'chromatische toonladder' wordt in het tekstkopje gerefereerd?
Omdat de boodschap niet duidelijk is, dient deze vermelding achterwege te blijven. --

Zin 1+2 in versie Madyno zegt: "Een chromatische toonladder is een twaalfdeling van het octaaf met overal tussenstappen van een chromatische halve toon." Dus tóch alle tussenstappen gelijk? dus is tóch elke chromatische ladder gelijkzwevend?

↓= Stemming van Pythagoras =

Tabel-correcties in sectie 'Verschil met de reine stemming'

De cents-tabel in de sectie 'Verschil met de reine stemming' is op enkele plaatsen in de kolom 'rein' niet regelmatig (zie hier). Ik heb de waarden achter Cis, Ges en Bes zodanig aangepast, dat nu geldt:
- voor de opsplitsing van de drie 9/8-secundes:  C-Cis en Des-D,  F-Fis en Ges-G,  A-Ais en As-B  = 135/128 ≈ 92 cent;
- voor de opsplitsing van de twee 10/9-secundes:  D-Dis en Es-E,  G-Gis en Ges-A  = 25/24 ≈ 71 cent.
Dit zijn de intervallen die volgen uit: Theo Willemze, Algemene muziekleer (18e druk, 2008, paragraaf 424-430). Overigens ontbreekt in de lemma-tekst een verwijzing naar argumenten die zouden pleiten voor juist deze regelmaat. Wie kan hier bronnen noemen?
Verder is in dezelfde tabel in de kolom 'Pythagoras' de op een na onderste waarde nu correct afgerond:  3¹²/2¹⁸ = 1223,4600...cent, afgerond 1223 ipv. 1224. --

De hierboven (11 mrt 2018) beschreven regelmaat is nog wat eenvoudiger als volgt te beschrijven:
Alle twaalf intervallen   C-Des en Cis-D,   D-Es en Dis-E,   E-F,   F-Ges en Fis-G,   G-As en Ais-A,   A-Bes en Ais-B,   B-C
zijn in de (gecorrigeerde) kolom onder 'rein' gelijk aan  16/15 = 111,73... ≈ 112 cent.
In de kolom onder 'Pythagoras' zijn ze allemaal gelijk aan  256/243 = 2⁸/3⁵  = 90,225... ≈ 90 cent.
De centswaarden achter het viertal  Fes, Eis, Ces en Bis  vallen buiten deze regelmaat.

Wat in de muziekleer de rol is van de hier 'Stemming van Pythagoras' genoemde 21-deling van het octaaf, wordt niet duidelijk gemaakt. Wie kan hier bronnen aangeven?

Verder is opmerkelijk dat in het (vrij lange, en - mag ik het zeggen - niet erg gestructureerde) artikel ontbreekt welke 12-verdeling van het octaaf, de basis van haast alle vaste-toonhoogte-instrumenten, 'Stemming van Pythagoras' zou kunnen heten.   Een goed verdedigbare kandidaat lijkt me de verdeling met cent-stappen (114 = 3⁷/2¹¹, 90 = 2⁸/3⁵,  samen 9/8):
114 - 90 - 114 - 90 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 90
of met stappen
90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 .
Deze beide octaafverdelingen bevatten:
- elf reine kwinten, één valse kwint (-24),
- elf reine kwarten, één valse kwart (+24),
- vier bijna reine tertsen (-2), acht valse tertsen (+22),
- tien grote secundes van 204 cent, twee grote secundes van 180 cent. /ref>
De diatonische, 7-delige, pythagoreïse ladder (wél in het artikel voorkomend, met stappen 204 - 204 - 90 - 204 - 204 - 204 - 90) is in beide 12-delige bevat. --

Details in artikel 'Pythagoreïsche ladder':

Een chromatische pythagoreïsche ladder kan gemaakt uit de diatonische door splitsing van de vijf 9/8-stappen (bijna 204 cent) in 2⁸/3⁵ (ruim 90 cent) en 3⁷/2¹¹ (krap 114 cent).

Beginregel/intro "Stemming van Pythagoras":
De stemming van Pythagoras is een muzikale stemming waarin zo veel mogelijk reine kwarten en kwinten aanwezig zijn.

Mogelijke uitbreiding:

Voorstel herziening lemma-tekst

Argumenten
1. Als al hierboven genoemd (13 maart), het huidige artikel is qua indeling erg ongestructureerd.
2. De informatie-waarde voor een lezer is van de meeste subsecties erg twijfelachtig. De zin van nogal wat gedetailleerd uitgewerkte berekeningen wordt niet duidelijk gemaakt.
3. Het taalgebruik (de verteltrant) is veelal verre van encyclopedie-achtig.
4. Op een aantal plaatsen wordt uit het notenschrift afkomstige terminologie gebruikt bij uitleg over muziektheoretische ladders; dit werkt verwarring in de hand. (De twee notenbalk-afbeeldingen voegen geen informatie toe - aan die noten kun je niet zien of je een re, la of ti moet zingen à la Zarlino of à la Pythagoras).
5. In de sectie "Verschil met de reine stemming" worden gedetailleerd twee 21-tonige octaafverdelingen vergeleken. Maar die verdelingen spelen in de muzikale stemmingen geen enkele rol. (Ja, het notenschrift kent - beperkt tot maximaal één kruis of mol - per octaaf 21 verschillende varianten om de toonhoogte aan te geven, maar de precieze hoogte van de te produceren tonen hangt van meerdere factoren af.)
6. De sectie "Pythagorisch interval" geeft in de tabel een (voorzover ik zien kan) willekeurig tiental intervallen uit de (tweezijdig oneindige) pythagoreïsche reeks. En de gegeven naamsvarianten lijken me hier nauwelijks tot niet ter zake.
7. De eenregelige intro blijft heel vaag. Waarmee dient het "zo veel mogelijk" vergeleken te worden? In welke betekenis is "reine kwarten en kwinten" bedoeld? Hoe moet het aantal 'reine kwarten en kwinten' van een muzikale stemming geteld worden? Waarom "een" (en niet "de") muzikale stemming?  Een wat informatievere intro lijkt gewenst.
8. Op nog een flink aantal detailpunten lijkt me de bedoeling voor de lezer niet duidelijk.

Wie wil bij bovenstaande herzienings-argumenten (bij welke?) nog nadere toelichting?

Concept
In onderstaand concept meen ik de kernpunten van wat in het lemma thuishoort beschreven te hebben. Welke overige punten zouden hierin verder nog wenselijk zijn?

Op verzoek Madyno:
"....waarin alle intervallen pythagoreïsch zijn. Dat wil zeggen: ontstaan zijn uit (meestal meervoudige) verschuivingen van een uitgangstoon over uitsluitend kwinten en octaven. "

(Intro)
In de muziekleer spreekt men van de stemming van Pythagoras wanneer de tonen in een muziekfragment geacht worden te behoren tot: een (7-tonige) diatonische toonladder, dan wel een (12-tonige) chromatische toonladder, waarin alle intervallen pythagoreïsch zijn. Dat wil zeggen: ontstaan zijn uit (meestal meervoudige) verschuivingen van een uitgangstoon over uitsluitend kwinten en octaven.
die gebaseerd is op de Zarlino-toonladder).

(kopje) Pythagoreïsche tonenreeks
De bij een bepaalde begin-toonhoogte behorende pythagoreïsche reeks (de kwintenreeks) wordt gevormd door alle tonen die een geheel aantal 3/2-intervallen van die begintoon verwijderd zijn. Een stapeling van twaalf van zulke kwinten levert een interval dat maar weinig groter is dan een stapeling van zeven octaven. Het verschil is (3/2)¹² / 2⁷ ≈ 23,46 Cent, het pythagoreïsch komma ofwel haast een kwart van een halve toon (100 Cent). Verschuiving van de tonen in de reeks over gehele octaven naar het octaaf op de begintoon, resulteert in de toonvoorraad waaruit ondergenoemde toonladders zijn samengesteld.

(kopje) De diatonische pythagoreïsche toonladder

Toonafstand	do (C)		re (D)		mi (E)		fa (F)		so (G)		la (A)		ti (B)		do (C)
tot grondtoon	1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
in Cent	0		204		408		498		702		906		1110		1200
onderling		9/8		9/8		256/243		9/8		9/8		9/8		256/243
in Cent		204		204		90		204		204		204		90

De onderstreepte derde, zesde en zevende stap zijn in vergelijking met de Zarlino-ladder een factor 81/80 hoger (≈ 21,5 Cent, het didymisch of syntonisch komma genoemd).
Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor wat een solo-violist of -zanger op het gehoor (en het gevoel) in werkelijkheid produceert. Metingen lijken erop te wijzen dat in sommige gevallen de toonhoogte volgens Zarlino benaderd wordt en in andere de toonhoogte volgens Pythagoras; en dat dit mede afhangt van de soort muzikale figuur.

(kopje) Chromatische pythagoreïsche toonladders
Een redelijk gelijkmatige 12-tonige octaafverdeling met uitsluitend pythagoreïsche intervallen (verhoudingsgetallen met alleen factoren 2 en 3) is te verkrijgen door uitbreiding van de 7-tonige pythagoreïsche ladder.
De vijf 9/8-heeltoonstappen zijn (met de laagste 3-machten) te splitsen in de diatonische halftoon 2⁸/3⁵ (ruim 90 cent), en de iets grotere halftoon 3⁷/2¹¹ (krap 114 cent). Twee regelmatige versies staan in de volgende tabel:

Voetnoot bij 'dore' in tabelkop:

Twee chromatische pythagoreïsche toonladders
Toonafstand in Cent	do(C)		dore		re (D)		remi		mi (E)		fa   (F)		faso		so (G)		sola		la   (A)		lati		ti   (B)		do (C)
tot grondtoon	0		114		204		318		408		498		612		702		816		906		1020		1110		1200
onderling		114		90		114		90		90		114		90		114		90		114		90		90
tot grondtoon	0		90		204		294		408		498		588		702		792		906		996		1110		1200
onderling		90		114		90		114		90		90		114		90		114		90		114		90

Natuurlijk zijn er ook twaalftoons-verdelingen van het octaaf te construeren die wél uitsluitend uit pythagoreïsche intervallen bestaan, maar die niet - zoals hierboven - de 7-tonige ladder van Pythagoras omvatten.

Stemming van Pythagoras

In de muziekleer spreekt men van de stemming van Pythagoras in twee situaties:
- wanneer de tonen in een muziekfragment geacht worden te behoren tot een reeks van zeven door zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n zevental;  en
- wanneer de tonen van een instrument met twaalf vaste toonhoogten per octaaf geacht worden te behoren tot een reeks van twaalf door zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n twaalftal.
In de eerste situatie kan ook gezegd dat geïntoneerd wordt volgens de diatonische pythagoreïsche toonladder;  in de tweede dat het instrument gestemd is volgens (één van de zes varianten van) de chromatische pythagoreïsche toonladder.

De stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming kan gezien als een speciaal geval van reine stemming.  In meer beperkte zin wordt 'reine stemming' ook wel uitsluitend gebruikt voor muziek die gebaseerd is op de Zarlino-toonladder.

De diatonische pythagoreïsche toonladder

Wanneer zeven opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de zeven nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een diatonische (7-toons) toonladder. Van één van die zeven toonladders komt het stappenpatroon overeen met de majeur-ladder (heel-heel-half-heel-heel-heel-half): de diatonische pythagoreïsche ladder (of pythagoreïsche diatonische ladder).

Toonafstand	do		re		mi		fa		so		la		ti		do
tot grondtoon	1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
in cent	0		204		408		498		702		906		1110		1200
onderling		9/8		9/8		256/243		9/8		9/8		9/8		256/243
in cent		204		204		90		204		204		204		90

De onderstreepte derde, zesde en zevende stap zijn in vergelijking met de Zarlino-ladder een factor 81/80 hoger (≈ 21,5 Cent, het didymisch of syntonisch komma genoemd).
Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor wat een solo-violist of -zanger op het gehoor (en het gevoel) in werkelijkheid produceert. Metingen lijken erop te wijzen dat musici soms (onbewust) lijken te kiezen voor toonhoogten volgens Zarlino, en soms voor toonhoogten volgens Pythagoras; en dat dit mede afhangt van de soort muzikale figuur. Bij het reproduceren van oude muziek wordt ook wel voor de 'stemming van Pythagoras' gekozen.

Chromatische pythagoreïsche toonladders

Wanneer twaalf opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de twaalf nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een chromatische (12-toons) toonladder. Elk van die twaalf ladders is opgebouwd uit slechts twee verschillende 'halve tonen': het limma van afgerond 90 cent en het apotome van afgerond 114 cent; opgeteld zijn ze gelijk aan de 'grote hele toon' (9:8, ≈ 204 cent), afgetrokken aan het pythagoreïsche komma (≈ 24 cent).  Verder zijn in elk van die ladders elf van de twaalf kwinten zuiver: 4x90 + 3x114 = 702 cent, de overblijvende kwint is duidelijk vals: 5x90 + 2x114 = 678 cent.

Zes van die twaalf ladders bevatten de met dezelfde grondtoon beginnende diatonische pythagoreïsche ladder. In deze chromatische pythagoreïsche ladders zorgen de verschillen in toonhoogte van de tussentonen voor zes verschillende posities van de ene niet-zuivere kwint.

Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent
limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent
Valse kwint	C 0		C♯/D♭		D 204		D♯/E♭		E 408		F 498		F♯/G♭		G 702		G♯/A♭		A 906		A♯/B♭		B 1110		C 1200
C♯ - A♭		114		90		90		114		90		114		90		90		114		90		114		90
D♯ - B♭		114		90		114		90		90		114		90		114		90		90		114		90
F♯ - D'♭		90		114		90		114		90		114		90		90		114		90		114		90
G♯ - E'♭		114		90		90		114		90		114		90		114		90		90		114		90
A♯ - F'		114		90		114		90		90		114		90		114		90		114		90		90
B - G'♭		90		114		90		114		90		90		114		90		114		90		114		90

De pythagoreïsche stemming voor de twaalf octaaftoetsen is vanaf het begin van de 16e eeuw verdrongen door middentoonstemmingen. Een middentoon-ladder ontstaat net als de (12-tonige) pythagoreïsche ladders door octaafverschuivingen naar één octaafgebied, van een 12-ledige kwintenreeks. Maar nu niet van zuivere kwinten (3/2) maar van iets 'geknepen kwinten'.
Ook nu weer bestaat elk van de twaalf variant-ladders uit twee soorten halftonen: zeven van de ene soort en vijf van de andere. En ook nu weer heeft elke ladder op één van z'n tonen een zevende trap die sterk van de zuivere kwint afwijkt. Een verschil is dat de toonstappen in middentoonladders (in het theoretisch model) grotendeels irrationale verhoudingen zijn, geen verhoudingen van (soms weliswaar grote) gehele getallen zoals steeds bij pythagoreïsche ladders.

Zie ook

• Frazer, Peter A. The Development of Musical Tuning Systems, 2001

[43]

• Ditonus
• Stemming (muziek)
• Reine stemming
• Microtonale muziek
• Toonladder

Externe link

• Geluidsfragment met verschil tussen Pythagoras, Rein en Gelijkzwevend

Noten

· ·

Toonstelsels

[[Categorie:Stemming (muziek)]] [[Categorie:Muziektheorie]]

Pythagoreïsche komma

@Madyno.   Goed, in het notenschrift is 'bis' de naam van de hierboven beschreven noot (noten). Daarnaast zou het in principe gangbaar kunnen zijn dat die naam 'bis' in de muziekleer ook nog voor wat anders gebruikt wordt. Jij omschrijft die andere betekenis met:  een toon, en wel een chromatisch met een halve toonafstand verhoogde b. Dat is me nogal vaag voor in een zakelijke encyclopedie; het leidt tot een aantal vragen:
1. Bedoel je met 'toon' hier een absolute toonhoogte; ja/nee?  Zo ja, hoeveel hertz en hoe is die waarde berekend?
2. Ofwel een relatieve toonhoogte, d.w.z. een bepaalde toonsafstand (frequentieverhouding) tot een zekere grondtoon/tonica/do-van-een-ladder; ja/nee?  Zo ja:
2b. Welke verhouding is men gewoon toe te kennen aan het interval grondtoon - bis-toon?
2c. Welke verhouding is men gewoon toe te kennen aan 'een halve toonsafstand'?
2d. Welke verhouding is men gewoon toe te kennen aan het interval grondtoon - b-toon?
3. Wat bedoel je (bedoelt men) met 'een chromatisch verhoogde toon'?
Ik kan dat alleen interpreteren als: een toon in een muziekfragment die in de originele notentekst van de componist genoteerd staat als een noot met een voorafgaand kruis in dezelfde maat (niet zijnde onderdeel van de vaste voortekening). Maar dat gaat weer over notenschrift.
4. Hoe kun je uit de uitgevoerde muziek, los van de notatie, opmaken of een zekere laddervreemde toon van het 'verhoogde' dan wel van het 'verlaagde' soort is? Kan het ook voorkomen dat niet uit te maken is of zo'n laddervreemde toon 'verhoogd' dan wel 'verlaagd' is; zijn er nog andere mogelijkheden?
4b. Is de tweede toon aan het begin van Beethovens Für Elise een verhoogde of een verlaagde? (nu niet de bladmuziek erbij halen). Verwacht je dat er bronnen van vakmensen te vinden zijn die dat op het niveau van een Wikipedia-artikel duidelijk kunnen maken?

Bij uitblijven van antwoorden en van duidelijkheid, zal de met 'nadere uitleg' aangeduide passage, beter weer weggehaald kunnen worden. --

Hesselp (overleg) 18 mrt 2018 22:40 (CET) @HesselP. Ik ben het met je erover eens dat het lemma een goede beurt kan gebruiken. Wel is het zo dat ik het idee heb dat jij muziektheorie als een deelgebied van de wiskunde wil behandelen. Dat gaat absoluut niet. Om maar een voorbeeld te noemen: da (stam)toon a' heet alleen maar zo om er gemakkelijk over te spreken. Bij afspraak is de toonhoogte ervan 440 Hz, althans als men zich aan die afspraak houdt. Maar vraag een a' te spelen en je zult een heel scala aan toonhoogten te horen krijgen, vermoedelijk rond de 440 Hz. Verder is het zo, dat je ondanks je exacte benadering, nog steeds over noten spreekt, waar je tonen bedoelt. Dat is hinderlijk en leidt tot verwarring. De toon bis heeft niets met notenschrift te maken, net als de klank /a/ niets met de letter a te maken heeft. Wel wordt de klank door /a/ in schrift weergegeven door de letter a. En ook hier: de klank kent vele variaties, net als de letter. De toon bis is per definitie een chromatisch verhoging van de toon b. In notenschrift is voor de eenduidigheid afgesproken hoe de toon bis met behulp van een noot, een notenbalk, een sleutel en eventueel voortekens genoteerd wordt. Door die afspraak weel elke musicus die daarvan op de hoogte is dat de zo genoteerde toon een bis is, d.w.z. hij/zij weet hoe die toon te spelen. Madyno (overleg) 19 mrt 2018 23:45 (CET)

@Madyno.   i. Over: "een deelgebied van de wiskunde"?  Nee hoor. Wat ik wel probeer, zowel op muziekgebied als op een aantal andere terreinen (waaronder wiskunde, inderdaad) is het helder laten zijn van het verschil tussen "inhoud" en "notatie-vorm".
ii. Over: 'noot' vs. 'toon'.  Ik kwam recent op de OP van een muzieklemma een heel duidelijke uiteenzetting tegen van jouw hand (een jaar of 4-5 geleden?) over dit punt. Waar ik me - meen ik - helemaal in kon vinden. Helaas - zo gaat dat vaker - kan ik het nu niet terugvinden. Jij wel?
iii. Over': 'toon' en 'interval'.   Ik vermoed dat we het erover eens zijn (ja?) dat we vaak 'toon' zeggen (voor het gemak, en aansluitend bij algemeen gebruik) als we niet een absolute toonhoogte/hertzwaarde bedoelen, maar een
toon(s)afstand, een toonhoogte-verschil (voor scherpslijpers: een toonhoogte-verhouding, maar het lijkt me meestal geen verwarring te geven om een 'relatief verschil' ook kortweg 'verschil' te noemen), een (toonhoogte-)interval.
iv. Over: "De toon bis is per definitie een chromatische verhoging van de toon b."  Hier staat (nou ja: hier lees ik) dat ik "de toon bis" heb te zien als inkorting van "een chromatische verhoging van de toon b". Maar wat bedoel jij met dat laatste, los van elke notenschrift-notatie?
Met je "muziektheorie is absoluut geen wiskunde" lijk je te zeggen dat het voor "elke musicus" iets anders is dan de stapeling van de twee getalsverhoudingen waar ik hierboven (18 maart) in punt 2c en 2d naar vroeg. Maar wat dan wél?  Probeer svp. in een antwoord verschil te maken tussen een klavierspeler en een vrij-intonerende musicus. Wat is voor elk van de twee het verschil tussen een c-toon en een bis-toon (en eventueel: een deses-toon)? Welk verschil kan een violist maken als ik hem/haar vraag om in een bepaalde passage niet een c-toon, maar een bis-toon te laten horen? --

Concept
Het pythagoreïsch komma, vernoemd naar Pythagoras, is het verschil tussen twaalf kwinten en zeven octaven.  Dit komt neer op rond 2% van een octaaf (3% van een kwint), ofwel bijna een kwart van een 'halve toon'.
Precieser: 23,46...Cent, bij 100 Cent in een halve toon.  En helemaal exact:  twee tonen met een frequentie-verhouding van (3/2)¹² : 2⁷ vormen een interval ter grootte van het pythagoreïsch komma.
Het iets verkleinen (met vrijwel 2 Cent) van de natuurlijke kwint, levert een interval - de gelijkzwevende kwint - waarvan er wél precies twaalf passen in zeven octaven.

Zie discussie Madyno - Tjako in OP:Kwint, 16 nov. 2014 Harmonische kwint, zie Google: A.D. Fokker 1945, Dirk Viaene, Algemene muziektheorie Zie ook: Overleg:Toonladder

En omdat jij een concreet antwoord nog steeds uit de weg lijkt te gaan, heb ik een beetje het vermoeden dat jij die antwoorden evenmin kunt geven. Klopt dat?
Hoe hoog ligt de stamtoon b boven de grondstamtoon c, en welk interval moet de violist zich denken bij 'verhoging tot bis'? -- Hesselp (overleg) 20 mrt 2018 20:39 (CET)

Vooruit dan maar. In de (juiste) reine stemming:

a'= 440Hz, c'= 3/5 a', b'= 15/8 c'= 9/8 a', etc. En dat zou jij echt niet weten?

bis'= 15/16 9/8 15/16 c" = 2025/2048 c" < c"

Madyno (overleg) 20 mrt 2018 23:21 (CET)

Nee Madyno, ik weet echt niet hoe jij komt aan jouw  bis' = 2025/2048 c"  (dus bis'- c" = 19,55...Cent).
Dus, kun je hier een of meer bronnen voor noemen? Als het even kan ook bronnen die op internet vindbaar zijn.
En graag met argumenten waarom jouw bijna 20 Cent onder c méér reden heeft om de echte bis genoemd te worden, dan de ruim 41 Cent onder c gelegen Bis die sedert 4 aug 2005("Arent") hier vermeld staat (helaas zonder bron), en nooit gecorrigeerd is.
En dan heb ik nog dezelfde vraag m.b.t. de ruim 23 Cent bóven c gelegen Bis in dezelfde tabel.   (Theo Willemze schrijft in zijn Algemene Muziekleer 18e druk 2008, par.434: "Nauwkeurige metingen hebben aangetoond dat in de muziekpraktijk nu eens het natuurlijke [Aristoteles/Zarlino] systeem gevolgd wordt, en dan weer het pythogoreïsche systeem."   Welke intonatie het meest 'zuiver' klinkt, blijkt dus niet vast te liggen. Zou die factor 5 bij Zarlino toch de zaak wat verstoren?)
PS. Ik zit flink te kauwen op Overleg:Toonladder(april/mei 2006 en nov.2007) en op Overleg:Toon (muziek) (nov.2007). --

https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Reine_stemming&oldid=46311312

De nieuwe A is 22 cents hoger, maar wordt nog steeds A genoemd, hoewel een verschil van 22 cents goed hoorbaar is.  .....het probleem schuilt in de toon A, die in de toonladder van C tot G een afstand 10/9 heeft, dus zich tot C verhoudt als 5:3, maar .......

=== Over de betekenis van 'de toon bis' ===
Ik laat me in m'n kaarten kijken, middels de volgende vragen en opmerkingen:
1. - Ligt de 'echte' bis:  20 Cent onder c, 41 Cent onder c, of 23 Cent boven c ?
2. - Hangt dat af van de stemming (kwartkomma-middentoon, Werckmeister IV, ...) van de piano of het orgel waar de compositie voor geschreven is?  Of waar de compositie op uitgevoerd wordt?
3. - Of hangt het af van de toonaard waarin een stuk geschreven is?
4. - Heeft de 'bis van Pythagoras' (als vermeld in de tabel in WP:Stemming van Pythagoras) minder status dan andere 'bissen' / 'bis-tonen' ?

5. - Opmerkelijk is nog dat, wanneer de namen bis, c, fis, ges, ... gebruikt worden ter onderscheiding van verschillende toonaarden, hetvolgende geldt:
Of een muziekstuk geschreven is 'voor de toonaard fis' dan wel 'voor de toonaard ges' maakt voor de klinkende muziek geen enkel verschil. Gespeeld op een in Werckmeister III gestemd orgel, maakt het niet het minste verschil.
Zo is er in de klinkende muziek evenmin verschil of het stuk nu genoteerd is 'in c' dan wel 'in bis'. (Afgezien van het grapje dat de meeste organisten véél vlotter zullen spelen 'in c' dan 'in bis'.)
In deze context valt de muzikale (toonhoogte-?)betekenis van 'bis' samen met die van 'c'. Hun toonhoogte-afstand is nul Cent.

6. - In deze oude versie van WP:Reine stemming staan delen van zinnen als:
    "..het probleem schuilt in de toon A, die in de toonladder van C tot G een afstand 10/9 heeft, dus zich tot C verhoudt als 5:3, maar .."  en
    "De nieuwe A is 22 cents hoger, maar wordt nog steeds A genoemd, hoewel een verschil van 22 cents goed hoorbaar is."
In de rood-grijze tabel in dat artikel werd aan de namen C, Cis, Des, D, Es, .... in twaalf gevallen een tweevoudige centswaarde gekoppeld. Bij verdere uitbreiding van dat modulatie-schema zouden ál die namen (toon-namen ?) een meervoudige centswaarde krijgen. Ook de naam 'bis'.

7. - Er is uiteraard al lang een oplossing voor deze Babylonische toestand. Dat is: onderscheid relatieve toonhoogten van absolute toonhoogten. Met relatieve namen (do, re, mi, ...) en absolute namen (C, D, E, ...). Zie bijvoorbeeld hier.
Met 'absoluut' wordt hier niet een hertz-waarde bedoeld, maar de toonsafstand tot wat in de context als "de toonhoogte van c" gezien wordt (die als bekend nog afhangt van de kamertoon-keuze, en of voor het interval c-a  5/3 genomen wordt dan wel het factor-5-loze  27/16 ).
Beide systemen hebben als makke, dat er voor de 'zwartetoetsentonen' geen algemeen gangbare, korte, namen zijn. En verder toont de harde praktijk dat de do-re-mi-namen (in Franstalig gebied) óók van absolute toonhoogten en voor schriftnoten gebruikt worden; en de C-D-E-namen (in niet-Franstalig gebied) óók voor relatieve toonhoogten, naast het do-re-mi.
Zullen we proberen om in deze discussie (en daarna ook in lemma-teksten?) beide naamsystemen niet doorelkaar te gebruiken?
Het bovenstaande slaat alleen op diatonische muziek, met de onregelmatige zeven-deling van het twaalf-halven-octaaf. Bovendien slaan zowel de C-D-E-namen als de do-re-mi-namen op bij benadering gedefinieerde intervallen; de stemmingen bepalen daarna nog de fine-tuning, de intonatie, de met wiskundige middelen beschreven exacte (theoretische!) waarden. --

@Madyno.  "Wat ik wil" vraag je me hierboven. Mijn antwoord: niets anders dan wat ik hierboven, detail voor detail, genoemd én gemotiveerd heb. Daar zijn geen bezwaren tegen geformuleerd, ik zal het daarom proberen te handhaven. En waar blijven betrouwbare bronnen achter je 'Geschiedenis'-tekst?

Tegen de namenlijst van Joachim Mohr gelden dezelfde bezwaren als bovengenoemd tegen de overeenkomstige lijst van Tom Peters (11 aug 2017). Die opsomming van twaalf namen voegt geen informatie toe, maar voegt onzekerheid toe. En wel: omdat die namen in de muziekpraktijk een scala van verschillende gebruiksmogelijkheden hebben. En geen van alle een precies bepaald rein interval tot een grondtoon aanwijzen.
Er is hier maar één naam ondubbelzinnig, en dat is 'kwint', naar keuze vergezeld van "natuurlijke" of van "(3:2)" of van de uitvoeriger voetnoot als in de lemmatekst. (Het 'reine' blijft ook een niet-bedoelde betekenis hebben; ook bij 'octaaf'.)
Ik herhaal: wáár is te vinden hoe hoog de 'bis-toon' is (zou zijn)?
Is het "instructief voor de lezer" om op deze OP te kunnen vinden dat jij dat ook niet weet? Neen! --

De verwijzing naar Mohr liet ik staan. Zo heeft de lezer toch de kans om daar die (qua zinnigheid omstreden) namenlijst tegen te komen. In plaats van in de zo kort en simpel mogelijke intro.
De gedetailleerde becijferingen in jouw versie voegen geen begrip toe, integendeel; moeten zeker niet in de intro. --

Antwoord aan Tom Peters

Op jouw "Ik snap niet dat je zo'n probleem maakt van die Bis." is dit mijn antwoord:
Bij toeval zag ik (midden maart) jouw woorden "hoe men op die bis komt" in je bewerkingssamenvatting van 11 aug 2017. Ik zie dan in zin 2 van de intro een motivering (? Immers?) met daarin het twaalfnamenrijtje c-g-d-...-bis (de accenten voor de hogere octaven mag ik er zelf bij denken). Ik zie zo gauw de functie van dat namenrijtje niet en ga zoeken. Eerst probeer ik te vinden welke toonhoogte (welk interval c-bis) er met dat 'bis' bedoeld zal zijn. Ik vind uiteindelijk twee waarden: 24 Cent en 1159 Cent, en Madyno vindt even later ook nog 1180 Cent. Wat moet een lezer dus denken bij die 'bis', en bij de rest van dat namenrijtje? Daar zeg jij nu op: "Dat is gewoon een B#, een halve toon hoger dan een B.". Kennelijk zit er in "halve toon" en/of in "B" zóveel rek, dat er (minstens) drie antwoorden uit kunnen rollen.
Mijn verdere commentaar staat al in de discussie hierboven. Voor mij wordt de zaak bepaald niet helderder, waar je nu verder nog schrijft:
- "Bis" is dus niet een speciale naam voor een toon 12 kwinten boven een C.   En
- Dus noemen we die toon maar een Bis.
Dus toch wél c-bis = 24 Cent? En die twee andere bis-betekenissen vergeten 'we' maar.   Mijn 'probleem' heb je nog niet opgelost!
PS. Morgen (nou ja, zondag) zal ik off-line zijn. --

Bezwaren tegen intro-vervanging door Tom Peters 26 mrt

Tekst van de intro-vervanging 26 mrt :
Het pythagoreïsche komma is een disharmonie die verschijnt tussen tonen in de Pythagoreische stemming.
Beschrijving
Het komma verschijnt o.a. als het verschil tussen twee halve tonen in de stemming volgens Pythagoras (verhouding 256:243), en een hele toon (verhouding 9:8):

$\left({\tfrac {256}{243}}\right)^{2}=2^{16}:3^{10}=1,1098579...$,

dit is dus niet hetzelfde als ${\tfrac {9}{8}}=3^{2}:2^{3}=1,25$.
Het interval van dit verschil is $3^{12}:2^{19}={\tfrac {531441}{524288}}=1,0136...$.
Dit komt overeen, bij een logaritmische verdeling van 100 cents per halve toon, met 23,46 cents, dus bijna een kwart van een halve toon.

Dit verschil komt ook terug in de kwintencirkel: twaalf gestapelde zuivere kwinten (verhouding 3:2) staan tot de grondtoon in verhouding van:

$\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}=3^{12}:2^{12}={\tfrac {531441}{4096}}=129,746...$, en dit valt niet samen met zeven gestapelde octaven (verhouding 2:1):

$2^{7}=128$

Het verschil tussen deze twee vormt weer een interval ter grootte van het pythagoreïsch komma.
In gelijkzwevende stemming is de kwint iets verkleind (met ongeveer 2 cents) en hiervan passen er wél precies twaalf in zeven octaven.
[einde tekst intro-vervanging]

Bezwaren tegen de intro-vervanging 26 mrt :
- 1. De intro-zin zegt vrijwel niets, al zeker niet aan een oningewijde:
-- 1a. "een disharmonie" (waarom niet "de..."?): dit duidt op iets subjectiefs, er is veel over gestreden;   waarom niet zakelijk: "een zeker klein tonhoogte-interval", en wel ...." ;
-- 1b. "verschijnt": geen encyclopedisch/zakelijk woordgebruik;
-- 1c. "de Pythagoreïsche stemming" (elders zonder hoofdletter): onduidelijk is of dit verwijst naar een 7-tonige of een 12-tonige pythagoreïsche octaafverdeling.
Sectie "Beschrijving" (6 zinnen):
- 2. Zin 1. "o.a.": niet vooruitlopen op alternatieven als de eerste/makkelijkste beschrijving nog moet beginnen;
- 3. "het verschil tussen twee halve tonen": de lezer wordt hier op het verkeerde been gezet (ik moest zelf ook flink puzzelen, want juist de Zarlino-stemming maakt verschil tussen twee halve tonen), de eenvoudigste beschrijving beperkt zich tot één situatie;
- "de stemming volgens Pythagoras", zie eerder.
Overigens lijkt het me zeker wél informatief, als in de 'definitieve' intro ergens een zin komt in de trant van:
      Hetzelfde interval komt voor als verschil tussen:
      * het octaaf en zes gestapelde hele tonen (9:8),  en
      * de hele toon (9:8) en twee gestapelde pythagoreïsche halve tonen (2⁹ : 3⁶ ofwel 256 : 243).
- 4. "dit is dus[?] niet hetzelfde als": geheel overbodig en verwarrend;
- de in micro-stapjes uitgeschreven becijferingen in zin 1, 2, 4 verduisteren de loop van het betoog; zelfs in een voetnoot lijkt me dat cijferwerk ongewenst; overeenkomstige becijferingen staan ook in de huidige sectie Geschiedenis.
- 5. Zin 3. "bij een logaritmische verdeling": een moeilijke term, en het lijkt ook nog eerder een exponentiële verdeling; het gaat over frequenties, daarbij is 'Cent' een eenheid voor de relatieve toename van frequentie, en 'hertz' een eenheid voor de absolute toename van frequentie (in de toontheorie is die laatste van veel minder belang).
- 6. Zin 4. "Dit verschil komt ook [waarom 'ook'?] terug in de kwintencirkel": taalgebruik minder passend in een encyclopedie, en 'kwintencirkel' is weliswaar een veelvoorkomende term, maar het is geen cirkel en een tekst is een stuk makkelijker te volgen als er eerlijk 'kwintenreeks' ('kwintenstapeling') tegen gezegd wordt;   "twaalf kwinten staan tot de grondtoon" is kreupel taalgebruik.

Andere vraag
Het zal het overleg makkelijker maken wanneer hier concreet beschreven wordt welke bezwaren er zijn tegen de intro-tekst van versie 23 maart 2018. Wie ...? --

Bezwaren tegen intro-vervanging door Tom Peters 26 mrt[bewerken]

Tekst van de intro-vervanging 26 mrt : Het pythagoreïsche komma is een disharmonie die verschijnt tussen tonen in de Pythagoreische stemming. Beschrijving Het komma verschijnt o.a. als het verschil tussen twee halve tonen in de stemming volgens Pythagoras (verhouding 256:243), en een hele toon (verhouding 9:8): ( 256 243 ) 2 = 2 16  : 3 10 = 1 , 1098579... {\displaystyle \left({\tfrac {256}{243}}\right)^{2}=2^{16}:3^{10}=1,1098579...} {\displaystyle \left({\tfrac {256}{243}}\right)^{2}=2^{16}:3^{10}=1,1098579...},

dit is dus niet hetzelfde als 9 8 = 3 2  : 2 3 = 1 , 25 {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=3^{2}:2^{3}=1,25} {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=3^{2}:2^{3}=1,25}. Het interval van dit verschil is 3 12  : 2 19 = 531441 524288 = 1 , 0136... {\displaystyle 3^{12}:2^{19}={\tfrac {531441}{524288}}=1,0136...} {\displaystyle 3^{12}:2^{19}={\tfrac {531441}{524288}}=1,0136...}. Dit komt overeen, bij een logaritmische verdeling van 100 cents per halve toon, met 23,46 cents, dus bijna een kwart van een halve toon.

Dit verschil komt ook terug in de kwintencirkel: twaalf gestapelde zuivere kwinten (verhouding 3:2) staan tot de grondtoon in verhouding van:

( 3 2 ) 12 = 3 12  : 2 12 = 531441 4096 = 129 , 746... {\displaystyle \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}=3^{12}:2^{12}={\tfrac {531441}{4096}}=129,746...} {\displaystyle \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}=3^{12}:2^{12}={\tfrac {531441}{4096}}=129,746...}, en dit valt niet samen met zeven gestapelde octaven (verhouding 2:1): 2 7 = 128 {\displaystyle 2^{7}=128} {\displaystyle 2^{7}=128} Het verschil tussen deze twee vormt weer een interval ter grootte van het pythagoreïsch komma. In gelijkzwevende stemming is de kwint iets verkleind (met ongeveer 2 cents) en hiervan passen er wél precies twaalf in zeven octaven. [einde tekst intro-vervanging]

Bezwaren tegen de intro-vervanging 26 mrt : - 1. De intro-zin zegt vrijwel niets, al zeker niet aan een oningewijde: -- 1a. "een disharmonie" (waarom niet "de..."?): dit duidt op iets subjectiefs, er is veel over gestreden; waarom niet zakelijk: "een zeker klein tonhoogte-interval", en wel ...." ; -- 1b. "verschijnt": geen encyclopedisch/zakelijk woordgebruik; -- 1c. "de Pythagoreïsche stemming" (elders zonder hoofdletter): onduidelijk is of dit verwijst naar een 7-tonige of een 12-tonige pythagoreïsche octaafverdeling. Sectie "Beschrijving" (6 zinnen): - 2. Zin 1. "o.a.": niet vooruitlopen op alternatieven als de eerste/makkelijkste beschrijving nog moet beginnen; - 3. "het verschil tussen twee halve tonen": de lezer wordt hier op het verkeerde been gezet (ik moest zelf ook flink puzzelen, want juist de Zarlino-stemming maakt verschil tussen twee halve tonen), de eenvoudigste beschrijving beperkt zich tot één situatie; - "de stemming volgens Pythagoras", zie eerder (1c). Overigens lijkt het me zeker wél informatief, als in de 'definitieve' intro ergens een zin komt in de trant van: Hetzelfde interval komt voor als verschil tussen:

• het octaaf en zes gestapelde hele tonen (9:8), en
• de hele toon (9:8) en twee gestapelde pythagoreïsche halve tonen (29 : 36 ofwel 256 : 243).

- 4. "dit is dus[?] niet hetzelfde als": geheel overbodig en verwarrend; - de in micro-stapjes uitgeschreven becijferingen in zin 1, 2, 4 verduisteren de loop van het betoog; zelfs in een voetnoot lijkt me dat cijferwerk ongewenst; overeenkomstige becijferingen staan ook in de huidige sectie Geschiedenis. - 5. Zin 3. "bij een logaritmische verdeling": een moeilijke term, en het lijkt ook nog eerder een exponentiële verdeling; het gaat over frequenties, daarbij is 'cent' een eenheid voor de relatieve toename van frequentie, en 'hertz' een eenheid voor de absolute toename van frequentie (in de toontheorie is die laatste van veel minder belang); toonhoogte verschillen zijn zonder meer (zonder toelichting) in cent uit te drukken. - 6. Zin 4. "Dit verschil komt ook [waarom 'ook'?] terug in de kwintencirkel": taalgebruik minder passend in een encyclopedie, en 'kwintencirkel' is weliswaar een veelvoorkomende term, maar het is geen cirkel en een tekst is een stuk makkelijker te volgen als er eerlijk 'kwintenreeks' ('kwintenstapeling') tegen gezegd wordt; "twaalf kwinten staan tot de grondtoon" is kreupel taalgebruik.

Andere vraag Het zal het overleg makkelijker maken wanneer hier concreet beschreven wordt welke bezwaren er zijn tegen de intro-tekst van versie 23 maart 2018. Wie ...? -- Hesselp (overleg) 27 mrt 2018 01:25 (CEST)

Commentaar bij intro-versie 27 mrt 2018 13:00

@Madyno e.a.   Tegen deze bewerking van de intro in versie 26 mrt 2018 23:33 zeg voor het grootste deel: prima. Eerdere uitgebreide becijferingen zijn sterk gereduceerd, de overgebleven cijfervormen staan op logische plaatsen. Alleen in de kop en de staart staan nog dingen die daar volstrekt niet thuishoren, ik licht dit toe:

- a. "het verschil, als verhoudingsgetal, tussen...":  het tussengevoegde is misplaatst en schept alleen verwarring. Want je omschrijft toch ook niet het interval met de naam 'kwart' als  "het verschil, als verhoudingsgetal, tussen 1 kwint en 1 octaaf" ? Waarom dan wél het bij het interval tussen 12 kwinten en 7 octaven ?
Er zijn (minstens?) twee systemen om de grootte van intervallen quantitatief te beschrijven, het ene is beter toepasbaar voor de tonen uit de Zarlino-ladder (en andere reine ladders), het andere voor de tonen uit de gelijkzwevende ladder. Maar de bespreking daarvan hoort niet thuis in dit lemma. En waar ik eerder schreef dat ik 'het relatieve verschil' zou kunnen tolereren, trek ik dat nu in.

- b. Zin 1 is een stuk duidelijker met:  "twaalf gestapelde kwinten (3:2)^[1] en zeven gestapelde octaven (2:1)."  Want 'opeenvolgende' doet meer denken aan de volgorde in het verderop voorkomende - meervoudig interpreteerbare - namenrijtje.
Het 'reine' erbij maakt het niks duidelijker, alleen langer. 'Rein octaaf' is evengoed niet helemaal eenduidig als 'octaaf', zij het in iets andere zin.

- c. De toevoegingen na het intro-slot van versie 26 mrt 2018 23:33 zijn hier misplaatst.
Dat die zogenoemde 'kwintencirkel' geen cirkel is (pas met wat smokkelwerk sluitend gemaakt kan), komt al aan de orde in de eerste en laatste zin van de oude versie. Dat hoeft niet nog twee of drie keer herhaald.
En het één plekje verschuiven van het rijtje met de namen doet aan mijn eerdere bezwaren (toen beschreven aan de hand van 'de bis';  wat is de cents-waarde van de 'echte' toon Eis?) totaal niets af. Die namen (13 van de 21 die horen bij noten met maximaal een enkelvoudig voorteken) komen in meerdere betekenissen voor: een stuk in Fis heeft niet z'n grondtoon in het vierde of vijfde octaaf omhoog.   Ik citeer uit de laatste intro-versie:

• de toon Eis, die dicht bij een F ligt ...
  
• de toon F waarvan men [?] uitging.
  
• Deze toon Eis ... niet gelijk aan de F.
  
• is de kwintencirkel ... precies rond  [een paar zinnen eerder was 'de kwintencirkel' juist niet sluitend]
  
• hebben de tonen Eis en F dezelfde toonhoogte .
  

De aanduidingen "Eis" en "F" worden hier in een kleine handvol betekenissen door elkaar gebruikt. Terwijl die zes zinnen niets naders te melden hebben over de p-komma dan erboven al in drie verschillende benaderingen is getoond.
Het misplaatst zijn van het namenrijtje en het kwintencirkel-verhaal komt ook naar voren wanneer niet de twaalf-kwinten-zeven-octaven-situatie als instap zou dienen, maar de zeven-heeltonen-één-octaaf-situatie. Geen lezer wordt er wijzer van als daarbij een 'heeltonencirkel' en een lijst met namen voor elke stap uit de hele-tonen-reeks toegevoegd wordt.

(OP, 23 mrt 18:11) Het "(als verhoudingsgetal)" vind ik - met een verleden in de didactiek van simpele wiskunde - nog steeds een monstrum; het kan moeilijk anders gelezen als het eerdere "(geschreven als verhoudingsgetal)". Als iemand er van maakt "is het relatieve verschil tussen" zal ik dat laten staan, al vind ik dat 'relatieve' hier geheel overbodige dikdoenerij: een relatief verschil is net als een absoluut verschil, een 'verschil'. (27 mrt 01:25) - 5. Zin 3. "bij een logaritmische verdeling": een moeilijke term, en het lijkt ook nog eerder een exponentiële verdeling; het gaat over frequenties, daarbij is 'cent' een eenheid voor de relatieve toename van frequentie, en 'hertz' een eenheid voor de absolute toename van frequentie (in de toontheorie is die laatste van veel minder belang); toonhoogte verschillen zijn zonder meer (zonder toelichting) in cent uit te drukken.

Toonhoogte-verschillen kunnen op verschillende manier quantitatief worden uitgedrukt: met als eenheid het octaaf, het milli-octaaf, de savart, de halve toon, de cent, ... of verfijningen of vergrovingen ervan. Daarnaast kan een toonhoogteverschil óók gegeven worden als resultaat van de aftrekking van de hertzwaarden van beide tonen, in de toontheorie is dat van veel minder belang.   Maar........ bij het beschrijven van de betekenis van 'pythagoreïsch komma' gaat het niet over een verschil van twee toonhoogten, maar om het verschil van twee intervallen (tussen 12 kwinten en 7 octaven, alias: tussen 6 heeltonen en 1 octaaf). Hier is er geen keuze tussen twee manieren van uitdrukken. (Weet jij een andere manier? laat het hier weten.) Daarom zal de benaming 'relatief verschil' in plaats van 'verschil' alleen voor verwarring kunnen zorgen.

reactie op Bob.v.R, 3 april

Het zakelijker en minder afleidend zijn van 'gestapelde' baseer ik op:
1. - Het 'opeenvolgende', met een verwijzing -"bijvoorbeeld"- naar een voorbeeld-met-namenlijst, suggereert een zekere volgorde, terwijl zo'n volgorde er in deze context niets toe doet.
2. - De term "gestapelde" is door Madyno in de lemma-tekst geïntroduceerd, en komt in exact dezelfde betekenis voor bij "gestapelde hele tonen" en bij "gestapelde halve tonen". Ook hier zou - net als bij "opeenvolgende octaven" - een lijst met namen (vergelijkbaar met de lijst F - C - ... - Eis) niet verhelderend zijn. Ja, zelfs niet goed mogelijk (wie kan een zinvol voorbeeld tonen?), dus waarom dan wél bij de kwinten?

Bob.v.R noemt ter ondersteuning van het volgens hem niet-bezwaarlijk zijn van "opeenvolgende kwinten" ook de in de artikelversie van Madyno gepresenteerde "concrete rij opeenvolgende kwinten". Ik ga daarom hier door met het noemen van bezwaren tegen de zinnen in de huidige versie waarin die 'concrete rij' een rol speelt, ook al lijkt dat niet onder bovenstaand kopje te passen.
3. - Zie hier in 'punt c' het stippen-rijtje met vijf uitgelichte citaten, en de vraag daarover hier in 'punt ad² c' . Soms slaan de aanduidingen "F" en "Eis" in de Madyno-tekst op dezélfde toon, soms ook niet. Daar is voor een lezer niet om wijs uit te worden, dat kan zo dus niet blijven staan.
4. - De huidige artikelversie noemt een keer of vijf: "de toon Eis". Naar welke toonhoogte die naam verwijst, mag een lezer raden; ligt de 'echte' Eis onder of boven de F ?  Het antwoord op de parallelle vraag mbt. "Bis" en "C" (zie hier en hier en hier en hier).
5. - Het feit dat de Nederlandse WP geen lemma genaamd "Eis" ("Bis" en "Ces" evenmin) heeft, maakt het een lezer niet makkelijker; er is met die drie toonnamen kennelijk 'iets aan de hand'.
6. - Zin 2 in de huidige versie geeft een link bij "enharmonisch gelijke tonen". Enharmoniek zegt dat dit in de gelijkzwevende stemming betekent dat de tonen hetzelfde klinken; hoeveel het verschil in andere stemmingen is, blijft ongenoemd. Elders vind ik voor Eis - F in reine stemming 41,.. cent, geen 23,46...cent.
Ben benieuwd in hoeverre bovenstaande zes argumenten weerlegt kunnen worden. --

Stemming van Pythagoras

Madyno's intro van 24 mrt 2018 17:38

De stemming van Pythagoras is een muzikale stemming waarin zo veel mogelijk reine kwinten en kwarten aanwezig zijn. Ze wordt daarom ook kwintenreine stemming genoemd. De stemming is gebaseerd op de reine kwint met toonhoogteverhouding 2:3. Achtereenvolgende kwinten leiden tot verhoudingen 8:9 en door omkering ook 3:4. De volgende reeks reine kwinten:

B — F — C — G — D — A — E

leidt tot de ladder:

C — D — E — F — G — A — B — C

waarin alle hele toonafstanden gelijk zijn aan 9/8 en de beide halve toonafstanden 256/243.

De verhoudingen van de toonhoogten tot de grondtoon zijn:

1 — 9/8 — 81/64 — 4/3 — 3/2 — 27/16 — 243/128 — 2

Ter vergelijking: de verhoudingen in de reine stemming zijn:

1 — 9/8 — 5/4 — 4/3 — 3/2 — 5/3 — 15/8 — 2

De afwijkende toonhoogten verschillen alle een factor 81/80, het zogeheten didymische komma van elkaar.
[einde intro]

Bezwaren tegen intro-tekst 24 mrt 2018 17:38
1. Zin 1 spreekt van "zoveel mogelijk" maar zegt niet met welke andere situaties vergeleken wordt.
2. Id. Hoe moet/kan het aantal 'reine kwarten en kwinten' van een muzikale stemming geteld worden?
3. Id. Waarom "een" (en niet "de") muzikale stemming?
4. De intro negeert dat 'stemming van Pythagoras' niet alleen een detaillering geeft van de diatonische octaafverdeling, maar ook van de chromatische (12-delige).
5. Madyno suggereerde (OP 18 mrt) als kernzin voor de intro: "Door stapeling van kwinten en reductie met octaven ontstaan de gebruikte tonen met de bovengenoemde onderlinge verhoudingen."  Een nauwe variant daarvan staat in lemmaversie 23 mrt 2018 23:18, maar komt in zijn latere 24 maart-versie niet terug.
6. Zin 2. Bij de term "kwintenreine stemming" ontbreekt een bron (Google geeft nul treffers), en niet duidelijk wordt of de term slaat op een diatonische dan wel een chromatische octaafverdeling. Weglaten als het geen gangbare term blijkt te zijn.
7. In zin 7 wordt de stemming van Pythagoras vergeleken met die van Zarlino (of is daar nog een andere naam voor?). Niet 'reine stemming' want muziek die gebruik maakt van de stemming van Pythagoras klinkt niet minder rein/zuiver; de stemming van Pythagoras is evenzeer een reine stemming. Graag éénduidige benamingen.
8. De intro dient met zo min mogelijk details een eerste idee te geven van de betekenis (betekenissen) van de term. Hier wordt één van de betekenissen al helemaal uitgecijferd (daar is de hoofdtekst toch voor?), de andere (aan de orde komend in secties 6 en 7) blijft onaangekondigd. --

Tabelopmaak

                  Toonhoogte-verschillen (toonafstanden) tussen de tonen van de 7-tonige pythagoreïsche ladder
                                   (tussen haakjes de centswaarden in de gelijkzwevende stemming)

Toonafstanden		do		re		mi		fa		so		la		ti		do
tot grondtoon do	kwint-octaaf -stappen	0 kw		2 kw - 1 oc		4 kw - 2 oc		1 oc - 1 kw		1 kw		3 kw - 1 oc		5 kw - 2 oc		0 kw + 1 oc
	verhouding	(3/2)0 = 1		(3/2)2 : 21 = 9/8		(3/2)4 : 22 = 81/64		21 : (3/2)1 = 4/3		(3/2)1 = 3/2		(3/2)3 : 21 = 27/16		(3/2)5 : 22 = 243/128		(3/2)0 x 21 = 2
	in cent	0x702 0 (0)		2x702 - 1200 204 (200)		4x702 - 2400 408 (400)		1200 - 1x702 498 (500)		1x702 702 (700)		3x702 - 1200 906 (900)		5x702 - 2400 1110 (1100)		0x702 + 1200 1200 (1200)
tot vorige toon	verhouding		9/8		9/8		28 : 35 = 256/243		9/8		9/8		9/8		28 : 35 = 256/243
	in cent		204 (200)		204 (200)		90 (100)		204 (200)		204 (200)		204 (200)		90 (100)

Toonafstanden		do	re	mi	fa	so	la	ti	do
tot grondtoon do	kwint-octaaf -stappen	0 kw	2 kw - 1 oc	4 kw - 2 oc	1 oc - 1 kw	1 kw	3 kw - 1 oc	5 kw - 2 oc	0 kw + 1 oc
	verhouding	(3/2)0 = 1	(3/2)2 : 21 = 9/8	(3/2)4 : 22 = 81/64	21 : (3/2)1 = 4/3	(3/2)1 = 3/2	(3/2)3 : 21 = 27/16	(3/2)5 : 22 = 243/128	(3/2)0 x 21 = 2
	in cent	0x702 0 (0)	2x702 - 1200 204 (200)	4x702 - 2400 408 (400)	1200 - 1x702 498 (500)	1x702 702 (700)	3x702 - 1200 906 (900)	5x702 - 2400 1110 (1100)	0x702 + 1200 1200 (1200)

Het artikel heeft veel verschillende problemen:
• In zijn huidige vorm is het artikel uitsluitend te begrijpen voor iemand die weet wat een stemming van Pythagoras is.
• De introductie bevat veel jargon, zonder dat uit te leggen of links te geven naar de gebruikte termen. Ik heb de tekst nu een keer of wat gelezen, maar ik snap er niets van.
• De tabel legt niets uit; ik kan me bij de getallen niets voorstellen. Dat betekent niet dat de tabel zinloos is, dat betekent dat de tabel een minder prominente plaats in het artikel moet krijgen.
• Het zou helpen als er een geluidsfragment zou zijn dat de stemming laat horen.
• Het artikel moet uitleggen hoe de stemming verschilt van andere stemmingen, in ieder geval de gelijkzwevende.
• In het algemeen: de artikeltekst moet er vanuit gaan dat de lezer hooguit een elementaire kennis van muziektheorie heeft. Het hoeft niet in kleutertaal, maar je mag best op de hurken gaan zitten.
• Enkele zinnen over toepassing van de stemmingen zouden niet misstaan. Worden ze nog gebruikt, zijn er voorbeelden?
• Als ik verstand van het onderwerp zou hebben zou ik vast betere tips kunnen geven, maar dat verstand heb ik niet en krijg ik ook niet van het artikel.
Groet, Magere Hein (overleg) 6 mei 2018 13:07 (CEST)

@Magere Hein. Dat zijn acht pittig geformuleerde statements! Helaas kan ik niet zien of je in je overwegingen ook mijn (35 minuten eerder geplaatste) vier amendementen hebt meegewogen. Enkele van je opmerkingen brengen me op ideeën voor nadere explicaties in de tekst.
Reacties bij je 8 punten apart:
1. en 8. Je hebt vast ook wel naar (Madyno-)versie van 27 maart gekeken. Is je oordeel daarover gelijkluidend? Zo niet, dan zal je misschien kunnen aangeven welke zinnen daarin (enigszins) verhelderend voor je waren. Gezien dat de 12-tonige toetsenstemming (middeleeuwse orgels) daar helemaal niet aan bod komt?
2. In het intro-amendement zouden 'Zarlino-ladder' en 'reine stemming' ook nog een link kunnen krijgen. Welke termen zie je daarnaast nog als (zonder uitleg ongewenst) jargon? Ik lijk er overheen te lezen.
3. Met 'de tabel' zal je de eerste van de twee tabellen bedoelen (?). De amendementen II en III voegen nog wat toe. Bij de bovenste tabelregel (na "stappen") zal ik nog wat toelichting geven.
4. Geluidsfragment. De onder het kopje "Externe link" getoonde link lijkt niet (meer?) te werken. Het na elkaar kunnen beluisteren van verschillend 'gestemde' 7-tonige en 12-tonige ladders zal wel mogelijk zijn (al kan ik dat zelf niet voor elkaar krijgen). Maar het alleen vergelijken van ladders lijkt me voor echt begrip van de zaak weinig te helpen. Je zou een praktijkvoorbeeld willen hebben van een muzikale context waarin 'Pythagoras' mooier klinkt dan 'Zarlino', en andersom. Voor specialisten.
5. De zin onder tabel 1 maakt de vergelijking met Zarlino. De vergelijking met 'gelijkzwevend' zou getoond kunnen worden door een extra tabelregel met ronde honderdtallen (cents) onder zowel tabel 1 als tabel 2. Ik twijfel nog aan het belang ervan. Voor een meer gedetailleerde/expliciete bespreking van de Zarlino-stemming en de gelijkzwevende stemming in dit artikel, zie ik niet direct aanleiding. Wél zullen ze in het "Zie ook"-lijstje dienen te staan.
6. Okee.
7. In amendement-I en ook onder tabel 1 staat al iets over toepassingen. Over de huidige stemming van Nederlandse kerkorgels en beiaarden kan nog een opmerking toegevoegd. Groet, --

Wijziging:
De zo ontstane, naar beide kanten doorlopende, tonenrij blijkt - wellicht verrassend - het diatonische patroon te bezitten, dat wil zeggen: hele en halve toonsafstanden: met maar twee verschillende afstanden tussen opvolgende tonen ('hele' en 'halve' stappen) [wijziging door ] en met de zich steeds herhalende volgorde

Antwoord aan Bob.v.R:

Hesselp heeft rigoreus diverse tabellen verwijderd die beknopter waren dan de tabellen waar hij zelf mee komt. Het waarom van dit rigoreuse hakwerk is niet duidelijk geworden. Bob.v.R (overleg) 6 mei 2018 13:42 (CEST)

Over het waarom van "dit rigoreuse hakwerk".
- De voor het artikel relevante informatie uit de tabellen en notenbalken van de Madyno-versie is allemaal te vinden in mijn eerste tabel (zie amendement-V). De laatste tabel in de Madyno-versie (Pythagoreïsche intervallen) zie ik als een niet-noodzakelijk toetje. Deze nomenclatuur-lijst zou aan het eind van het artikel kunnen blijven staan, maar staat nogal los van de rest.
- Het uitschrijven (en in noten weergeven) van zowel de dalende als de stijgende versie, geeft geen extra informatie.
- Hetzelfde geldt voor het uitschrijven van een versie met 'grondtoon C' naast een versie met 'grondtoon A'. Het gebruik van relatieve namen geeft de informatie in de kortste vorm.
-De intro vermeldt het gebruik van de pythagoreïsche stemming in de middeleeuwen voor toets-instrumenten (zeg maar: orgels). Over het hoe en het wat van die 'toetsenstemming' zegt de Madyno-versie totaal niets.
De voorlaatste tabel in de Madyno-versie beschrijft twee stemmingen voor een 21(!)-verdeling van het octaaf. Waarom het ooit van belang geacht werd om die tabel in dit lemma te zetten, blijft volledig duister.
- Het lukt mij niet om in de Madyno-versie nog informatie aan te wijzen die voor het begrip van de stemming van belang kan zijn, en die nog niet in de huidige versie (met amendementen) voorkomt. Het aanwijzen van de zeer vele zwakke en onbegrijpelijke punten daarin stel ik uit totdat hier blijkt dat die tekst (na de intro) verdedigers kent. Het is een allegaartje (geworden) van absoluut niet in een encyclopedie thuishorende zinnen. --

Voetnoot bij "stemming" (?)
de theoretische onderlinge toonhoogte-verschillen tussen de tonen van het in een muziekstuk gebruikte toonmateriaal.

[kopje] Diatonische pythagoreïsche toonladders
Een reeks van zeven tonen waarvan de toonhoogte telkens met een zuivere kwint toeneemt, kan uitgebreid gedacht worden met al hun 'octaveringen': tonen die een geheel aantal octaven hoger of lager klinken.
De zo ontstane, naar beide kanten doorlopende, tonenrij blijkt - wellicht verrassend - het diatonische patroon te bezitten, dat wil zeggen: hele en halve toonsafstanden met de zich steeds herhalende stappenvolgorde
      . . . - heel - heel - half - heel - heel - heel - half - . . .  .
Die tonenrij bevat dus de majeur-ladder, de (natuurlijke) mineurladder en de vijf 'kerktoonladders' in de stemming van Pythagoras.  Onderstaande tabel toont de details van de (in de praktijk het meest voorkomende) majeurladder in die stemming. De eerste tabelregel na de kop geeft het aantal kwintstappen en octaafstappen waarmee vanaf grondtoon do, elk van de andere laddertonen bereikt wordt.

                  Toonhoogte-verschillen (toonafstanden) tussen de tonen van de 7-tonige pythagoreïsche ladder
                                         (tussen haakjes de centswaarden in de gelijkzwevende stemming)

Toonafstanden		do		re		mi		fa		so		la		ti		do
tot grondtoon do	kwint-octaaf -stappen	0 kw		2 kw - 1 oc		4 kw - 2 oc		1 oc - 1 kw		1 kw		3 kw - 1 oc		5 kw - 2 oc		0 kw + 1 oc
	verhouding	(3/2)0 = 1		(3/2)2 : 21 = 9/8		(3/2)4 : 22 = 81/64		21 : (3/2)1 = 4/3		(3/2)1 = 3/2		(3/2)3 : 21 = 27/16		(3/2)5 : 22 = 243/128		(3/2)0 x 21 = 2
	in cent	0x702 0 (0)		2x702 - 1200 204 (200)		4x702 - 2400 408 (400)		1200 - 1x702 498 (500)		1x702 702 (700)		3x702 - 1200 906 (900)		5x702 - 2400 1110 (1100)		0x702 + 1200 1200 (1200)
tot vorige toon	verhouding		9/8		9/8		28 : 35 = 256/243		9/8		9/8		9/8		28 : 35 = 256/243
	in cent		204 (200)		204 (200)		90 (100)		204 (200)		204 (200)		204 (200)		90 (100)

De onderstreepte derde, zesde en zevende stap zijn in vergelijking met de Zarlino-ladder een factor 81/80 hoger (≈ 21,5 cent, het didymisch of syntonisch komma genoemd).
Het optellen van vier opvolgende tussenstappen uit de rij  204-204-90-204-204-204-90 - 204-204-90- ... cent, laat zien dat de zes intervallen do-so, re-la, mi-ti, fa-do', so-re' en la-mi' allemaal zuivere kwinten zijn (steeds 3x204 + 1x90 = 702 cent). Alleen het interval ti-fa' (2x204 + 2x90 = 588 cent) is een ruime halftoon kleiner.  Zo zijn er ook zes zuivere kwarten en één afwijkende.
Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor ......

Aan Handige Harrie:
Natuurlijk heb ik al heel vaal de Engelstalige WP (en een flink aantal andere) nagevlooid. Daarin lees ik, onder 'Method',  "12-tone Pythagorean temperament is based on a stack of intervals called perfect fifths", en vier zinnen verder "The purpose of this adjustment is to move the 12 notes within a smaller range of frequency, namely within ...the basic octave. "
In de huidige artikeltekst is dit verwoord als: "Wanneer twaalf opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden ...". Is het verschil nou erg groot?
Het "willekeurig te kiezen" komt in de Engelse tekst terug in de beginzin van de volgende sectie: "The table above shows only intervals from D. However, intervals can be formed by starting from each of the above listed 12 notes."
Snap je nu misschien waarom ik niet snap dat jij mij niet snapt?

=== Aanpassingen 13 mei ===
- Amendementen uit OP: andere intro, grote tabel-1, kwint-octaafstappen vet
- Tweede zin intro, wijzigen in: verhouden zich de frequenties als een driemacht (3ⁿ) tot een tweemacht (2^m), of andersom.
- Sectie kopjes veranderen in: "Zeven diatonische pythagoreïsche toonladders" en "Twaalf chromatische pythagoreïsche toonladders"
- Tabellen in aparte subsecties, met kleine intro
- In tabel-2: haakjes om de valse kwinten
- Tabel-3: Nomenclatuur P-intervallen
Vraag: Wie vindt dat die tabel er bij voorkeur wél moet staan? - Weglaten uit tabel-1 de ronde honderdtallen van de gelijkzwevende stemming?
- In "Zie ook": verwijzen naar Franse uitleg mbv notenbalk. Idem naar 12-regelige tabel: WPen,

Vooraf vragen op OP:
- Voorkeur zónder nomenclatuur-tabel ?
- Voorkeur zónder in tabel-1 de gelijkzwevende centswaarden (2 rijen)
- Voorkeur voor aanvulling van tabel-2 met de overige zes pythagoreïsche chromatische ladders (geen uitbreidingen van Zarlino)?
- Wie heeft informatie over toepassings-situaties van de 17-delige, 19-delige en de 21-delige octaafverdelingen. Is dat alleen van toepassing op de (zeldzame) klavieren met 17 of 19 toetsen/snaren per octaaf? Verwijzen naar vindplaatsen engels/frans

Stemming van Pythagoras - concept voor 13 mei

De stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming is een stemming van toonladders waarbij elke toonsafstand gelijk is aan het verschil is tussen een zeker aantal gestapelde kwinten en een zeker aantal gestapelde octaven. Ofwel: van elk tweetal laddertonen verhouden zich de frequenties als een driemacht (3ⁿ) tot een tweemacht (2^m), of andersom.

De stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming is een stemming van toonladders waarbij van elke laddertoon   - op één na - de kwint erboven ook in de ladder (of z'n voortzetting in het hogere octaaf) voorkomt.
Ook geldt dat de frequenties van elk tweetal laddertonen - zonder uitzondering - zich verhouden een driemacht (3ⁿ) tot een tweemacht (2^m), of andersom.

De pythagoreïsche stemming van de 7-tonige (diatonische) ladder komt in de praktijk wel voor bij (onder meer) zangers en strijkers, als variant van de reine Zarlino-ladder.  In de Middeleeuwen, tot in de 16e eeuw, was de pythagoreïsche stemming de standaard voor de 12-tonige octaafverdeling van orgels.
De stemming van Pythagoras kan gezien als een speciaal geval van reine stemming. In meer beperkte zin wordt 'reine stemming' ook wel uitsluitend gebruikt voor muziek die gebaseerd is op de Zarlino-toonladder.

Zeven diatonische pythagoreïsche toonladders

Een reeks van zeven tonen waarvan de toonhoogte telkens met een zuivere kwint toeneemt:

      1,   (3/2)¹,   (3/2)²,   (3/2)³,   (3/2)⁴,   (3/2)⁵,   (3/2)⁶

kan uitgebreid gedacht worden met alle 'octaveringen': tonen die een geheel aantal octaven hoger of lager klinken. Dus:

      1 × 2^{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} ,   (3/2)¹ × 2^{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} ,   ·   ·   ·  ,   (3/2)⁶ × 2^{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} .

Allemaal tonen die, na het kiezen van een uitgangstoon, door Pythagoras mogelijk vrij eenvoudig (binnen gehoorbereik) erg zuiver gestemd konden worden met behulp van een verzameling van enkelvoudige snaren.
Na het op toonhoogte-volgorde zetten van al die tonen, ontstaat een, naar beide kanten doorlopende, tonenrij met de eigenschap dat elk interval ter grootte van een octaaf juist zeven tonen bevat: geoctaveerde vormen van de zeven tonen uit de aanvankelijke 'kwintenrij'  maar wel in een andere volgorde.  En tussen de tonen van die oneindige rij komen - wellicht verrassend - niet meer dan twee stapgroottes voor, 9/8 (204 cent) en 2⁸/3⁵ (90 cent) met een heel-half-volgorde als in de diatonische verdeling:
      . . . - heel - heel - half - heel - heel - heel - half - . . .  .
Die tonenrij bevat dus, afhankelijk van het gekozen beginpunt, de majeur-ladder, de (natuurlijke) mineurladder en de vijf 'kerktoonladders' in de stemming van Pythagoras.  

Want: tussen de tonen in die (tweezijdig oneindige) rij komen twee afstanden voor (9/8~204 cent en 28/35~90 cent), met een heel-half-volgorde als in de diatonische verdeling.
Elk interval ter grootte van een octaaf bevat nu juist zeven tonen: geoctaveerde vormen van elk van de tonen uit de aanvankelijke 7-tonige ‘kwintenrij’, in een geshuffelde/gezigzagde volgorde.
Afhankelijk van de laagste toon in zo’n octaaf komt zo’n 7-tonen-rijtje overeen met één van de zeven diatonische ladders (majeur, nat.mineur en vijf overige kerktoonladders). Vier van de laddertonen komen overeen met de Zarlino-stemming, drie zijn 81/80 ~21,51 cents hoger.

blijkt - wellicht verrassend - het diatonische patroon te bezitten: met maar twee verschillende afstanden tussen opvolgende tonen ('hele' en 'halve' stappen),  en met de zich steeds herhalende volgorde
      . . . - heel - heel - half - heel - heel - heel - half - . . .  .
Die tonenrij bevat dus, afhankelijk van het gekozen beginpunt, de majeur-ladder, de (natuurlijke) mineurladder en de vijf 'kerktoonladders' in de stemming van Pythagoras.  

De majeur-ladder in pythagoreïsche stemming

Onderstaande tabel toont de details van de in de praktijk meestvoorkomende diatonische ladder: de majeurladder. De eerste tabelregel na de kop geeft het aantal kwintstappen en octaafstappen waarmee vanaf grondtoon do, elk van de andere laddertonen bereikt wordt.

Onderstaande tabel toont de details van de (in de praktijk het meest voorkomende) majeurladder in die stemming. De eerste tabelregel na de kop geeft het aantal kwintstappen en octaafstappen waarmee vanaf grondtoon do, elk van de andere laddertonen bereikt wordt.

                  Toonhoogte-verschillen (toonafstanden) tussen de tonen van de pythagoreïsche majeurladder
                                         (tussen haakjes de centswaarden in de gelijkzwevende stemming)

Toonafstanden		do		re		mi		fa		so		la		ti		do
tot grondtoon do	kwint /        octaaf stappen	0 kw		2 kw - 1 oc		4 kw - 2 oc		1 oc - 1 kw		1 kw		3 kw - 1 oc		5 kw - 2 oc		0 kw + 1 oc
	verhouding	(3/2)0 1		(3/2)2 : 21 9/8		(3/2)4 : 22 81/64		21 : (3/2)1 4/3		(3/2)1 3/2		(3/2)3 : 21 27/16		(3/2)5 : 22 243/128		(3/2)0 x 21 2
	in cent	0x702 0 (0)		2x702 - 1200 204 (200)		4x702 - 2400 408 (400)		1200 - 1x702 498 (500)		1x702 702 (700)		3x702 - 1200 906 (900)		5x702 - 2400 1110 (1100)		0x702 + 1200 1200 (1200)
tot vorige toon	verhouding		9/8		9/8		28 : 35 = 256/243		9/8		9/8		9/8		28 : 35 = 256/243
	in cent		204 (200)		204 (200)		90 (100)		204 (200)		204 (200)		204 (200)		90 (100)

Vergelijking met de Zarlino-ladder leert dat, bij gelijke do-toon, de tonen re, fa en so in beide ladders gelijk zijn, terwijl mi, la en ti  bij 'Pythagoras' een factor 81/80 (≈ 21,51 cent (het didymische of syntonische komma genoemd) hoger liggen.
Het combineren van vier opvolgende tussenstappen uit de rij  204-204-90-204-204-204-90 - 204-204-90- ... , laat zien dat de zes intervallen do-so, re-la, mi-ti, fa-do', so-re' en la-mi' allemaal zuivere kwinten zijn (steeds 3x204 + 1x90 = 702 cent). Alleen het interval ti-fa' (2x204 + 2x90 = 588 cent) is een ruime halftoon kleiner. Zo zijn er ook zes zuivere kwarten en één afwijkende.

Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor wat een solo-violist of -zanger op het gehoor (en het gevoel) in werkelijkheid produceert. Metingen lijken erop te wijzen dat musici soms (onbewust) lijken te kiezen voor toonhoogten volgens Zarlino, en soms voor toonhoogten volgens Pythagoras; en dat dit mede afhangt van de soort muzikale figuur.  Bij het reproduceren van middeleeuwse muziek wordt ook wel voor de 'stemming van Pythagoras' gekozen.

Twaalf chromatische pythagoreïsche toonladders

Wanneer twaalf opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de twaalf nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een chromatische (12-toons) toonladder. Elk van die twaalf ladders is opgebouwd uit slechts twee verschillende 'halve tonen': het limma van afgerond 90 cent en het apotome van afgerond 114 cent; opgeteld zijn ze gelijk aan de 'grote hele toon' (9:8, ≈ 204 cent), afgetrokken aan het pythagoreïsche komma (≈ 24 cent).  Verder zijn in elk van die ladders elf van de twaalf kwinten zuiver: 4x90 + 3x114 = 702 cent, de overblijvende kwint is duidelijk vals: 5x90 + 2x114 = 678 cent.

Zes van die twaalf ladders bevatten de met dezelfde grondtoon beginnende (7-tonige) pythagoreïsche majeurladder.  In deze chromatische pythagoreïsche ladders zorgen de verschillen in toonhoogte van de vijf 'zwartetoetsentonen' voor zes verschillende posities van de ene niet-zuivere kwint.

Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent
limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent
Valse kwint	C 0		C♯/D♭		D 204		D♯/E♭		E 408		F 498		F♯/G♭		G 702		G♯/A♭		A 906		A♯/B♭		B 1110		C 1200
C♯ - A♭		114		[ 90		90		114		90		114		90		90 ]		114		90		114		90
D♯ - B♭		114		90		114		[ 90		90		114		90		114		90		90 ]		114		90
F♯ - D'♭		90 ]		114		90		114		90		114		[ 90		90		114		90		114		90
G♯ - E'♭		114		90		90 ]		114		90		114		90		114		[ 90		90		114		90
A♯ - F'		114		90		114		90		90 ]		114		90		114		90		114		[ 90		90
B - G'♭		90		114		90		114		90		90 ]		114		90		114		90		114		[ 90
gelijkzwevend:		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)		(100)

Middentoonstemmingen als varianten van 'Pythagoras'

De pythagoreïsche stemming voor de twaalf octaaftoetsen is vanaf het begin van de 16e eeuw verdrongen door middentoonstemmingen. Een middentoon-ladder ontstaat net als de (12-tonige) pythagoreïsche ladders door octaafverschuivingen naar één octaafgebied, van een 12-ledige kwintenreeks. Maar nu niet van zuivere kwinten (3/2) maar van iets 'geknepen kwinten'.
Ook nu weer bestaat elk van de twaalf variant-ladders uit twee soorten halftonen: zeven van de ene soort en vijf van de andere. En ook nu weer heeft elke ladder op één van z'n tonen een zevende trap die sterk van de zuivere kwint afwijkt. Een verschil is dat de toonstappen in middentoonladders (in het theoretisch model) grotendeels irrationale verhoudingen zijn, geen verhoudingen van (soms weliswaar grote) gehele getallen zoals steeds bij pythagoreïsche ladders.

Amendementen, vanaf nummer VI

De amendementen met nummers I - V (in bijdragen van 6 en 7 mei 2018) zijn verwerkt in "Concept totaaltekst 11 mei 2018" (hierboven, 11 mei 2018). Nadere amendementen staan hieronder:

VI. Vijfde zin onder tabel-1:   "de pythagoreïsche ladder" vervangen door:
"de pythagoreïsche majeurladder"

VII. Derde zin onder kopje "Twaalf chrom. ...":   "de overblijvende kwint" vervangen door:
"de overblijvende 'kwint'[ref]Hier staat kwint voor zeven opvolgende halftoonstappen (hoeft samen niet precies gelijk te zijn aan 7/12 van een octaaf)[/ref]

VIII. Boven sectie "Zie ook" toevoegen:
[kopje]== Trivia ==
Uit dit overzicht van huidige stemmingen van Nederlandse kerkorgels en beiaarden, blijkt dat er in Nederland geen kerkorgels (meer) zijn in de chromatische pythagoreïsche stemming. Er is echter wel één beiaard met deze stemming: het carillon van de St.-Geertruidstoren (de 'Peperbus') te Bergen op Zoom.[ref]Monumenten in Nederland, Noord-Brabant (1997), p.75: "In de lantaarn hangt de 'Julianabeiaard' met 48 klokken, in 1951-'55 gegoten door gieterij Eijsbouts te Asten en als enige beiaard in Nederland gestemd met de zogenaamde Pythagoreïsche stemming."[/ref]

IX. Subsectie toevoegen boven kopje "Twaalf chrom. ...":
[subkopje] ===Vergelijking met de Zarlino-stemming===
De klinkende tonen in het overbekende rijtje  do, re, mi,..... ti, do,  worden in de toontheorie beschreven met de getalsverhoudingen volgens Zarlino, Aristoxenos of Pythagoras. Veelal wordt de Zarlino-variant gezien als de 'beste' (de door zangers/strijkers het dichtst benaderde). De getallen in de verhoudingen tussen laddertonen zijn (net als in de Aristoxenos-variant) meestal veel kleiner dan bij Pythagoras.
Een andere opvatting is, dat het bij Pythagoras compleet afwezig zijn van de factor vijf in die verhoudingsgetallen, in bepaalde gevallen tot een mooiere klank zou leiden.
'Pythagoras' heeft zuivere kwinten (3/2 ≈ 702 cent) op zes van de zeven laddertonen (niet op ti), 'Zarlino' heeft vijf zuivere kwinten en op re een onzuivere (40/27 ≈ 680 cent).
Beide ladders hebben tertsen (vier halve tonen) op do, fa en so; de Zarlino-terts (5/4 ≈ 386) vindt men in de meeste situaties beter klinken dan de Pythagoras-terts (81/64 ≈ 408 cent).

Zie ook

• Frazer, Peter A., The Development of Musical Tuning Systems (2001); met name secties 2.7, 3.2, 3.6, 4.2 .
• Ditonus
• Stemming (muziek)
• Reine stemming
• Microtonale muziek
• Toonladder
• Verklaring met een notenbalk-figuur

Externe link

• Geluidsfragment met verschil tussen Pythagoras, Rein en Gelijkzwevend

Noten

{{Navigatie toonschalen}} [[Categorie:Stemming (muziek)]] [[Categorie:Muziektheorie]]

Tabel oude versie

Nogmaals over het door Bob.v.R (12 mei 2010 06:06 (CEST)) aangehaalde "Concreet voorbeeld".
Het gaat om de volgende tabel, tussen toelichtende zinnen:

___________________________________________________________________________________________
De toonladder van Pythagoras ziet er als volgt uit, met A als tooncentrum; ze is dalend genoteerd, zoals in die tijd gebruikelijk was.

de tonen	E	D	C	B	A	G	F	E
de constructie	2/3	3/4	27/32	8/9	1	9/8	81/64	4/3
snaarlengte	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
frequentie- verhouding	1	8/9	64/81	3/4	2/3	16/27	128/243	1/2
toonafstand		9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Ze bestaat uit vijf Pythagorese hele toonafstanden en twee limma's (Pythagorese halve toonafstand).
___________________________________________________________________________________________

Mijn eerdere reactie:  "...lijkt niet logisch inpasbaar in de uitleg als gegeven in "Concept totaaltekst 11 mei 2018"."  vul ik aan met de volgende punten (met de nadruk op punt a):
a. Het lukt me niet om te ontdekken welke informatie uit deze tabel een lezer kan helpen te begrijpen wat met "stemming van Pythagoras" bedoeld wordt die niet ook voorkomt in het Concept totaaltekst 11 mei, met amendementen. Wie kan dat concreet aanwijzen? Welke tabelregel(s) in het bijzonder?
b. Het keuze voor de dalend genoteerde vorm lijkt het me er voor een zoekende/tastende lezer niet makkelijker op te maken. Wordt met "in die tijd" inderdaad de zesde eeuw v. C. bedoeld? Werden alle soorten ladders toe dalend genoteerd, of alleen de Pythagoreïsche? Had die ladder in die tijd al zeven tonen?
c. Het  "met A als tooncentrum"  lijkt me onjuist (tooncentrum = tonica = grondtoon van de toonladder).
d. Het gebruik van 'absolute' tonennamen (A, B, C, ...) in een context waarin ze de rol spelen van 'relatieve' tonennamen, kan een bron zijn van misverstand.
e. Waarom "E" gekozen ter aanduiding van de tonica (do)? In dat niet ongebruikelijk? f. Het regelkopje "de constructie" lijkt me een flinke puzzel voor een lezer. De (esthetische?) reden voor de "1" in het midden zal een beginneling ontgaan.
g. De verklaring voor die "A" in het midden (zie ik nu) staat in de 'mesos'-uitleg erboven. Het beginnen met die uitleg lijkt me aan een snel begrip niet bij te dragen. (Misschien voor in een historische sectie aan het eind?) De allereerste overlegbijdrage op deze pagina wijst al op verwarring met de kamertoon a' .
h. In een historische sectie kan misschien ook wat gezegd op het (veronderstelde) werken met snaren door Pythagoras. Over het vrij makkelijk zuiver kunnen stemmen van een nieuwe snaar, een zuivere 3/2-kwint hoger of lager dan een vorige snaar. Daarop kan gezegd dat het wellicht makkelijker zal zijn om een piano (orgel) pythagoreïsch te stemmen, dan in de nu gangbare gelijkzwevende stemming (hoe deed de stemmer dat vroeger, zonder 'apparaatje'?). De tabelregel "snaarlengte" lijkt me in de uitleg-fase niet zo zinvol, ik zie Pythagoras nog geen snaarlengte afmeten, precies 243/128 van de lengte van z'n basis-snaar. --

En dan?   Dan zorgen die bezwaarmakers voor een concept totaaltekst dat ze beter vinden.
Zie voor het  "wordt door Hesselp naast zich neergelegd;"  het door mij gelijktijdig geplaatste in de sectie "Vorm", over de (on-)mogelijkheden van het gebruikmaken van de "dalende tabel met o.a. snaarlengtes (genormeerd)" . --

Toelichting bij plaatsing versie "Concept totaaltekst (11 mei) 18 mei 2018"
De voornemens van Magere Hein (16 mei 2018) hebben na een week nog niet tot nader commentaar geleid, vandaar nu de presentatie op de artikel-pagina van een hierboven uitvoerig toegelicht en besproken concept.
Beoordelaars van deze versie wijs ik op wat m.i. de voornaamste pluspunten zijn vergeleken met voorgaande versies:

- Opname van een bespreking van wat genoemd wordt de pythagoreïsche stemming voor de 12-tonige octaafverdeling van toetsinstrumenten (vnl. orgels tot in de 16e eeuw) - een zeer wezenlijk deel van het onderwerp.

- Weglating van een nergens toegelichte (en ook bronloze) tabel in sectie 'Verschil met de reine stemming' voor een hoogstwaarschijnlijk nooit toegepaste 21-verdeling van het octaaf.

- Weglating van de benaming 'stamtoon' uit de tekst (de link naar Stamtoon geeft geen duidelijkheid; vragen in dit overleg 18 mei 18:23 CEST, nrs. IV, V, IX, blijven onbeantwoord).

- Weglating van hoofdlettersymbolen voor tonen (of noten, of stamtonen, of absolute toonhoogtes, of relatieve toonhoogtes, of toonklassen, of ...?); mede omdat die aanduidingen in de Madyno-versie in meer dan één betekenis gebruikt worden (zie: 13 mei 2018 16:00 CEST, derde alinea,  14 mei 2018 05:00 CEST,  18 mei 2018 18:23 CEST, punt VIII).

- Vermelding van het feit dat de pythagoreïsche stemming voor de diatonische majeurladder (alsook voor de overige diatonische ladders) in zeven varianten voorkomt.  En bij twaalfdelingen van het octaaf in twaalf varianten: twaalf posities van de niet-zuivere kwint.

- De mate van leesbaarheid van de tekst zal, door een meer gestructureerde/logischer opbouw, waarschijnlijk groter zijn.

NB. Het toevoegen van een sectie 'Pythagoreïsche intervallen' (3-limiet-intervallen) kan overwogen worden; met een verklaring van die term en met voorbeelden als hier. --

Het komt ook voor dat er in de loop der jaren, door ongecoördineerde bewerkingen van allerlei soort, een nogal rommelig, onsamenhangend geheel ontstaan is.  Het 'in kleine stapjes hervormen' Zanaq, 21 mei 2018 11:34 (CEST) is dan uiterst lastig wanneer er niet van een blauwdruk voor een totaaltekst uitgegaan kan worden. Zo'n blauwdruk is op deze OP vanaf 18 mrt 2018 in enkele fases ontstaan.
Nadat Madyno op 21 mei een totaaltekst op de artikelpagina plaatste, deed ik hetzelfde op 24 mei met een (fors bewerkt) alternatief.  Op deze wijze is het voor potentiële bewerkers eenvoudig te zien wat de actuele stand van zaken is met betrekking tot beide alternatieven. --

Vanaf 24 mrt 2018 is er nu dertien keer een versie geplaatst (Bob.v.R 6x, Madyno 5x, Zanaq 1x, Brimz 1x) zónder een bespreking van de historisch belangrijke pythagoreïsche toetsenstemmingen/orgelstemmingen.  Dit ten koste van versies mét die toetsen-stemmingen (en de daaruit voortvloeiende aanpassingen van de intro en van de behandeling van pythagoreïsche stemmingen van de (7-tonige) 'zangladder').
Het belang van de toetsenstemmingen wordt door niemand betwist; alleen mag een tekst daarover kennelijk niet van mij afkomstig zijn (gezien het blok-verzoek).
Ik signaleer ten slotte nog dat eerder vandaag de 'Madyno-versie' voor een maand is beveiligd. Zonder enige motivatie. Door moderator Bdijkstra, die zes weken geleden op deze pagina meldde:  "Ikzelf zou hem graag voor minstens een paar jaar blokkeren, maar ik voel mij te betrokken." .   Zie 13 apr 2018 10:42 (CEST). --

@Bob.v.R:  Jouw zinsnede  "...doorgaat met editwarren totdat alle niet door hemzelf geplaatste bijdragen zijn verdwenen."  dient mijns inziens in de volgende zin gelezen te worden:
"...doorgaat met editwarren totdat de artikelonderdelen met de sterkste feitelijke onderbouwing en bronnen, en met de minste bezwaarpunten, in de hoofdnaamruimte staan; ongeacht door wie die onderdelen zijn geplaatst.".  Want het gaat toch niet om de poppetjes? --

Opheffen beveiliging

Stemming van Pythagoras
Verzoek tot opheffing van de beveiliging op Stemming van Pythagoras.
De momenteel beveiligde artikeltekst bevat meerdere serieuze gebreken, opheffing van de beveiliging zal het mogelijk maken die tekst te vervangen door een regulier bebronde tekst zonder die gebreken.  Het gaat om onder meer de volgende punten:
- Er ontbreek een bespreking van de pythagoreïsche stemmingen voor de 12-tonige octaafverdeling van toetsinstrumenten (vnl. orgels tot in de 16e eeuw) - een zeer wezenlijk deel van het onderwerp.
- In sectie 'Verschil met de reine stemming' staat een nergens toegelichte (en ook bronloze) tabel voor een hoogstwaarschijnlijk nooit toegepaste 21-verdeling van het octaaf.
- De term 'stamtoon' in de intro (3x) is dikdoenerij. De hier mogelijk bedoelde betekenissen (twee verschillende) zijn noch achter de link, noch elders te vinden. Zie de onderdelen IV, V en IX in 18 mei 18:23 CEST, deze lijst.
- De intro dient (net zo goed als de intro van Stemming (muziek)) aan te geven dat het bij door zangers en strijkers gebruikte 7-tonige ladders om iets geheel anders gaat dan bij 'vaste' 12-tonige octaafverdelingen. De huidige (poging tot) gedetailleerde uitleg in de intro, past veel beter in een aparte sectie.
- De inhoud van secties 2, 3, 4 en 5 vertoont een grote overlap, bijdragen van meerdere bewerkers zijn niet op elkaar afgestemd. Alle details van de pythagoreïsche majeurladder zijn goed in één schema te combineren.

@Brimz.  Wat zou voor mij voorop dienen te staan?
- Het naar beste kunnen de inhoud van artikelen verbeteren.
- Het als marionet reageren op oekazes van anderen.
Laten de blokvragers en beveiligingvragers proberen een versie in overleg te brengen waar wél consensus over te bereiken lijkt. Misschien uitgaande van Zanaqs "Er is weinig mis met de feiten" 16 apr 2018. (Over hoeveel WP-artikelen zal er 'consensus over de inhoud'  bereikt zijn?) --

Er zijn 7 diatonische en 12 chromatische 'pythagoreïsche' toonladders

Discussie over de tekst van dit artikel zal alleen zin kunnen hebben tussen gebruikers die het eens zijn over de basisfeiten. Met het in de koptekst genoemde als belangrijkste.  Welke ladders zijn dat precies?  Met 'sec' voor 9/8, en 'limma' voor 256/243 zijn de zeven diatonische als volgt door middel van opvolgende stapgrootten te beschrijven:
- sec sec limma sec sec sec limma (majeur, ionisch)
- sec limma sec sec sec limma sec (dorisch)
- limma sec sec sec limma sec sec (frygisch)
- sec sec sec limma sec sec limma (lydisch)
- sec sec limma sec sec limma sec (myxolydisch)
- sec limma sec sec limma sec sec (natuurlijk mineur, eolisch)
- limma sec sec limma sec sec sec (locrisch).
De twaalf chromatische pythagoreïsche ladders zijn op een vergelijkbare manier te beschrijven (alleen hebben ze geen eigen namen).
Let wel, ik noem dit als de achtergrond waar de artikeltekst niet mee in strijd zal moeten zijn. Maar het hoeft ook niet allemaal expliciet uitgeschreven.  Tot zover akkoord? --

Verbeterde startregels:
De stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming is de stemming van een zevental diatonische (7-tonige) toonladders en een twaalftal chromatische (12-tonige). Voor elk van die ladders geldt dat bij elke toon (op één na)de zuivere kwint erboven ook in die ladder, of in z'n voortzetting, voorkomt.  Ook geldt...

In diatonische sectie ook "limma" noemen.

Onderscheid "toonladder" (met theoretisch aangewezen toonhoogtes), naast "octaafdeling" (het halven-helen-patroon).

Argumenten tegen huidige beginzin en intro: herhalen.
Wenselijk om Reine stemming en Pyth. stemming beide te laten beginnen met een korte aanduiding van betrokken toonladders (alleen 2 diatonische, resp. 7 diatonische plus 12 chromatische). Met direct erna een beschrijving van de meest kenmerkende eigenschap (Rein: van de zeven laddertonen hebben er vijf een min-of-meer consonante (mooie, zwevings-arme, laagtallige) samenklank met grondtoon do;  Pyth.-a: alle (7 of 12) laddertonen kunnen op snaren gestemd via uitsluitend (ook al door Pythagoras nauwkeurig te realiseren) octaafstappen en kwintstappen);  Pyth.-b: van elke laddertoon - op één na - de kwint erboven ook in de ladder (of z'n voortzetting in het hogere octaaf) voorkomt.

Antwoord aan Brimz op OP:

Vraag aan Brimz: graag hier aangeven op welke toonladders volgens jou dan wél de aanduiding 'stemming van Pythagoras' van toepassing is (in afwijking van de door mij aangeduide 7+12); graag met bron(nen).

Stamtoon

Nog niet gebruikt:
"Duidelijk genoeg" wil nog niet zeggen dat het niet nóg wat beter kan. Die letternamen worden behalve voor absolute toonhoogten ook vaak voor relatieve toonhoogten gebruikt (in plaats van de eenduidige do-re-mi-namen). Zónder die (dus dubbelzinnige) letters lijkt het me ook te kunnen:

Stamtonen zijn de tonen van de majeurladder met de stemtoon als zesde toon - plus alle octaveringen van die zeven tonen.
De precieze toonhoogte hangt behalve van de stemtoon ook af van de gehanteerde stemming: rein, pythagoreïsch of gelijkzwevend (deel van de exacte 12-deling).
Bob.v.R spreekt niet alleen van stamtonen, maar daarnaast ook ervan afgeleide tonen (als basis voor Westerse muziek). Vraag: hoeveel afgeleide tonen zitten er in een octaaf? 10, of 14, of 5(in gelijkzwevende stemming)? Het "van de majeurladder" geeft voldoende aan dat met "tonen" bedoeld is: geluid van een bepaalde toonhoogte.

Concept voor de eerste zes intro-zinnen, 20 juni 2018

Concept
Stamtonen zijn de tonen van de majeurladder met de stemtoon als zesde toon, plus alle octaafverschuivingen van die zeven tonen. De precieze toonhoogtes hangen behalve van de stemtoon ook af van de stemming.  Anders gezegd: stamtonen zijn de tonen die (voor wat betreft de toonhoogte) horen bij de stamnoten op een notenbalk: noten zónder kruis of mol als voorteken. Ook: de tonen die horen bij de witte toetsen op bijna elk toetsinstrument.  De stamtonen worden benoemd met de eerste zeven alfabetletters, geschreven als hoofdletter of als kleine letter.

Bezwaren tegen de huidige introductie
- De huidige tekst beperkt zich tot de manier van aanduiden, van schrijven, en van het weergeven op de notenbalk van de bedoelde ('stam'-)tonen. Dat heeft heel weinig te maken met een encyclopedische beschrijving.
- Gesproken wordt van 'afgeleide tonen' en van 'overige tonen', ook weer zonder dat gezegd wordt wat daarmee bedoeld wordt. Zijn het álle toonhoogtes die niet onder de stamtonen voorkomen? Zo ja, dan gaat het, samen met de stamtonen, om het 'basismateriaal' van alle muziek, niet alleen de Westerse.
- Gezegd wordt dat de stamtonen beginnend bij C een diatonische toonladder vormen; dat is waar, maar hetzelfde kan gezegd van elk van de zes andere als begintoon.

Verderop in het artikel zou wat gezegd kunnen worden over het feit dat nogal wat bronnen geen verschil maken tussen de betekenis van de termen 'stamtoon' en 'stamnoot', dan wel erg onduidelijk zijn over dat verschil. Over de koppeling van de eerste zeven alfabetletters aan "vaste" toonhoogten (afgezien van stemtoon en stemming), zie bijvoorbeeld hier. --

Gelijkzwevende stemming

Zin 1 anders?

In de eerste zin lijkt me met name "de in het Westen gebruikelijkste stemming in 12 tonen per octaaf" weinig duidelijk. Want het gaat er niet om dat in het Westen de twáálf-verdeling het gebruikelijkst is, maar om de fine-tuning van het beperkte aantal mogelijkheden (vaak 12, maar ook andere verdelingen kunnen gelijkzwevend gestemd zijn).
Ik stel voor als beginzin:
Gelijkzwevende stemming of evenredig zwevende temperatuur is de naam voor de onderverdeling van het octaaf in gelijke toonstappen bij instrumenten met een beperkt aantal (veelal 12) tonen.

Waarom zou 7/5  de reine middentoon van het octaaf zijn?

In sectie "Grootte van intervallen" staat een vergelijking met 'de reine stemming'. Voor de zeven diatonische tonen is gekozen voor de Zarlino-verhoudingen (zie Reine stemming). En voor de vijf 'zwartetoetsentonen' lijkt een willekeurige keuze gemaakt voor viermaal 16/15 boven do, re, so , la (waarom niet 16/15 onder re, mi, la, ti ?), met een buiten de vijflimiet-stemmingen vallende 7/5 (waarom 'overmatige kwint' genoemd?).
Deze vergelijking met min of meer willekeurige reine intervallen lijkt geen relevante informatie toe te voegen aan het trefwoord; er ontbreekt een motivering voor juist dit twaalftal als zijnde de reine stemming.
M.i. dient gekozen tussen ofwel het helemaal weglaten van de vergelijking, ofwel alleen vergelijken met de (gangbare) 7-toons Zarlinoladder, zoals in de versies vóór 27 jan 2007.
Wie noemt hier bronnen waarin...........

NB Bij wijziging kiezen voor zwarte namen C#/Db, .....

In voetnoot aangeven dat er ook andere keuzes mogelijk zijn die wel ‘reine stemming’ genoemd worden. Van de twaalf tonen in de chromatische ladder komen alleen de secunde (9/8), de kwart (4/3) en de kwint (3/2) komen in alle varianten voor.

Stemming (muziek)

In de muziek wordt gesproken van stemming in twee situaties: bij vrije toonvorming en bij gebonden toonvorming.
- Bij zang en bij instrumenten met vrije toonvorming (veel strijk- en blaas-instrumenten) gaat het bij stemming om de keuze van toonhoogte-details ter verkrijging van de meest zuiver klinkende tooncombinaties. Theoretische modellen hiervoor zijn de stemming van Zarlino en de stemming van Pythagoras; beide worden reine stemmingen genoemd, hoewel "reine stemming" ook speciaal voor het gebruik van de Zarlino-ladder kan staan.
- Bij instrumenten met een beperkt aantal produceerbare toonhoogten (vaak twaalf per octaaf: piano, orgel en andere) slaat stemming op de theoretische keuzes voor die vaste toonhoogten.  Als uitgangspunt geldt hier dat de diatonische ladders (de tonen van het do-re-mi-...-do) op meerdere grondtonen te spelen is zonder onacceptabele afwijkingen van een reine stemming. In deze instrument-betekenis van stemming komt ook de term temperatuur voor.
[Hierna een opsomming van een aantal instrument-stemmingen; vergelijkbaar met, maar meer summier dan in de huidige lemma-tekst.]

Commentaar bij zin 6: "De onmogelijkheid blijkt al..."

De puzzel hoe ongewenste ('valse') tooncombinaties bij meerstemmige muziek zoveel mogelijk te vermijden zijn, wordt niet verhelderd door het geschrevene in zin 6.  Bedoeld zal zijn "tonen als bes ...", maar tonen met namen bes, aïs, fis, ges, komen in de reine stemming helemaal niet voor!
Als hier geen helder alternatief voor te vinden is, kan het veel beter weg. --

Reactie aan Zanaq

Stemming (muziek)

@Zanaq. Dank voor je verschillende commentaren.
Je aanvankelijke “prima en duidelijk” heb je genuanceerd tot “niet geweldig”, zie ik.  Je verdere opmerkingen brachten me ertoe om nogmaals, nu wat meer gericht, een serie anderstalige Wiki’s te bekijken (via de Duitse). Hoe meer je leest, hoe meer aspecten en (zij-)sporen er opdoemen. Beslis dan maar eens welke betekenis van de muziekterm Stemming, bovenaan dient te staan. Mogelijkheden zijn (zónder ordening hier!):
- Tuning practice, het ambacht van de (piano-)stemmer (de Zweedse en Italiaanse WP lijken exclusief voor deze betekenis te kiezen);
- Stemhoogte, de keuze van de kamertoon;
- Klarinet gestemd in Bes of A of Es of D.
- 'Instrumentstemming' als middentoon, getempereerd, welgetempereerd, Werckmeister,...., gelijkzwevend;
- 'Zangstemming', de 7-tonige modellen van Zarlino en Pythagoras
- Intonatie (ik zie ook de overlap in het gebruik van 'intonatie' en 'stemming')
- Wat mist hier nog?

Ik noemde hier bewust niet de keuze tussen het diatonisch toonstelsel en andere toonstelsels. Want dan gaat het (in mijn ogen) om een grovere keuze voor een toonstelsel, zonder dat de fine-tuning in beeld is ('hele toon' en 'halve toon' zijn niet in cents gedefinieerd). Ik vind (nog) geen bronnen die bij toonstelsels ook al van 'stemming' spreken. Terwijl de huidige beginzinnen van de intro zodanig ruim geformuleerd zijn dat (m.i.) een niet ingewijde lezer er wél ook de keuze voor een toonstelsel onder begrepen kan denken. Daarom zou ik die beginzinnen niet in deze vorm willen handhaven.

Wat zijn, en hoe groot zijn eventuele bezwaren tegen het volgende:
- Beginnen met 'zangstemming' en 'instrumentstemming' als in bovenstaand concept 11 april (met mogelijk tekstuele aanpassingen);
- andere betekenissen als 'tuning practice', stemhoogte (waaronder ik reken het "Daarbij wordt enerzijds de toonhoogte van een van de tonen vastgelegd" uit zin 2), klarinetstemmingen en intonatie,  erkennen als respectabele neven-betekenissen, in een aparte sectie aan het eind (of in een wat uitgebreide voetnoot?);
- aansluitend op het concept-deel, een bespreking van de vraag waarom er niet één stemming gewoon de beste is, waarom zóveel pogingen;
- dan de opsomming van instrumentstemmingen ongeveer als in de huidige versie.
--

Reactie op Bob:

@Bob.v.R.  Over 'de eerste twee zinnen':
Aan jou dezelfde vraag als één dag geleden (13 apr 2018 22:58 (CEST)) aan Zanaq. Als je de - nu driemaal - genoemde argumenten, leidend tot een wat langere beginzin-met-voetnoot, verwerpt, zou ik graag hier je tegenargumenten zien. Lijkt me passend in constructief overleg.
Als je niet méér zegt dan  "de huidige eerste twee zinnen zijn in orde"  lijkt het me logisch dat bij plaatsing van een tekst de wél beargumenteerde variant de voorkeur heeft.
En waarom niet het minder algemene 'toonhoogte-details', waar het bij de betreffende betekenis van 'stemming' specifiek om de fine-tuning, de nuances, gaat? --

Het overleg over de - algemeen als sterk voor verbetering vatbare - artikeltekst lijkt te zijn vastgelopen.  Zanaq stelt overtuigd te zijn ("het is wel juist") van het correct zijn van "... dat in de te benaderen reine stemming verschil is tussen noten als bes en aïs, fis en ges ...", maar er verschijnt hier (na drie weken) geen onderbouwing als gevraagd.
Een dergelijke onderbouwing is ook niet te geven, naar mijn mening, want noch in een 7-tonige 'zangladder' (Zarlino, Aristoxenos, Pythagoras), noch in een 12-tonige 'toetsenladder' (Pythagoras, middentoon, (wel-)getempereerd, gelijkzwevend) komt een onderscheid voor zoals in het notenschrift tussen de noten F-kruis en G-mol, dan wel als in de toontheorie tussen een met een halve toon (16/15 of 256/243) verhoogde vierde trap en de met zo'n halve toon verlaagde vijfde trap van de majeurladder.
Nu deze onderbouwing achterwege blijft, en bovendien in het overleg een aantal maal gesteld is dat dit lemma bedoeld te gaan over toonhoogte-nuances tussen ladder-varianten ("specifiek de relatieve toonhoogten in een toonstelsel"; de huidige twee beginzinnen noemen een heel veel ruimer kader), informeer ik hier naar eventueel thans nog bestaande bezwaren tegen plaatsing van de volgende variant van het voorstel van 11 april 2018, voorafgaand aan de nog te bewerken korte aanduidingen van de verschillende stemmingen voor een 12-tonige octaafverdeling.

Over "de eerste twee zinnen" (van versie 20 mei 2018 08:40).

1. In verband met stemmingen van de 7-tonige majeurladder (Zarlini, Aristoxenos, Pythagoras) wordt nooit over 'temperatuur' gesproken. Daar is tot nu toe mee ingestemd.
2. Het "vastleggen van de toonhoogte van een van de tonen" (keuze van stemtoon of grondtoon) komt in dit artikel niet aan de orde. Daar is tot nu tot ook geen voorstel toe gedaan.
Beide onvolkomenheden zijn geëlimineerd in de intro-versie 20 mei 2018 08:07. @nbsp; Maakt dat mij tot vandaal?

Over het "expliciet beargumenteerd":

- Waar staat beargumenteerd dat 'temperatuur' als algemeen synoniem voor 'stemming' gezien kan worden?
- Waar, dat het bij 'stemming' gaat om een ruimere opvatting van "de manier waarop de frequentie van tonen in de muziek gekozen wordt" dan wat valt onder het meer specifieke "de keuze voor bepaalde kleine nuances in toonhoogtes" ?
- Waar, dat het noemen in zin 2 van "wordt enerzijds de toonhoogte van een van de tonen vastgelegd" te maken heeft met de inhoud van het artikel?
Aanwijzen graag. --

Reactie aan Brimz

@Brimz. [Ik label hier de huidige versie als 'versie-B' (identiek met: Koornti aug. 2015) en de voorafgaande als 'versie-H']
- Over: "Er wordt gezegd dat er keuzes zijn ..." :  Dat 'keuze' ('gekozen wordt') staat al vanaf jan 2003 in de beginzin. Voor alle versies geldt dat de antwoorden op jouw "wat" en "waarom" pas verderop komen.  In versie-H gaan zin 2 en zin 4/5 over dat "wat" en "waarom".  Versie-B negeert ten onrechte volledig de betekenis van 'stemming' voor 7-tonige ladders.
- Over: "...gelijk termen voor de voeten gegooid als ..." :  Ja inderdaad, versie-H verwijst in zin 3 naar 'Zarlino', 'Pythagoras' en 'rein', en zin 6 naar 'diatonische ladders' (mét een simpele toelichting). Alle vier met verwijzingen naar artikelen waarin nadere uitleg staat (althans: zou behoren te staan, ik doe m'n best).   Dit artikel beoogt niet om die 'uitleggen' te dupliceren, alleen om een overzicht te geven op welke plaatsen dat begrip 'stemming' (in de betekenis van "bepaalde kleine nuances in toonhoogtes") een rol speelt. De vier vaktermen dienen hier dus alleen als doorverwijs-labels en lijken me daartoe prima geschikt.  Versie-B begint onnodig met de technische term 'frequentie' (in plaats van het simpeler 'toonhoogte'). En met het (voor mij) onbegrijpelijke "de manier waarop ...gekozen wordt" (in plaats van het simpeler 'de keuze voor'). --

Reactie op toegevoegde bron (Willi Apel, Harvard Dictionary of Music

@Brimz:   Jij hebt aan het artikel een verwijzing toegevoegd naar het lemma "Just intonation" uit Willi Apels Harvard Dictionary of Music 1969. Naar ik aanneem mede vanwege de slotzin: In just intonation the sharps are actually lower than the flats [see the table under Intervals, calculation of, first line under J].  Zoekend naar de achtergrond van die uitspraak (de 'table' is helaas niet te vinden) zie ik dat onder the complete system of just intonation verstaan wordt the infinite set of tones met afstanden  2^{0,±1,±2,…}  3^{0,±1,±2,…}  5^{0,±1,±2,…} tot een grondtoon.
Twee vragen:
- Kun jij aangeven welk deel van die infinite set de auteur rekent tot de 'sharps', en welk deel tot de 'flats' ?
- En kun je uitleggen hoe die opdeling in 'sharps', 'flats' en waarschijnlijk 'naturals', de Wikipedia-lezer duidelijk maakt dat met welke 12-verdeling van een piano-octaaf dan ook, de 'onmogelijkheid' bestaat om de zeventonige reine (Zarlino-)ladder op meer dan drie toonhoogten exact te laten klinken?
Zo nee, dan kan ik de toegevoegde bron niet zien als ondersteuning van de huidige tekstzin 7.

N.B. Deze Harvard Dictionary, alsook deze bron: Joe Monzo, Just Intonation, lijken me thuis te horen in de sectie "Zie ook" van "Reine stemming". --

De versie van hesselp geeft bij de volgende bezwaren:

• Stemming zou gaan om een keuze, maar er wordt niet uitgelegd welke keuzes er zijn en wat de voor- en nadelen van elke keuze zijn. Beter is te stellen dat stemming een manier waarop de keuze voor een bepaalde frequentie wordt bepaald.
• Wat zijn "kleine nuances"? Er wordt niet uitgelegd hoe die nuances zich manifesteren.
• Er wordt gesproken over vrije en gebonden toonvorming, maar er wordt niet uitgelegd wat dat betekent.
• Bij vrije toonvorming wordt opnieuw gesproken over keuzes, maar worden die keuzes niet gegeven.
• Er wordt gesproken over toonhoogte-details, maar welke dat zijn wordt niet vermeld.
• Voorbeelden die worden genoemd, worden verderop ook al in het artikel benoemd.
• Er wordt in noot 2 een Engelstalige verantwoording gegeven voor het Nederlandse woord stemming.
• Stemming in de muziek is al langere tijd het zoeken naar een compromis. Dat blijkt niet uit de versie van hesselp.
• De versie van hesselp vertelt slechts over toonhoogtes, maar mist informatie te geven over de toonafstanden, iets dat bij stemming juist belangrijk is.

Kortom, de versie van hesselp toont voldoende gebreken om deze niet te publiceren. Groet, Brimz (overleg) 8 jun 2018 13:44 (CEST)

Weerlegging van de negen bezwaarpunten van Brimz (8 juni).
1e punt.  Beide versies (Brimz en Hesselp) spreken in zin 1 van 'gekozen' / 'keuze'. Om welke mogelijkheden het gaat wordt in beide versies op vergelijkbare wijze opgesomd. Wat Brimz bedoelt met het vreemde "de manier waarop de keuze ... wordt bepaald" is niet te achterhalen: de Brimz-tekst zegt er niets over.
2e punt.  Het 'kleine nuances' staat in versie Hesselp om aan te geven dat het (bij de hier bedoelde betekenis van de term 'stemming') niet gaat om de keuze voor een toonstelsel: de verdeling van (haast altijd) een octaaf in 'ongeveer halve' en 'ongeveer hele' toonafstanden. Die nadere toelichting kan eenvoudig toegevoegd, en is in versie Brimz nog sterker gewenst.
3e punt.  "Vrije toonvorming" is niet onbekend in teksten over muziek; het wordt direct in de volgende zin toegelicht. "Gebonden toonvorming" staat daar tegenover en komt in het tweede punt aan de orde. Het slot van zin 1 kan desgewenst uitgebreid tot: "bij muziek met 'vrije toonvorming' en bij instrumenten met vaste toonhoogten."  
4e punt.  Direct in de volgende zin staan keuze-mogelijkheden vermeld, met links naar waar daar verdere uitleg over te vinden is.
5e punt.  Bij "toonhoogte-details" wordt direct erna verwezen naar de modellen van Zarlino en Pythagoras; nadere uitleg hoort thuis in de gelinkte artikelen.  
6e punt.  Het is helemaal niet ongewoon, en vaak zelfs wenselijk, dat zaken die in de intro genoemd worden ook verderop nog een keer voorkomen.
7e punt.  Nou en? Precies hetzelfde komt voor bij de enige noot in versie Brimz.
8e punt.  Bij stemmingen van de diatonische (7-tonige) ladders gaat het om 'het mooiste klinken' en totaal niet om een compromis. Bij stemmingen van de 12-tonige octaafverdeling zijn er, afhankelijk van hoe en waar die 'stemming' toegepast gaat worden, talloze keuzes (tempereringen, temperaturen) mogelijk. De eventuele behandeling van de (zeer specialistische) vraag in hoeverre die keuzes soms het karakter hebben van een compromis, lijkt me in 'Chromatische toonladder' thuis te horen.
9e punt.  Brimz draait de zaak volledig om. Bij álle soorten stemmingen die genoemd worden, gaat het - vanzelfsprekend - over relatieve toonhoogten (toonafstanden, frequentie-verhoudingen). Het is juist zin 2 van de Brimz-versie die onjuist geformuleerd is. Want bij (bijvoorbeeld) de Zarlino-stemming gaat het uitsluitend over toonafstanden en helemaal niet over "enerzijds de vastlegging van één bepaalde toonhoogte". Geen enkele 'stemming' (in de hier bedoelde betekenis) is afhangkelijk van de keuze van een (absolute) kamertoon in Hz. --

OP Stemming (muziek), aan Zanaq

Als opening zou ook kunnen: "Stemming is in de muziek, onder meer[voetnoot], de keuze voor kleine nuances ..." Hoewel ik sterke voorkeur houd voor het wat vriendelijker: "Bij stemming gaat het in de muziek om ...". Jammer dat je geen voorbeelden geeft van html-wikisyntax-situaties in 'Concept-tekst 11 april'. --

Voorstel voor beginzinnen Stemming (muziek), 22 juni 2018

Concept:
In de muziek gaat het bij stemming [twee voetnoten als hier] om de precieze onderlinge toonafstand van:

• de tonen van de diatonische toonladder zoals die door zangers, strijkers en soms blazers gekozen worden;  en
  
• de tonen van (klavier-)instrumenten met een beperkt aantal mogelijkheden per octaaf, in deze betekenis ook: temperatuur.
  

Gevolgd door secties met kopjes:
Stemmingen bij vrije toonvorming
'Vrije toonvorming' wil zeggen dat elke toonhoogte-nuance gekozen kan worden, om intervallen en samenklanken zo mooi mogelijk (dat wil meestal zeggen: met zo min mogelijk zwevingen) te laten klinken. [Plus noemen van en linken naar: reine stemming en pythagoreïsche stemming.]
Stemmingen van instrumenten met vaste toonhoogten.
Uitgangspunt is hier haast altijd dat de diatonische ladder (de zeven tonen van het do-re-mi-...-do) te spelen moet zijn op meerdere grondtonen, zonder vals klinkende afwijkingen van de reine stemming. [Plus de opsomming van bekende soorten, met uiteraard links.]   Einde concept.

Toelichting
Bezwaren tegen de huidige tekst zijn:
- Niet gewezen wordt op het sterk uiteenlopen van de twéé hier aan de orde zijnde betekenissen van 'stemming';
- Zin 1 laat ten onrechte de mogelijkheid open dat het hier ook zou gaan om de keuze voor een toonstelsel, terwijl in feite alleen gaat om kleine nuances in de afstanden tussen laddertonen.
- Zin 2 stelt na het 'enerzijds' ten onrechte dat 'stemming' hier ook de toonhoogte-keuze van een grondtoon zou inhouden.
- De inhoud van de zinnen 3-8 betreft alleen de tweede betekenis, waarbij in babbeltaal geen relevante encyclopedische informatie gepresenteerd wordt.
- Zin 5. De "in de westerse muziek gebruikte toonstelsels" (met zeven-tonige toonladders) kennen geen "verdeling van een octaaf in twaalf tonen".
- Zie de in de sectie Ideaal gemaakte opmerking over de "ideale" muzikale stemming in zin 5.
- Eerdere discussie over zin 7 heeft niet geleid tot verduidelijking van de relatie tussen de reine stemming (van bepaalde diatonische ladders) en "tonen als bes en aïs,...".
- Zin 9 spreekt ook weer van 'toonsystemen' hoewel het in de opsomming eronder om stemmingen binnen de toonvoorraad van een toonsysteem (toonstelsel) gaat.
--

Didymisch komma

Didymisch komma

De huidige tekst bevat nogal wat fouten.  Zin voor zin:
Zin 1. "als verhoudingsgetal" is een onzinnige toevoeging;
"pythagoreïsche" moet vervallen (de ladder van Pythagoras beval geen 'kleine hele toon').
Zin 2. De zin als geheel valt niet te interpreteren: "het verschil als verhouding"?   "de trillingsgetalLEN van EEN toon"?   "verschillende (zangstemmingen of instrument-)stemmingen"?
het pythagoreïsch komma valt waarschijnlijk niet onder wat hier mogelijk bedoeld is met: komma in het algemeen; een link naar het lemma Komma (muziektheorie) lijkt niet onlogisch.
Zin 3. De toevoeging "in de stemming van Pythagoras" is misplaatst, weg;
"natuurzuivere" heeft geen eigen lemma en ontbreekt in het gelinkte lemma;
"reine intervallen volgens de rij der harmonischen": alleen intervallen uit zo'n rij, of ook intervallen tussen termen van zo'n rij?
Zin 4. "Het didymisch komma is....hetzelfde voor beide tertsen,...."

Zin 1: Het didymische komma (komma van Didymus), ook wel syntonisch komma genoemd, is het kleine verschil als verhoudingsgetal tussen de pythagoreïsche grote hele toon (9:8) en de pythagoreïsche kleine hele toon (10:9) en is dus gelijk aan 81:80 ook te zien als 1,25% ofwel 21,5 cents, een vijfde van een halve toon. Zin 2: Met komma (niet mbt het pyth.komma) wordt algemeen in de muziekleer het kleine verschil aangeduid tussen? als verhouding van de trillingsgetallen van een toon in verschillende stemmingen. ?? stemming van een instrument met vaste toonhoogten? of het verschil tussen de stemmingen van Pythagoras en Zarlino voor de een diatonische (7-toons-) ladder. Zin 3: Het didymische komma is in de stemming van Pythagoras (de toevoeging “in de Stemming van Pythagoras” is hier niet ter zake, en dus foutief) het verschil tussen de natuurzuivere,(deze term heeft geen eigen lemma, en komt niet voor in het gelinkte lemma) reine intervallen (volgens de rij der harmonischen (alleen UIT zo’n rij, of ook TUSSEN termen ervan ?), en de door Pythagoras beschreven en berekende toonhoogten. Bedoeld lijkt te zeggen dat de ladder van Pythagoras drie tonen bevat die een factor 81/80 hoger zijn dan in de ladder van Zarlino. In beide ladders zijn de toonafstanden tot de grondtoon reine (‘heeltallige’) intervallen Zin 4: Het didymische komma is, zij het in verschillende richtingen,(Zowel terts, sext als septiem is ‘bij Pythagoras’ het grootst; ik kan geen bronnen vinden waarin verklaard wordt wat in de muziekleer een ‘pythagoreïsche kleine terts’ en een ‘pythagoreïsche kleine sext’ genoemd zou worden, en waar die in de muziek voorkomen. Dus vooralsnog niet noemen in dit lemma. ) hetzelfde voor beide tertsen, de beide sexten en de grote septiem. Deze verhouding bedraagt 81/80, of 80/81, afhankelijk van de richting (te hoge of te lage toon). De volkomen consonanten zijn in de stemming van Pythagoras wél natuurzuiver gestemd.

De drie secties na de intro geven in een zeer ver uitgesponnen vorm geen informatie die ook al in (een kleine variant van) de huidige intro voorkomt. Wie wil ze (zonder of met de regels over kleine terts en kleine sext?) toch handhaven? Waarom?

Verweer aan moderatoren

Weerwoord, aan oordelende moderatoren.
Op twee zinnen uit het verzoek van Madyno mij op twee lemma’s te blokkeren, ga ik hier in:
A. "Ook is hij niet bereid behoorlijk aan overleg deel te nemen."
Commentaar hierop (weerlegging hiervan) is in feite onmogelijk omdat in geen van beide OP’s concrete voorbeelden worden aangewezen; mede gezien de lengte van beide overleggen.
Ik meen me steeds gehouden te hebben aan het zo duidelijk mogelijk inbrengen van mijn argumenten (dat kan wel eens ruimte nemen, ja), en het inhoudelijk reageren op bijdragen van anderen.
Andersom wil ik over de wijze van overleggen door Madyno opmerken dat zijn reacties zich nogal eens beperken tot verzuchtingen als  "Enzovoort, enzovoort, ..." (28 mrt);   "Ik wordt hier heel moe van. Heeeeeelp."(1 apr);   "Als je geen verstand van muziek hebt,..." (9 apr);   "Ik heb geen zin hier uit te leggen dat 1+1=2." (9 apr).  En in bewerkingssamenvattingen: "DIT MOET OPHOUDEN!!!!!" (9 apr);  "Daar gaat-ie weer" (10 apr) ).
Reacties op vragen en argumenten worden mede middels zulke verzuchtingen, nogal eens ontweken. Één actueel voorbeeld:
Op mijn vraag aan Madyno (9 apr 22:39, herhaald 10 apr 15:37 en 19:52) luidend:  "Als je wat inhoudelijks aan de korte lemma-versie toe te voegen hebt, leg dan hier uit wat dat is; zónder die meerduidige toonnamen."   volgt helaas geen antwoord, maar een blokkadeverzoek.

B. "...de bron toegevoegd waarop deze passage berust, maar Hesselp verwijdert desondanks systematisch deze passage."
Het gaat hier om de kern van de onenigheid; dat het 'technisch' wordt kan ik niet vermijden. Zowel in de 'toegevoegde bron' als in 'deze passage' komen aanduidingen voor toonhoogten ('toonnamen', als Bis, Eis, Ais,..., C, F) voor die in muziek-teksten op een niet eenduidige manier gebruikt worden (als namen voor noten in het notenschrift zijn ze wél eenduidig, maar met intervallen die aangeduid worden met Eis-F en Bis-C kunnen toonafstanden bedoeld zijn van plus 24, min 20 en min 41 cent, en waarschijnlijk nog andere). Het gebruik van die toonnamen op plaatsen - zoals hier - waar het om een exacte waarde gaat, is daarom voor lezers verwarrend, en zal (als er tenminste iets informatiefs mee gezegd wil worden) vermeden kunnen worden.
Zolang de informatieve waarde van de bedoelde passage niet duidelijk gemaakt is zónder gebruik van meerduidige toonnamen, meen ik er goed aan te doen die passage uit de artikeltekst te blijven verwijderen.

aan Bob.v.R

Jammer dat dit overleg ook weer de mist in gaat. Aan wie zou het liggen?De eerste twee zinnen luiden: "Stemming – soms temperatuur genoemd – is de manier waarop de frequentie van tonen in de muziek gekozen wordt. Daarbij wordt enerzijds de toonhoogte van een van de tonen vastgelegd en anderzijds de toonafstanden tussen die toon en de overige gebruikte tonen."In de eerste twee zinnen wordt kernachtig aangegeven waar het over gaat. Ik zie geen argumenten van Hesselp waarom dit incorrect zou zijn. De enige in dit overleg die af wil van de eerste twee zinnen is Hesselp (herkenbaar). Ik heb ook aangegeven dat na de genoemde zinnen een toevoeging van Hesselp zou kunnen volgen (ik stel me dus constructief op, maar ja), zoals door hem voorgesteld, met 1 kleine aanpassing ("toonhoogtes"). Ik heb dus de toevoeging van Hesselp niet verworpen; nee, het is Hesselp die zonder argumentatie zaken verwerpt. Normaalgesproken zouden we er nu uit zijn, iedereen tevreden. Maar nee, Hesselp gaat drammen. Bob.v.R (overleg) 14 apr 2018 23:16 (CEST)

Over: "...het is Hesselp die zonder argumentatie zaken verwerpt."
Mijn argumentatie mbt. de eerste twee zinnen staat in:
- bijdrage 11 apr 2018 21:51 (CEST), punt f
- bijdrage 12 apr 2018 23:20 (CEST), de vier zinnen beginnend bij: "Ik noemde hier bewust niet ..."
- bijdrage 13 apr 2018 22:38 (CEST), de zeven zinnen beginnend bij "In zin 1 vind ik ...".
Mijn argumentatie mbt. "toonhoogte-details / toonhoogtes" staat in:
- bijdrage 14 apr 2018 22:25 (CEST) laatste zin.

Over: "In de eerste twee zinnen wordt kernachtig aangegeven waar het over gaat."
- het artikel gaat niet over (geparafraseerd) "het vastleggen van de toonhoogte van een van de tonen";
- het artikel gaat over nuances/details/intonatie van de toonhoogte in twee situaties, dat wordt niet 'kernachtig aangegeven' door het zeer algemene: "de toonafstanden tussen die toon en de overige gebruikte tonen" .

OP Stemming (muziek), aan Zanaq

Als opening zou ook kunnen:
"Stemming is in de muziek, onder meer[voetnoot], de keuze voor kleine nuances ..."
Hoewel ik sterke voorkeur houd voor het wat vriendelijker: "Bij stemming gaat het in de muziek om ...".
Jammer dat je geen voorbeelden geeft van html-wikisyntax-situaties in 'Concept-tekst 11 april'. --

OP Stemming (muziek), aan Zanaq

Op mijn bewerkingssamenvatting: "Het betwistbare “in pricipe wel correct” met betrekking tot “dat in de...reine stemming verschil is tussen noten als bes en aïs” wordt niet onderbouwd.", reageert Zanaq met: " - maar het is wel juist".  Zanaq stemt zodoende in met mijn constatering dat op deze OP de bedoelde onderbouwing (dan wel een gedetailleerde verwijzing ernaar) ontbreekt.
Zolang de onzinnige bewering over een verschil tussen (noten dan wel tonen) bes en aïs in de reine stemming [Wordt met 'reine stemming' verwezen naar de stemming van de 7-tonige Zarlino-ladder die voor zang een strijkersmuziek als ideaal gezien wordt, dan wel naar de stemming die voor een 12-tonig klavieroctaaf gebruikt wordt, meestal met als doel zo ruim mogelijk te kunnen moduleren? In geen van beide gevallen is er een 'bes' of een 'aïs' aan te wijzen.] teruggeplaatst wordt, zal ik dit blijven verwijderen. Wellicht komt er dan een moment waarop moderatoren in hun wijsheid een beslissing zullen nemen.
(PS. Niet eerder dan 26 april zal ik deze pagina weer lezen.) --

OP Reine stemming
Graag de mening van volgers van dit artikel over het volgens Zanaq te technisch en subtiel zijn ter vermelding in de intro, van de dubbelrol van 'reine stemming' (in relatie tot een 7-toons diatonische ladder dan wel een 12-toons chromatische ladder, alleen in de eerste situatie gaat het om 'kleine' getallen). --

Arbcom-zaak

Geachte Arbitragecommissie, hierbij verzoek ik u om in te grijpen in het vertoonde gedrag door gebruiker:Hesselp. Zoals eerder door mij opgemerkt vertoont het gedrag van Hesselp de volgende probleempunten:

• gebruiker toont geen oprechte bereidheid tot samenwerken
• op vrijwel alle artikelen waar gebruiker zich in mengt is zijn enige doel het doordrukken van een volledig door hemzelf geschreven tekst
• ieder overleg met deze gebruiker ontaardt in een niet eindigend vraag-en-antwoordspelletje
• altijd en zonder uitzondering zoekt deze gebruiker naar mogelijkheden voor het nodeloos compliceren van onderling overleg
• de gebruiker wenst een goedwillende lezer te confronteren met zo onbegrijpelijk mogelijke teksten

Voor toelichting bij het derde en vierde punt: zie bijvoorbeeld Overleg:Stemming van Pythagoras en Overleg:Reine stemming.

Deze gedragingen gaan gepaard met editwars, zie de bewerkingsgeschiedenis van de volgende artikelen: Stemming (muziek), Reine stemming, Stemming van Pythagoras en Pythagoreïsch komma. Deze editwars worden gestart en volgehouden ondanks het duidelijk ontbreken van consensus omtrent de wijzigingen die de gebruiker tracht door te drukken (zie ook de overlegpagina's bij de betreffende artikelen).

Ik heb deze gebruiker onder andere hier en hier nog eens expliciet attent gemaakt op de conflicten die hij keer op keer veroorzaakt, door zijn niet op samenwerking gerichte attitude. Dit had helaas geen merkbaar effect.

Bij het laatste blokkadeverzoek tegen Hesselp werd ook door een moderator de suggestie gedaan om te vragen om een uitspraak van de ArbCom.

Mijn verzoek aan de arbitragecommissie is dat aan deze gebruiker niet meer wordt toegestaan om wijzigingen uit te voeren op de artikelen. Hij kan de overlegpagina's gebruiken om medestanders te vinden van door hem voorgestelde modificaties. Indien hij daarin slaagt dan kunnen de modificaties worden uitgevoerd door andere gebruikers, d.w.z. niet door Hesselp.

Met vriendelijke groeten, Bob.v.R (overleg) 15 jun 2018 05:06 (CEST)

Verweer

Verweer  Het zal geen verrassing zijn dat ik begin met op de vijf door Bob.v.R genoemde punten, te zeggen dat mijn bedoeling geen andere is dan fouten/onduidelijkheden/doublures/wijdlopigheden/etc. weg te halen dan wel door wat (m.i.) beters te vervangen.  Niet door overvallen direct op de artikelpagina maar steeds (zou er uit m'n begintijd een uitzondering te vinden zijn?) door concepten, voorstellen en argumenten te tonen op de OP's.  Uit de daarop volgende 'wisselingen' houd ik de indruk over dat er bij de reagerende gebruikers nogal wat weerstand is tegen het ter-discussie-stellen van bestaande tekst(-onderdelen). Op argumenten en concepten van mijn kant wordt heel beperkt inhoudelijk ingegaan (met alleen "onleesbaar" e.d. kan ik niks).  Ja, dan blijf ik dóórvragen; en als ik daar niets meer op terughoor ga ik over tot plaatsing, óók als drie of vier anderen alleen maar 'tegen' zeggen.
Op het tweede punt ('doordrukken volledig zelfgeschreven tekst') ga ik nader in, het betreft het ook door Bob.v.R genoemde viertal lemma's.
- Pythagoreïsch komma De versie van 12 en 13 april verschillen in mijn 6 zinnen intro ipv. de Definitie-sectie.
- Stemming (muziek) Beide versies van 8 juni verschillen in de 6 (eerder 8) intro-zinnen.
- Reine stemming De tekst heeft vanaf mrt 2016 meerdere wijzigingsronden gekend waar ik bij betrokken was; het verschil tussen beide versies van 12 juni betreft in feite alleen de intro en de eerste sectie.
- Stemming van Pythagoras De enige van de vier waar ik inderdaad zowat de hele tekst herschreef, door toevoegingen van velen was het geheel door de jaren heen nogal onsamenhangend geworden. Een sectie over de historisch belangrijke pythagoreïsche (3-limiet) 12-tonige octaafverdelingen ontbrak geheel, met in plaats daarvan in de sectie 'Verschil met de reine stemming' een nu door geen van de overlegdeelnemers meer verklaarbare 21-tonige verdeling. --

Iedere beoordelaar van dit blokkade-verzoek zal weten dat het bij elke bwo om twéé kanten gaat. En ik neem ook aan dat gekeken wordt naar de aangevoerde argumentatie bij mijn bewerkingen, vergeleken met het zo goed als steeds ontbreken van inhoudelijke tegenargumenten bij evenzoveel terugdraaiingen.
Het beeld van de 9 beveiligingen (van vier muziek-artikelen sinds maart 2018) kan aangevuld met de vermelding dat het huidige blokkadeverzoek is voorafgegaan door drie afgewezen blokkadeverzoeken in twee maanden: 13 apr 2018; 23 mei 2018; 12 juni 2018.
En kan verder aangevuld met de observatie dat de woordkeus van Bob.v.R in zijn arbcom-verzoek ("geen oprechte bereidheid",  "doordrukken",  "vraag- en antwoordspelletje",  "nodeloos compliceren",  "zo onbegrijpelijk mogelijke teksten"),  een wat andere kijk op de kwestie geeft dan zijn
    "Hesselp weet inderdaad veel van het onderwerp, en de deskundigheid lijkt schaars te zijn."
in zijn bijdrage op deze pagina van 16 apr 2018 01:18 (CEST).

Opmerking In principe zou alle tekst op een Wikipedia-pagina voor iedereen begrijpelijk moeten zijn, wanneer men deze wil bewerken. Het tussenvoegen van allerlei code in een tekst, kan dat bemoeilijken. Daarom kan ik best begrijpen dat men zich beklaagt over het feit dat je zaken als "& thinsp;" of "& nbsp;" gebruikt. Mensen die geen verstand van deze codes hebben, kunnen daardoor ontmoedigd raken om die tekst te bewerken. Ik zou je daarom willen aanmoedigen om die codes enkel te gebruiken waar dat noodzakelijk is, zoals bij 10.000& nbsp;km2. Het gebruik van
kan nuttig zijn. Maar ook alleen daar waar dat noodzakelijk is.Een vuistregel die je zou kunnen hanteren is: "Wanneer er diverse gebruikers zijn die zich beklagen over iets, en je geen medestanders kunt vinden/of je niet te hulp schieten, dat je dat dan als consensus op kunt vatten". Ik snap je beweegreden, maar je staat (zo te zien) alleen. Daarom het verzoek om je te voegen naar de hierboven gegeven adviezen. • Rodejong ✉️ 👀 → 🕘 28 jun 2018 12:43 (CEST)

@Rodejong. Het is heel plezierig om te zien dat een 'buitenstaander' moeite doet om nader in te gaan op de kritiek die ik herhaaldelijk krijg op het gebruiken van een tweetal opmaak-details. Dank! Het brengt me ertoe om mijn handelwijze nog nader toe te lichten:
- & thinsp; (eerder gebruikte ik vaak & nbsp; omdat ik die 'thin'-vorm niet kende en/of het verschil me niet goed duidelijk was). Wat extra spatie tussen twee zinnen kom je in boeken regelmatig tegen. (In oudere boeken misschien vaker?) Zou het kunnen dat dit gebruik sinds het met een tekstverwerker opmaken van teksten in onbruik isgeraakt omdat daar vaak automatisch ónbedoelde dubbele spaties weggehaald worden?
Wat extra spatie rond een citaat (of iets vergelijkbaars, met of zonder dubbele aanhalingstekens) lijkt de leesbaarheid (soma of vaak?) ten goede te komen. De citaat-achtige invoegingen in de zinnen 3, 5 en 6 van de Opmerking door Rodejong hierboven zijn daar een goed voorbeeld van.
Kun je meer voorbeelden noemen waar "& thinsp;(zonder spatie)" volgens jou noodzakelijk/gewenst is? Zie je de bredere spatie vóór het voegwoord 'en' tussen de beide verschilpunten in de beginzin van deze versie van het artikel 'Klavarskribo' daaronder vallen?
- br (tussen < en >) Het gebruik van dit teken om binnen een alinea op een nieuwe regel te beginnen wordt hier in 'Help:Tekstopmaak' precies in de geciteerde woorden genoemd. Bij ingesprongen tekstgedeelten is er een alternatief (zie na zin 7 in de 'Opmerking' hierboven, en zie hier in een bijdrage door Madyno), zónder inspringing ken ik geen alternatief. Overigens lijkt me bij sterk meervoudige inspringen, het gebruik van 'br' makkelijker.
Het binnen een alinea overgaan op een nieuwe regel lijkt me op overlegpagina's niet zeldzaam, op artikelpagina's geldt inderdaad het omgekeerde: je moet flink zoeken om voorbeelden te vinden. Kan iemand iets zeggen over wat hier de achtergrond van kan zijn? Vergis ik me als ik stel dat het 'vroeger' heel gebruikelijk was?

De 'vuistregel' die je me aanbeveelt klinkt in zekere zin natuurlijk redelijk, maar die is toch wat minder vanzelfsprekend toepasbaar in situaties die niet helemaal zonder reden de indruk kunnen geven dat er sprake is van (ik bedoel dit natuurlijk heel in het algemeen) het iemand zo lang mogelijk dwars willen zitten. --

Bij de slotzin van Brimz:
Als er meerdere mensen tegen me zeggen dat ik beter x [zeggen dat de aanduidingen A, Aïs, As, B, Bis, ..., G, Gis, Ges in de muziek en in teksten over muzieknotatie niet voor noten gebruikt worden] kunt doen dan y [die aanduidingen wel ook voor noten gebruiken, ondersteund door bronnen], dan kan het óók zo zijn dat die 'meerdere mensen' in het verleden nogal wat bewerkingen in de betreffende muziek-artikelen gedaan hebben en er aan moeten wennen dat gesteld wordt dat delen daaruit niet goed te onderbouwen zijn.

- Over: &thinsp voor wat meer witruimte tussen zinnen.
Doel van de in boeken (niet alleen Nederlandse) soms voorkomende extra witruimte tussen zinnen is: wat meer leesgemak, betere leesbaarheid. Waarom zou dit in de 'Wikipedia-omgeving' minder relevant zijn (Trewal zegt: 'niet relevant')? Er zijn echter kennelijk redenen om het in Wikipedia-teksten niet toe te passen. Kent iemand daarvoor een andere dan de automatische controle op ónbedoelde dubbele spaties?
- Over: &thinsp voor wat meer witruimte voor en na een citaat (of iets vergelijkbaars, met of zonder dubbele aanhalingstekens).
Het leesgemak (door betere zichtbaarheid van de zins-structuur) zal met wat meer witruimte iets groter zijn; zie bijvoorbeeld zin 4 van Trewal, speciaal ná het afsluitende "-teken (hierboven, 1 juli).
Het resultaat van de door Rodejong geplaatste spaties vóór en na gedeeltes tussen aanhalingstekens (zin 3, 28 juni) is een bredere witruimte dan wat ik nogal eens creëer met 'spatie-plus-thinspace'. Ook zonder de door Rodejong geplaatste spaties zou de resulterende witruimte niet kleiner zijn dan in andere gevallen met 'spatie-plus-thinspace'.
Kan Rodejong uitleg geven bij zijn voor mij niet te begrijpen: [omdat] ik ook niet echt kan zien waarom dat nodig zou zijn, anders dan het aan elkaar binden van twee stukjes tekst.? (slot, 1 juni)
- Over: <br> of <br />
Op mijn verwijzing (30 juni) naar 'Help:Tekstopmaak' en op Rodejong's "voor mij geen probleem", zie ik geen commentaar. --

e (mathematics)

One more, with the limit hidden in the derivation.
For every exponential function $f$ and all of its domain values $t$, with $s$ the constant value $f/f'$:   $f(t+s)/f(t)$ = $e$ .

In other words: an asymptote-directed translation of an arbitrary exponential curve by its 'subtangent', equals a transverse stretching/shrinking by factor $e$ .

(Edit summary) Number e is closely connected with every exponential function.

At least one reference that clearly and directly supports this characterization is required. Ideally, this reference should be a secondary source, showing that the characterization you gave is one that is widely used and accepted, like the others. Sławomir Biały (talk) 16:28, 27 April 2018 (UTC)

@Sławomir Biały and Joel B. Lewis ('uncited').   About references and sources:
Secondary sources of the 'alternative-6' can be found in descriptions of exponential processes (e.g. radioactive decay). As in WP:exponential decay sentence 5-6: "The exponential time constant (or mean life time or life time, in other contexts decay time or in geometry subtangent) [...] τ is the time at which the population of the assembly is reduced to 1/e times its initial value."   Putting e in front you get essentially:  "The number e shows up as constant growth/decay factor over the life time (f/f' ) of an arbitrary exponential process (f) ".

As more primary sources, focussing on the role of the number e in all exponential processes (continuous growth/decay), I mention three articles (in Dutch, in magazines on mathematics for teachers):
- Euclides (Netherlands) 1998/99, vol. 74, no 6, p.197/8
- Wiskunde & Onderwijs ('Mathematics and teaching', Belgium) 2001, vol. 27, no 106, p. 322-325
- Euclides 2012/13, vol. 88, no 3, p. 127/8 .

This relation of 'alternative-6' with the well known exponential decay seems appropriate for a footnote.

DarelRex(?) 14:20, 26 September 2006 (UTC)
e is also relevant to measuring the difference between linear growth and exponential growth. If the doubling period for a process of exponential growth is estimated by linear approximation, the actual growth factor will be e after that time.

I started to bring in the radioactive decay timing example you suggested, but it did not seem to be popular with the other editors. Silly rabbit 16:22, 23 June 2007 (UTC)

Pi is the ratio between circumference and diameter shared by all circles. It is a fundamental ratio inherent in all circles ... e is the base rate of growth shared by all continually growing processes. e lets you take a simple growth rate (where all change happens at the end of the year) and find the impact of compound, continuous growth... e shows up whenever systems grow exponentially and continuously: population, radioactive decay, interest calculations."WIKIPEDIA IS NOT A TEXTBOOK Antimatter33 (talk) 10:53, 11 June 2014 (UTC)

This approach can help to clarify the importance of e, and the connection with every exponential proces (about as the connection between pi and the circle)

@D.Lazard. Quite interesting to see your variant/modification of the first alt-6-version.
Rewriting my text into your format, I get:
If $f(t)$ is any solution of the differential equation  $y'=y/s$,  then for all $t$
.
a. My choiche of t instead of x has to do with my mixed background in physics and mathematics. In my view, an exponential function is mostly a function of time, so t. But if there are better arguments for x, excellent. The same for $f(x)$ instead of the sufficient (but still less usual?) $f$.
b. Instead of 'for all t ' and 'for all s ' in my version, you have t = 0 and s = 1.
This leads to the question: is the general case more or less difficult to grasp for a reader than the special case? (And in between there are the cases with only t=0 and with only s=1 as well.) I don't comment on this question at the moment. Only this:
c. The solutions of your differential equation are of the type  a exp(x) , not a quite common type of exponential function, I think. --

{{talkquote|If {{math|''f''(''t'')}} is an exponential function, then the quantity $f(t)/f'(t)$ is a constant, sometimes called the time constant (it is the reciprocal of the exponential growth constant or decay constant). The time constant is the time it takes for the exponential function to increase by a factor of 'e': $f(t+\tau )=ef(t)$.}}

Thoughts? Sławomir Biały (talk) 19:55, 28 April 2018 (UTC)

@Sławomir Biały.  A few remarks on your proposal.
i. On "..then the quantity $f(t)/f'(t)$..".  Why 'quantity'? why not 'quotient'? Even better: simply "..then $f(t)/f'(t)$.." .
ii. On  "... $f(t)/f'(t)$ is a constant, sometimes called the time constant ..." .
The real constant is $f(t+\tau )/f(t)$, while $f(t)/f'(t)$ depends on $f$.  So I should prefer:
"... $f(t)/f'(t)$ doesn't depend on $t$ (this value is sometimes called the time constant of f(t) . "
iii. On  "(it is the reciprocal of the exponential growth constant or decay constant)".
This interrupts the main message, maybe better in a footnote. Or leave it out, for 'the reciprocal of a time interval' I can't see as an elementary concept.
iv. I understand that I've to wait until a sufficiant number of reliable explicit secondary sources are found, for (maybe) consensus on the introduction of e as (something like)  "the stretching/shrinking factor of every exponential process (function) over any period equal to its time constant" . --

May 4

Balancing the proposals, arguments and opinions shown on this talk page untill now, could there be consensus on the following 'version May 5' ?

If 'f(t) is an exponential function, then $f(t)/f'(t)$ is independent of 't', sometimes called time constant of f(t) (it is the reciprocal of the exponential growth constant or decay constant). The time constant is the time it takes for the exponential function to increase by a factor of 'e'. So for all 't' .

Ideas for improvement?

If $f(t)$ is any solution of the differential equation $y'=y/\tau ,$ ($f(t)$ is an exponential function with time constant or e-folding $\tau$),  then for all $t$

Aanvulling: - De introductiezin maakt niet duidelijk dat het niet om een hele categorie van ladders gaat, maar om één (majeur/mineur) koppel. --

Vijf van de zeven tonen in die ladders hebben een afstand tot de do-toon die gezien wordt als [volkomen consonant] (fa 4/3, so 3/2, do' 2/1) of als [onvolkomen consonant] (mi 5/4 of 6/5, la 5/3 of 8/5).

 Opmerking In principe zou alle tekst op een Wikipedia-pagina voor iedereen begrijpelijk moeten zijn, wanneer men deze wil bewerken. Het tussenvoegen van allerlei code in een tekst, kan dat bemoeilijken. Daarom kan ik best begrijpen dat men zich beklaagt over het feit dat je zaken als "& thinsp;" of "& nbsp;" gebruikt. Mensen die geen verstand van deze codes hebben, kunnen daardoor ontmoedigd raken om die tekst te bewerken. Ik zou je daarom willen aanmoedigen om die codes enkel te gebruiken waar dat noodzakelijk is, zoals bij 10.000& nbsp;km2. Het gebruik van <br> kan nuttig zijn. Maar ook alleen daar waar dat noodzakelijk is.

 Opmerking In principe zou alle tekst op een Wikipedia-pagina voor iedereen begrijpelijk moeten zijn, wanneer men deze wil bewerken. Het tussenvoegen van allerlei code in een tekst, kan dat bemoeilijken. Daarom kan ik best begrijpen dat men zich beklaagt over het feit dat je zaken als"& thinsp;"of"& nbsp;"gebruikt. Mensen die geen verstand van
dat men zich beklaagt over het feit dat je zaken als "& thinsp;" of "& nbsp;" gebruikt. Mensen die geen verstand van
dat men zich beklaagt over het feit dat je zaken als  "& thinsp;" of "& nbsp;" gebruikt. Mensen die geen verstand van

deze codes hebben, kunnen daardoor ontmoedigd raken om die tekst te bewerken. Ik zou je daarom willen aanmoedigen om die codes enkel te gebruiken waar dat noodzakelijk is, zoals bij10.000& nbsp;km2. Het gebruik van<br>kan nuttig zijn. Maar ook alleen daar waar dat noodzakelijk is.